Đề thi thử đại học môn Toán chọn lọc số 41

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ 41
Ngày 01 tháng 01 Năm 2014
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)
Câu I (2 điểm) Cho hàm số
23
23
+−= xxy
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng
2)2( −−= xmy
cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân
biệt A(2;-2), B, D sao cho tích các hệ số góc của tiếp tuyến tại B và D với đồ thị (C) đạt giá trị nhỏ
nhất.
Câu II (2 điểm)
1. Giải phương trình:
( )
( )
2
cos . cos 1
2 1 sin
sin cos
−
= +
+
x x
x
x x
2. Giải bất phương trình:
( )
( )
2

3 1 3 2 3 4x x x x x+ − − − + + − ≥
Câu III (1 điểm) Tính tích phân I =
∫
+
4
0
66
cossin
4sin
π
dx
xx
x
Câu IV (1 điểm Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có
·
0
, 2 , 120AC a BC a ACB= = =
và đường
thẳng
'A C
tạo với mặt phẳng
( )
' 'ABB A
góc
0
30
. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách
giữa hai đường thẳng
' , 'A B CC
theo a.

Câu V (1 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng:

2 2 2
1
( 2)(2 1) ( 2)(2 1) ( 2)(2 1) 3
a b c
ab ab bc bc ac ac
+ + ≥
+ + + + + +
PHẦN RIÊNG (3 điểm). Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần (Phần A hoặc B)
A. Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A, các đỉnh A, B thuộc đường
thẳng y = 2, phương trình cạnh BC:
023 =+− yx
. Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C biết bán kính đường
tròn nội tiếp tam giác ABC bằng
3
.
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng
d
1
:
x y z1 1
2 1 2
− +
= =
và d
2
:

x y z2 1
1 1 2
− −
= =
−
.
Lập phương trình đường thẳng d cắt d
1
và d
2
và vuông góc với mặt phẳng (P):
x y z2 5 3 0+ + + =
.
Câu VII.a (1 điểm) Giải phương trình
2 2 2
4 4 2
8log 9 3 2log ( 3) 10 log ( 3)x x x− + + = + −
B. Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm
( )
3;3I
và
2AC BD
=
. Điểm
4
2;
3
M

 
 ÷
 
thuộc
đường thẳng
AB
, điểm
13
3;
3
N
 
 ÷
 
thuộc đường thẳng
CD
. Viết phương trình đường chéo
BD
biết
đỉnh
B
cóhoành độ nhỏ hơn 3.
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;3) và B(3;4;1). Tìm toạ độ điểm M thuộc
mặt phẳng (P):
1 0− + − =x y z
để ∆MAB là tam giác đều.
Câu VII.b (1 điểm) Tính tổng
2011
2011
2

2011
1
2011
0
2011
2012 32 CCCCS
++++=
Hết
Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 184 Đường Lò Chum Thành Phố Thanh Hóa
1
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ 41
Câu 1. (1,0 điểm) 1, Tập xác định:
D = ¡
• Sự biến thiên:
Chiều biến thiên:
2
' 3 6y x x= −
;
' 0 0y x= ⇔ =
hoặc
2x
=
Hàm số đồng biến trên các khoảng
( )
;0−∞
và
( )
2;+∞
; nghịch biến trên khoảng
( )

0;2
Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại
2x =
; y
CT
2= −
, đạt cực đại tại
0x =
; y
CĐ
2=
Giới hạn:
lim ; lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= −∞ = +∞
Bảng biến thiên:
• Đồ thị:
Câu 2: 2.(1,0 điểm
Câu 3: 1. (1,0 điểm)ĐK:
4
x k
π
π
≠ − +
. PT ⇔
(1 sin )(1 sin )(cos 1) 2(1 sin )(sin cos )+ − − = + +x x x x x x
1 sin 0
sin cos sin cos 1 0

x
x x x x
+ =

⇔

+ + + =

( ) ( )
1 sin 0
1 sin cos 1 0
x
x x
+ =

⇔

+ + =

2
2
2
x k
x k
π
π
π π

= − +


⇔

= +

( Thoả mãn điều kiện)
Câu 2: 2.(1,0 điểm)
Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 184 Đường Lò Chum Thành Phố Thanh Hóa
2

Câu 3: (1,0 điểm
Câu 4: (1,0 điểm)Trong (ABC), kẻ
CH AB
⊥

( )
H AB∈
, suy ra
( )
' 'CH ABB A⊥
nên A’H là hình
chiếu vuông góc của A’C lên (ABB’A’). Do đó:
( )
·
( )
·
·
0
' , ' ' ' , ' ' 30A C ABB A A C A H CA H= = = 
 
.

2
0
1 3
. .sin120
2 2
ABC
a
S AC BC
∆
= =
2 2 2 0 2
2 . .cos120 7 7AB AC BC AC BC a AB a= + − = ⇒ =

2.
21
7
ABC
S
a
CH
AB
∆
= =
Suy ra:
0
2 21
'
sin30 7
CH a
A C = =

.
Xét tam giác vuông AA’C ta được:
2 2
35
' '
7
a
AA A C AC= − =
. Suy ra:
3
105
. '
14
ABC
a
V S AA
∆
= =
.
Do
( )
'/ / ' '/ / ' 'CC AA CC ABB A⇒
. Suy ra:
( ) ( )
( )
( )
( )
21
' , ' ', ' ' , ' '
7

a
d A B CC d CC ABB A d C ABB A CH= = = =
.
Câu 5: (1,0 điểm)Ta có VT =
2 2 2
( 2)(2 1) ( 2)(2 1) ( 2)(2 1)
a b c
ab ab bc bc ac ac
+ +
+ + + + + +
=
1 1 1
2 1 2 1 2 1
( )(2 ) ( )(2 ) ( )(2 )b b c c a a
a a b b c c
+ +
+ + + + + +
Vì a, b, c dương và abc = 1 nên đặt
, ,
y z x
a b c
x y z
= = =
với x, y, z > 0
Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 184 Đường Lò Chum Thành Phố Thanh Hóa
3
Khi đó VT =
1 1 1
( 2 )( 2 ) ( 2 )( 2 ) ( 2 )( 2 )
y z z y z x x z x y y x

x x x x y y y y z z z z
+ +
+ + + + + +
=
2 2 2
( 2 )( 2 ) ( 2 )( 2 ) ( 2 )( 2 )
x y z
y z z y z x x z x y y x
+ +
+ + + + + +
Ta có
2 2 2 2 2
9
( 2 )( 2 ) 2 2 4 2( ) 5 ( )
2
y z z y yz y z yz y z yz y z+ + = + + + = + + ≤ +
Suy ra
2 2
2 2
2
( 2 )( 2 ) 9
x x
y z z y y z
≥
+ + +
(1)Tương tự có
2 2
2 2
2
( 2 )( 2 ) 9

y y
z x x z x z
≥
+ + +
(2);
2 2
2 2
2
( 2 )( 2 ) 9
z z
x y y x y x
≥
+ + +
(3)
Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được VT
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2
( )
9
x y z
y z x z y x
≥ + +
+ + +
Lại có
2 2 2
2 2 2 2 2 2
x y z
y z x z y x
+ +

+ + +
=
2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1
( )( ) 3x y z
y z x z y x
+ + + + −
+ + +
=
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 3
(( ) ( ) ( ))( ) 3 .9 3
2 2 2
x y y z z x
y z x z y x
+ + + + + + + − ≥ − =
+ + +
(BĐT Netbit) Suy ra VT
2 3 1
.
9 2 3
≥ =
(đpcm)
Câu 6a: 1. (1,0 điểm)
Câu 6a: 2.(1,0 điểm)Viết lại
x t
d y t
z t

1
1 1
1
1 2
: 1
2

= +

= − +


=

,
x t
d y t
z t
2
2 2
2
2
:
1 2

= +

=



= −

. (P) có VTPT
n (2;1;5)=
r
Gọi A = d ∩ d
1
, B = d ∩ d
2
. Giả sử:
A t t t
1 1 1
(1 2 ; 1 ;2 )+ − +
,
B t t t
2 2 2
((2 2 ; ;1 2 )+ −

⇒
AB t t t t t t
2 1 2 1 2 1
( 2 1; 1; 2 2 1)= − + − + − − +
uuur
.
d ⊥ (P) ⇔
AB n,
uuur
r
cùng phương ⇔
t t t t t t

2 1 2 1 2 1
2 1 1 2 2 1
2 1 5
− + − + − − +
= =
⇔
t
t
1
2
1
1

= −

= −


⇒ A(–1; –2; –2) ⇒ Phương trình đường thẳng d:
x y z1 2 2
2 1 5
+ + +
= =
.
Câu 7a: (1,0 điểm)
Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 184 Đường Lò Chum Thành Phố Thanh Hóa
4
Câu 6b: 1,(1,0 điểm)Tọa độ điểm N’ đối xứng với điểm N qua I là
5
' 3;

3
N
 
 ÷
 
Đường thẳng AB đi qua M, N’ có phương trình:
3 2 0x y− + =
Suy ra:
( )
3 9 2
4
,
10 10
IH d I AB
− +
= = =
Do
2AC BD=
nên
2IA IB=
. Đặt
0IB x= >
, ta có phương trình

2
2 2
1 1 5
2 2
4 8
x x

x x
+ = ⇔ = ⇔ =

Đặt
( )
,B x y
. Do
2IB =
và
B AB∈
nên tọa độ B là nghiệm của hệ:
( ) ( )
2 2
2
14
4 3
5 18 16 0
3 3 2
5
8 2
3 2
3 2 0
5
x
x
y y
x y
y
x y
x y

y

=


= >

− + =

− + − =
 
⇔ ⇔ ∨
   
=
= −
− + =





=


Do B có hoành độ nhỏ hơn 3
nên ta chọn
14 8
;
5 5
B

 
 ÷
 
.Vậy, phương trình đường chéo BD là:
7 18 0x y− − =
.
Câu 6b: 2.(1,0 điểm)Gọi (Q) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB ⇒ (Q):
3 0
+ − − =
x y z
Gọi d là giao tuyến của (P) và (Q) ⇒ d:
2
1
x
y t
z t
=


= +


=

M ∈ d ⇒
(2; 1; )+M t t

2
2 8 11⇒ = − +AM t t
, AB =

12
∆
MAB đều khi MA = MB = AB
2
4 18
2 8 1 0
2
±
⇔ − − = ⇔ =t t t

6 18 4 18
2; ;
2 2
 
± ±
⇒
 ÷
 
M
Câu 7b:(1,0 điểm)Xét đa thức:
2011 0 1 2 2 2011 2011
2011 2011 2011 2011
( ) (1 ) ( )f x x x x C C x C x C x= + = + + + +

0 1 2 2 3 2011 2012
2011 2011 2011 2011
.C x C x C x C x= + + + +
Ta có:
0 1 2 2 2011 2011
2011 2011 2011 2011

( ) 2 3 2012f x C C x C x C x
′
= + + + +
0 1 2 2011
2011 2011 2011 2011
(1) 2 3 2012 ( )f C C C C a
′
⇒ = + + + +
Mặt khác:
2011 2010 2010
( ) (1 ) 2011(1 ) . (1 ) (1 2012 )f x x x x x x
′
= + + + = + +

/ 2010
(1) 2013.2 ( )f b⇒ =
Từ (a) và (b) suy ra:
2010
2013.2 .S =
Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 184 Đường Lò Chum Thành Phố Thanh Hóa
5