Đề luyện thi đại học môn Toán số 3

ĐỀ SỐ 3
Thi ngµy : 21/02/2014
Câu 1(2 điểm): Cho biểu thức:
2 x 2 x
P : (x 0)
x x 2 x 2 x
 
= + >
 ÷
 ÷
+ +
 
a/ Rút gọn biểu thức P
b/ Tìm giá trị của x để P = 3
Câu 2(2 điểm): Cho hệ phương trình:
2
x my 3m
mx y m 2
+ =


− = −

a/ Giải hệ phương trình trên với m =3
b/ Tìm m để hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất t/m x
2
- x - y >0
Câu 3(2 điểm): Giải phương trình:
 
+ − −
   

− + =
 ÷
 ÷  ÷
+ − −
   
 
2 2
2
2
x 1 x 1 x 1
4 3 0
x 2 x 4 x 2
Câu 4(3 điểm) : Cho 3 điểm A, B, C phân biệt, thẳng hàng và theo thứ tự đó sao cho AB khác BC. Trong
cùng 1 nửa mặt phẳng bờ AC dựng hình vuông ABDE, BCFK. Gọi I là trung điểm EF, đường thẳng qua I
vuông góc với EF cắt BD và AB tại M và N. CMR:
a/ Tứ giác AEIN và EMDI nội tiếp
b/ 3 điểm A, I, D thẳng hàng và B, N, E, M, F cùng thuộc 1 đường tròn.
c/ 3 đường thẳng AK, EF và CD đồng quy
Câu 5(1 điểm): Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 9
Tìm Min S =
3 3 3
2 2 2 2 2 2
x y z
x xy y y yz z z xz x
+ +
+ + + + + +

HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ THANG ĐIỂM
CÂU NỘI DUNG ĐIỂM
Câu

1
2.0 đ
a/ Rút gọn biểu thức P
2 x 2 x
P : (x 0)
x x 2 x 2 x
 
= + >
 ÷
 ÷
+ +
 
( ) ( )
+ +
=
+ +
2 x 4 x 2 x
:
x x 2 x x 2
( )
( )
+
+ +
=
+
x x 2
2 x 4 x
.
2 x
x x 2

Vậy
+ +
=
x 2 x 4
P
2 x
0.5
0.25
0.25
b/ Tìm giá trị của x để P = 3
P = 3 <=>
+ +
=
x 2 x 4
3
2 x
( )
<=> − + = <=> − =
2
x 4 x 4 0 x 2 0
<=>
2 0 2 4x x x− = => = => =
(TMĐK).
Vậy với x = 4 thì P = 3
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu
2

2.0 đ
a/ Giải hệ phương trình trên với m =3
Với m = 3. Ta có hệ phương trình
+ =


− =

x 3y 9
3x y 7
0.25
0.5
<=>
+ = = =
  
<=> <=>
  
− = + = =
  
x 3y 9 10x 30 x 3
9x 3y 21 x 3y 9 y 2
Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất
3
2
x
y
=


=


0.25
b/ Tìm m để hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất t/m x
2
- x - y >0
( )
( ) ( )
= −

+ =


<=>
 
− − = −
− = −



= −

=


<=> <=>
 
+ = +
= + ≠




2
2
2 2
2
x 3m my
x my 3m
m 3m my y m 2
mx y m 2
x 3m my
x m
y 1 m 2 m 1
y 2(do m 1 0 voi moi m)
Vậy hệ PT có một nghiệm duy nhất
2
x m
y
=


=

với mọi m.
Để
( ) ( )
2 2
x - x - y 0 m m 2 0 1 2 0m m> => − − > => + − >
=>
1 0 1
2

2 0 2
1 0 1
1
2 0 2
m m
m
m m
m m
m
m m

+ > > −
 
=> => >
 

− > >
 


+ < < −
 

=> => < −
 
− < <

 

Vậy với m > 2 hoặc m < -1 thì hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất t/m x

2
- x - y >0
0.5
0.25
0.25
Câu
3
2.0 đ
Giải phương trình:
 
+ − −
   
− + =
 ÷
 ÷  ÷
+ − −
   
 
2 2
2
2
x 1 x 1 x 1
4 3 0
x 2 x 4 x 2
Điều kiện :
2x
≠ ±
Đặt :
+ −
= =

+ −
x 1 x 1
a; b
x 2 x 2
. Ta có PT
( ) ( ) ( ) ( )
− + = <=> − − − = <=> − − =
2 2
a 4ab 3b 0 a a b 3b a b 0 a b a 3b 0
TH1 : a – b = 0 => a = b =>
( ) ( ) ( ) ( )
+ −
= => + − = − + => − − = + −
+ −
2 2
x 1 x 1
x 1 x 2 x 1 x 2 x x 2 x x 2
x 2 x 2
=>2x = 0 => x = 0 (TMĐK)
TH2 : a – 3b = 0 => a = 3b =>
( ) ( ) ( ) ( )
+ −
= => + − = − + => − − = + −
+ −
2 2
x 1 x 1
3. x 1 x 2 3 x 1 x 2 x x 2 3x 3x 6
x 2 x 2
=> 2x
2

