Đề thi thử đại học môn Toán có lời giải chi tiết số 14

Thy giỏo:Lờ Nguyờn Thch T:01694838727
THI TH I HC S 14
Ngy 15 thỏng 10 Nm 2013
I. PHN CHUNG ( Cho tt c thớ sinh )
Cõu I ( 2 im ). Cho hm s :
3
3 1y x x=

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s .
2) Vit phng trỡnh ng thng d ct (C) ti 3 im phõn bit A, M, N sao cho
2
A
x =
v
2 2MN =
.
Cõu II ( 2 im ).
1) Gii phng trỡnh :
( )
( )
2 2
tan 1 tan 2 3sin 1 0x x x+ + =
.
2) Gii h phng trỡnh vi
,x y Ă
2 2 2
2 2 2 2
2 2 5 2 0
1 2 2 1
x y x y y
y x y xy x x xy y y

+ =


+ + = + + + +


Cõu III ( 1 im ). Tìm giá trị của m để phơng trình sau đây có nghiệm duy nhất :

0)23(log)6(log
2
25,0
=++ xxxm
Cõu IV ( 1 im ).
Cho hỡnh chúp S.ABCD ỏy l hỡnh vuụng cnh 2a , tam giỏc SAB u , tam giỏc SCD vuụng cõn nh S. Tớnh th
tớch khi chúp S.ABCD theo a.
Cõu V ( 1 im ).
Chng mimh rng vi
0, 0, 0a b c> > >
thỡ
1 1 1 1 1 1
3
a b c a 2b b 2c c 2a

+ + + +
ữ
+ + +

II. PHN T CHN ( Thớ sinh ch c lm mt trong hai phn A hoc B )
A. Theo chng trỡnh Chun

Cõu VIa ( 2 im )
1) Trong mt phng ta Oxy cho tam giỏc ABC cú nh
( )
2;1 ,B
im A thuc Oy, im C thuc Ox
(
0
C
x
) gúc
ã
30
o
BAC =
; bỏn kớnh ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC bng
5
. Xỏc nh to im A v C.
2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với
)5;2(,)1;1( BA
, đỉnh C nằm trên đờng
thẳng
04 =x
, và trọng tâm G của tam giác nằm trên đờng thẳng
0632 =+ yx
. Tính diện
tích tam giác ABC.
Cõu VIIa ( 1 im ) Tính tổng :
n
n
n

nnnn
CnCCCCS )1()1(432
3210
++++=
B. Theo chng trỡnh Nõng cao
Cõu VIb ( 2 im )
1) Trong mt phng ta Oxy cho ng trũn
( )
2 2
: 6 2 6 0C x y x y+ + + =
v im A(1;3) ; Mt
ng thng d i qua A, gi B, C l giao im ca ng thng d vi (C). Lp phng trỡnh ca d sao cho
AB AC+
nh nht.
2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với
)2;1(,)1;2( BA
, trọng tâm G của
tam
giác nằm trên đờng thẳng
02 =+ yx
. Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam giác ABC bằng
13,5.
Cõu VIIb ( 1 im ).
Tỡm tt cỏc s thc

bt phng trỡnh :
2
log log 2 2 os 0
x
x c

+ +
cú nghim
1x
>
Ht
Luyn thi i hc 184 ng Lũ Chum Thnh Ph Thanh Húa
Thy giỏo:Lờ Nguyờn Thch T:01694838727
HNG DN GII 14
Cõu I (2 im)1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s :
3
3 1y x x=

Tp xỏc nh:
D = Ă
o hm:
2
3 3y x
Â
= -
Cho
,
2
0 3 3 0 1 1y x x x
Â
= - = = = -
Gii hn:
; lim lim
x x
y y

- Ơ + Ơđ đ
= - Ơ = + Ơ
Hm s B trờn cỏc khong
( ; 1); (1; )- Ơ - + Ơ
, NB trờn khong
( 1;1)-
Hm s t cc i y
C
= 1ti
CD
1x = -
, t cc tiu y
CT
= 3 ti
CT
1x =
BBT
im un:
( )
0; 1I -
vỡ:
6 0 0 1y x x y
ÂÂ
= = = = - ị
.
Giao im vi trc honh:khụng cú nghim nguyờn Bng giỏ tr
x
1-
0 1 2

y 1
1-
-3 1
th hm s: hỡnh v bờn.
2) Vit phng trỡnh ng thng d ct (C) ti 3 im phõn bit A, M, N sao cho
2
A
x =
v
2 2MN =
Nhn xột: nu
ng thng d qua A khụng cú h s gúc tc x = 2 ct (C) nhiu nht 1 im khụng tha yờu cu bi toỏn .Do ú d
phi cú h s gúc .Vỡ
2
A
x =
nờn
1
A
y =
suy ra phng trỡnh d cú dng
( )
2 1y k x= +
Phng trỡnh honh giao im d v (C) l:

3 2
2
2
(3 ) 2 2 0 ( 2)( 2 1) 0
2 1 0 (*)

x
x k x k x x x k
x x k
=

+ + = + + =

+ + =

d ct (C) ti 3 im phõn bit A, M, N
(*)
cú 2 nghim phõn bit,
1 2
, 2 ; 2 2x x MN =
Theo vi ột
1 2 1 2
, 2; 1x x x x k+ = =
Ta cú :
( ) ( )
2 2
2 2
2 1 2 1
8 MN x x x x k= = +
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
2 1 2 1 1 2

1 1 4k x x k x x x x

= + = + +

Hay
( )
( )
( )
2
8 1 4 4 1k k= +
3
2 0k k + =
1k =
(tho yờu cu bi toỏn ).Vy d cú pt l :
1y x=
Cõu II( 2 im)1) Gii phng trỡnh :
( )
( )
2 2
tan 1 tan 2 3sin 1 0x x x+ + =
iu kin
cos 0x
Phng trỡnh vit li
2
2
1 tan
2 3sin
1 tan
x
x

x

=
+

2
2 3sin os2 2sin 3sin 1 0x c x x x = + =
1
sin 1 ;sin
2
x x = =

so sỏnh /k chn
1
sin
2
x =
( )
5
2 ; 2
6 6
x k x k k


= + = + Â
2) Gii h phng trỡnh vi
,x y Ă
( )
( )
2 2 2

2 2 2 2
2 2 5 2 0 1
1 2 2 1 2
x y x y y
y x y xy x x xy y y

+ =


+ + = + + + +


T phng trỡnh (2) ta cú /k :
, 0x y y

( ) ( )
2 2
2 2
1 1y y y x y x y x y+ = +
.
Luyn thi i hc 184 ng Lũ Chum Thnh Ph Thanh Húa
x
1 1
+ Ơ
y
Â
+ 0 0 +
y
1
+ Ơ

3
Thy giỏo:Lờ Nguyờn Thch T:01694838727
Xột hm s
( )
2 2
1f t t t t= +
liờn tuc
[
)
0;+
cú
( )
/
2
1
2
.2
1
t
f t t
t
t
=
+

2
1 1
2 0 0
2
1

t t
t
t

= < >
ữ
+

Suy ra hm s nghch bin
( )
0;+
nờn
( ) ( )
2f y f x y x y
= =
Thay vo (1) ta cú
( )
( )
2
2 1 0 2y x x y + = =

4x =
.Vy h cú nghim (x ;y) = (4 ; 2)
Cõu III(1 im)3 /
=++ 0)23(log)6(log
2
25,0
xxxm
=+ )23(log)6(log
2

22
xxxm




+=
<<






=+
>

38
13
236
023
2
2
2
xxm
x
xxxm
xx
Xét hàm số
13,38)(

2
<<+= xxxxf
ta có
82)(' = xxf
,
0)(' <xf
khi
4
>
x
, do đó
)(xf
nghịch
biến trong khoảng
)1;3(
,
6)1(,18)3( == ff
. Vậy hệ phơng trình trên có nghiệm duy nhất khi
186
<<
m
Cõu IV(1 im )Cho hỡnh chúp S.ABCD ỏy l hỡnh vuụng cnh 2a , tam giỏc SAB u , tam giỏc SCD vuụng
cõn nh S. Tớnh th tớch khi chúp S.ABCD theo a.
Ta cú din tớch ỏy hỡnh vuụng ABCD : S =4 a
2

Gi E , F ln lt trung im AB v CD Tam giỏc SAB u nờn ng cao
2 3
3
2

a
SE a
= =
Tam giỏc SCD vuụng cõn nh S nờn ng cao SF = a
Do ú ta cú tam giỏc SEF vuụng ti S (vỡ
2 2 2
EF SE SF= +
)
Trong tam giỏc SEF k SH vuụng gúc EF ti H
Ta cú SH vuụng gúc mp(ABCD) .
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 4
3 3SH SE SF a a a
= + = + =

3
2
a
SH =
. Vy
3
2
1 1 3 2 3
( ). .4 .
3 3 2 3
a a
V S ABCD SH a= = =
( vt
Cõu V(1 im) CMR vi a > 0; b> 0; c > 0 thỡ
1 1 1 1 1 1

3
a b c a 2b b 2c c 2a

+ + + +
ữ
+ + +

+ Vi a > 0, b > 0, c >0 Gii : ta cú:
( ) ( ) ( )
a 2 b a 2 2b 1 2 a 2b 3 a 2b+ = + + + = +
(1)
+ Do
( ) ( )
1 2 1 1 1
a 2 b a b b 9
a b a b b

+ + = + + + +
ữ ữ

nờn
1 2 9
a b a 2 b
+
+
(2) .T (1) v
(2) ta cú:
1 2 3 3
a b a 2b
+

+
(3) (Vi a > 0; b> 0; c > 0)
p dng (3) ta cú:
1 1 1 1 1 1
3
a b c a 2b b 2c c 2a

