Tập đề thi HSG lớp 10 tỉnh Nghệ An từ năm học 1992 1993 đến 2003 2004 môn vật lý

Tuyển tập đề thi HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán lớp 10(Tù 1992-1992 tới 2003-2004)
Đề số 1 (Năm học 1992-1993)
Bài 1: Cho a, b, c, d nguyên, thoả mãn hệ thức:



=+
+=+
cd1ab
dcba
Chứng minh rằng: c = d.
Bài 2: Chứng minh:
( ) ( ) ( )
2
2
2
2
2
2
1x2dcxxbaxx ++++++
Với mọi a, b, c, d thoả mãn điều kiện
1dcba
2222
=+++
.
Bài 3: Cho
1021
a, a,a
là các số thực dơng. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
( )
92110

2
10
2
2
2
1
a aaa
a aa
P
+++
+++
=
.
Bài 4: Trong mặt phẳng toạ độ, cho các điểm A(-2; -1), B(2; -4).
a) Tìm điểm C trên Ox sao cho các véc tơ
CB,OA
cùng phơng?
b) Tìm trên đờng thẳng x = 1 điểm M sao cho
0
45MBA =
.
Đề số 2 (Năm học 1993-1994)
Bài 1: Cho phơng trình:
k5xx4 =++
.
a) Giải phơng trình với k = 3.
b) Tìm các giá trị của k để phơng trình có nghiệm duy nhất.
Bài 2: Xác định các số thực a, b thoả mãn các điều kiện sau:
i) Hai phơng trình
01axx

2
=++
và
02bxx
2
=++
có một nghiệm chung.
ii) Tổng
ba +
nhỏ nhất.
Bài 3: Tìm nghiệm hữu tỷ của phơng trình:
05x2x3y
22
=+
Bài 4: Cho tam giác ABC: A(-1; 2), B(2; 1), C(-3;-3).
a) Xác định toạ độ điểm M thỏa mãn:
0MC4MB3MA2 =+
.
b) Tìm tập hợp điểm N sao cho:
222
NC2NBNA =+
.
Đề số 3 (Năm học 1994 1995)
Bài 1: a) Chứng minh:
( )
71923
189019451930
592

+

b) Đơn giản biểu thức:
xsin1
xsin1
.
xcos1
xcos1
xcos1
xcos.xsin
A

+

+
+
=

(với
00
180x0 <<
)
Bài 2: Cho hàm số
1x68x1x2x)x(f ++=
a) Tìm tập xác định D của hàm số.
b) Tìm các giá trị xD sao cho f(x) là hằng số.
Tuyển tập đề thi HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán lớp 10(Tù 1992-1992 tới 2003-2004)
Bài 3: a) cho tam giác ABC có các cạnh a, b, c. Tìm phơng tích của trọng tâm G của tam giác
đối với đờng tròn ngoại tiếp tam giác ấy.
b) Giả sử đờng tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CA lần lợt tại
M, N, P thoả mãn
0CMBPAN =++

. Chứng minh tam giác ABC đều.
Đề số 4 (Năm học 1995-1996)
Bài 1: Giải hệ phơng trình sau với các ẩn số x, y, z:





=++
=++
=++
8zyx
6zyx
2zyx
333
222
Bài 2: a) Cho
1cbaRc,b,a =++
+
và
. Chứng minh rằng:
6accbba +++++
b) Gọi
21
x,x
là nghiệm của hệ:

>
=+
=
0,
1xx
0xx
21
21
Chứng minh rằng:
4
1
x.x
21

Bài 3: Cho tam giác ABC.
a) Tìm tập hợp các điểm I thoả mãn hệ thức:
0IC6IB3IA =+
.
b) Cho 2 điểm E và F di động trong mặt phẳng thoả mãn điều kiện:
EC2EBEA
3
1
EF +=
.
Tìm bao hình của đờng thẳng EF.
Bài 4: Cho đờng tròn tâm O bán kính R và một điểm K cố định nằm trong đờng tròn với OK =
k 0. Qua điểm K dựng dây cung AB nào đó. Hãy xác định vị trí dây cung AB trong mỗi tr ờng
hợp sau:
a) Tổng

22
KBKA +
đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị đó.
b) Tổng
22
KBKA +
đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị đó.
Đề số 5 (Năm học 1996-1997)
Bài 1: Giải hệ phơng trình:








=
+


=
+
+
+
0
yx
x3y
y
3

yx
y3x
x
22
22
Tuyển tập đề thi HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán lớp 10(Tù 1992-1992 tới 2003-2004)
Bài 2: Chứng minh bất đẳng thức:
1n,n;2
n
n
1
n
n
1
n
n
n
n
><++ Z
.
Bài 3: Chứng minh rằng diện tích tam giác ABC có thể tính theo công thức:
( )( ) ( )( )
BABCBCBA
yyxxyyxx
2
1
S =
.
Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đờng tròn (O;R). M là điểm chuyển động trên O. Tìm
vị trí của điểm M để biểu thức:

222
MC3MB2MAT +=
đạt giá trị bé nhất, đạt giá
trị lớn nhất. Tính các giá trị đó.
Đề số 6 (Năm học 1997 1998)
Bài 1: a) Cho
{ } { }
43x/RxB;32x/RxA =<+=
.
Tìm
BA;BA
?
b) Cho tập hợp 6 điểm trên mặt phẳng
{ }
654321
A;A;A;A;A;A
trong đó không có 3
điểm nào thẳng hàng. Mỗi đoạn
ji
AA
nối 2 trong 6 điểm đó đợc tô bằng màu đỏ hoặc
xanh. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một tam giác
kji
AAA
có 3 cạnh đồng màu.
Bài 2: Cho phơng trình:
01mx4x
2
=+++
a) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm âm.

b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
21
xx <
thoả mãn:
7
x
x
x
x
2
1
2
2
2
2
2
1
+
c) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
53
)x2(x)x(f =
trên [0; 2].
Bài 3: a) Cho ABC. Chứng minh:
Asin
Ccos
Csin
Bcos
Bsin
Acos
CgcotBgcotAgcot

3
3
3
3
3
3
333
++++
b) Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A, B. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB
dựng 2 hình vuông AMNP và MBQR. Chứng minh:
BNAR
.
Đề số 7 (Năm học 1998 1999)
Bảng A
Bài 1: Chứng minh rằng nếu phơng trình:
( ) ( ) ( )
2
222
cbyaxyx =+++++
có nghiệm thì
bất đẳng thức sau đúng:
( )
2
2
bac3 +
.
Bài 2: Cho hàm số:
**
:f
+

QN
thoả mãn điều kiện:
a)
2)1(f =
, và
b)
1n)n(fn)n(f )2(f)1(f
2
>=+++
.
Hãy tìm công thức đơn giản của
)n(f
?
Tuyển tập đề thi HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán lớp 10(Tù 1992-1992 tới 2003-2004)
Bài 3: Giải phơng trình:
20xx1x59x14x5
22
++=++
.
Bài 4: a) Cho n véc tơ
n21
a, ,a,a
đôi một không cộng tuyến. Trong đó tổng (n-1) véc tơ bất
trong n véc tơ cộng tuyến với véc tơ còn lại.
Chứng minh rằng:
0a aaa
n21
=+++=
.
(Hai véc tơ cộng tuyến là 2 véc tơ nằm trên hai đờng thẳng song song hoặc trùng nhau).

b) Cho ABC, AM và BN là hai trung tuyến. Chứng minh rằng:
tgB
1
tgA
1
tgC
2
BNAM +=
.
Đề số 8 (Năm học 1998-1999)
Bảng B
Bài 1: Cho x, y là các số thực thoả mãn: x, y > 0; x+y 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
xy4
xy
2
yx
1
P
22
++
+
=
.
Bài 2: (Bài 2 bảng A).
Bài 3: Giải phơng trình:
21xx1xx
2
4
2

=++
.
Bài 4: a) Cho O là điểm bất kỳ trong ABC. Chứng minh:
0OC.SOB.SOA.S
AOBAOCBOC
=++
b) Cho ABC (BC=a, CA=b, AB=c).
Chứng minh rằng: Nếu a+b <3c thì:
2
1
2
B
tg.
2
A
tg <
.
Đề số 9 (Năm học 1999-2000)
Bài 1: Cho
)3,2,1i(,b,a
ii
= R
.
a) Chứng minh rằng:
( )( )
( )
2
332211
2
3

2
2
2
1
2
3
2
2
2
1
babababbbaaa ++++++
b) Giả sử
.4aaaaaa
133221
=++
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
4
3
4
2
4
1
aaaP ++=
.
Bài 2: a) Giải hệ phơng trình:

=
+
=
+
=
+
3
zy
yz
2
zx
xz
1
yx
xy
b) Tìm tất cả các số nguyên x, y, z thoả mãn phơng trình:
0z9y3x
333
=
Tuyển tập đề thi HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán lớp 10(Tù 1992-1992 tới 2003-2004)
Bài 3: a) Cho
0b,0a
.
Chứng minh rằng:
( )
b,acos.b.ab.a =

b) Chứng minh rằng trong tam giác ABC có các trung tuyến ứng với các cạnh AB và BC
vuông góc thì
5
4
Bcos
.
c) Cho ABC không cân, đờng tròn tâm O nội tiếp trong tam giác ABC tiếp xúc với các
cạnh BC, CA, AB tơng ứng ở A
1
, B
1
, C
1
. Gọi M là giao điểm của BC và B
1
C
1
. Chứng
minh rằng: MO vuông góc với AA
1
.
Đề số 10 (Năm học 2000-2001)
Bài 1: a) Tìm giá trị của m để phơng trình:
0m1mxx
22
=++

có nghiệm
]1;1[x
.

