Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán 2015 số 10

TRƯỜNGTHPTCHUYÊN
NGUYỄN HUỆ
KỲTHITHỬĐẠI HỌCLẦNTHỨ BA
NĂMHỌC2014–2015
ĐỀ THIMÔN:TOÁN
Thờigianlàmbài:180phút
Câu1(2điểm) Chohàmsố
4 2
y x 2x 1 = - - cóđồthịlà(C).
1. Khảosátsựbiếnthiênvàvẽđồthịhàmsố.
2. Viếtphươngtrìnhtiếptuyếncủađồthịhàmsố(C)biếttiếptuyếnđiquađiểm M(0; 1). -
Câu2(1điểm)
1. Giảiphươngtrình: sinx( 3 sinx) cosx(1 cos x) 0 - - + = .
2. Tìmsốphứczthỏamãn:
2
(1 2i) z z 4i 20 + + = -
.
Câu3(1điểm)
1. Mộthộpđựng5viênbiđỏ,6viênbitrắngvà7viênbivàng.Chọnngẫunhiên4viênbitừ
hộpđó.Tínhxácsuấtđểtrongsốbiđượcchọnkhôngcóđủcảbamàu?
2. Giảiphươngtrìnhsau: x x x + + - =
8
4 8
2
1 1
log ( 3) log ( 1) 3log (4 )
2 4
.
Câu4(1điểm) Tính:
1
2

ln
e
I x xdx
x
æ ö
= +
ç ÷
è ø
ò
.
Câu 5(1điểm) TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chomặtphẳng(P): 2 6 0x y z - + - =
vàđiểmM(1,1,2).
a)ViếtphươngtrìnhđườngthẳngđiquaMvàvuônggócvớimặtphẳng(P)
b)ViếtphươngtrìnhmặtcầucótâmnằmtrêntrụcOxvàtiếpxúcvớimặtphẳng(P)tạiđiểmM.
Câu 6(1điểm) ChohìnhchópS.ABCDcóđáyABCDlàhìnhvuôngcạnhbằnga,đường
caoSHvớiHthỏamãn
HN 3HM = -
uuur uuuur
trongđóM,NlầnlượtlàtrungđiểmcủaAB,CD.Tínhthể
tíchkhốichópS.ABCDvàdiệntíchmặtcầungoạitiếpS.ABCDbiếtgócgiữa(SAB)và(ABCD)
bằng60
0
.
Câu 7(1điểm) Chođường tròn (C) có phương trình:
2 2
x y 2x 4y 1 0 + - - + =
và P(2,1).
MộtđườngthẳngdđiquaPcắtđườngtròntạiAvàB.TiếptuyếntạiAvàBcủađườngtròncắt
nhautạiM.TìmtọađộcủaMbiếtMthuộcđườngtròn
2 2

x y 6x 4y 11 0 + - - + = .
Câu 8(1điểm) Giảihệphươngtrình:
2
x y 2y 1 x y 5
y 2 xy y
ì
+ + - + - =
ï
í
+ = +
ï
î
.
Câu 9(1điểm) vớia,b,clàcácsốthựcthỏamãn
2 2 2
a b c 3 + + = .Tìmgiátrịlớnnhấtcủa
biểuthức
4 4 4
P a b c 3(ab bc ca) = + + + + + .
TRƯỜNGTHPTCHUYÊN
NGUYỄNHUỆ
KỲTHITHỬĐẠIHỌCLẦNTHỨ BA
NĂMHỌC2014– 2015
ĐÁPÁNVÀBIỂUĐIỂMMÔN:TOÁN
Câu Ý Nộidung Điểm
1
(2điểm)
1
4 2
2 1 y x x = - - TXĐ:R

3
' 4 4 y x x = - .
0
' 0
1
x
y
x
=
é
= Û
ê
= ±
ë
0,25
Giớihạn:
;
lim lim
x x
y y
®+¥ ®-¥
= +¥ = -¥
bảngbiếnthiên
X ∞ 1 0 1 +∞
y’  0+ 0  0+
Y
Hàmsốđồngbiếntrên(1;0);(1; +∞).Hàmsốnghịchbiếntrên(∞;1);(0;1)
Hàmsốđạtcựcđạitại
0 1 x y = Þ = -
.