+ + + +
ữ
+ + +

( pcm)
du
" "=
xy ra khi v ch khi
a b c
= =
Cõu VIa(2 im) 1)Trong mt phng ta Oxy cho tam giỏc ABC cú nh
( )
2;1 ,B
im A thuc Oy, im C thuc
trc honh (
0
C
x
) gúc
ã
30
o
BAC =

; bỏn kớnh ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC bng
5
. Xỏc nh to A v
C.
Gi C(c;0) ; A(0;a) ; ta cú
2 sin30 5
o
BC R= =
( ) ( )
2 2
2
5 2 0 1 5BC c = + + =
0 , 4 ( )c c loai
= =
Suy ra C(0 ;0) trựng vi im O .Gi H hỡnh chiu vuụng gúc im B trờn Oy ta cú tam giỏc BHA mt na tam giỏc
u .Nờn BA =2 BH do ú HA =
2 3

(0;1 2 3)A +
hoc
(0;1 2 3)A
Vy cú
(0;1 2 3)A
, B(-2 ;1) , C(0 ;0) hoc
(0;1 2 3)A +
, B(-2 ;1) , C(0 ;0)
2) Ta có
);4(
C
yC =

. Khi đó tọa độ G là
3
2
3
51
,1
3
421
CC
GG
yy
yx +=
++
==
+
=
. Điểm G nằm trên đờng thẳng
0632 =+ yx
nên
0662 =+
C
y
, vậy
2=
C
y
, tức là
Luyn thi i hc 184 ng Lũ Chum Thnh Ph Thanh Húa
Thy giỏo:Lờ Nguyờn Thch T:01694838727
)2;4(=C

. Ta có
)1;3(,)4;3( == ACAB
, vậy
5=AB
,
10=AC
,
5. =ACAB
.
Diện tích tam giác ABC là
( )
2510.25
2
1

2
1
2
22
== ACABACABS
=
2
15
Cõu 7a: Ta có
nn
nnnn
n
xCxCxCCx ++++=+
2210
)1(

, suy ra

132210
)1(
+
++++=+
nn
nnnn
n
xCxCxCxCxx
.
Lấy đạo hàm cả hai vế ta có :
=+++
1
)1()1(
nn
xnxx
nn
nnnn
xCnxCxCC )1(32
2210
+++++
Thay
1
=
x
vào đẳng thức trên ta đợc S.
Cõu VIb.(2 im )1) Trong mt phng ta Oxy cho ng trũn
( )
2 2

: 6 2 6 0C x y x y+ + + =
v im A(1;3) ;
Gi B, C l giao ca ng thng d i qua A vi (C).Lp phng trỡnh d sao cho
AB AC+
nh nht.
Tõm ng trũn
(3; 1), 2; 2 5 ( , ) 2I R IA d I A R = = = > =
nờn im A nm ngoi (C)
Ta cú
/( )A C
P =
AB.AC = d
2-
- R
2
= 16 ; v
2 . 2.4 8AB AC AB AC+ = =
du =xy ra

AB = AC = 4 . Khi ú d l
tip tuyn ca (C), d cú dng
( 1) ( 3) 0a x b y + =
3 0ax by a b + =
T ú ta cú
2 2
3 3
( , ) 2 2
a b a a
d I d
a b

= =
+
2
0
3 4
4 3
b
b ab
a b
=

=

=

chn
0
1
b
a
=


=

4
3
b
a

=



=

Vy phng trỡnh d :
1 , 3 4 15 0x x y= + =
2) Vì G nằm trên đờng thẳng
02 =+ yx
nên G có tọa độ
)2;( ttG =
. Khi đó
)3;2( ttAG =
,
)1;1( =AB

Vậy diện tích tam giác ABG là
( )
[ ]
1)3()2(2
2
1

2
1
22
2
22
+== ttABAGABAGS

=
2
32 t
Nếu diện tích tam giác ABC bằng 13,5 thì diện tích tam giác ABG bằng
5,43:5,13 =
. Vậy
5,4
2
32
=
t
, suy ra
6
=
t

hoặc
3
=
t
. Vậy có hai điểm G :
)1;3(,)4;6(
21
== GG
. Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên
)(3
BaGC
xxxx +=
và
)(3

BaGC
yyyy +=
.
Với
)4;6(
1
=G
ta có
)9;15(
1
=
C
, với
)1;3(
2
=G
ta có
)18;12(
2
=
C
Cõu VIIb. (1 im)Tỡm tt cỏc giỏ tr

Ă
bt phng trỡnh :
2
log log 2 2 os 0
x
x c

+ +
cú nghim
1x
>
.Vi
. 1x >
; Bpt tng ng vi
2
2
1
log 2 os 2
log
x c
x

+
Ă
(1)
mt khỏc
2
log 0x >
nờn theo Cụsi ta cú:
2
2
1
log 2
log
x
x
+

(2)
T (1) v (2) ta cú

. 1x >
: bpt

VT = VP = 2
cos 1 2 ( )k k

= = + Â
khi ú bt phng trỡnh cú nghim
2
log x
= 1
2x =
. Vy
2 ( )k k

= + Â
Luyn thi i hc 184 ng Lũ Chum Thnh Ph Thanh Húa