đề thi thử THPT QG môn toán số 208.PDF

Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn!
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&!
1!
H4"I)1%J%)>K)L!ML)N=O9)P%E)Q)L4RS()/T&1)L4U&4)VE6)
DW&()L"I&X)/Y)Z[)\7]^*)
V1US)#4%)()*_]*7].*\^)
L4`%)1%E&)$U6)aU%()\b*)@4c#d)24W&1)2e)#4`%)1%E&)1%E")>K)
f%g&)4h)>0&1)23)24"I)489)Q)!"#$%&'()*+,-) ).*.)Q)B4%)#%C#()iiiF6E#4$%&2:FG&))
Bj=)\)k.d*)>%e6lF!Cho!hàm!số!

y = x
4
− 2mx
2
+1 (1)
.!
1. Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1)!với!

m = 2
.!!
2. Tìm!m!để!(1)!cắt!đường!thẳng!

y = −3
tại!bốn!điểm!phân!biệt!có!hoành!độ!nhỏ!hơn!2.!
Bj=).)k\d*)>%e6lF)
a) Giải!phương!trình!

cos5x + 2sin
2
x = 1

.!
b) Giải!phương!trình!

1
log
3
x + 2
+
2
2log
3
x +1
= 1
.!!!!
Bj=)7)k\d*)>%e6lF!Tính!tích!phân!

I =
(x −1)
2
+1
(x +1)
2
dx
0
1
∫
.!
Bj=)_)k\d*)>%e6lF)
a) Cho!số!phức!z!thoả!mãn!

z −3i +(4− 2i ).z = 12− 4i
.!Tính!mô!đun!của!số!phức!

w =
1+ i + z
z
2
.!
b) Gọi!M!là!tập!hợp!các!số!tự!nhiên!gồm!4!chữ!số!khác!nhau.!Chọn!ngẫu!nhiên!một!số!từ!M,!
tính!xác!suất!để!chọn!được!một!số!mà!chữ!số!đứng!sau!lớn!hơn!chữ!số!đứng!liền!trước.!!!
Bj=)^)k\d*)>%e6lF)Cho!hình!chóp!S.ABCD!có!đáy!ABCD!là!hình!vuông!cạnh!2a!và!cạnh!bên!
SA!vuông!góc!với!mặt!đáy!(ABCD).!Gọi!E,F!lần!lượt!là!trung!điểm!các!cạnh!AD,CD.!Mặt!
phẳng!(SEF)!tạo!với!mặt!phẳng!(ABCD)!góc!

60
0
.!Tính!thể!tích!khối!chóp!S.ABCD!và!khoảng!
cách!từ!điểm!B!đến!mặt!phẳng!(SEF).!
Bj=)-)k\d*)>%e6lF)Trong!không!gian!với!hệ!trục!toạ!độ!Oxyz!cho!3!điểm!A(3;0;0),!B(0;3;0),!
C(0;0;3).!Xác!định!tâm!và!bán!kính!mặt!cầu!(S)!ngoại!tiếp!tứ!diện!OABC.!Viết!phương!trình!
mặt!phẳng!(P)!tiếp!xúc!với!(S)!tại!A.!
Bj=),)k\d*)>%e6lF!Trong!mặt!phẳng!với!trục!toạ!độ!Oxy!cho!hình!chữ!nhật!ABCD!có!diện!tích!
bằng!16!và!M(4;7)!là!trung!điểm!cạnh!BC.!Đường!tròn!ngoại!tiếp!tam!giác!CDM!cắt!đường!
thẳng!AC!tại!điểm!

F (
6
5
;
13

5
)
.!Tìm!toạ!độ!các!đỉnh!A,B,C,D!biết!đỉnh!D!nằm!trên!đường!thẳng!

x + y − 3 = 0
và!đỉnh!C!có!hoành!độ!là!số!nguyên!dương.!
Bj=)b)k\d*)>%e6lF!Giải!hệ!phương!trình

x
2
− 2y
2
−3x + 6y = 2y x −1
(2− 3y )( x + y +1 + x + y ) =1
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
(x, y ∈ !)
.!!
Bj=)+)k\d*)>%e6lF!Cho!x,y,z!là!các!số!thực!dương!thoả!mãn!