+ 4x – 4 = 0 => x
2
+ 2x – 2 = 0 có ∆’ = 3 > 0. PT có 2 nghiệm
1 3x = − +
(TMĐK) và
1 3x = − −
(TMĐK)
Vậy phương trình có 3 nghiệm : x = 0 ;
1 3x = − +
;
1 3x = − −
0.25
0.5
0.5
0.5
0.25
Q
N
M
I
K
F
E
D
C
B
A
Câu
4
3.0 đ

Hình vẽ
a/ Tứ giác AEIN và EMDI nội tiếp
ABCD là hình vuông =>
·
0
90EAN =
(1)
MN⊥EF =>
·
0
90EIN =
(2)
Từ (1) và (2) =>
· ·
0
180EAN EAN+ =
=> Tứ giác AEIN nội tiếp.
ABCD là hình vuông =>
·
0
90EDM =
(3)
MN⊥EF =>
·
0
90EIM =
(2)
Từ (3) và (4) =>
·
·

0
90EDM EIM= =
=> Tứ giác EMDI nội
tiếp đường tròn đường kính EM
1.0
b/ 3 điểm A, I, D thẳng hàng và B, N, E cùng thuộc 1 đường tròn.
*) CM : 3 điểm A, I, D thẳng hàng
AB = AE => A thuộc đường trung trực của EB (5)
DB = DE => D thuộc đường trung trực của EB (6)
∆DIE và ∆DIB có DE = DB(gt);
·
·
0
45IDE IDB= =
(gt) ; DI chung
=> ∆DIE = ∆DIB (c.g.c) => IE = IB => I thuộc đường trung trực của EB (7)
Từ 5,6,7 => A, I, D thuộc đường trung trực của EB nên 3 điểm A, I, D thẳng hàng
*) CM : B, N, E cùng thuộc 1 đường tròn.
Tứ giác AEIN nội tiếp (CM trên) =>
·
·
0
45INE IAE= =
(8)
Tứ giác EMDF nội tiếp (CM trên) =>
·
·
0
45IME IDE= =
(9)

Từ 8, 9 =>∆EMN vuông cân tại E , có EI là đường cao => Đồng thời là đường trung tuyến => IE =
IN (10)
Từ 7,10 => IE = IB = IN => B, N, E cùng thuộc 1 đường tròn (I)
0.5
0.5
c/ 3 đường thẳng AK, EF và CD đồng quy
∆ADC có DB⊥AC; (11)
CK ⊥ BF mà
·
·
0
45CBF CAD= =
=> BF//AD => CK ⊥ AD (12)
Từ 11,12 => K là trực tâm tam giác ADC
=> AK
⊥
DC tại Q ta chứng minh Q thuộc EF.
Tứ giác AEDQ nội tiếp (Vì :
·
·
0 0 0
90 90 180AED AQD+ = + =
)
=>
·
·
DEQ DAQ=
(13)
Ta có KC//BE mà KC đi qua trung điểm của BF => đi qua trung điểm I của EF => C, K, I thẳng
hàng => KI⊥AD

=> Tứ giác ABKI nội tiếp =>
·
·
DAQ I BD=
(14)
∆
DIE =
∆
DIB =>
·
·
DEI DBI=
(15)
Từ 13,14,15 =>
·
·
DEI DEQ=
=> Q thuộc EI
Hay E, Q F thẳng hàng tức là AK ; CD; EF đồng quy
1.0
Câu
5
1.0đ
Ta có :
0
22
33
22
33
22

33
=−+−+−=
++
−
+
++
−
+
++
−
xzzyyx
xzxz
xz
zyzy
zy
yxyx
yx
=>
3 3 3 3 3 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
x y z y z x
x xy y y yz z z zx x x xy y y yz z z zx x
+ + = + +
+ + + + + + + + + + + +
= + +
+ + + + + +
3 3 3
2 2 2 2 2 2
x y z
S

x xy y y yz z z xz x
=>
3 3 3 3 3 3
2 2 2 2 2 2
2
x y y z z x
S
x xy y y yz z z zx x
+ + +
= + +
+ + + + + +
Ta có :

( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
3 3
2 2 2 2 2 2
2
2
2
1
2
1 Do x + y 4
3

x y x xy y
x y xy
x y
x xy y x xy y x xy y
xy x y
x y xy
x y xy
+ − +
 
+
= = + −
 ÷
+ + + + + +
 
 
+
 ÷
= + − ≥ ≥
 ÷
+ −
 
Tương tự :
3
;
3
22
33
22
33
zx

xzxz
xzzy
zyzy
zy +
≥
++
++
≥
++
+
=>
2( )
2
3
x y z
S
+ +
≥
=>
( )
3
x y z
S
+ +
≥
=>
3S
≥

Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 3

Chú ý : HS làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa