Đề luyện thi đại học môn Toán số 109

ĐỀ THI THỬ THỬ ĐẠI HỌC SỐ 109
Ngày 20 tháng 5 năm 2014
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm)
Câu 1 ( 2,0 điểm). Cho hàm số
x
y
x 1
=
-
a) Khảo sát, vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến cắt hai đường tiệm cận tại A, B và tam giác
OAB cân tại O ( O là gốc tọa độ )
Câu 2 ( 1,0 điểm ). Giải phương trình:
2
π
sinx.sin 4x 2 2cos x 4 3cos x.sinx.cos2x
6
æ ö
÷
ç
= - -
÷
ç
÷
ç
è ø
Câu 3 ( 1,0 điểm ). Giải hệ phương trình:
( )
2 2
x y 1 2x 2y
2x y y 1 2y

ì
ï
+ + = +
ï
í
ï
- = +
ï
î
Câu 4 ( 1,0 điểm). Tính tích phân:
( )
ln8
2x x x
ln3
I 3 e 1 e dx
-
= + +
ò
Câu 5(1,0 điểm ).Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AB=2a, AD=CD=BC=a. SA
vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA=
a 2
. Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với SB cắt SB,
SC, SD lần lượt tại I, J, K . Gọi
φ
là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD). Tính
cosφ
và thể tích khối
chóp S.AIJK.
Câu 6 ( 1,0 điểm). Cho x, y là hai số thực thay đổi thỏa mãn:
( ) ( )

2x 1 x y y 1- ³ -
. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức:
P x y 3xy= - +
II. PHẦN RIÊNG( 3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình chuẩn
Câu 7a ( 1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm I(2;1) và AC=2BD.
Điểm
1
M 0;
3
æ ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
thuộc đường thẳng AB, điểm N(0;7) thuộc đường thẳng CD. Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi
ABCD biết B có hoành độ dương.
Câu 8a ( 1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0;1;0); B(0;3;1) và đường thẳng
d:
x y z 1
2 2 1
-
= =
. Chứng minh rằng hai đường thẳng AB và d chéo nhau. Tìm điểm M thuộc d sao cho tam
giác MAB cân tại M.
Câu 9a ( 1,0 điểm). Một hộp đựng 30 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 30. Chọn ngẫu nhiên 8 tấm thẻ.

Tính xác suất để 8 tấm thẻ được chọn có 4 tấm thẻ mang số chẵn, 4 tấm thẻ mang số lẻ và chỉ có một tấm thẻ
mang số chia hết cho 10.
B. Theo chương trình nâng cao
Câu 7b ( 1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C):
2 2
x y 2x 4y 0+ - - =
và
M( 6;2). Lập phương trình đường thẳng d qua M, d cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
2 2
MA MB 50+ =
Câu 8b ( 1,0 điểm).Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):
2 2 2
x y z 2x 4y 4z 0+ + + + + =
. Viết
phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có chu vi bằng
6π
.
Câu 9b ( 1,0 điểm). Tìm số phức z thỏa mãn:
( )
4
2
z i 4z 0+ + =
HẾT
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:…………………………………………; Số báo danh:……………………………
Thày giáo:Lê Nguyên Thạch 184 Đường Lò Chum Thành phố Thanh Hóa
1
HNG DN GII S 109
Cõu P N im
1

1a
Cho hm s
x
y
x 1
=
-
a) Kho sỏt, v th hm s
b) Vit phng trỡnh tip tuyn ca th (C) bit tip tuyn ct hai ng tim
cn ti A, B v tam giỏc OAB cõn ti O ( O l gc ta )
Kho sỏt, v th hm s
TX:
{ }
= \ 1D R
S bin thiờn:
-Chiu bin thiờn:
( )

= <

2
1
0,
1
y x D
x
2,0
1,0
0,25
Hm s nghch bin trờn

( )
;1
v
( )
+1;
- Gii hn v tim cn:
+
= =lim 1; lim 1
x x
y y
, tim cn ngang: y=1

+

= + =
1 1
lim ; lim
x x
y y
; tim cõn ng: x= 1
0,25
Bng bin thiờn:
0,25
th : Giao vi Ox v Oy ti gc ta O
6
4
2
-2
-4
-6

-8
-15
-10
-5
5
10
15
th hm s nhn im I( 1;1) lm tõm i xng
0,25
1b Vit phng trỡnh tip tuyn ca th (C) bit tip tuyn ct hai ng tim
cn ti A, B v tam giỏc OAB cõn ti O ( O l gc ta )
Gi d l tip tuyn cn tỡm v M( x
0
; y
0
) l tip im
( )

0
1x
Khi ú phng trỡnh tip tuyn ti im M l:
( )
( )
0
0
2
0
0
x
1

y x x
x 1
x 1
-
= - +
-
-
( )
0
0
0
x 1
d TCD A 1; ;d TCN B 2x 1;1
x 1
ổ ử
+
ữ
ỗ
ữ
ầ = ầ = - ị
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
-
ố ứ
M l trung im AB
Tam giỏc OAB cõn ti O khi
OM AB OM.u 0

uuuur r
^ =

vi
( )
2
0
1
u 1;
x 1
r
ổ ử
-
ữ
ỗ
ữ
ỗ
=
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
-
ố ứ
l vtcp ca d do ú ta cú:
( )
0
0

0
3
0
0
x 0
x
x 0
x 2
x 1
ộ
=
-
ờ
+ =
ờ
=
-
ở
Vi
0
x 0 ptd : y x= ị =-
( loi). Vi
0
x 2=
phng trỡnh d:
y x 4=- +
( tm)
Võy phng trỡnh tip tuyn cn tỡm:
y x 4=- +
Chỳ ý: Hc sinh cú th dựng iu kin: tam giỏc OAB cõn ti O khi OA=OB

1,0
0.25
0,25
0,25
0,25
2
Gii phng trỡnh:
2

sinx.sin 4x 2 2cos x 4 3cos x.sinx.cos2x
6
ổ ử
ữ
ỗ
= - -
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
1.0
Thy giỏo:Lờ Nguyờn Thch 184 ng Lũ Chum Thnh ph Thanh Húa
2
sinx.sin4x =
2
2 2cos x 4 3cos x.sinx.cos2x
6
π
 
− −

 ÷
 
sinx.sin 4x 2 2cos x 3cosx.sin4x
6
π
 
⇔ = − −
 ÷
 
( )
( )
( )
sin4x sin x 3 cos x 2 2cos x 2sin 4x.cos x 2 2cos x
6 6 6
cos x 0
6
sin 4x 2 vô nghiêm
cos x 0 x k x m m Z
6 6 2 3
π π π
     
⇔ + = − ⇔ − = −
 ÷  ÷  ÷
     
 π
 
− =
 ÷

 

⇔


=

π π π π
 
− = ⇔ − = + π ⇔ = − + π ∈
 ÷
 
Vậy phương trình có nghiệm
( )
x m m Z
3
π
= − + π ∈
0,25
0,25
0,25
0,25
3
Giải hệ phương trình:
( )
( ) ( )
2 2
x y 1 2x 2y 1
2x y y 1 2y 2

+ + = +



− = +


Lấy (1) + (2) vế theo vế ta được:
( ) ( ) ( ) ( )
2
x 2
x 2xy 1 1 2x 4y x x 2y 2 x 2y x 2 x 2y 0
x 2y 0
=

+ + = + + ⇔ + = + ⇔ − + = ⇔

+ =

Trường hợp x=2 thay vào (2) ta có y=1
Trường hợp x+2y=0 thay vào (2) ta được phương trình vô nghiệm.
Vậy hệ có nghiệm x=2; y=1
1.0
0,25
0,25
0,25
0,25
4
Tính tích phân:
( )
ln8
2x x x
ln3

I 3 e 1 e dx
-
= + +
ò
ln8 ln8
x x
x x
ln3 ln3
9 e 1
I dx dx
e e
+
= +
ò ò
Xét:
( )
ln8
x ln8 ln3
ln8 ln8 x
x
ln9 1 ln9 1
x
ln3 ln3
ln3
9 9 9
9 9 1
e e e
dx dx 8 3
9 9
e e ln9 1

ln ln
e e
- -
æö æö æö
÷ ÷ ÷
ç ç ç
-
÷ ÷ ÷
ç ç ç
÷ ÷ ÷
ç ç ç
æö
è ø è ø è ø
÷
ç
= = = = -
÷
ç
÷
ç
æö æö
è ø
-
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø

ò ò
Xét
ln8
x
1
x
ln3
e 1
I dx
e
+
=
ò
Đặt
x 2 x x
t e 1 t e 1 dt e dx= + Þ = + Þ =
Đổi cận:
x ln3 t 2;x ln8 t 3= Þ = = Þ =
Do đó:
( )
( ) ( )
3 3
2
1
2 2 2
2
2
2 2
3
2

2t 1 1 2 1
I dt dt
2 t 1
t 1 t 1
t 1
1 1 1 t 1 7 1 3
ln ln
2 t 1 t 1 t 1 24 2 2
æ ö
÷
ç
÷
ç
= = + +
÷
ç
÷
ç
-
÷
ç
- +
-
è ø
æ ö
- -
÷
ç
= - + = +
÷

ç
÷
ç ÷
- + +
è ø
ò ò
Vậy I=
( )
ln9 1 ln9 1
1
8 3
ln9 1
- -
-
-
+
7 1 3
ln
24 2 2
+
1,0
0,25
0,25
0,25
0,25
Thày giáo:Lê Nguyên Thạch 184 Đường Lò Chum Thành phố Thanh Hóa
3
5
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AB=2a, AD=CD=BC=a. SA vuông góc
với mặt phẳng (ABCD), SA=

a 2
. Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với SB cắt SB, SC,
SD lần lượt tại I, J, K . Gọi
φ
là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD). Tính
cosφ
và thể tích
khối chóp S.AIJK.
E
A
B
D
C
S
I
J
K
Goi E là trung điểm của AB. Khi đó các tam giác AED, DEC, EBC là các tam giác đều cạnh bằng a.
Suy ra:
ΔACB
vuông tại B,
ΔADB
vuông tại D và
2 2
AC AB BC a 3= - =
;
SC a 5=
Ta có:
( ) ( )
BC AC

BC SC; SBC ABCD BC
BC SA
ì
^
ï
ï
Þ ^ Ç =
í
ï
^
ï
î

Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) là góc giữa SC và AC và là góc
SCA=
φ
. Khi đó cos
φ
=
AC 15
SC 5
=
Trong mặt phẳng (SAB) từ A hạ AI
^
SB tại điểm I
( )
AI PÞ Ì
Trong mặt phẳng (SAB) từ A hạ AJ
^
SC tại điểm J

Ta có:
( )
BC AC
BC SAC BC AJ
BC SA
ì
^
ï
ï
Þ ^ Þ ^
í
ï
^
ï
î
.Mà AJ
^
SC. Do đó AJ
^
SB
( )
AJ PÞ Ì
Tương tự ta có AK
^
SD tại điểm K
( )
AK PÞ Ì
Xét tam giác vuông SAB có
2 2
2 2 2

SI SI.SB SA 2a 1
SB SB SB 6a 3
= = = =
Tương tự:
SJ 2 SK 2
;
SC 5 SD 3
= =
Từ đó:
3
SAIJ
SAIJ SABCΔABC
SABC
V
SI SJ 2 2 2 1 2 1 1 a 6
. V V . SA.S . .a 2. a 3.a
V SB SC 15 15 15 3 15 3 2 45
= = Þ = = = =
3
0
SAJK
SAJK SACDΔACD
SACD
V
SK SJ 4 4 4 1 4 1 1 a 6
. V V . SA.S . .a 2. a.a.sin120
V SD SC 15 15 15 3 15 3 2 45
= = Þ = = = =
Vậy thể tích cần tìm là:
3

SAIJK
2a 6
V
45
=
(đvtt)
1,0
0,25
0,25
0,25
0,25
Thày giáo:Lê Nguyên Thạch 184 Đường Lò Chum Thành phố Thanh Hóa
4
6
Cho x, y l hai s thc thay i tha món:
( ) ( )
2x 1 x y y 1- -
. Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc:
P x y 3xy= - +
Ta cú:
( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2 2 2 2
2x y
1
2x 1 x y y 1 2x y 2x y 2 1 2x y
3 3
+

- - + + + +
0 2x y 3ị Ê + Ê
t
t 2x y 0 t 3= + ị Ê Ê
. Khi ú:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2
6x 3y 1
1
3P 3x 3y 9xy 3x 1 3y 1 1 6x 2 3y 1 1 1
2 8
1
3P 3t 1 1
8
+ -
= - + = - + + = - + + Ê +
ị Ê - +
Vi mi t tha món:
0 t 3Ê Ê
suy ra
( )
2
1 1
3P 3t 1 1 .64 1 9 P 3
8 8
Ê - + Ê + = Ê
Du bng xy ra khi

2x y 3 x 1
6x 2 3y 1 y 1
ỡ ỡ
+ = =
ù ù
ù ù

ớ ớ
ù ù
- = + =
ù ù
ợ ợ
. Vy maxP =3 khi x = y =1
1,0
0,25
0.25
0,25
0,25
7a
Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hỡnh thoi ABCD cú tõm I(2;1) v AC=2BD. im
1
M 0;
3
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ

ố ứ
thuc ng thng AB, im N(0;7) thuc ng thng CD. Tỡm ta cỏc nh ca hỡnh thoi
ABCD bit B cú honh dng.
I
B
D
A
C
N
N'
M
H
t IB=a, do AC=2BD nờn ta cú AI=2a. Gi N l im i xng vi N qua tõm I, suy ra N thuc AB v
N( 4;-5) Khi ú phng trỡnh ng thng AB: 4x+3y-1=0 v
( )
I,AB
d 2=
. Xột tam giỏc vuụng IAB cú:
( )
I,AB
2 2 2 2
1 1 1 5
a 5
d IA IB 4a
= + = ị =
im B thuc ng thng AB nờn
1 4b
B b; ;b 0
3
ổ ử

-
ữ
ỗ
>
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
v
IB 5=
nờn tỡm c im B( 1;-1); I l
trung im ca BD nờn D( 3;3)
ng thng AC vuụng gúc vi BD ti I nờn cú phng trỡnh: x+2y-4=0. Do ú ta im A( -2;3) v
do I l trung im AC nờn C( 6;-1)
Vy ta cỏc im cn tỡm l: A( -2;3); B( 1;-1); C( 6;-1) v D( 3;3)
1,0
0,25
0,25
0,25
0,25
Thy giỏo:Lờ Nguyờn Thch 184 ng Lũ Chum Thnh ph Thanh Húa
5
8a
Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai im A(0;1;0); B(0;3;1) v ng thng d:
x y z 1
2 2 1
-
= =
. Chng minh rng hai ng thng AB v d chộo nhau. Tỡm im M thuc d sao

cho tam giỏc MAB cõn ti M.
Ta cú: d cú vtcp
( )
u 2;2;1
r
=
v qua im K( 0;01)
( ) ( )
AB 0;2;1 ;AK 0; 1;1
uuur uuur
= = -
. Khi ú:
u,AB .AK 6 0
r uuur uuur
ộ ự
= ạ
ờ ỳ
ở ỷ
nờn d v ng thng AB chộo nhau. M
thuc d nờn M(2t;2t;t+1), gi I l trung im AB
1
I 0;2;
2
ổ ử
ữ
ỗ
ị =
ữ
ỗ
ữ

ỗ
ố ứ
Tam giỏc MAB cõn ti M nờn
7 7 7 17
IM.AB 0 t M ; ;
10 5 5 10
uuur uuur
ổ ử
ữ
ỗ
= = ị
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
1,0
0,5
0,5
9a
Mt hp ng 30 tm th c ỏnh s t 1 n 30. Chn ngu nhiờn 8 tm th.
Tớnh xỏc sut 8 tm th c chn cú 4 tm th mang s chn, 4 tm th mang s l v ch cú mt
tm th mang s chia ht cho 10.
Chn 8 tm th t 30 tm cú
8
30
C
cỏch. Do ú
8
30

C=
Gi A l bin c: chn c 4 tm th mang s chn, 4 tm th mang s l v ch cú mt tm th mang
s chia ht cho 10
- Chn 1 tm th trong 3 tm th chia ht cho 10 cú
1
3
C
cỏch
- Chn 3 tm th chn cũn li trong 12 tm th cú
3
12
C
cỏch
- Chn 4 tm th l trong 15 tm th cú
4
15
C
cỏch
Vy
1 3 4
A 3 12 15
C .C .C=
. Do ú xỏc sut cn tỡm l:
1 3 4
A
3 12 15
8
30

C .C .C

308
P(A)
C 2001
= = =
1.0
0,25
0,5
0,25
7b
Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn (C):
2 2
x y 2x 4y 0+ - - =
v M( 6;2). Lp
phng trỡnh ng thng d qua M, d ct ng trũn (C) ti hai im phõn bit A, B sao cho
2 2
MA MB 50+ =
A
I
B
M
H
ng trũn (C) cú tõm I( 1;2) v bỏn kớnh
R 5=
. Gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca I trờn ng
thng d
Ta cú:
( )
2
2 2 2
AB MB MA MB MA 2.MB.MA

uuur uuuur uuur uuuur
= - = + -
M:
2 2 2 2 2
10
MB.MA MI R 20 AB 10 IH IA AH
2
uuur uuuur
= - = ị = ị = - =
Phng trỡnh ng thng d qua M cú dng:
( ) ( )
( )
2 2
a x 6 b y 2 0 a b 0- + - = + ạ
Ta cú:
( )
( ) ( )
2 2
I,d
2 2
a 1 6 b 2 2
b 3a
10
d 9a b
b 3a
2
a b
ộ
- + -
=

ờ
= = = ị
ờ
=-
+
ở
Do ú cú 2 ng thng tha món: x+3y-12=0 hoc x-3y=0
1,0
0,5
0,25
0,25
8b
Mt cu (S) cú tõm I( -1;-2;-2) v bỏn kớnh R=3
Mt phng (P) ct (S) theo mt ng trũn cú chu vi bng
6
hay ng trũn cú bỏn kớnh bng 3. Do ú
mp(P) qua tõm I.
Khi ú mt phng (P) nhn
( )
n OI,i 0; 2;2
r uur r
ộ ự
= = -
ờ ỳ
ở ỷ
lm vộc t phỏp tuyn (
( )
i 1;0;0
r
=

l vec t n v trờn
trc Ox) Phng trỡnh mt phng (P): -y+z=0
1,0
Thy giỏo:Lờ Nguyờn Thch 184 ng Lũ Chum Thnh ph Thanh Húa
6

9b
Tìm số phức z thỏa mãn:
( )
4
2
z i 4z 0+ + =
Ta có:
( )
( )
( )
( ) ( )
2
4 2
2 2 2 2
z i 4z 0 z 2iz 1 2iz z 1 z 4iz 1 0+ + = Û + - = Û - + - =
( )
2
2
z 1
z 1 0
z 2 3 i
z 4iz 1 0
é
=±

é
- =
ê
ê
Û Û
ê
ê
= - ±
+ - =
ê
ê
ë
ë
1,0
HẾT
Thày giáo:Lê Nguyên Thạch 184 Đường Lò Chum Thành phố Thanh Hóa
7