(x + y)
2
+ 4x

2
y
2
+1 = (2z
2
+1)
2
.!
Tìm!giá!trị!nhỏ!nhất!của!biểu!thức

P =
16x
3
( y + z)
3
+
16y
3
(x + z)
3
+ 3.
xy +1
z
2
+1
.!!
mmm!nLmmm)
)
)
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn!

!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&!
2!
M!oV)LpB!)qrV!)fstV)/uM)uV)
Bj=)\)k.d*)>%e6lF!Cho!hàm!số!

y = x
4
− 2mx
2
+1 (1)
.!
1. Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1)!với!

m = 2
.!!
2. Tìm!m!để!(1)!cắt!đường!thẳng!

y = −3
tại!bốn!điểm!phân!biệt!có!hoành!độ!nhỏ!hơn!2.!
1. Học!sinh!tự!giải.!
2. Phương!trình!hoành!độ!giao!điểm:

x
4
− 2mx
2
+1 = −3 ⇔ x
4
− 2mx

2
+ 4 = 0
.!!
Đặt!

t = x
2
≥ 0 ⇒ t
2
− 2mt + 4 = 0 (2)
.!
Để!(1)!cắt!đường!thẳng!y=É3!tại!4!điểm!phân!biệt!khi!và!chỉ!khi!(2)!có!hai!nghiệm!dương!phân!
biệt!

⇔
Δ' = m
2
− 4 > 0
S = 2m > 0
P = 4 > 0
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪

⎪
⇔ m > 2
.!
Khi!đó!hoành!độ!giao!điểm!là!

− t
2
< − t
1
< t
1
< t
2
với!

t
1
= m − m
2
− 4,t
2
= m + m
2
− 4
.!
Yêu!cầu!bài!toán!tương!đương!với:!
!

m + m
2

− 4 < 2 ⇔ m + m
2
− 4 < 4 ⇔ m
2
− 4 < 4− m
⇔
4− m > 0
(m −4)
2
> m
2
− 4
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⇔
m < 4
8m < 20
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⇔ m <

5
2
.!
Kết!hợp!với!điều!kiện!suy!ra!

2 < m <
5
2
.!!!
HC#)$=;&(!Giá!trị!cần!tìm!là!

2 < m <
5
2
.!!
Bj=).)k\d*)>%e6lF)
a) Giải!phương!trình!

cos5x + 2sin
2
x = 1
.!
b) Giải!phương!trình!

1
log
3
x + 2
+
2

2log
3
x +1
= 1
.!!!!
a)!Phương!trình!tương!đương!với:!

cos5x = 1− 2sin
2
x = cos2x ⇔
5x = 2x + k2π
5x = −2x + k 2π
⎡
⎣
⎢
⎢
⇔
x = k.
2π
3
x = k.
2π
7
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢

⎢
,k ∈ !
.!
Vậy!phương!trình!có!nghiệm!là!

x = k.
2π
3
,x = k.
2π
7
,k ∈ !
.!
b)!Điều!kiện:!

x > 0
log
3
x + 2 ≠ 0
2log
3
x +1 ≠ 0
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪

⎪
⎪
⎪
⇔ 0< x ≠
1
9
;
1
3
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎫
⎬
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
.!
Đặt!

t = log
3
x
phương!trình!trở!thành:!

Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn!
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&!
3!
!

1
t + 2
+
2
2t +1
= 1 ⇔ 2t +1+ 2(t + 2) = (t + 2)(2t +1)
⇔ 2t
2
+ t −3 = 0 ⇔
t = 1
t = −
3
2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⇔
log
3
x = 1
log

3
x = −
3
2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⇔
x = 3(t / m)
x =
1
3 3
(t / m)
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
.!
HC#)$=;&(!Vậy!phương!trình!có!hai!nghiệm!là!

x = 3;x =
1
3 3
.!
Bj=)7)k\d*)>%e6lF!Tính!tích!phân!

