Đề thi thử đại học môn Toán có lời giải chi tiết số 105

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch ĐT:01694838727
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ 105
Ngày 18 tháng 6 Năm 2013
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = - x
3
+ 3x
2
- 1.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Tìm trên đường thẳng (d): y = 3 các điểm mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt đến (C).
Câu II (2,0 điểm) Giải các phương trình, hệ phương trình:
1.
( )
2 2
3cot 2 2 sin 2 3 2 cos
0
2sin 3
x x x
x
+ − +
=
+
.
2.
( )
( )
( ) ( )
2 2
4 4 2 2 2 2
15

, ,
85
x y x y xy
x y
x y x y x y

+ + =

∈

+ + =


¡
.
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân I =
2
3
2
2
1
ln
1
e
x
I x dx
x
−
=
+

∫
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Các mặt bên (SAB), (SAD)
cùng vuông góc với mặt đáy, hai mặt bên còn lại cùng tạo với mặt đáy một góc 60
0
. Gọi M, N
lần lượt là trung điểm của AD và CD, biết MN =
2
2
a
. Tính thể tích của khối tứ diện MNBS
và khoảng cách giữa hai đường thẳng BM và SN theo a.
Câu V (1,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn: ab + bc + ca ≤ 3abc.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =
3 3 3
a b c
a b c
+ +
+ +
.
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x
2
+ y
2
- 6x - 2y + 1 = 0. Viết phương trình đường
thẳng (d) đi qua M(0; 2) và cắt (C) theo một dây cung có độ dài bằng 4.
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(1; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 3). Viết phương trình mặt phẳng (P)
đi qua O, C sao cho khoảng cách từ A đến (P) bằng khoảng cách từ B đến (P).

Câu VII.a (1,0 điểm) Khai triển P(x) = (x - 2)
2013
thành dạng
2 2013
0 1 2 2013
P a a x a x a x= + + + +
Tính hệ số a
2011
và tính S = a
1
+2a
2
+3a
3
+…+2013a
2013

B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho parabol y = x
2
- 3x + 2 và điểm M(4; 6). Viết phương trình đường
tròn có tâm nằm trên trục hoành và tiếp xúc với parabol tại M.
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm M(3; 0; 0), N(0; 0; 1). Viết phương trình mặt
phẳng (P) đi qua M, N và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc 60
0
.
Câu VII.b (1,0 điểm) Từ các chữ số 0, 1, 2, 6, 7, 8, 9 lập được tất cả bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số khác nhau
và lớn hơn 5000.
Hết

1
Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch ĐT:01694838727
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 105
Câu I (2,0 điểm) 1, * Tập xác định: R
* Sự biến thiên: − Chiều biến thiên:
/ 2 /
3 6 , 0 0, 2y x x y x x= − + = ⇔ = =
. Hàm số đồng biến trên
khoảng(0;2) nghịch biến trên các khoảng
( ,0)−∞
và
(2, )+∞
− Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, y
CT
=0 và cực đại tại x = 2, y
CĐ
=3
− Giới hạn:
lim , lim
x x→−∞ →+∞
= +∞ = −∞
− Bảng biến thiên:
- Đồ thị :Đồ thị đi qua các điểm (-1;3), (3;-1) và nhận I(1;1) làm tâm đối
xứng.
2, Gọi điểm M(m; 3)
( )
d∈
,y=3. Phương trình tiếp tuyến của (
)C
qua M và có dạng :

( )
:∆
y = k ( x - m) + 3.
Hoành độ tiếp điểm của (C) và
( )∆
là nghiệm của hệ:
( ) ( )
( )
3 2
2
3 1 3, 1
3 6 , 2
x x k x m
x x k

− + − = − +


− + =


Thay k từ (2) vào (1) ta có phương trình: (x -2)[2x
2
+ (1 -3m)x + 2] = 0 (3)
⇔
( ) ( ) ( )
2
2
2 1 3 2 0, 4
x

g x x m x
=


= + − + =

Từ M kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt đến (C)
⇔
phương trình (3)
có 3 nghiệm phân biệt
⇔
Phương trình (4) có 2 nghiệm phân biệt khác 2.
⇔
( )
2
1
0
9 6 15 0
5
2
2 0 12 6 0
3
g
m
m m
m
g m
< −

