Đề thi thử đại học môn Toán có lời giải chi tiết số 103

Thầy giáo: Lê Nguyên Thạch ĐT:01694838727
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ 102
Ngày 15 Tháng 6 Năm 2013
Câu I. (2,0 điểm) Cho hàm số
2 3
2
x
y
x
+
=
−
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Tìm m để đường thẳng
( )
: 2d y x m= +
cắt (C) tại hai điểm phân biệt sao cho tiếp tuyến của
(C) tại hai điểm đó song song với nhau.
Câu II. (2,0 điểm)
1. Giải phương trình
( )
2 2 3
sin cos 2 cos tan 1 2sin 0x x x x x+ − + =
.
2. Giải hệ phương trình
( )
3 2
2
3 9 3 1
9 2 3

x y x xy
x x y

+ − − =


+ − =


.
Câu III. (1,0 điểm) Tính tích phân
( )
2
3
4
2sin 3 cos
sin
x x x
dx
x
π
π
+ −
∫
.
Câu IV. (1,0 điểm) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có cạnh bên bằng a, đáy ABC là tam giác đều, hình
chiếu của A trên (A’B’C’) trùng với trọng tâm G của
∆
A’B’C’. Mặt phẳng (BB’C’C) tạo với
(A’B’C’) góc

0
60
. Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a.
Câu V. (1,0 điểm) Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn
2 2 2
4
3
x y z+ + =
. Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức:
( )
3
2P xy yz zx
x y z
= + + +
+ +
.
Câu VI. (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông cân tại A. Biết phương trình cạnh
BC là
( )
: 7 31 0d x y+ − =
, điểm N(7; 7) thuộc đường thẳng AC, điểm M(2; -3) thuộc AB và
nằm ngoài đoạn AB. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.
2. Trong không gian Oxyz cho điểm A(3; -2; -2) và mặt phẳng
( )
: 1 0P x y z− − + =
. Viết
phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A, vuông góc với mặt phẳng (P) biết rằng mặt phẳng
(Q) cắt hai trục Oy, Oz lần lượt tại điểm phân biệt M và N sao cho OM = ON.

Câu VII. (1,0 điểm) Gọi
1
z
và
2
z
là hai nghiệm phức của phương trình
( ) ( )
2
2 1 4 2 5 3 0i z i z i+ − − − − =
.
Tính
2 2
1 2
z z+
.
Hết
Họ và tên thí sinh:………………………… Số báo danh: ………………………………
Luyện thi Đại Họa 184 Đường Lò Chum Thành Phố Thanh Hóa1
Thầy giáo: Lê Nguyên Thạch ĐT:01694838727
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 102
Câu 1: 1, (1.0 điểm) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.* TXĐ: D = R\{2}.
*
( )
2
7
' 0
2
y
x

= − <
−
. Vậy hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. * Hàm số có tiệm cận đứng x =
2, tiệm cận ngang y = 2. * Bảng biến thiên Giao Ox:
3
0
2
y x
= ⇔ = −
. Giao Oy:
3
0
2
x y
= ⇒ =
.
Câu 1: 2,(1.0 điểm) Tìm m để đường thẳng …Phương trình hoành độ giao điểm:
( ) ( ) ( )
2
2 6 2 3 0 *
2 3
2
2
2
x m x m
x
x m
x
x


+ − − + =
+

= + ⇔

−
≠


(d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt và khác 2.
( )
( ) ( )
2
2
0
6 8 2 3 0 4 60 0
2 0
g
m m m m
g
∆ >


⇔ ⇔ − + + > ⇔ + + >

≠


(luôn đúng).
Với điều kiện trên giả sử đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm có hoành độ

1 2
x x
≠
. Ta có
1 2
6
2
m
x x
−
+ =
. Tại hai giao điểm kẻ hai tiếp tuyến song song khi và chỉ khi
( ) ( )
1 2 1 2
' ' 4y x y x x x
= ⇔ + =
2m
⇔ = −
.
Câu 2: 1, (1.0 điểm) Giải phương trình… Điều kiện
cos 0x
≠
( )
2 2 3
sin cos2 cos tan 1 2sin 0x x x x x
+ − + =