b) Cho hệ phơng trình:










=++
=++
=++
=++

1n
2
n
n1n
2
1n
32
2
2
21
2
1
xcbxax
xcbxax

xcbxax
xcbxax
Tìm điều kiện đối với a, b, c để hệ trên:
- vô nghiệm.
- có nghiệm duy nhất.
Bài 2: Tìm tất cả các cặp số nguyên không âm (a;b) để phơng trình
0baabxx
2
=++
có nghiệm nguyên.
Bài 3: a) Cho ABC và 3 điểm A, B, C là trung điểm các cạnh BC, CA, AB.
Tính giá trị biểu thức
'CC.AB'BB.CA'AA.BCS ++=
b) Cho ABC có AB = 3, BC = 5, AC = 7 và AD, CE là phân giác trong cắt nhau tại P.
Tính AP.
Bài 4: a) Tìm điểm M trong ABC để MA+MB+MC nhỏ nhất.
b) Xét tứ giác lồi ABCD có độ dài đờng chéo AC, BD cho trớc và góc giữa hai đờng chéo
đó có độ lớn đã cho. Hãy xác định tứ giác có chu vi nhỏ nhất.
Đề số 11 (Năm học 2001-2002)
Bảng A
Bài 1: a) Dùng lý thuyết mệnh đề để chứng minh nhận định sau là sai: Mọi hình tứ giác đều
có một đờng tròn ngoại tiếp nó.
b) Giải phơng trình:
03x24x4x
24
=+
.
Bài 2: a) Cho x, y, z không âm thoả mãn:
4xyzzxyzxy =+++

. Chứng minh rằng:
Tuyển tập đề thi HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán lớp 10(Tù 1992-1992 tới 2003-2004)
zxyzxyzyx ++++
b)Tìm tất cả các đa thức P(x) thoả mãn:
)x(P)2002x()1x(xP =
.
Bài 3: a) Cho ABC, O là điểm sao cho
0OCOBOA

=++
. Đờng thẳng () cắt các đờng
thẳng OA, OB, OC lần lợt tại A, B, C. Chứng minh rằng:
0
'OC
OC
'OB
OB
'OA
OA
=++
b) Cho ABC, ta vẽ các đờng phân giác trong. Giao điểm A, B, C của chúng với các
cạnh đối diện tạo thành ABC.
Chứng minh rằng:
( )( )( )
accbba
abc2
)ABC(S
)'C'B'A(S
+++
=

(S là diện tích tam giác và a, b, c là độ dài các cạnh).
Đề số 12 (Năm học 2001-2002). Bảng B
Bài 1: (Bài 1 của bảng A)
Bài 2: a) Với giá trị nào của k thì hệ sau có nghiệm:



<+
<+
04kx
06x5x
2
b) Bài 2a) bảng A.
Bài 3: Cho ABC, O là điểm sao cho
0OCOBOA

=++
.
a) Chứng minh O là trọng tâm ABC.
b) Gọi AA, BB, CC là các trung tuyến của tam giác, O là trọng tâm và a, b, c là độ dài
3 cạnh. Chứng minh rằng:
6
cba
MO3MC.MB'MA.MA2
222
2
++
=+
Đề số 13 (Năm học 2002-2003)
Bảng A

Bài 1: a) Chứng minh rằng trong một tam giác bất kỳ ABC có cạnh là a, b, c thì:
3
a
c
c
b
b
a
++
.
b) Giả sử phân giác của góc A cắt BC tại Y, phân giác của góc B cắt AC tại Z, phân giác
của góc C cắt AB tại X. Chứng minh rằng:

3
ZA
CZ
YC
BY
XB
AX
++
.
Bài 2: a) Cho a, b, c, x, y, z là các số thực thoả mãn:
;36zyx;25cba
222222
=++=++
30czbyax =++
. Hãy tính giá trị biểu thức:
zyx
cba

