Đề luyện thi đại học môn Toán sô 129

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch ĐT:01694838727
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ 129
Ngày 14 tháng 6 năm 2014
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số
4 2
2( 1) 2 1= − + + −y x m x m
có đồ thị là
( )
m
C
, với
m
là tham số thực.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2
( )C
khi
2m =
.
b) Tìm tất cả các giá trị của
m
để đường thẳng
: 1d y = −
cắt đồ thị
( )
m
C
tại đúng hai điểm phân
biệt
,A B

sao cho tam giác
IAB
có diện tích bằng
4 2 2−
với
( )
2;3I
.
Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình
2 2
4
4
(2 sin 2 )(2cos cos )
cot 1
2sin
− −
+ =
x x x
x
x
.
Câu 3 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình
2
2 3 ( 2013)(5 )
( , )
( 2) 3 3

− = + − +

∈


− + = +


¡
x y y y
x y
y y x x
.
Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân
1
2
2
2
0
4
x
x
I x e dx
x
 
= −
 ÷
−
 
∫
.
Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình lăng trụ
1 1 1
.ABC A B C

có tất cả các cạnh bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và mặt
phẳng đáy bằng
0
30
. Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng
1 1 1
( )A B C
thuộc đường thẳng
1 1
B C
. Tính
thể tích khối lăng trụ và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
1
AA
và
1 1
B C
theo a.
Câu 6 (1,0 điểm). Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn
.3)(4 xyzzyx =++
Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức
.
2
1
2
1
2
1
xyzzxyyzx

P
++
+
++
+
++
=
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình chuẩn
Câu 7.a (2,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình cạnh AB:
2 1 0x y− − =
, đường chéo BD:
7 14 0x y− + =
và đường chéo AC đi qua điểm
(2;1)E
. Tìm tọa độ các đỉnh của
hình chữ nhật.
Câu 8.a (1,0 điểm). Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình vuông ABCD có
(5;3; 1)A −
,
(2;3; 4)C −
, B là một điểm trên mặt phẳng có phương trình
6 0x y z+ − − =
. Hãy tìm tọa độ điểm D.
Câu 9.a (1,0 điểm). Tính môđun của số phức z, biết
3
12z i z+ =
và z có phần thực dương .
B.Theo chương trình nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C):

2 2
4 4 4 0x y x y+ − − + =
và
đường thẳng d:
2 0x y+ − =
. Chứng minh rằng d luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm tạo độ
điểm C trên đường tròn (C) sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất.
Câu 8.b (1,0 điểm). Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d:
2 3 3
4 2 1
x y z− − +
= =
và
mặt phẳng (P):
2 5 0x y z− + + + =
. Viết phương trình đường thẳng
∆
nằm trong mặt phẳng (P), song
song với d và cách d một khoảng là
14
.
Câu 9.b (1,0 điểm). Đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng môn Vật lí có 50 câu trắc nghiệm, mỗi câu có
bốn phương án trả lời, trả lời đúng mỗi câu được 0,2 điểm. Một thí sinh đã làm được 40 câu, trong đó
đúng 32 câu. Ở 10 câu còn lại anh ta chọn ngẫu nhiễn một trong bốn phương án. Tính xác suất để thí sinh
đó đạt từ 8 điểm trở lên.
Hết
Trang 1/5
Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch ĐT:01694838727
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 129
Câu

Nội dung
Đ
1
a)
Khi
2m =
, ta có hàm số
4 2
6 3y x x= − +
.
• Tập xác định :
= ¡D
.
• Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên:
2
' 4 ( 3)= −y x x
;
' 0 0y x= ⇔ =
hoặc
3x = ±
.
- Các khoảng đồng biến:
( 3;0)−
và
( 3; )+∞
, khoảng nghịch biến
( ; 3)−∞ −
và
(0; 3)

.
- Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại
§
0, 3
C
x y= =
; đạt cực tiểu tại
3, 6
CT
x y= ± = −
.
- Giới hạn:
lim
x→−∞
= +∞
và
lim
x→+∞
= +∞
.
- Bảng biến thiên
x
−∞