∆ >



− − >
 
⇔ ⇔
  
≠ >
≠ − ≠





Câu II (2,0 điểm) 1, Điều kiện: cosx ≠ 0,
3
sin
2
x ≠ −

Khi đó pt đã cho
( ) ( )
2 2
3cot 3 2 cos 2 2 sin 2cos 0x x x x⇔ − + − =
( )
( )
( )
2 2 2
2
cos
3cos 2 2 2 sin cos 0 3cos 2sin 2 sin cos 0

sin
x
x x x x x x x
x
 
⇔ − + − = ⇔ − − =
 ÷
 
2 2
)cos 2 sin 0 2 cos cos 2 0x x x x+ − = ⇔ + − =

⇔
( )
1
cos 2 ,cos 2
4
2
x L x x k
π
π
= − = ⇔ = ± +

2 2
) 3cos 2sin 0 2cos 3cos 2 0x x x x+ − = ⇔ + − =

⇔
2
Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch ĐT:01694838727
( )
1

cos 2 ,cos 2
2 3
x L x x k
π
π
= − = ⇔ = ± +
.
Đối chiếu với đ/k bài toán thì pt chỉ có 3 họ nghiệm:.
2 , 2 ,
4 3
x k x k k
π π
π π
= ± + = + ∈¢
2, Ta thấy (x, y) = (0, 0) là một nghiệm và hệ không có nghiệm:
0
0
x
y
=


≠

hoặc
0
0
y
x
=



≠

Hệ đã cho
( )
( )
( )
( )
2
2 2
2
2 2
2 2
15
15
85 2 2 85
x y
x y
x y
x y
y x
y x
x y x y
x y x y xy
y x y x

 

 

+ + =

+ + =  ÷

 ÷
 

 

⇔ ⇔
 
 
 
 
 
 
+ + = + − + − =
 
 ÷
 ÷
 
 
 
 
 

 

Đặt:
,

x y
u v x y
y x
= + = +
suy ra (x + y)
2
- 2xy = uxy
⇔
xy =
2
2
v
u +
( vì u
≠
- 2)
Thay xy vào hệ trên ta có :
( )
2
2
2
15
15
14 17 45 0
2 85
2
uv
uv
uv
u u

u
u
=

=


⇔
 
− − =
− =


+

. Từ đó:
a)
5
5
2 4
6
,
2
4 2
6
6
x y
x x
u
y x

y y
v
x y


+ =
= =
=
 
 
⇔ ⇔
   
= =
 
 
=
+ =


b)
9
9
7
7
35
35
3
3
x y
u

y x
v
x y


+ = −
= −


 
⇔
 
 
= −
+ = −




Hệ b) vô nghiệm. Tóm lại hệ có 3 nghiệm (0, 0); ( 2, 4); (4, 2).
Câu III (1,0 điểm) Tính I =
2
3
2
2
1
ln
1
e
x

x dx
x
−
+
∫
. Đặt
2
2
3
1
ln
1
x
u
x
dv x dx

−
=

+


=

ta có
4
4
4
1

1
4
x
du dx
x
x
v

=


−

−

=



I =
4 2 4 2 2 4 2 2
2 2 2
2 2
2
1 1 1 1 1 1 3
ln | ln | ln ln 3 1
4 1 4 1 2 4 1 4 2
e
e e
x x e e x e e e

xdx
x e e
− − − − − −
− = − = + − +
+ + +
∫
Câu IV (1,0 điểm) Hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy suy ra
SA
⊥
(ABCD). (1) mà AB là hình chiếu của SB trên mp(ABCD) nên BC
⊥
SB (2). Từ (1) và (2) suy ra
∠
SBA = 60
0
. Tương tự
∠
SDA = 60
0
.Ta có SA = AB.tan60
0
= a
3
, AC = 2MN = a
2
nên AB = BC = a.
BMN ABCD ABM BCN DMN
S S S S S= − − −
=
3

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch ĐT:01694838727
2
3
8
a
.
3
1 3
.
3 8
MNBS BMN
a
V SA S= =
Gọi K là giao điểm của AN và BM . Ta có:
∆
ABM =
∆
DAN (c.g.c) nên
BM
⊥
AN, mặt khác BM
⊥
SA suy ra BM
⊥
(SAN) . Gọi L là hình chiếu của K trên SN, ta có KL là
đường vuông góc chung của BM và SN. Ta có :
∆
NKL
:

∆
NSA (g.g.) nên
KL NK
SA NS
=
.
2 2
17
2
NS SA NA a= + =
. Mặt khác
∆
KAM
:

∆
DAN (g.g.) nên ta có:
KN AM
AD AN
=
suy ra
. 5
5
AD AM
AK a
AN
= =
, NK = NA - AK =
3 5
10

a
. Từ đó suy ra
. 3
3
85
SA NK
KL a
NS
= =
.
Câu V (1,0 điểm) Ta có:
1 1 1
3 3ab bc ca abc
a b c
+ + ≤ ⇔ + + ≤
Đặt
1 1 1
, ,x y z
a b c
= = =
suy ra x > 0, y > 0, z > 0, 0 < x + y + z
3≤
(1) P =
( )
3 3 3
3 3
, 2
a b c abc
a b c a b c xy yz zx
+ +