Hàmsốđạtcựctiểutại
1 1
2 2
1 2
1 2
x y
x y
= - Þ = -
ì
í
= Þ = -
î
0,5
Đồthị
đồthịhàmsốnhậnOylàmtâmđốixứng.
0,25
2
Phươngtrìnhtiếptuyếncủa(C)tạitiếpđiểmN(
4 2
; 2 1 a a a - - )là:
3 4 2
(4 4 )( ) 2 1 y a a x a a a = - - + - -
0,25
TiếptuyếnđiquaMnên:
3 4 2
1 (4 4 )(0 ) 2 1 a a a a a - = - - + - -
0,25
4 2
3 2 0
0

2
3
a a
a
a
Û - =
=
é
ê
Û
ê
= ±
ê
ë
0,25
Với
0 a =
phươngtrìnhtiếptuyếnlà: 1 y = -
0,25
+∞ +∞1
2 2
Vi
2
3
a = phngtrỡnhtiptuynl:
4 2 5
3 3 9
y x = - -
Vi
2

3
a = - phngtrỡnhtiptuynl:
4 2
1
3 3
y x = -
2
(1im)
1
2
Phngtrỡnhtngng
2 2
3 sin x cos x sin x cos x 3 sin x cos x 1 - = + - =
0,25
x k2
3 1 1
sin x cos x sin(x ) sin (k Z)
3
2 2 2 6 6
x k2
p
ộ
= + p
p p
ờ
- = - = ẻ
ờ
= p + p
ở
0,25

t ,( , ) z a bi a b R z a bi = + ẻ ị = - .Suyra:
2
(1 2 ) ( ) 4 20 ( 2 4 ) (4 4 ) 4 20 i a bi a bi i a b a b i i + + + - = - - - + - = -
0,25
10 4
1 3
a b a
a b b
+ = =
ỡ ỡ

ớ ớ
- = =
ợ ợ
.Vy
4 3 z i = +
0,25
3
(1im)
1
Scỏchchn ngunhiờn 4bitsbitronghpl:
4
18
3060C =
Scỏchchn4bi3mutsbitronghpl:
2 1 1 1 2 1 1 1 2
5 6 7 5 6 7 5 6 7
+ +C C C C C C C C C
0,25
Scỏchchn 4viờnbikhụngcú3mul:

4 2 1 1 1 2 1 1 1 2
18 5 6 7 5 6 7 5 6 7
( ) 1485 - + + =C C C C C C C C C C
Vyxỏcsuttrongsbicchnkhụngcú3mul:
4 2 1 1 1 2 1 1 1 2
18 5 6 7 5 6 7 5 6 7
4
18
( )
33
48,53%
68
C C C C C C C C C C
C
- + +
= ằ
0,25
2
K: 0 1 x x > ạ
Phngtrỡnhtngngvi: x x x + + - =
2 2 2
log ( 3) log 1 log (4 )
x x x
ộ ự
+ - =
ở ỷ
2 2
log ( 3) 1 log (4 ) x x x + - = ( 3) 1 4 (1)
0,25
TH1:

0 1 x < <
,suyra:
x
x x x x x
x loai)
ộ
= - +
+ - = + - =
ờ
= - -
ở
2
3 2 3
( 3)(1 ) 4 6 3 0
3 2 3(
TH2:
1 x >
,suyra:
x
x x x x x
x loai
ộ
=
+ - = - - =
ờ
= -
ở
2
3
( 3)( 1) 4 2 3 0