3−
0
3

+∞
y’ – 0 + 0 – 0 +

+∞
3
+∞

y
-6 -6
• Đồ thị :
0.25
0.25
0.25
0.25
b)
Phương trình hoành độ giao điểm của
( )
m
C
và d:
4 2 4 2
2( 1) 2 1 1 2( 1) 2 0 (1)x m x m x m x m− + + − = − ⇔ − + + =
Đặt
2
0t x= ≥
. Khi đó phương trình (1) trỏ thành:
2
2( 1) 2 0 (2)t m t m− + + =
Để
( )
m
C

cắt d tại đúng hai điểm phân biệt thì phương trình (1) phải có đúng hai nghiệm phân biệt nghĩa là
phương trình (2) phải có đúng một nghiệm dương.
Trong phương trình (2) có
2
' 1 0,m m∆ = + > ∀
nên (2) luôn có hai nghiệm phân biệt.
Vậy để (2) có đúng một nghiệm dương thì (2) phải có hai nghiệm trái dấu. Điều đó tương đương với:
0 0ac m< ⇔ <
.
Khi đó (2) có hai nghiệm:
2 2
1 2
1 1 0 1 1t m m t m m= + − + < < = + + +
Tọa độ của
2 2 2
( ; 1), ( ; 1) 2A t B t AB t− − − ⇒ =
Ta có
∆ ∆
= ⇔ =
2 2
1
( , ). 4
2
IAB IAB
S d I d AB AB S
với
( )
, 3 1 4d I d = + =
⇔ = − ⇔ + = − −
2

2
16 16(2 2) 1 1 2t m m
( )

< −


< −
< −
  
⇔ ⇔ ⇔ ⇒ ∃
  
− − = −
=

+ = − −





2 2
1 2
1 2
1 2
2 1 2 2 2 2
1
1 (1 2 )
m
m

m
m
m
m
m m
0.25
0.25
0.25
0.25
2
Điều kiện :
( )
sin 0x x k k
π
≠ ⇔ ≠ ∈¢
.
Phương trình đã cho tương đương với:
4 4 2 2
1
cos sin (2 sin 2 )(cos cos )
2
x x x x x+ = − −
2 2 2
1 1
1 sin 2 (2 sin 2 )(cos cos )
2 2
⇔ − = − −x x x x
2 2 2 2 2
1
2 sin 2 2(2 sin 2 )(cos cos ) 1 2cos cos 2cos cos 1 0

2
x x x x x x x x⇔ − = − − ⇔ = − ⇔ − − =
0.25
0.25
Trang 2/5
Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch ĐT:01694838727
2
( )
2
2
3
x k
k
x k
π
π
π
=


⇔ ∈

= ± +

¢
Đối chiếu với điều kiện ta suy ra pt có nghiệm
2
2 ,
3
x k k

π
π
= ± + ∈¢
.
0.25
0.25
Điều kiện :
1
, 0
2
≥ ≥x y
.
Hệ đã cho trở thành
2
2
2 3 ( 2013)(5 ) (1)
(2 ) 3 3 0 (2)

− = + − +


+ − − − =


x y y y
y x y x
Từ (2) ta có:
2
( 4)x∆ = +
(2) có hai nghiệm

1
2
2 4
3
2
2 4
1
2
− − −

= = −


− + +

= = +


x x
y
x x
y x
( do
0y ≥
)
⇔

1y x= +
Thế vào (1) ta có
2

2 3 1 ( 1) 2013 (4 )
 
− − + = + + −
 
x x x x

⇔

2
4
( 1) 2013 ( 4)
2 3 1
−
 
= − + + −
 
− + +
x
x x
x x
2
4
( 4) ( 1) 2013 0
2 3 1
−
 
 
⇔ − + + + =
 ÷
 

− + +
 
x
x x
x x

4 5⇔ = ⇒ =x y

2
1 1
( 1) 2013 0, , 0
2
2 3 1
 
 
+ + + > ∀ ≥ ≥
 ÷
 
− + +
 
Do x x y
x x
.
Vậy nghiệm của hệ là:
( , ) (4,5)x y =
.
0.25
0.75
4
1 1

3
2
1 2
2
0 0
4
x
x
I xe dx dx I I
x
= − = −
−
∫ ∫
Tính
1
I
. Đặt
u x=
và
2x
dv e dx=
, suy ra
du dx=
và
2
2
x
e
v =
.

1
1
2 2 2
1
0
0
1
2 2 4
x x
xe e e
I dx
+
= − =
∫
Tính
2
I
. Đặt
2
4 ( 0)t x t= − ≥
, suy ra
2 2
4x t= −
và
xdx tdt= −
.
Đổi cận
0x =
thì
2t =

;
1x =
thì
3t =
.
2
2
2
3
16
(4 ) 3 3
3
I t dx= − = − +
∫
.
Vậy
2
61
3 3
4 12
e
I = + −
.
0.25
0.25
0.25
0.25
5
Do
)(

111
CBAAH ⊥
nªn
1
AA H
lµ gãc gi÷a AA
1
vµ (A
1
B
1
C
1
), theo gi¶ thiÕt th× gãc
1
AA H
b»ng 30
0
.
XÐt tam gi¸c vu«ng AHA
1
cã AA
1
= a,
1
AA H
=30
0

