đề thi thử THPT QG môn toán số 20.PDF

SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG
TRƯỜNG THPT CHÍ LINH
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015
Môn Thi : TOÁN
Lần thứ 1
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao ñề.
Đề gồm 01 trang
Câu I ( 4,0 ñiểm). Cho hàm số
3
2
3 1
6
2 4 2
x
y x mx= − − + .
1) Với
1
2
m =
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại ñiểm có hoành ñộ bằng 1.
2) Tìm các số thực
m
ñể hàm số có 2 ñiểm cực ñại, cực tiểu trên [-1;1].
Câu II (2,0 ñiểm). Giải các phương trình sau
1)
sinx-cos3 2cos 2 cos
2 sin 2
tan tan
4 4
x x x

x
x x
π
π
+
=
   
− +
   
   
. 2)
(5 2 6) (5 2 6) 10
x x
+ + − =
.
Câu III (2,0 ñiểm). Giải các bất phương trình sau
1 2
3 1
3
1) log (2 8) log (24 2 ) 0.
x x+ +
− + − ≤
2)
2
2( 3 3 2 ) 2 3 7 0x x x x+ − − + + − ≥
.
Câu IV (2,0 ñiểm). Tính các tích phân
1)
2
0

( 2)cosx xdx
π
−
∫
. 2)
0
4 2
1
1
x
dx
x x
−
+ +
∫
.
Câu V (1,0 ñiểm). Giải hệ phương trình
3 3 2 2
2 2
3( ) 4( ) 4 0
( , )
2( ) 18
x y x y x y
x y
x y x y

− + + + − + =

∈


+ − + =



.

Câu VI (4,0 ñiểm). Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi cạnh a,

0
60 ,ABC = cạnh bên SA
vuông góc với ñáy, SC tạo với ñáy góc
0
60 .
1) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.
2) Tính theo a khoảng cách giữa hai ñường thẳng AB, SD.
3) Xác ñịnh tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD theo a.
Câu VII (2,0 ñiểm). Trong hệ toạ ñộ Oxy, cho ñiểm A(4;2), B(-3;1), C là ñiểm có hoành ñộ dương nằm trên
ñường thẳng (d):x+y=0. Viết phương trình ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết diện tích tam giác ABC
bằng 25.
Câu VIII (1,0 ñiểm). Một ñội xây dựng gồm 3 kĩ sư, 7 công nhân lập một tổ công tác gồm 5 người. Hỏi có
bao nhiêu cách lập ñược tổ công tác gồm 1 kĩ sư làm tổ trưởng, 1 công nhân làm tổ phó và 3 công nhân tổ
viên.
Câu IX (1,0 ñiểm). Giữa hai nông trường chăn nuôi bò sữa có một con ñường quốc lộ. Người ta xây dựng
một nhà máy sản xuất sữa bên cạnh ñường quốc lộ và con ñường nối hai nông trường tới nhà máy. Hỏi phải
xây dựng con ñường và ñịa ñiểm xây dựng nhà máy như thế nào ñể cho chi phí vận chuyển nguyên liệu nhỏ
nhất.
Câu X (1,0 ñiểm). Cho các số thực
,a b
thoả mãn
5

3
a b
a
+ ≥


≥

.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2
a b
P a b= + − − .
………….…………………………………Hết………………………………………
Thí sinh không ñược sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:……………………………………; Số báo danh:………………….
Chữ kí giám thị 1:…………………….………… Chữ kí giám thị 2:…………………………………
2
H-íng dÉn chÊm
C
âu Nội dung Điểm
I:(4,0 ñ)
1.a)2,0ñ
a)khi
3
2
1 3 1
3
2 2 4 2
x
m y x x=

⇒ = − − +
1. Tập xác ñịnh:
D
=

2. Sự biến thiên của hàm số
* Giới hạn tại vô cực của hàm số.
3
2 3
2 3
3 1 1 3 3 1
lim lim ( 3 ) lim ( ) ;lim
2 4 2 2 4 2
x x
x x
x
y x x x y
x x x
→+∞ →+∞
→+∞ →−∞
= − − + = − − + = +
∞ = −∞
0,25
* Lập bảng biến thiên
2
9
1 ( 1)
3 3
4
' 3; ' 0