I =
(x −1)
2
+1
(x +1)
2
dx
0
1
∫
.!
Ta!có:!

I =
(x −1)
2
+1
(x +1)
2
dx
0
1
∫
=
(x +1)
2
−4x +1
(x +1)
2

dx
0
1
∫
=
(x +1)
2
−4(x +1) + 5
(x +1)
2
dx
0
1
∫
= 1−
4
x +1
+
5
(x +1)
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟

⎟
⎟
⎟
dx
0
1
∫
= (x −4ln x +1 −
5
x +1
)
1
0
=
7
2
−4ln 2
.!
HC#)$=;&(!Vậy!

I =
7
2
− 4 ln 2
.!!
Bj=)_)k\d*)>%e6lF)
a) Cho!số!phức!z!thoả!mãn!

z −3i +(4− 2i ).z = 12− 4i
.!Tính!mô!đun!của!số!phức!

w =
1+ i + z
z
2
.!
b) Gọi!M!là!tập!hợp!các!số!tự!nhiên!gồm!4!chữ!số!khác!nhau.!Chọn!ngẫu!nhiên!một!số!từ!M,!
tính!xác!suất!để!chọn!được!một!số!mà!chữ!số!đứng!sau!lớn!hơn!chữ!số!đứng!liền!trước.!!!
a) Giả!sử!

z = x + y.i(x, y ∈ !)
theo!giả!thiết!ta!có:!
!

x + yi −3i + (4 − 2i)(x − yi) =12− 4i
⇔ x + ( y −3)i + 4x −2y − 2xi −4yi =12− 4i
⇔ 5x −2y −12+ (−2x −3y +1).i = 0
⇔
5x − 2y −12 = 0
−2x −3y +1= 0
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⇔
x = 2
y = −1

⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⇒ z = 2−i
!.!
Vì!vậy!

w =
1+ i + z
z
2
=
1+ i + (2−i )
(2−i )
2
=
3
3− 4i
=
3(3+ 4i )
25
=
9+12i
25
⇒ w =
81

625
+
144
625
=
3
5
.!!
b) !Giả!sử!số!thuộc!M!có!dạng:!

abcd
.!
+)!

a ∈ 1,2,3,4,5,6,7,8,9
{ }
⇒ a
có!9!cách!chọn.!
+)!

bcd
có!

A
9
3
cách!chọn.!
Vậy!trong!M!có!tất!cả!

9.A

9
3
= 4536
số.!
+)!Gọi!A!là!biến!cố!chọn!một!số!từ!M!mà!chữ!số!đứng!sau!lớn!hơn!chữ!số!đứng!liền!trước.!
không!gian!mẫu!

Ω = 4536
.!
Một!số!chọn!ra!thoả!mãn!nếu!

1 ≤ a < b < c < d ≤ 9
.!
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn!
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&!
4!
+)!Chọn!4!số!trong!tập!{1,2,3,4,5,6,7,8,9}!có!

C
9
4
= 126
!cách.!
Với!mỗi!4!số!chọn!ra!!có!duy!nhất!một!cách!sắp!xếp!chúng!thành!một!số!tự!nhiên!có!4!chữ!số!
thoả!mãn!yêu!cầu.!
Vậy!trong!M!có!tất!cả!126!số!mà!chữ!số!đứng!sau!lớn!hơn!chữ!số!đứng!liền!trước.!
Vì!vậy:!

Ω

A
= 126 ⇒ P(A) =
Ω
A
Ω
=
126
4536
=
1
36
.!!!!
qU%)#;@)#<v&1)#w)m!Gọi!M!là!tập!hợp!các!số!tự!nhiên!gồm!4!chữ!số!phân!biệt.!Chọn!ngẫu!nhiên!
một!số!từ!M,!tính!xác!suất!để!chọn!được!một!số!mà!
a) Được!một!số!lẻ.!
b) Được!một!số!mà!chữ!số!đầu!lớn!hơn!chữ!số!đừng!liền!sau.!
c) Được!một!số!lớn!hơn!2015.!
!
Bj=)^)k\d*)>%e6lF)Cho!hình!chóp!S.ABCD!có!đáy!ABCD!là!hình!vuông!cạnh!2a!và!cạnh!bên!
SA!vuông!góc!với!mặt!đáy!(ABCD).!Gọi!E,F!lần!lượt!là!trung!điểm!cách!cạnh!AD,CD.!Mặt!
phẳng!(SEF)!tạo!với!mặt!phẳng!(ABCD)!góc!