⇔
( )
2 2 3

sin 1 2sin 2sin 1 2sin 0x x x x
− + − + =
2
1 5
2sin sin 1 0 sin 1;sin 2 , 2 , 2
2 2 6 6
x x x x x k x k x k
π π π
π π π
⇔ + − = ⇔ = − = ⇔ = − + = + = +
.
Kết hợp điều kiện, phương trình có nghiệm
5
2 ; 2
6 6
S k k
π π
π π
 
= + +
 
 
Câu 2: 2, (1.0 điểm) Giải hệ phương trình…
( )
( )
( )
2
2
2
3 3 1

3 1
3 1
3 2 3 3
x x x y
x x
hpt
x y
x x x y

+ − =

+ =

⇔ ⇔
 
− =
+ + − =



hoặc
2
3 2
1
3
2
x x
x y

+ =



− =


Nếu
2
3 13
3 1
2
3 1
11 3 13
2
x
x x
x y
y

− +
=


+ =

⇔
 
− =
− +



=



hoặc
3 13
2
11 3 13
2
x
y

− −
=



− −

=


Nếu
2
3 17
3 2
2
1
3
10 3 17

2
2
x
x x
x y
y

− +

=
+ =

 
⇔
 
− =
− +
 
=



hoặc
3 17
2
10 3 17
2
x
y


− −
=



− −

=


Câu 3: 1,(1,0 điểm) Tính tích phân
( ) ( )
2 2 2
3 3 3
4 4 4
2sin 3 cos 2sin 3 cos
cos
sin sin sin
x x x x x
x x
I dx dx dx
x x x
π π π
π π π
+ − −
= = +
∫ ∫ ∫
2 2 2
2
2

1
3 2 2 2
4
4
4 4 4
cos 1 1 1 1 1 1 1 1
cot
sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 2 2 2 2
x x x
I dx xd dx x
x x x x
π π π
π
π
π
π
π π π
π π
   
= = − = − + = − − − =
 ÷  ÷
   
∫ ∫ ∫
Luyện thi Đại Họa 184 Đường Lò Chum Thành Phố Thanh Hóa2
Thầy giáo: Lê Nguyên Thạch ĐT:01694838727
( )
( )
2 2
2
3 3

4 4
2sin 3 cos
2sin 3 7
sin 2 2
sin sin 2
x x
x
I dx d x
x x
π π
π π
−
−
= = = −
∫ ∫
Vậy
1 2
2 2 3
= + = −
I I I
.
a
A'
C'
B'
C
B
A
M
H

M '
G
Câu 4:((1,0 điểm) Tính thể tích:
Gọi M,M’ lần lượt là trung điểm BC, B’C’
⇒
A’, G, M’ thẳng hàng và AA’M’M là hình bình hành .
A’M’
⊥
B’C’, AG
⊥
B’C’
⇒
B’C’
⊥
(AA’M’M)
⇒
góc giữa (BCC’B’) và (A’B’C’) là góc giữa A’M’ và
MM’ bằng
·
0
' 60M MA =
.
Đặt x = AB. Ta có
∆
ABC đều cạnh x có AM là đường cao.
⇒
3 3
' ', '
2 3
x x

AM A M A G
= = =
.
Trong
∆
AA’G vuông có AG = AA’sin60
0

=
3
2
a
;
0
3 3
' ' os60
2 3 2
a x a
A G AA c x
= = = ⇔ =
2 2
0 2
1 3 3 3 3 3
. .sin 60 ( )
2 4 4 2 16
ABC
x a a
S AB AC
∆
= = = =

2 3
. ' ' '
3 3 3 9
.
2 16 32
ABC A B C ABC
a a a
V AG S
∆
= = =
Câu 5(1,0 điểm)Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của…
Đặt
x y z t
+ + =