P
++
++
=
.
b) Cho hai phơng trình
0a2x3x
2
=++
và
0a5x6x
2
=++

Tuyển tập đề thi HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán lớp 10(Tù 1992-1992 tới 2003-2004)
Tìm tất cả các giá trị của a để mỗi phơng trình đều có 2 nghiệm phân biệt và giữa 2 nghiệm của
phơng trình này có đúng một nghiệm của phơng trình kia.
Câu 3: a) Cho 2 điểm A, B cố định với AB = a. Tìm tập hợp những điểm P thoả mãn
222
kPBPA =
(k là số thực không âm).
b) Xét hình chữ nhật ABCD và điểm M di động trên BC. Phân giác góc DAM cắt BC tại N. Hãy
xác định vị trí của M để
MN
AN
đạt giá trị nhỏ nhất.
Đề số 14 (Năm học 2002-2003)
Bảng B:
Bài 1: a) Bài 1a - Bảng A.
b) Cho a, b, c >0 và a + b + c = 1. Chứng minh rằng:

6accbba +++++
.
Bài 2: Bài 2 Bảng A.
Bài 3: a) Bài 3a Bảng A.
b) Cho tam giác ABC và P là một điểm thuộc mặt phẳng tam giác. Gọi K, L, M lần lợt là hình
chiếu vuông góc của P lên các đờng thẳng BC, CA, AB. Hãy xác định vị trí của P sao cho tổng
222
AMCLBK ++
nhỏ nhất.
Đề số 15 (Năm học 2003-2004) Bảng A:
Bài 1: a. Giải phơng trình
07x12x6xx2
22
=++
b. Giả sử đa thức f(x) có các hệ số nguyên và các giá trị f(0); f(1) là những số lẻ. Chứng
minh rằng f(x) không thể có nghiệm nguyên.
Bài 2: a. Tìm điều kiện để hàm số sau xác định trên [0; 1)
1mx2mxy +=
b. Cho a, b, x, y thoả mãn các điều kiện:
4ab0 <
y3x2
7ba

+
Tìm giá ttrị nhỏ nhất của
22
ba
y
2
y

x
1
x2
s
+
+++
=
Bài 3: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên các cạnh BC, CA, AB của tam giác, lấy các điểm M,
N, P sao cho
.ax0,xAP;
3
a2
CN;
3
a
BM <<===
a. Tính x theo a để cho AM vuông góc PN.
b. Cho H là một điểm thuộc miền của tam giác ABC nói trên. Gọi H
1
H
2
H
3
lần lợt là các
điểm đối xứng của H qua các cạnh của tam giác ấy. Chứng minh rằng trọng tâm của tam
giác H
1
H
2
H

3
không phụ thuộc vào vị trí của điểm H.
Đề số 16 (Năm học 2003-2004)
Tuyển tập đề thi HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán lớp 10(Tù 1992-1992 tới 2003-2004)
Bài 1: Bài 1 của Bảng A.
Bài 2: a) Bài 2a Bảng A.
b) Cho a, b, c thoả mãn:



=++
=++
1cabcab
2cba
222
. Chứng minh rằng:







3
4
;
3
4
c,b,a
Bài 3: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên các cạnh BC, CA, AB của tam giác, lấy các điểm M,

N, P sao cho
.ax0,xAP;
3
a2
CN;
3
a
BM <<===
a. Chứng minh
)AB
a
x3
AC(
3
1
PN =
.
b. Tính x theo a để cho AM vuông góc PN.
Đáp án và hớng dẫn giải
Đề số 1.
Bài 1: Từ giả thiết bài toán, do
d,c04)dc()1cd(4)dc(
22
>+=+
nên theo định lý viét
ta có a và b là các nghiệm của phơng trình bậc 2:
0)1cd(x)dc(x
2
=++
Xét phơng trình trên, do a và b là các nghiệm của nó nên ta phải có:

(*)04)dc(0)1cd(4)dc(
222
++=
Đặt c d = t t nguyên và từ (*) ta suy ra tồn tại số nguyên s thoả mãn:
0s4t
22
=+
, từ đó ta có:
4)ts)(ts( =+
. Do s, t nguyên s-t và s+t nguyên hay (s-t) và
(s+t) là các ớc số của 4 và ta suy ra:
)4(
4ts
1ts
4ts
1ts
);2(
2ts
2ts
2ts
2ts

=
=
=+
=
=
=
=+
=
hoặc(3); hoặc hoặc(1);
Từ (1) và (2) ta đều có: t = 0 c = d. Từ (3) ta nhận đợc 2t = 3
Z=
2
3
t
(loại).
Hệ (4) vô nghiệm.
Tóm lại nếu a, b, c, d nguyên thỏa mãn điều kiện



=+
+=+
cd1ab
dcba
thì ta có c = d.
Bài 2: áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 2 cặp 3 số: (x, x, 1) và (x, a, b) ta có:
)bax)(1x2()bax)(1xx()baxx