2

a
AH⇒ =
.
1 1 1 1 1
2 3
a a 3 3
.
2 4 8
ABCA B C A B C
a
V AH S
= = × =
XÐt tam gi¸c vu«ng AHA
1
cã AA
1
= a,
1
AA H
=30
0

2
3
1
a
HA =⇒
. Do tam gi¸c A
1
B

1
C
1
lµ tam gi¸c ®Òu
0.25
0.25
0.25
Trang 3/5
C
A B
C
1
B
1
K
H
A
1
Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch ĐT:01694838727
c¹nh a, H thuéc B
1
C
1
vµ
2
3
1
a
HA =
nªn A

1
H vu«ng gãc víi B
1
C
1
. MÆt kh¸c
11
CBAH ⊥
nªn
)(
111
HAACB ⊥
KÎ ®êng cao HK cña tam gi¸c AA
1
H th× HK chÝnh lµ kho¶ng c¸ch gi÷a AA
1
vµ B
1
C
1
Ta cã AA
1
.HK = A
1
H.AH
4
3
.
1
1

a
AA
AHHA
HK ==⇒
0.25
6
Áp dụng BĐT Côsi ta có
,3.4)(43
3
xyzzyxxyz ≥++=
nên
.8≥xyz
Tiếp tục áp dụng BĐT Côsi ta được
24.222.222.222222
4
yzyzxyzyzxyzxyzxyzx ≥==≥+≥++
Suy ra
≤
++ yzx2
1
.
1
4
3
8
11
4
1
2
1

8
11
2
1
2
1
.
4
11
.
24
1
4








+=









++≤








+≤
yzyz
yzyz
Tương tự ta cũng có
.
1
4
3
8
1
2
1
,
1
4
3
8
1
2
1









+≤
++






+≤
++ xyxyzzxzxy
Do đó
.
8
3
4
3
4
9
8
1111
4
9
8

1
=






+=








+++≤
zxyzxy
P
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
.2=== zyx
Vậy giá trị lớn nhất của P là
,
8
3
đạt được khi
.2=== zyx
0.25
0.25

0.25
0.25
7.a
- Ta có:
B AB BD= ∩
suy ra tọa độ B là nghiệm hệ:
2 1 0 7
(7; 3)
7 14 0 3
x y x
B
x y y
− − = =
 
⇔ ⇒ =
 
− + = =
 
- Giả sử
(2 1; ) : 2 2 1 0; (7 14; ) : 7 14 0A a a AB y D d d BD x y= + ∈ − − = = − ∈ − + =
Vì A, B phân biệt nên
3a ≠
.
(6 2 ; 3 ), (7 21; 3); (7 2 15; )AB a a BD d d AD d a d a⇒ = − − = − − = − − −
uuur uuur uuur
Do
3 (loai)
. 0 (3 )(15 5 30) 0
3 6 0
a

AB AD AB AD a d a
d a
=

⊥ ⇒ = ⇔ − − − = ⇔

− − =

uuur uuur uuuruuur
3 6 ( 3;6 2 )a d AD d d⇒ = − ⇒ = − −
uuur
.
Lại có:
( 7; 3)
C C
BC x y= − −
uuur
. Mà ABCD là hình chữ nhật nên
AD BC=
uuur uuur
3 7 4
( 4; 9 2 )
6 2 3 9 2
C C
C C
d x x d
C d d
d y y d
− = − = +
 

⇒ ⇒ = + −
 
− = − = −
 
.
(6 13; 3 7), ( 2; 8 2 )EA d d EC d d⇒ = − − = + −
uuur uuur
với
(2;1)E =
- Mặt khác điểm
(2;1) , E AC EA EC∈ ⇒
uuur uuur
cùng phương
2
2 0
(6 13)(8 2 ) ( 2)(3 7) 5 6 0 0
3 3( )
d a
d d d d d d a
d a loai
= ⇒ =

⇔ − − = + − ⇔ − + = ⇔ ⇒ =

= ⇒ =

Vậy
(1; 0), (7; 3), (6; 5), (0; 2)A B C D= = = =
là các đỉnh của hình chữ nhật cần tìm
0.25

0.25
0.25
0.25
8.a
Ta có
3 2 3AC BA BC= ⇒ = =
. Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình
2 2 2
2 2 2
2 2 2
( 5) ( 3) ( 1) 9
( 5) ( 3) ( 1) 9
( 2) ( 3) ( 4) 9 1 0
6 0 6 0
x y z
x y z
x y z x z
x y z x y z