2 3
2
3
t
 
≤ ≤
 ÷
 ÷
 

( )
2
2 2 2 2
1 1 4
2 2 3

xy yz zx x y z x y z t
 
 
+ + = + + − − − = −
 ÷
 
 
nên
2
3 4
3
P t
t
= + −
. Xét hàm số
( )
2
3 4
3
f t t
t
= + −
xác định trên
2 3
;2
3
 
 
 
;

( )
3
2
3 3
' 2 0
2
f t t t
t
= − = ⇔ =
(loại).
( )
2 3 3 3 25
; 2
3 2 6
f f
 
= =
 ÷
 ÷
 
Vậy
3 3
min
2
P
=
khi
2 3
3
t

= ⇔
2 trong 3 số x, y, z bằng 0 số còn lại bằng
2 3
3
Vậy
25
max
6
P
=
khi
2t
= ⇔

2
3
x y z
= = =
.
Câu 6: 1,(1.0 điểm) Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC
Đường thẳng AB đi qua M nên có phương trình
( ) ( )
2 3 0a x b y
− + + =
( )
2 2
0a b
+ ≠
Luyện thi Đại Họa 184 Đường Lò Chum Thành Phố Thanh Hóa3
Thầy giáo: Lê Nguyên Thạch ĐT:01694838727

( )
·
0
; 45AB BC
=
nên
0
2 2
3 4
7
cos45
4 3
50
a b
a b
a b
a b
=
+

= ⇔

= −
+

.
Nếu 3a = 4b, chọn a = 4, b = 3 ta được
( )
: 4 3 1 0AB x y
+ + =

.
( )
:3 4 7 0AC x y
− + =
.
Từ đó A(-1; 1) và B(-4; 5). Kiểm tra
2MB MA
=
uuur uuur
nên M nằm ngoài đoạn AB (TM).
Từ đó tìm được C(3; 4) Nếu 4a = -3b, chọn a = 3, b = -4 được
( )
:3 4 18 0AB x y
− − =
,
( )
: 4 3 49 0AC x y
+ − =
. Từ đó A(10; 3) và B(10;3) (loại)
Nếu không kiểm tra M nằm ngoài AB trừ 0.25 điểm.
Câu 6: 2, (1.0 điểm) Viết phương trình mặt phẳng….
Giả sử
Q
n
r
là một vecto pháp tuyến của (Q). Khi đó
( )
1; 1; 1
Q P
n n⊥ − −

uur uur
Mặt phẳng (Q) cắt hai trục Oy và Oz tại
( ) ( )
0; ;0 , 0;0;M a N b
phân biệt sao cho OM = ON nên
0
0
a b
a b
a b
= ≠

= ⇔

= − ≠

Nếu a = b thì
( ) ( )
0; ; // 0; 1;1MN a a u= − −
uuuur r
và
Q
n u
⊥
uur r
nên
( )
, 2;1;1
Q P
n u n

 
= =
 
uur r uur
.
Khi đó mặt phẳng (Q):
2 2 0x y z
+ + − =
và
( )
Q
cắt Oy, Oz tại
( )
0;2;0M
và
( )
0;0;2N
(thỏa mãn)
Nếu a = - b thì
( ) ( )
0; ; // 0;1;1MN a a u= − −
uuuur r
và
Q
n u
⊥
uur r
nên
( )
, 0;1; 1

Q P
n u n
 
= = −
 
uur r uur
.
Khi đó mặt phẳng (Q):
0y z
− =

( )
Q
cắt Oy, Oz tại
( )
0;0;0M
và
( )
0;0;0N
(loại).
Vậy
( )
: 2 2 0Q x y z
+ + − =
.
Câu 7(1,0 điểm) Tính
2 2
1 2
z z
+

Có
( ) ( ) ( )
2
' 4 2 2 1 5 3 16i i i
∆ = − + + + =
. Vậy phương trình có hai nghiệm phức
1 2
3 5 1 1
,
2 2 2 2
z i z i
= − = − −
Do đó
2 2
1 2
9z z
+ =
.
Luyện thi Đại Họa 184 Đường Lò Chum Thành Phố Thanh Hóa4