60
0
.!Tính!thể!tích!khối!chóp!S.ABCD!và!khoảng!
cách!từ!điểm!B!đến!mặt!phẳng!(SEF).!
!
Ta!có:!

AC ⊥ BD,EF / /AC ⇒ EF ⊥ BD

.!
Kẻ!AH!vuông!góc!với!EF!tại!H!ta!có!

AH ⊥ EF
.!
Kết!hợp!với!

EF ⊥ SA ⇒ EF ⊥ (SAH )
.!
Vì!vậy!góc!giữa!mặt!phẳng!(SEF)!và!mặt!đáy!(ABCD)!
bằng!góc!

SHA
!
= 60
0
.!
Gọi!I!là!tâm!hình!vuông,!J!là!trung!điểm!của!đoạn!ID.!
Ta!có:!

AH = IJ =
BD
4
=
2a 2
4
=
a 2
2
.!

Tam!giác!vuông!SAH!có!

SA = AH .tan 60
0
=
a 2
2
. 3 =
a 6
2
.!!!!!!!
!Vì!vậy!

V
S .ABCD
=
1
3
SA.S
ABCD
=
1
3
.
a 6
2
.4a
2
=
2a

3
6
3
(đvtt).!
+)!Ta!có:!

d (B;(SEF )) =
BJ
IJ
.d(I;(SEF )) = 3d(I ;(SEF )) = 3d(A;(SEF ))
.!
Kẻ!AK!vuông!góc!với!SH!tại!K!ta!có!

AK ⊥ (SEF )
.!
Tam!giác!vuông!SAH!có:!
!

1
AK
2
=
1
AH
2
+
1
SA
2
=

2
a
2
+
2
3a
2
=
8
3a
2
⇒ AK =
a 6
4
!.!
Vậy!

d (B;(SEF )) = 3.
a 6
4
=
3a 6
4
.!!!!!
Bj=)-)k\d*)>%e6lF)Trong!không!gian!với!hệ!trục!toạ!độ!Oxyz!cho!3!điểm!A(3;0;0),!B(0;3;0),!
C(0;0;3).!Xác!định!tâm!và!bán!kính!mặt!cầu!(S)!ngoại!tiếp!tứ!diện!OABC.!Viết!phương!trình!
mặt!phẳng!(P)!tiếp!xúc!với!(S)!tại!A.!
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn!
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&!

5!
Giả!sử!mặt!cầu!(S)!có!dạng:!

x
2
+ y
2
+ z
2
− 2ax − 2by− 2cz + d = 0(a
2
+ b
2
+ c
2
− d > 0)
.!
Vì!O,A,B,C!thuộc!(S)!nên!

d = 0
9−6a + d = 0
9−6b + d = 0
9−6c + d = 0
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪

⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⇔
a = b = c =
3
2
d = 0
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
.!
Vì!vậy!

(S ) : x
2
+ y
2
+ z

2
− 3x −3y− 3z = 0
.!
Mặt!cầu!(S)!có!tâm!

I (
3
2
;
3
2
;
3
2
),R =
3 3
2
.!
+)!Ta!có:!

AI
! "!
= (−
3
2
;
3
2
;
3

2
) / /(−1;1;1)
.!Mặt!phẳng!(P)!tiếp!xúc!với!(S)!tại!A!nên!nhận!

AI
! "!
làm!véc!
tơ!pháp!tuyến!vì!vậy!