9
2 2
2 (2)
2
x y
y x x y
x y

= −
⇒ − =

= − − = ⇔


=
⇒ = −


0,25
bảng biến thiên
9
4
y'
-1
+
+
- 00
-
∞
-

9
2
+
∞
+
∞
2
-
∞
y
x
0,5
Hàm số ñồng biến trên các khoảng (-
; 1
∞ −
) và (2;+
∞
);
Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1;2);
0.25
Hàm số ñạt cực tiểu tại x=2 =>y
ct
=
, Hàm số ñạt cực ñại tại x=0=>y
cñ
=
0,25
3
3. Đ
ồ thị

Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại (0; 1/2)
ĐTHS ñi qua (-1; 9/4), (-5/2;-9/2)
0,5
1.b)1,0ñ
Tập xác ñinh :
D
=

3
2
3 1
3
2 4 2
x
y x x
= − − +
2
3 3 11
' 3; '(1) 3; (1)
2 2 4
x
y x y y
= − − = − = −
0,5
Phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số tại ñiểm có hoành ñộ bằng 1
là
'(1)( 1) (1)
y y x y
= − +

0,25
=-3(x-1)-
11
4
=-3x
1
4
+
0,25
2.(1,0 ñ)
Tập xác ñinh :
D
=

;
2
3 3
' 6
2 2
x
y x m
= − −
Do y’ là tam thức bậc hai nên hàm số có cực ñại, cực tiểu trên [-1;1]
0,25
2
3 3
6 0
2 2
x
x m

⇔ − − =
có hai nghiệm phân biệt
,
2
4 4
x x
m
⇔ − =
có hai nghiệm phân biệt ,
⇔
ñường thẳng y=m cắt ñồ
thị hàm số
2
( )
4 4
x x
f x
= −
tại 2 ñiểm phân biệt có hoành ñộ ,
0,25
Lập bản
g biến thiên ta ñược -
0,5
4
2
-
2
-
4
5

I
-
9
8
1
2
-
5
2
-
9
2
9
4
y
x
7
2
2
O
-1
4
I
I.(2,0ñ)
1.(1,0ñ)
Giải phương trình
sinx-cos3 2cos 2 cos
2 sin 2
tan tan
4 4

x x x
x
x x
π π
+
=
   
− +
   
   
. (1)
Điều kiện:
4 4
tan tan 0
4 4
( )
4 4 4 2
os os 0
1
4 4
(cos 2 os ) 0
2 2 4 2
x k x k
x x
x k x k x k k
c x c x
x c x k
π π
π π
π π

π π π π
π π
π π
π π π
 
− ≠ ≠ −
 

   
− + ≠
 
   

      
⇔ + ≠ ⇔ ≠ − + ⇔ ≠ + ∈
  
   
  
− + ≠
   
  
   

+ ≠ ≠ +
 
 

1
sin sin
( os2 os )

4 4
2 2
tan tan 1
1
4 4
( os2 os )
os os
2 2
4 4
x x
c x c
x x
c x c
c x c x
π π
π
π π
π
π π
   
− +
−
   
   
   
− + = = =
   
   
   
+

− +
   
   
0,25
(1) 2 sin 2 sinx-cos3 2cos 2 cos
2 sin 2 sinx-cos3 cos os3
x x x x
x x x c x
⇔ = +
⇔ = + +
0,25
2 sin 2 2 sin
4
x x
π
 
⇔ = +
 
 
2
2 2
4
4
sin 2 sin
2
4
2 ( ) 2
4 3
4
x k

x x k
x x
x k
x x k
π
π
π
π
π
π π
π
π π


= +
= + +


 
⇔ = + ⇔ ⇔

 
 


= +
= − + +





0,25
Kết hợp với ñiều kiện phương trình ñã cho có nghiệm là
11 5
2 , 2 ( )
12 12
x k x k k
π π
π π
= + = − + ∈

0,25
2.(1,0ñ)
(2)
Đặt .
Thay vào (2) ta có
0,25
(thỏa mãn)
0,25
Với
0,25

Với

0,25


5
II.(2,0ñ)

1.(1,0ñ)
Giải các bất phương trình sau
1 2
3 1
3
1)log (2 8) log (24 2 ) 0 (1)
x x+ +
− + − ≤

