Đề thi học sinh giỏi lớp 12 cấp tỉnh môn Toán bảng B ngày 2

Họ và tên thí sinh:…………………… ………… Chữ ký giám thị 1:
Số báo danh:…………………………… ……… …………….………………
SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 VÒNG TỈNH
NĂM HỌC 2011 - 2012

* Môn thi: TOÁN (BẢNG B)


* Ngày thi: 06/11/2011
* Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)

ĐỀ

Câu 1 (6 điểm):
Chứng minh rằng
(
)
2012 2012 2012
26 23 4 1 594A =+−−# .

Câu 2 (7 điểm):
Cho phương trình:
22
(2cos 1) 6cos os 1 0 (1)xxc
ααα
−−+−−=
.
a) Tìm
α
để phương trình (1) có hai nghiệm

12
,
x
x .
b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
22
12
Ax x
=
+
.

Câu 3 (7 điểm):
Trên các cạnh
BC và CD của hình vuông ABCD lấy các điểm M và K tương
ứng sao cho
n
n
B
AM MAK= . Chứng minh rằng BM + KD = AK.

Hết
(Gồm 01 trang)
CHÍNH THỨC
1 Bảng B – Ngày 2
SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 VÒNG TỈNH
NĂM HỌC 2011 - 2012

* Môn thi: TOÁN (BẢNG B)

* Ngày thi: 06/11/2011
* Thời gian: 180 phút
(Không kể thời gian giao đề)

HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu 1 (6 điểm):

(
)
2012 2012 2012
26 23 4 1 594A =+−−#
Ta có
(
)
(
)
2012
26 1 26 1−+# ( 0,5đ )

()
2012
26 1 27⇒−# ( 0,5đ )
và
(
)
(
)
2012 2012

23 4 23 4−+# ( 0,5đ )

(
)
2012 2012
23 4 27⇒−# ( 0,5đ )
nên
27A# ( 0,5đ )

Mặt khác
(
)
(
)
2012 2012
26 4 26 4−−# ( 0,5đ )

()
2012 2012
26 4 22⇒−# ( 0,5đ )
và
(
)
(
)
2012
23 1 23 1−−#
( 0,5đ )

(

)
2012
23 1 22⇒−# ( 0,5đ )
Do đó
22
A
# ( 0,5đ )
Mà
()
27, 22 1= ( 0,5đ )
nên
()
27.22A#
hay 594A# ( 0,5đ )

Câu 2 (7 điểm):
22
(2cos 1) 6cos os 1 0 (1)xxc
ααα
−−+−−=

a) Phương trình (1) có hai nghiệm
12
,
x
x khi và chỉ khi 0
Δ
≥
22
(2cos 1) 4(6cos cos 1) 0

ααα
⇔−− −−≥ (1,0đ)
2
11
20cos 5 0 os
22
c
αα
⇔− + ≥ ⇔− ≤ ≤ (1,0đ)
2
22
33
,(2)
45
22
33
kk
k
kk
ππ
πα π
ππ
πα π
⎡
+≤≤+
⎢
⇔∈
⎢
⎢
+≤≤+

⎢
⎣
Z
(1,0đ)

b) Ta có:
22 2
12 12 12
()2.
A
xx xx xx=+=+ −

Với
α
thỏa (2), theo định lí Vi-ét, ta có:
12
2
12
2cos 1
.6cos os1
xx
xx c
α
αα
+= −
⎧
⎨
=
−−
⎩

(1,0đ)
Vậy
22 2
(2 cos 1) 2(6 cos os 1) 8cos 2cos 3Ac
ααααα
=−− −−=−−+
(Gồm 02 trang)
CHÍNH THỨC
2 Bảng B – Ngày 2
Đặt
cost
α
=
,
11
22
t
−≤≤
thì
2
823
A
tt
=
−−+
.
Xét hàm số
2
() 8 2 3
f

ttt=− − + , ta có
1
() 16 2; () 0
8
ft t ft t
′′
=
−− =⇔=−
(1,0đ)
BBT
t
1
2
−

1
8
−

1
2
()
f
t
′

+ 0 -


()

f
t

25
8



2 0

Dựa vào BBT ta có:
11
;
22
125 1 1
max max ( ) ( ) ; cos os
88 8 8
Aftf t c
α
β
⎡⎤
−
⎢⎥
⎣⎦
= =−= =−⇔ =−=−
11
;
22
11 1
min min ( ) ( ) 0; cos 2

22 2 3
A
ft f t k
π
α
απ
⎡⎤
−
⎢⎥
⎣⎦
====⇔=⇔=±+ (1,0đ)

Câu 3 (7 điểm):







Xét phép quay
()
0
,90
:
A
Q
−

A 6 A (0,5đ)

B6 D (0,5đ)
C
6 C’ (0,5đ)
D
6
D’ (0,5đ)
M
6
M’
∈
DC’ (0,5đ)
K
6 K’
∈
C’D’ (0,5đ)
Theo tính chất phép quay ta có:
n
n
'
B
MA DM A
=
(0,5đ)
Vì
n
n
n
'
M

AK MAB M AD== nên
n
n
'
M
AD M AK
=
. (1,0đ)
Do đó:
n
n
n
n
''
M
AK MAD BMA DM A=== (1,0đ)
Tức là:
'
A
KMΔ
cân tại K. (0,5đ)
Từ đó: KM’=KD+DM’=KD+BM. (1,0đ)

Hết
(1,0đ)
D'
C'
K'
M'
K

M
B
C
D
A