(P ) : x − y − z −3 = 0
.!!!!!!!!!
BH=),)IJK*)>%L6MF!Trong!mặt!phẳng!với!trục!toạ!độ!Oxy!cho!hình!chữ!nhật!ABCD!có!diện!tích!
bằng!16!và!M(4;7)!là!trung!điểm!cạnh!BC.!Đường!tròn!ngoại!tiếp!tam!giác!CDM!cắt!đường!
thẳng!AC!tại!điểm!

F (
6
5
;
13
5
)
.!Tìm!toạ!độ!các!đỉnh!A,B,C,D!biết!đỉnh!D!nằm!trên!đường!thẳng!

x + y − 3 = 0
và!đỉnh!C!có!hoành!độ!là!số!nguyên!dương.!
!
+)!Tứ!giác!DCMF!nội!tiếp!đường!tròn!đường!kính!DM!nên!

DFM

!
= DCM
!
= 90
0
.!
Vì!vậy!DF!vuông!góc!với!MF,!đường!thẳng!DF!đi!qua!F!và!
nhận

FM
! "!!
= (
14
5
;
22
5
) / /(7;11)
làm!vtpt!nên!có!phương!trình!là:!

7x +11y− 37 = 0
.!
!
Toạ!độ!điểm!D!là!nghiệm!của!hệ!

7x +11y−37 = 0
x + y − 3 = 0
⎧
⎨
⎪

⎪
⎩
⎪
⎪
⇔
x = −1
y = 4
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⇒ D(−1;4)
.!
+)!Gọi!C(a;b)!ta!có!

S
ABCD
= CD.CB = 2CD.CM = 4S
CDM
= 16 ⇒ S
CDM
= 4
.!
Đường!thẳng!DM!có!phương!trình!là!

3x −5y + 23 = 0
.!

Ta!có:!

S
CDM
=
1
2
DM .d(C ;DM ) = 4 ⇔
1
2
. 3
2
+ 5
2
.
3a − 5b + 23
3
2
+ 5
2
= 4 ⇔ 3a − 5b + 23 = 8
.!
Và!tam!giác!CDM!vuông!nên!theo!Pitago!ta!có:!
!

CM
2
+CD
2
= DM

2
⇔ (a − 4)
2
+ (b −7)
2
+ (a +1)
2
+ (b −4)
2
= 3
2
+ 5
2
⇔ a
2
+ b
2
− 3a −11b + 24 = 0
!.!
Vậy!ta!có!hệ!!
!

a
2
+ b
2
−3a −11b + 24 = 0
3a −5b + 23 = 8
⎧
⎨

⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⇔
a = 3,b = 8
a = 0,b = 3
a = −
24
17
,b =
91
17
a =
75
17
,b =
96
17
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢

⎢
⎢
⎢
⎢
⇒ C (3;8)
.!
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn!
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&!
6!
Vì!M!là!trung!điểm!của!BC!nên!B(5;6).!Vì!

AD
! "!!
= BC
! "!!
⇒ A(1;2)
.!
NC#)$=;&(!Vậy

A(1;2),B(5;6),C (3;8),D(−1;4)
.!!
BH=)O)IJK*)>%L6MF!Giải!hệ!phương!trình

x
2
− 2y
2
−3x + 6y = 2y x −1
(2− 3y )( x + y +1 + x + y ) =1

⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
(x, y ∈ !)
.!!
Điều!kiện:!

x ≥1, y ≥ 0
.!
Phương!trình!thứ!hai!của!hệ!tương!đương!với:!
!

2− 3y = x + y +1− x + y ⇔ x + y − 3y = x + y +1 − 2
⇔
x −2y
x + y + 3y
=
x + y −3
x + y +1+ 4
⇒ (x − 2y)(x + y −3) ≥ 0 (1)
.!
+)!Sử!dụng!bất!đẳng!thức!AM!–GM!cho!phương!trình!đầu!của!hệ!ta!được:!
!

x
2
− 2y
2
−3x + 6y = 2y x −1 ≤ 2y.
x −1+1
2
= xy
⇒ x
2
− 2y
2
− xy −3x + 6y ≤ 0
⇔ (x −2y)(x + y) −3(x −2y) ≤ 0 ⇔ (x −2y)(x + y − 3) ≤ 0 (2)
.!
Từ!(1)!và!(2)!suy!ra:!