Điều kiện :

(1)

0,25


0,25


0,25


0,25
2.(1,0ñ)

Điều kiên :


0,25

(3)
0,25

Do


0,25

Kết hợp với ñiều kiện tập nghiệm của bất phương
trình là T=[1;

0,25
IV.(2,0ñ)


1.(1,0ñ)
Đặt
2
os dx sinx
U x dU dx
dV c x V
= − =
 
⇒
 
= =
 

0,25

2
2 2
0 0
0
( 2)cos ( 2)sin sin x
x xdx x x xd
π
π π
⇒ − = − −
∫ ∫

0,25

2
0
( 2) os
2
c x
π
π
= − +

0,25

3
2
π
= −

0,25

6
2.(1,0ñ)

0,25

Đặt ; =

Nếu x=-1 thì t=
Nếu x=0 thì t=

0,25


0,25


0,25
V.(1,0ñ)
Giải hệ phương trình
.
.
3 2 3 2
3 3
(1) 3 4 4 3 4
( 1) 1 ( 1) 1 (3)
x x x y y y
x x y y

⇔ + + + = − +
⇔ + + + = − + −

0,25

Xét

mà (3) có

0,25

Thay y=x+2 vào (2) ta có

Vậy hệ có 2 nghiệm (x;y) là (-3;-1), (3;5).
0,5

7
VI.(4,0ñ)
O
M
H
60
0
60
0
a
D
C
B
A

S


1.(1,0ñ)
SA
⊥
(ABCD) =>AC là hình chiếu của SC trên (ABCD) nên



0
( ,( )) ( , ) 60
SC ABCD SC AC SCA= = =
0,25

tam giác ABC có AB=BC=a,

0
60 ,
ABC = nên tam giác ABC ñều => AC=a
trong tam giác SAC vuông tại A nên
0
.tan 60 3
SA AC a
= =
0,25

Diện tích ABCD là
2
0

1 3
2 2. . sin 60
2 2
ABCD ABC
a
S S AB BC
∆
= = =

0,25

Thể tích S.ABCD là
3
.
1
.
3 2
S ABCD ABCD
a
V SA S= =
0,25
2.(1,5ñ)
Kẻ AH
⊥
CD(H , ñường cao AH=
Trong tam giác vuông SAH có
2 2
15
2
a

SH SA HA= + =

0,25

Do SA
⊥
(ABCD)
,
SA CD CD AH CD SH
⇒ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥

Diện tích tam giác SAD là
2
1 15
.
2 4
SCD
a
S SH CD
∆
= =

0,25

2 3
.
( ,( )).
1 1 3 3 15
. 3. ( ,( ))
3 3 3 4 4S 5

SCD
S ACD ACD
SAD
d A SCD S
a a a
V SA S a d A SCD
∆
∆
∆
= = = ⇒ = =

0,5

Do AB//(SCD) nên d(B,(SCD))=d(AB,(SCD))=d(A,(SCD))=
15
5
a

0,5
3.(1,5ñ)
Do CA=CB=CD=a nên C là tâm ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABD
0,25
8
Kẻ
Cx//SA, trong (SAC) kẻ trung trực My của SA cắt Cx tại O. O là tâm mặt cầu
ngoại tiếp S.ABD.
0,25
Thật vậy Cx//SA
Cx
⇒ ⊥

(ABD)
OC
⇒ ⊥
(ABD) mà CA=CB=CD nên
OA=OB=OD mặt khác O nằm trên trung trực của SA nên OA=OS
⇒
OA=OB=OD=OS
⇒
O là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABD bán kính r=OA
0,5
dẽ thấy MACO là hình chữ nhật nên
2 2 2 2
3 7
( )
2 2
a a
r AC AM a= + = + =
0,5
VII
.(2,0ñ)
AB
uuur
=(-7;-1) là véc tơ chỉ phương của AB nên véc tơ pháp tuyến là
(1; 7)
n = −
⇒
r
phương trình AB:
(
)