≥ =
+ + + + + +

Mặt khác ta có: x
2
+ y
2
+ z
2

xy yz zx≥ + +

2
( ) 3( )x y z xy yz zx⇔ + + ≥ + +
( )
2
3
x y z
xy yz zx
+ +
+ + ≤
. Kết hợp (1) suy ra 0 < xy + yz + zx
3≤
thay vào (2)
Ta có P
1≥
. Vậy GTNN của P = 1, xảy ra khi a = b = c = 1.
Câu VI.a (2,0 điểm)
1, Đường thẳng
∆

qua M(0;2) có dạng:
( ) ( )
( )
2 2
: ax 2 0, 0b y a b∆ + − = + >
.Giả sử
∆
cắt
( )
C
tại Avà B
Gọi H là trung điểm của AB ta có
2 2
5IH IA AH= − =
Suy ra
( )
,d I IH∆ =
hay
2 2
3
5
a b
a b
−
=
+
Do đó
( ) ( )
2 2 0a b a b− = =
Khi a=2b chọn a=2,b=1 ta có

( )
: 2 2 0x y∆ + − =
Khi 2a+b=0 chọn a=1,b=-2 ta có
( )
: 2 4 0x y∆ − + =
2, Do (P) cách đều A và B nên hoặc (P)//AB hoặc (P) đi qua trung điểm
.AB
Khi (P)//AB ta có (P) đi qua O và nhận
( )
, 6;3;0n AB OC
 
= = −
 
r uuur uuur
làm vectơ pháp tuyến nên (P):
2x-y=0
Khi (P) đi qua trung điểm
1
;1;0
2
I
 
=
 ÷
 
của AB ta có (P) đi qua O và nhận
3
, 3; ;0
2
n IC OC

 
 
= =
 ÷
 
 
r uur uuur

làm vectơ pháp tuyến nên (P):2x+y=0
Câu VII.a (1,0 điểm) Ta có
( ) ( ) ( )
2013
2013 2013
2013
2013 0 1 2013
0
2 2
i
i i
i
P x x C x a a x a x
−
=
= − = − = + + +
∑
Do đó
( )
2
2011 2
2011 2013 2013

2 4 8100312a C C= − = =
Ta có
( ) ( )
2012
/ 2012
1 2 2013
2013 2 2 2013P x x a a x a x= − = + + +
Cho x=1 ta có S=2013
Câu VI.b (2,0 điểm)
4
Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch ĐT:01694838727
1, Tiếp tuyến
∆
của P tại M có phương trình
:5 14 0x y∆ − − =
Giả sử I(i;0) Do (I) tiếp xúc với (P)
tại M nên
. 0MI u
∆
=
uuur uur
Suy ra i=34 Ta có R=MI=
936
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là
( )
2
2
34 936x y− + =

2, Giả sử (P):ax+by+cz+d=0 (a

2
+b
2
+c
2
>0) . Ta có M,N
( )
P∈
nên
3 0 3
0 3
a d d a
c d c a
+ = = −
 
⇒
 
+ = =
 
Vậy (P): ax+by+3az-3a=0 (10a
2
+b
2
>0).
Ta có
( ) ( )
Ox
0;0;1 , ; ;3
y
P

n n a b a= =
r uur
Từ đó:
0 2 2
2 2
3
1
cos60 26
2
10
a
b a
a b
= = ⇒ =
+
Khi
26b a=
chọn
1, 26a b= =
ta có
( )
: 26 3 3 0P x y z+ + − =
Khi
26b a= −
chọn
1, 26a b= = −
ta có
( )
: 26 3 3 0P x y z− + − =
Câu VII.b (1,0 điểm)

Gọi n =
1 2 3 4
a a a a
là số cần tìm, n > 5000 nên
{ }
1
6,7,8,9a ∈
, n chẵn nên
{ }
4
0,2,6,8a ∈
Nếu
1
6a =
thì
2 3 4
6n a a a=
,
4
a
có 3 cách chọn,
2
a
có 5 cách chọn,
3
a
có 4 cách chọn. Vậy có 5.4.3 = 60 số.
Nếu
1
7a =

thì
2 3 4
7n a a a=
,
4
a
có 4 cách chọn,
2
a
có 5 cách chọn,
3
a
có 4 cách chọn. Vậy có 5.4.4 = 80 số.
Khi
1
8a =
giống như
1
6a =
và
1
9a =
giống như
1
7a =
.Vậy có tất cả 60.2 +80.2 = 280 số.
5