(x −2y)
2
(x + y −3)
2
≤ 0 ⇔
x = 2y
x + y = 3
⎡
⎣
⎢
⎢
.!
Và!dấu!bằng!trong!bất!đẳng!thức!AM!–GM!xảy!ra!vì!vậy!

!

x = 2y
x + y = 3
⎡
⎣
⎢
⎢
x −1 = 1
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⇔
x = 2
y = 1
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪

!(thỏa!mãn).!
NC#)$=;&()Vậy!hệ!phương!trình!có!nghiệm!duy!nhất!

(x; y) = (2;1)
.!!
PQ%)#;@)#<R&1)#ST)
PQ%):U)*JF!Giải!hệ!phương!trình!

( x + y + 2 + x + y )(2− 2y ) = 2
( y +1) x + 3 =
x
2
− x + 4y + 4
2
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
.!Đ/s:!

(x; y) = (1;1)
.!
PQ%):U)*.F!Giải!hệ!phương!trình!

x y + 2 + y x + 2 =
2y
2
+ 5x −3y + 4
2
x + y + 3 + y
2
+ y = x + y
2
+ 3
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
.!Đ/s:!

(x; y) = (2;2)
.!!!!!
BH=)+)IJK*)>%L6MF!Cho!x,y,z!là!các!số!thực!dương!thoả!mãn!

(x + y)
2

+ 4x
2
y
2
+1 = (2z
2
+1)
2
.!
Tìm!giá!trị!nhỏ!nhất!của!biểu!thức

P =
16x
3
( y + z)
3
+
16y
3
(x + z)
3
+ 3.
xy +1
z
2
+1
.!!
Đặt!

a = x + y

b = xy
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
(a
2
≥ 4b > 0) ⇒ a
2
+ 4b
2
+1 = (2z
2
+1)
2
.!
Sử!dụng!bất!đẳng!thức!AM!–GM!ta!có:!
!

a
3
+ b
3
= (a + b)
3
−3ab(a + b) ≥ (a + b)
3

−3.
(a + b)
2
4
(a + b) =
1
4
(a + b)
3
.!
Áp!dụng!ta!có:!!!
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn!
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&!
7!
!

x
3
( y + z)
3
+
y
3
(x + z)
3
≥
1
4
(

x
y + z
+
y
z + x
)
3
≥
1
4
3(
x
y + z
+
y
x + z
)− 2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
≥

1
4
(
5
2
−
3z
x + y
)
.!
Bởi!vì!

x
y + z
+
y
z + x
+
z
x + y
≥
3
2
.!!
Ta!chứng!minh:!

xy +1
z
2
+1

≥ 4
z
x + y
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
2
.!Thật!vậy!bất!đẳng!thức!tương!đương!với:!
!

(x + y)
2
(xy +1) ≥ 4z
2
(z
2
+1) = (2z
2
+1)
2
−1 ⇔ a

2
(b +1) +1≥ (2z
2
+1)
2
.!
Sử!dụng!bất!đẳng!thức!AM!–GM!ta!có:!
!

a
2
(b +1) +1= a
2
b +a
2
+1≥ a
2
+1+ 4b
2
.!
Mặt!khác!theo!giả!thiết!có:

a
2
+1+ 4b
2
= (2z
2
+1)
2

.!Ta!có!điều!phải!chứng!minh.!
Vì!vậy!!
!

P ≥ 4(
5
2
−
3z
x + y
) +12(
z
x + y
)
2
= 12(
z
x + y
−
1
2
)
2
+ 7 ≥ 7
.!
Dấu!bằng!xảy!ra!khi!và!chỉ!khi!

x = y = z
.!Vậy!giá!trị!nhỏ!nhất!của!P!bằng!7.!
!

!
!!!
!!
!!!
!!!!!!
!
!!!
!!!!!
!