22222222222
+++=++++++
(1)
Cũng áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 2 cặp 3 số: (x, x, 1) và (x, c, d) ta có:
)dcx)(1x2()dcx)(1xx()dcxx(
22222222222
+++=++++++
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:

+++++++++ )bax)(1x2()dcxx()baxx(
22222222

=++++ )dcx)(1x2(
2222

Tuyển tập đề thi HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán lớp 10(Tù 1992-1992 tới 2003-2004)

)dcbax2)(1x2(
222222
+++++=

2222
)1x2()1x2)(1x2( +=++=
. (Vì a
2
+ b
2
+ c
2

+ d
2
= 1)
Vậy:
222222
)1x2()dcxx()baxx( ++++++
.
Đẳng thức xảy ra
dxbxca
1
d
x
c
1
b
2
a
x
x
=======
.
Bài 3: Ta có:
2
10
2
9
2
10
2
2

2
10
2
1
2
10
2
2
2
1
a
9
1
a a
9
1
aa
9
1
aa aa ++++++=+++
.
áp dụng BĐT Cô-si ta có:
101
2
10
2
1
aa
3
2

a
9
1
a +

102
2
10
2
2
aa
3
2
a
9
1
a +

109
2
10
2
9
aa
3
2
a
9
1
a +

( )
92110
2
10
2
2
2
1
a aaa
3
2
a aa ++++++
Suy ra:
( )
3
2
)a aa(a
)a aa(a
.
3
2
a aaa
a aa
P
92110
92110
92110
2

10
2
2
2
1
=
+++
+++

+++
+++
=
Đẳng thức xảy ra
10921
a
3
1
a aa ====
.
Bài 4: a) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, ta có: O(0;0); A(-2;-1); B(2; -4).
Do C là điểm trên trục Ox nên C có toạ độ (x; 0). Khi đó ta có:
)4;2x()yy;xx(BC
)1;2()yy;xx(OA
BCBC
OAOA
==
==
Ta có:
BCkOA:RkBC//OA =

=
=




=
=

10x
4
1
k
k41
)2x(k2
.
Vậy toạ độ của điểm C là: (10; 0).
b) Điểm M thuộc đờng thẳng x=1 có toạ độ: M(1; y). Do đó ta có:
5253)4(BA)3;4(BA
17y8y)4y(1BM)4y;1(BM
22
222
==+==
++=++=+=
Do đó ta có:

16y3)4y(3)4)(1(BA.BM +=++=
Ta có:
( )
2
2
)BA,BMcos(45BA,BM45MBA
00
===
. Từ đó suy ra:
2
2
.17y8y.5)BA,BMcos(.BA.BMBA.BM16y3
2
++===+
Tuyển tập đề thi HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán lớp 10(Tù 1992-1992 tới 2003-2004)




=
=






=+

3y
7
29
y
087y8y7
3
16
y
2
Vậy có 2 điểm thoả mãn yêu cầu bài toán là
( )
3;1C;
7
29
;1C
21
=






=
.
Đề số 2:
Bài 1: a) Với k =3, ta có phơng trình:
35xx4 =++
.
Điều kiện: -5 x 4.

Ta có:
35xx4 =++



=
=

=+
+=++
5x
4x
0)5x)(4x(
)5x)(x4(23x5x4
b) Điều kiện của tham số: k>0.
Khi đó phơng trình đã cho tơng đơng với:
2
k)5x)(x4(29 =++



=++


=+
01k18kx4x4
3k
9k)5x)(x4(2
242
2

Đề số 5.
Bài 1: Điều kiện: x
2
+y
2
0 (*)
Nhận xét nếu x= 0 thì từ hệ đã cho ta suy ra y = 0 không thoả mãn điều kiện (*). Nh vậy nếu (x; y)
là nghiệm của hệ thì ta phải có: x0 ; y0.
Khi đó hệ (I):







=
+


=
+
+
+
0
yx
x3y
y
3
yx

y3x
x
22
22








=
+


=
+
+
+
)2(0
yx
x3xy
xy
)1(y3
yx
y3xy
xy
22
2

22
2
Lấy (1) cộng (2) theo vế với vế ta đợc:
y2
)1y(3
xy33xy2

==+
(a)
Mặt khác ta cũng có: Hệ (I)







=
+

=
+
+
)4(y
yx
x3y
)3(x3
yx
y3x
22

22
(II)
Xét hệ (II). Nếu
3
y
xx3y0x3y ===
kết hợp với (a) ta đợc:
Tuyển tập đề thi HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán lớp 10(Tù 1992-1992 tới 2003-2004)