(
)
1 x 4 7 y 2 0 7 10 0
x y− − − =
⇔ − + =
B
A
C
I
2 2
( ) ( ; ) ( 0)
| 7 10 | | 8 10 |
( , ) ; 50
50
1 7
C d C c c c
c c c
d C AB AB
∈ ⇒ − >
+ + +
⇒ = = =
+
0,5
diện tích tam giác ABC bằng 25 nên ta có
5
1 |8 10 |
( , ). . 50 25 (5; 5)
15
2
0

2 50
2
ABC
c
c
S d C AB AB C
c
∆
=

+

= = =
⇔ ⇒ −

= − <

0,5
Gọi (C) là ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình là:

2 2 2 2
( ) : 2ax 2 0 ( 0)
C x y by c a b c
+ − − + = + − >
Do A, B, C nằm trên (C) nên ta có hệ

2 2
2 2
2 2
4 2 8 4 0

8 4 20
( 3) 1 6 2 0 6 2 10
10 10 50
5 ( 5) 10 10 0
a b c
a b c
a b c a b c
a b c
a b c

+ − − + =
− − + = −



− + + − + = ⇔ − + = −
 
 
− + + = −
+ − − + + =


0,5
1
2
20
a
b
c
=



⇔ = − ⇒


=
−

Phương trình ñường tròn (C):
2 2
2 4 20 0
x y x y
+ − + − =
0,5
9
VIII
.(1,0ñ)
Chọn 1 kĩ sư làm tổ trưởng trong 3 kĩ sư ⇒ số cách chọn là 3. Được 1 tổ trưởng
0,25
Chọn 1 công nhân làm tổ phó trong 7 công nhân⇒ số cách chọn là 7. Được 1 tổ
trưởng, 1 tổ phó
0,25
Chọn 3 công nhân làm tổ viên trong 6 công nhân⇒ số cách chọn là số tổ hợp chập
3 của 6 là
3
6
C

0,25
⇒ số cách lập tổ công tác thỏa mãn ñề bài là

3
6
3.7. 420C =
0,25
IX.(1,0ñ)
Giả sử A, B là hai ñịa ñiểm tập trung nguyên liệu của hai nông trường chăn nuôi
bò sữa, ñường quốc lộ là ñường thẳng d, M là vị trí xây dựng nhà máy trên ñường
quốc lộ . Xây dựng con ñường và ñịa ñiểm xây dựng nhà máy ñể cho chi phí vận
chuyển nguyên liệu nhỏ nhất là ta phải tìm ñiểm M và ñường MA, MB sao cho
MA+MB ngắn nhất
0,5
Do A, B nằm về hai phía với d nên dấu ñẳng thức
xảy ra khi và chỉ khi M, A, B thẳng hàng
0,25
Vậy phải xây dựng con ñường nối hai ñịa ñiểm tập trung nguyên liệu A, B của hai
nông trường và ñịa ñiểm xây dựng nhà máy sản xuất sữa M bên ñường quốc lộ sao
cho A, M, B thẳng hàng.
0,25
X.(1,0ñ)
Xét
( ) 2 (2 ln 2 1)( ) , 0
x m
f x x x m m= − − − − >
'( ) 2 ln 2 1 (2 ln 2 1); '( ) 0
x m
f x f x x m= − − − = ⇔ =
Lập bảng biến thiên ta ñược
( ) 2 2 (2 ln 2 1)( ) 2 , 0(*)
m x m m
f x m x x x m m x m≥ − ∀ ⇔ − − − − ≥ − ∀ >

Dấu ñẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=m
0,5
Áp dụng bất ñẳng thức (*) ta có
3 2
2 2
2 (2 ln 2 1)( 3) 2 3 (1)
2 (2 ln 2 1)( 2) 2 2 (2)
a
b
a a a
b b b
− − − − ≥ − ∀
− − − − ≥ − ∀
Cộng các vế của (1)(2) ta ñược
3 2 3
2 3 2 2 (2 ln 2 1)( 3) (4ln 2 1)( 2) ,P a b a b≥ − + − + − − + − − ∀
0,25
7 (4ln 2 1)( 5) 4( 3)ln 2 7P a b a⇔ ≥ + − + − + − ≥

Khi a=3,b=2 thì P=7 nên giá trị nhỏ nhất của P bằng 7
0,25