− + − + + =

− + − + + =


− + − + + = ⇔ + − =
 
 
+ − − = + − − =



2 2 2
( 5) ( 3) ( 1) 9 2
1 3
7 2 1
x y z x
z x y
y x z

− + − + + = =



⇔ = − ⇔ =
 
 
= − = −


hoặc
3
1
2
x
y
z
=


=



= −

Nếu
(2;3; 1)B −
, do
AB DC=
uuur uuur
nên
(5;3; 4)D −
. Nếu
(3;1; 2)B −
, do
AB DC=
uuur uuur
nên
(4;5; 3)D −
.
0.25
0.25
0.25
0.25
9.a
Đặt
( , ; 0)z x yi x y R x= + ∈ >
. Ta có
3 3
12 ( ) 12z i z x yi i x yi+ = ⇔ + + = −
0.25
0.25

Trang 4/5
Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch ĐT:01694838727
3 2
3 2 2 3
2 3
3
3 (3 12)
3 12
x xy x
x xy x y y i x yi
x y y y

− =

⇔ − + − + = − ⇔

− + = −


2 2 2 2
2 3 3
3 1 3 1 2 ( 0)
1
3(3 1) 12 2 3 0
x y x y x Do x
y
y y y y y y
 
= + = + = >


 
⇔ ⇔ ⇔
  
= −
+ − + = − + + =
 

 
Do đó
2z i= −
. Suy ra
5z =
.
0.25
0.25
7.b
(C) có tâm I(2;2), bán kính R=2. Tọa độ giáo điểm của (C) và d là nghiệm của hệ:
2 2
2 0
0
2
4 4 4 0
x y
x
y
x y x y
+ − =
=

⇔

 
=
+ − − + =


hoặc
2
0
x
y
=


=

.
Ta có thể giả sử
(2;0), (0;2)A B
. Do đó d luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B.
Ta có
1
.
2
ABC
S CH AB
∆
=
(với H là hình chiếu của C trên AB). Do đó
max max
ABC

S CH
∆
⇔
.
Ta thấy CH max khi C là giao điểm của đường thẳng
∆
đi qua tâm I và vuông góc với d và
2
C
x >
.
Phương trình
∆
là
y x=
. Toạ độ C là nghiệm của hệ phương trình
2 2
4 4 4 0
(2 2;2 2)
x y x y
C
y x

+ − − + =
⇒ + +

=

Vậy với
(2 2;2 2)C + +

thì
max
ABC
S
∆
.
0.25
0.25
0.25
0.25
8.b
Chọn
(2;3; 3), (6;5; 2)A B d− − ∈
. Ta thấy A, B nằm trên (P) nên d nằm trên (P).
Gọi
1
d
là đường thẳng đi qua A vuông góc với d nằm trong (P).
Giả sử
d
u
uur
véctơ chỉ phương của d,
P
u
uur
là véctơ pháp tuyến của (P). Khi đó véctơ chỉ phương của
1
d
là

, (3; 9;6)
d P
u u u
 
= = −
 
r uur uur
. Phương trình của đường thẳng
1
2 3
: 3 9
3 6
x t
d y t
z t
= +


= −


= − +

Khi đó
∆
là đường thẳng đi qua một điểm M trên
1
d
và song song với d.
Gọi

(2 3 ;3 9 ; 3 6 )M t t t+ − − +
, ta có
2 2 2
1
14 9 81 36 14
3
AM t t t t= ⇔ + + = ⇔ = ±
.
+ Với
1
3
t =
thì
(3;0; 1)M −
. Do đó
3 1
:
4 2 1
x y z− +
∆ = =
+ Với
1
3
t = −
thì
(1;6; 5)M −
. Do đó
1 6 5
:
4 2 1

x y z− − +
∆ = =
.
0.25
0.5
9.b
Thí sinh đó làm đúng 32 câu như vậy được: 32.0,2 = 6,4 điểm.
Thí sinh này muốn đạt trên 8 điểm thì phải chọn đúng
8 6,4
8
0,2
−
=
câu trở lên trong tổng số 10 câu còn lại.
Nghĩa là thí sinh này chỉ được sai 0, 1 hoặc 2 câu.
Mỗi câu có 4 phương án nên tổng số cách chọn là
10
( ) 4n Ω =
.
Mỗi câu có 3 phương án sai nên có 3 cách chọn sai mỗi câu.
- Chọn sai 0 câu có số cách:
0 0
10
3 .C
- Chọn sai 1 câu có số cách:
1 1
10
3 .C
- Chọn sai 2 câu có số cách:
2 2

10
3 .C
Xác suất cần tính là
0 0 1 1 2 2
10 10 10
10 10
3 . 3 . 3 .
436
4 4
C C C
P
+ +
= =
.
Trang 5/5