==
==
=+

=
1x3y
2
1
x
2
3
y
09y9y2
y2
)1y(3
3
y
2

.
Thay các kết quả trên vào hệ đã cho ta thấy rằng chúng đều không thoả mãn.
Vậy ta có nếu (x; y) là nghiệm của hệ thì ta có x 3x 0. Do đó lấy (3) chia (4) theo từng vế ta có:
)b(0x3x9y3xy2y2
x3xyx9y3y3xy
y
x3
x3y
y3x
22
22
=++
+=+

=

+
Thay (a) vào (b) ta đợc:





=
=
=+
1y
4
9
y

027y15y12
2
2
24
(loại)
.
Từ y
2
= 1 y = 1, thay vào (a) ta có: y = 1 x =0; y = -1 x = 3.
Vậy hệ đã cho có 2 cặp nghiệm là (0; 1) và (3; -1).
Bài 2: Từ điều kiện nZ và n>1 ta có:
0
n
n
11
n
n
nn
nn
n
><<
áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho n số dơng:
1; ;1;1;
n
n
1
n

ta có:
2

nnn
n
n
n
n
n
n
1
n
n
n
n
1
1 1
n
n
1
n
1
1 1.1.
n
n
1
n
n
1 =

=








+++

=
(1)
áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho n số dơng:
1; ;1;1;
n
n
1
n
+
ta có:
2
nnn
n
n
n
n
n
n
1
n
n
n
n
1
1 1
n
n
1
n

1
1 1.1.
n
n
1
n
n
1 +=








+=








+++

+








+=+
(2)
Từ (1) và (2) ta suy ra:
2
n
n
1
n
n
1
n
n
1
n
n
1
n

2
n
n
n
n
n
=+++++
Đẳng thức không thể xảy ra vì n>1, nZ ta có:
n
n
11
n
n
1
nn
+
.
Vậy:
2
n
n
1
n
n
1
n
n
n
n
<+++

.
Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ giả sử ABC có
)y;x(C);y;x(B);y;x(A
CCBBAa
. Ta có:
2
BC
2
BC
)yy()xx(BC +=
và đờng thẳng BC có phơng trình:
0)xx(y)yy(xy)xx(x)yy(
yy
yy
xx
xx
BCBBCBBCBC
BC
B
BC
B
=+


=


Gọi AH là đờng cao kẻ từ đỉnh A của ABC thì ta có AH bằng khoảng cách từ A đến đờng thẳng BC.
Do đó:
Tuyển tập đề thi HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán lớp 10(Tù 1992-1992 tới 2003-2004)

( ) ( )
=
+
+
=
2
BC
2
Cc
BCBBCBABCABC
xxyy
)xx(y)yy(xy)xx(x)yy(
AH

( ) ( )
=
+

=
2
BC
2
Cc
BABCBCBA
xxyy
)yy)(xx()yy)(xx(
Từ đó ta có diện tích của ABC là:
)xx)(yy()yy)(xx(
2
1

BC.AH
2
1
S
BCBABCBAABC
==

Vậy có thể tính diện tích ABC bằng công thức:
)xx)(yy()yy)(xx(
2
1
S
BCBABCBAABC
=

.
Đề số 6.
Bài 1:
Đề số 9.
Bài 1: a) Đặt
22
m1mxx)x(f ++=
. Ta xét các trờng hợp:
Phơng trình
0m1mxx
22
=++
có một nghiệm
[ ]
0)1(f).1(f1;1x

( )( )
)1(
2m1
1m2
0mm2mm2
22





+
Phơng trình có 2 nghiệm thuộc [-1; 1]:
( )
)2(
1m
5
52
5
52
m1
2m2
2m1
1m2
5
2
m
5
2
m

1
2
m
1
02mm
02mm
0m14m
1
2
S
1
0)1(f
0)1(f
0
2
2
22






<
<

<<
<<
<<











<<
>++
>+

<<
>
>

Kết hợp (1) và (2) ta đợc các giá trị m thoả mãn là:








2m
5
52
5
52
m2
b) Đặt:
112
txx =

nn1
223
txx

txx
=
=
Thì ta có:
(*)0t tt
n21
=+++
và khi đó hệ PT đã cho tơng đơng với hệ:
Tuyển tập đề thi HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán lớp 10(Tù 1992-1992 tới 2003-2004)







=++
=++
=++
nn
2
n
22
2
2
11
2
1
tcx)1b(ax

tcx)1b(ax
tcx)1b(ax
Nếu
0ac4)1b(
2
<
thì t
i
(i=1, 2,n) cùng dấu với hệ số a không thoả mãn hệ thức (*) Hệ
vô nghiệm.
Nếu
0ac4)1b(
2
=
thì hệ có nghiệm duy nhất:
( )
a2
b1
x xx
n21

