Đề thi thử đại học môn Toán có lời giải chi tiết số 15

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch ĐT:01694838727
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ 15
Ngày 19 tháng 10 năm 2013
A.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH. (7 điểm)

Câu1(2điểm) Cho hàm số y = x
3
+ (1-2m)x
2
+ (2-m)x + m + 2 (1) m tham số
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m=2
2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và hoành độ cực tiểu bé hơn 1.
Câu2(2điểm) Giải các phương trình:
1.
2
t anx
tan 2
cot3
x
x
− =

2.
2
2 7 2 1 8 7 1x x x x x+ − = − + − + − +

Câu3(1điểm) Cho hệ phương trình :
3 3
( )
1
x y m x y

x y

− = −

+ = −

Tìm m để hệ có 3 nghiệm phân biệt (x
1
;y
1
);(x
2
;y
2
);(x
3
;y
3
) sao cho x
1
;x
2
;x
3
lập thành cấp số cộng
( )
0d
≠
.Đồng thời có hai số x
i

thỏa mãn
i
x
> 1
Câu4(1điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a đường cao chóp SA= a
Trên AB và AD lấy hai điểm M;N sao cho AM = DN = x. ( 0< x <a )
Tính thể tích hình chóp S.AMCN theo a và x? Xác định x để MN bé nhất.
Câu5(1điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
2 2
2 2
1 4
log (4 ) log ( 1)
x x
y x x
+ −
= − + +
PHẦN RIÊNG (3điểm) Thí sinh chỉ làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A. Theo chương trình Chuẩn.
Câu 6.a (1điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(2;5) và B(5;1). Viết phương trình
tổng quát của đường thẳng
∆
đi qua A sao cho khoảng cách từ B đến đường thẳng
∆
bằng 3.
Câu 7.a (1điểm). Cho Elip (E) :
2
2
1
9
x

y+ =
Tìm những điểm M thuộc (E) sao cho M nhìn hai tiêu điểm của (E) dưới một góc vuông.
Câu 8.a (1điểm). Có 20 bông hoa trong đó có 8 bông hồng, 7 bông cúc, 5 bông đào. Chọn ngẩu nhiên 4
bông , hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong đó hoa được chọn có đủ cả ba loại .
B. Theo chương trình nâng cao.
Câu 6.b(1điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm M(2;1) . Viết phương
trình tổng quát đường thẳng qua M và tạo với đường thẳng y = 2x + 1 một góc 45
0
.
Câu 7.b(1điểm). Cho Hypebon (H):
2 2
1
4 5
x y
− =

và đường thẳng
∆
: x-y+m = 0 ( m tham số) . Chứng minh đường thẳng
∆
luôn cắt (H) tại hai điểm
phân biệt thuộc hai nhánh của (H).
Câu 8.b(1điểm). Rút gọn biểu thức: S =
2 0 2 1 2 2 2
1 2 3 ( 1)
n
n n n n
C C C n C+ + + + +
…………………Hết……………
Luyện thi Đại học 184 Đường Lò Chum Thành Phố Thanh Hóa

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch ĐT:01694838727
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 15
Câu 1: 1, Với m=2 có y = x
3
– 3x
2
+4
TXĐ D= R ; y
’
=3x
2
- 6x ; y
’
= 0 khi x=0 hoặc x=2
CĐ(0 ;4), CT(2 ;0), U(1 ;2)
Đồ thị (Tự vẽ)
Câu 1: 2, y
’
= 3x
2
+2(1-2m)x+(2-m)
Ycbt
⇒
y
’
=0 có hai nghiệm phân biệt x
1 ;
x
2
và vì hàm số (1) có hệ số a>0

⇒
x
1
<x
2
<1

⇔

'
2
2
1
1 2 1 2
2
0
4 5 0
4 5 0
1
2 1
1 2 1 3
2
3
1 0
2 2(1 2 )
( ) 1 0
1 0
1 0
3 3
m m

m m
S
m
m
x
m m
x x x x
x

∆ >


− − >



− − >



<
−

⇒ < ⇔ − <
  
  
− <
− −
− + − >
  

− + >
− <





5 7
1;
4 5
m m⇔ < − ∨ < <
Câu 2 : 1, Điều kiện
osx 0
sin3x 0
2
/ 6
cos3 0
c
x k
x k
x
π
π
π
≠


≠ +
 
≠ ⇔

 
 
≠
≠


Ph
2
2
tan tan x tan3 2 t anx(t anx tan3 ) 2
sin 2 1 os2 1
t anx 2 sin cos cos3 ( os4 os2 )
osxcos3 2 2
os4 1
4 2
x x x
x c x
x x x c x c x
c x
k
c x x
π π
⇔ − = ⇔ − =
−
⇔ − = ⇔ = − ⇔ = − +
⇔ = − ⇔ = +
Câu 2 : 2, ĐK :
1 7x
≤ ≤
Pt

1 2 1 2 7 (7 )( 1) 0 1( 1 2) 7 ( 1 2) 0
1 1 0 5
( 1 2)( 1 7 ) 0
4
1 7 0
x x x x x x x x x
x x
x x x
x
x x
⇔ − − − + − − − − = ⇔ − − − − − − − =

− − = =

⇔ − − − − − = ⇔ ⇔


=
− − − =



Câu 3: Cho hệ phương trình :
3 3
( )
1
x y m x y
x y

− = −


+ = −

Tìm m để hệ có 3 nghiệm phân biệt (x
1
;y
1
);(x
2
;y
2
);(x
3
;y
3
) sao cho x
1
;x
2
;x
3
lập thành cấp số
cộng
( )
0d
≠
.Đồng thời có hai số x
i
thỏa mãn
i

x
> 1
3 3
( )
1
x y m x y
x y

− = −

+ = −


⇔
2 2
( )( ) 0
1
x y x y xy m
x y

− + + − =

+ = −

⇔

2
1
2
1

( ) 1 0
x y
y x
x x x m
ϕ

= = −


= − −




= + + − =


Trước hết
( )x
ϕ
phải có 2 nghiệm pbiệt x
1
; x
2

⇔
3
4 3 0
4
m m∆ = − ⇔

Có thể xảy ra ba trường hợp sau đây theo thứ tự lập thành cấp số cộng.
+Trường hợp 1 :
1
2
−
; x
1
; x
2
+Trường hợp 2 : x
1
; x
2
;
1
2
−
+Trường hợp 3 : x
1
;
1
2
−
; x
2
Luyện thi Đại học 184 Đường Lò Chum Thành Phố Thanh Hóa
Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch ĐT:01694838727
Xét thấy TH 1;2 không thỏa mãn. Trường hợp 3 ta có
1 2
1 2

1
1
x x
x x m
+ == −


= −

đúng với mọi m >
3
4
Đồng thời có hai số x
i
thỏa mãn
i
x
> 1 ta cần có thêm điều kiện sau
2
1 4 3
1 4 3 3 3
2
m
x m m
− + −
= ⇔ − ⇔ 
Đáp số : m > 3
Câu 4: V(
SAMCN)
=

1
3
SA.S
AMCN
=
=
1
3
a.(a
2
–S
BCN
– S
CDN
) =

( )
2 3
1 1 1 1
3 2 2 6
a a a a x ax a
 
− − − =
 
 
Ta có MN
2
= x
2
+ (a-x)

2
= 2x
2
-2ax + a
2

=2
2
2 2
1 1 2
min
2 2 2 2
a
x a a NM a
 
− + ≥ ⇒ =
 ÷
 
khi x=a/2
Câu 5:Hàm số xác định khi
2
2
2
4 0 2 2
1 1 0
4 1
3
x x
x x
x

x


− > − < <


+ ≠ ⇔ ≠
 
 
− ≠
≠ ±


do
2
2
1
log (4 )
x
x
+
−
và
2
2
4
log ( 1)
x
x
−

+
cùng dấu
nên
2 2 2 2
2 2 2 2
1 4 1 4
log (4 ) log ( 1) 2 log (4 ) log ( 1) 2
x x x x
y x x x x
+ − + −
= − + + ≥ − + ≥
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
2
2
1
log (4 )
x
x
+
−
=
2
2
4
log ( 1)
x
x
−
+
2

2
1
log (4 ) 1
x
x
+
⇔ − = ±
Vậy miny =2 khi
3 21 3
;
2 2
x x
+
= ± = ±
Câu 6a: Đường thẳng
∆
qua A(2,5) có dạng: a(x-2)+b(y-5)=0
Hay ax+by -2a -5b = 0
2 2
3 4
( , ) 3 3
a b
d B
a b
−
⇒ ∆ = ⇔ =
+

⇔
9a

2
-24ab+16b
2
=9a
2
+9b
2
⇔
7b
2
-24ab=0 chọn a=1 suy ra b=0 hoặc b=24/7
Vậy các đường thẳng đó là: x-2=0; 7x+24y-134=0
Câu 7a: Từ phương trình (E) suy ra a=3; b=1 nên c =2
2
nên các tiêu điểm: F
1
(-2
2
;0), F
2
(2
2
;0) . Gọi M(x;y) thuộc (E) ycbt
1 2
0MF MF⇔ =

hay x
2
+ y
2

-8=0
⇔
y
2
= 8- x
2
thay vao pt
(E) có x
2
=
63
8
63; y
2
=
1
8
. Vậy có bốn điểm cần tìm là:
63 1 63 1 63 1 63 1
; ; ; ;
8 8 8 8 8 8 8 8
       
− ∨ − − ∨ − ∨
 ÷  ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
Câu 8a: Số hoa được chọn có các khả năng sau: 2hồng 1cúc và 1 đào; 2 cúc 1 hồng và 1
đào ; 2 đào 1 hồng và 1 cúc. Vậy số cách chọn theo ycbt là:
2 1 1 2 1 1 2 1 1
8 7 5 7 8 5 5 8 7

C C C C C C C C C+ +
= 2380
Câu 6b: Đường thẳng
∆
qua M(2;1) có dạng a(x-2) + b(y- 1)= 0 với a
2
+b
2

≠
0
có vtpt
1
n

=(a;b); Đường thẳng y=2x-1 có vtpt
2
n

=(2;-1).
Vì hai đường thẳng tạo với nhau góc 45
0
nên có
( )
0
1 2
2 2
2
2
os , os45

2
5
a b
c n n c
a b
−
= ⇒ =
+


⇔
2(4a
2
– 4ab +b
2
) = 5(a
2
+b
2
)
Chọn b=1 suy ra 3a
2
-8a-3 =0 suy ra a=3 hoặc a= -2/3 .
Luyện thi Đại học 184 Đường Lò Chum Thành Phố Thanh Hóa
S
A N D
M
B C
Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch ĐT:01694838727
Câu 7b: Vậy có hai đường thẳng cần tìm là: 3x+y -7 =0 và -2x+3y+1=0

Từ pt (H) có a=2 b=
5
nên (H) có hai nhánh:
trái
2x
≤ −
phải
2x
≥
tọa độ giao điểm của (H) và đường thẳng đó là nghiệm của
2 2
5 4 20
0
x y
x y m

− =

− + =

suy ra 5x
2
-4(x+m)
2
= 20

⇔
x
2
-8mx – 4m

2
-20=0 phương trình này luôn có 2 nghiệm khác dấu vậy đường thẳng đã cho
luôn cắt (H) tại hai điểm thuộc hai nhánh.
Câu 8b: Có (1+x)
n
=
0 1 2 2

n n
n n n n
C C x C x C x+ + + +

⇔
x(1+x)
n
=
0 1 2 2 3 1

n n
n n n n
xC C x C x C x
+
+ + + +
Đạo hàm hai vế có (1+x)
n
+nx(1+x)
n-1
=
0 1 2 2
2 3

n n
n n n n
C C x C x nC x+ + + +
tiếp tục nhân hai
vế với x và đạo hàm hai vế sau đó thay x=1 vào có kết quả S=2
n
+3n2
n-1
+n(n-1)2
n-2
Luyện thi Đại học 184 Đường Lò Chum Thành Phố Thanh Hóa