====
còn các giá trị khác
của x
i
sẽ làm cho t
i
cùng dấu với a nên không thoả mãn (*).
Đề số 10.
Bài 1: a) Ta ký hiệu: A={xx là hình tứ giác}

B={yy là đờng tròn}
Nhận định của bài toán đợc phát biểu:
By,Ax
: Đờng tròn y ngoại tiếp tứ giác x. Để chứng tỏ nhận định đó là sai, ta chỉ ra mệnh đề
phủ định nó là đúng:
Bx,Ax
: đờng tròn y ngoại tiếp tứ giác x.
By,Ax
: đờng tròn y không ngoại tiếp tứ giác x.
Rõ ràng ta chọn tứ giác x là hình thoi không có góc nào vuông thì mọi đờng tròn đều không ngoại tiếp
nó.
b) Có:
03x2x4x
24
=+
( )
02x22x21x2x
224
=++
( )( )




=+
=+
=++
=
)2(03x2x
)1(01x2x

03x2x1x2x
0)2x(2)1x(
2
2
22
222
Phơng trình (1) vô nghiệm, phơng trình (2) có nghiệm
2
142
x
2,1

=
Bài 2: Ta có:
4xyzzxyzxy =+++
xyz4zxyzxy =++
(1)
Do đó:
zxyzxyzyx ++++
)2(xyz4zyx ++

Rõ ràng cả 3 số x, y, z không đồng thời bằng không, hơn nữa chỉ có tối đa một số bằng không. Không
mất tính tổng quát, giả sử rằng: x, y > 0.
Từ (1) ta có:
xyyx
xy4
z
++

=

, khi đó:
xyyx
xy4
xy4
xyyx
xy4
yx)2(
++


++

++
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
)3(y1x1xy2yx
yxxy4xy4yx4xy4yxxyyx
2
22
2
+
+++++++
Tuyển tập đề thi HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán lớp 10(Tù 1992-1992 tới 2003-2004)
i) Nếu
( )( )
0y1x1
thì (3) hiển nhiên đúng. đẳng thức xảy ra
( )
1yx0)y1)(x1(xy2yx
2

====+
.
Kết hợp với (2) ta có: x = y = z = 1.
ii)
0)y1)(x1( >
. Ta có:
( ) ( )
)y1)(x1(4)y1)(x1(2)y1()x1(y1x12yx
22
22
++=+=+
(theo bất đẳng
thức Cô-si).
( )
)y1)(x1(42yx
2
+
(4)
Nhng do
0
xyyx
xy4
z
++

=
và x, y 0 4 xy 0 4 xy (5)
Từ (4) và (5) ta suy ra (3) đợc chứng minh.
b) Cho x = 0 thay vào đẳng thức:
)x(P)2002x()1x(xP =

(1)
ta đợc: 0 = -2002.P(0) P(0) =0.
Cho x = 1, ta có: 1.P(0) = -2001.P(1) P(1) = 0.
Từ (1) ta suy ra : P(2) = 0 P(3) = 0,, P(2001) = 0
Vậy P(x) = x(x-1)(x-2)(x-3)(x-2001)Q(x)
Suy ra P(x-1) = (x-1)(x-2)(x-2002)Q(x-1)
Kết hợp với giả thiết: xP(x-1)=(x-2002)P(x)
Q(x-1) = Q(x) Q(x) = a (a là hằng số không phụ thuộc x)
Suy ra đa thức phải tìm là P(x) = ax(x-1)(x-2)(x-2002).
Bài 3: a) Từ giả thiết ta dễ dàng chứng minh đợc O là trọng tâm
của ABC. Gọi I là trung điểm của cạnh BC; trên OA lần lợt lấy
các điểm B
1
, C
1
sao cho BB
1
//CC
1
//.








=
=

'OA
OC
'OC
OC
//CC
'OA
OB
'OB
OB
//BB
1
1
1
1
'OA
OCOBOA
'OC
OC
'OB
OB
'OA
OA
111
++
=++
(1)
Mặt khác, ta có:
1111
CCBBOCOBOAOCOBOA ++++=++
Nhng dễ thấy rằng

11
CICBIB =
nên suy ra
CCBBCC//BB
1111
==
. Hay
0CCBB
11
=+
. Do
đó từ
0OCOBOA

=++
ta suy ra
0OCOBOA
11

=++
mà A, B
1
, C
1
thẳng hàng nên ta có:
0OCOBOA
11
=++
(2).
Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.

b) Theo tính chất đờng phân giác của tam giác, ta có:

)ba(
bc
'AC;
)ca(
bc
'AB
+
=
+
=


A
B

A
B C

C
1
O
I
C
B
1
Tuyển tập đề thi HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán lớp 10(Tù 1992-1992 tới 2003-2004)
Suy ra
bc

S
.
)ca)(ba(
bc.bc
Asin'.AC'.AB
2
1
S
ABC
'C'AB
++
==

)1(
)ca)(ba(
bc
S
S
ABC
'C'AB
++
=
Tơng tự
)2(
)ab)(cb(
ca
S
S
ABC
'A'BC

++
=

)3(
)bc)(ac(
ab
S
S
ABC
'B'CA
++
=
Từ (1), (2) và (3) ta có:
.
)ac)(cb)(ba(
abc2
)bc)(ac(
ab
)ab)(cb(
ca
)ca)(ba(
bc
1
S
)SSS(S
S
S
ABC
'B'CA'A'BC'C'ABABC
ABC

'C'B'A
+++
=








++
+
++
+
++
=
++
=
Đề số 11 (Năm học 2002 2003)
Bài 1: a) Vì a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác nên a, b, c là các số thực d ơng, áp dụng bất đẳng
thức Côsi ta có:
3
a
c
.
c
b
.
b

a
3
a
c
c
b
b
a
3
=++
Đẳng thức xảy ra
cba
a
c
c
b
b
a
====
, hay ABC đều.
b) Theo tính chất của đờng phân giác, ta có:
b
a
ZA
CZ
;
a
c
YC
BY

;
c
b
XB
AX
===
Nh vậy BĐT cần chứng minh trở thành
3
a
c
c
b
b
a
++
áp dụng câu a) ta có đpcm.
Bài 2: a) áp dụng BĐT Bunhiacôpski ta có:
2222222
)czbyax()zyx)(cba( ++=++++
(1)
Đẳng thức xảy ra
z
c
y
b
x
a
==
(2)
Mà theo giả thiết ta có:

36)zyx(;25)cba(
222222
=++=++
và
30czbyax =++
nên ở (1) có
đẳng thức, tức là ta có (2).
Giả sử
k
z
c
y
b
x
a
===
thế thì
6
5
k25)cba(k)zyx(36
2222222
==++=++=
. Suy ra
6
5
k
zyx
cba
P ==
++

++
=
.
A
X Z
B Y C
Tuyển tập đề thi HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán lớp 10(Tù 1992-1992 tới 2003-2004)
b) Yêu cầu bài toán Tìm a để phơng trình
0a2x3x
2
=++
có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn
0)x(f)x(f
21
<
với
a5x6x)x(f
2
++=
.





<+++

<++





<++++
=

(*)0]a)xx(axx[
8
9
a
0)ax)(ax(9
8
9
a
0)a5x6x)(a5x6x(
0a89
2
2121
21
2

2
21
2
1
Nhng do x
1
, x
2
là các nghiệm của phơng trình
0a2x3x
2
=++
nên theo định lý Viét ta có:



=
=+
a2xx
3xx
21
21
thay vào (*) ta có:
1a00)1a(a(*) <<<
Vậy với 0< a <1 thì mỗi phơng trình đã cho đều có hai nghiệm phân biệt và giữa hai nghiệm của phơng
trình này có đúng một nghiệm của phơng trình kia.
Bài 3:
a) Gọi O là trung điểm đoạn AB. Với P là điểm tuỳ ý, gọi H là hình chiếu của P trên AB, ta có:
OP.ABPO2.BA)PBPA)(PBPA(PBPAPBPA
22

22
==+==
.
áp dụng định lý hình chiếu ta có:
OH.AB2OP.AB2 =
.
Suy ra P là điểm thuộc quỹ tích khi và chỉ khi
2
kOH.AB2 =
hay
AB2
k
OH
2
=
. Từ đó điểm H xác định.
Vậy quỹ tích những điểm P là đờng thẳng vuông góc với AB tại H trên AB đợc xác định bởi hệ thức
AB2
k
OH
2
=
. Tức là đờng thẳng vuông góc với AB tại điểm H xác định bởi
AB2
k
OH
2
=
và H nằm giữa
O và B.

b) Đặt AB = a; AD = b; AM = m>0
AN = n > m; AMN = .
Theo giả thiết ta có: AN là phân giác góc MAD
MAD ANB(cùng bằng NAD)
Vậy ANM cân tại M MN = AM =m.
Theo định lý cosin trong ANM có:
)cos1(m2cos.m.m2mmn
2222
=+=


)cos1(2mn =
.
Theo bài ra ta có:
)cos1(2
m
)cos1(2m
m
n
MN
AN
=

==
Ta có: > 90
0
(vì M di động trên đoạn BC) cos 0
2)cos1(2
MN
AN

=

MN
AN
đạt giá trị nhỏ nhất khi
2
MN
AN
=
, xảy ra cos = 0 =90
0
M B.
A B
M
D C
N