1( )
0,25
4
(1im)
Tacú:
1 1 1
2 ln
ln ln 2
e e e
x
I x xdx x xdx dx
x x
ổ ử
= + = +
ỗ ữ
ố ứ
ũ ũ ũ
.
0,25
2
2 2 2 2
1
1 1 1 1
1 1 1 1
ln ln ( ) ln (ln ) ( ln )
1 1
2 2 2 4
e e e e
e e
e

I x xdx xd x x x x d x x x xdx
ộ ự
+
= = = - = - =
ờ ỳ
ở ỷ
ũ ũ ũ ũ
0,25
2
2
1 1
ln
2 2 ln (ln ) (ln ) 1
1
e e
e
x
I dx xd x x
x
= = = =
ũ ũ
0,25
Suyra:
2
1 2
1
( 5)
4
I I I e = + = +
0,25

5
(1im)
ngthngdiquaMvvuụnggúcvimtphng(P)cúVTCP u(1, 1,2) -
r
0,25
ngthngdcúphngtrỡnh
x 1 y 1 z 2
1 1 2
- + -
= =
-
0,25
Mặtcầu(S)tiếpxúcvớimặtphẳng(P)tạiđiểmMnêncótâmIthuộcd
TọađộđiểmIlànghiệmcủahệ
x 1 y 1 z 2
1 1 2
y 0
z 0
- + -
ì
= =
ï
-
ï
=
í
ï
=
ï
î

Suyra(S)cótâmO(0,0,0)
0,25
Bánkínhmặtcầu(S):R=
OM 6 =
Mặtcầu(S)cóphươngtrình:
2 2 2
x y z 6 + + =
0,25
6
(1điểm)
Do
( )
MN AB
AB SMH
SH AB
^
ü
Þ ^
ý
^
þ
Þ
gócgiữa(SAB)và(ABCD)làgócgiữaSMvà
MH.Vậy
60 SMH Ð = °
.
0,25
Dođó:
3
3 1 3

.tan 60 .
4 3 12
SABCD ABCD
a a
SH MH V MH S = ° = Þ = =
0,25
GọiIlàtâmmặtcầungoạitiếphìnhchópS.ABCD,suyra
( ) IO ABCD ^
.
Đặt
IO x =
.Từ:
2 2 2 2
= + = R OI OA SI
,suyra:
2 2
2 2
3 3
( )
2 4 16 6
+ = + + Û =
a a a a
x x x
Dođó:
2
2 2
21 7
6 3
mc
a a

R x OA S

p

= + = Þ =
0,5
7
(1điểm)
Đườngtròn( ) C cótâmI(1,2),R=2
GọiM(a,b).Do
2 2
1
( ) 6 4 11 0(1) M C a b a b Î Þ + - - + =
0,25
Phươngtrình đườngtròn đườngkínhIM:
2 2
( 1) ( 2) 2 0 x y a x b y a b + - + - + + + =
0,25
Suyraphươngtrình đườngthẳngd:( 1) ( 2) 1 2 0 a x b y a b - + - + - - =
Do
3 0(2) P d a b Î Þ - - =
0,25
Từ(1)và(2)suyra:
4
(4;1)
1
a
M
b
=

ì
Þ
í
=
î
0,25
8
(1điểm)
Điềukiện
1
x y
2
³ ³
Đặt
a 2y 1 0, b x y 0 = - ³ = - ³
0,25
Phươngtrìnhthứnhấttrởthành
2 2
a b a b 4(3) + + + =
Phươngtrìnhthứhaitrởthành
2 2 2 2
a b a b 3(4) + + =
0,25
H
O
M
N
D
C
B

A
S
I
Giih(3),(4)t
( , 0)
.
S a b
S P
P a b
= +
ỡ

ớ
=
ợ
tac:
2
2 2
2 4 (5)
2 3 (6)
S S P
P S P
ỡ
+ - =
ù
ớ
+ - =
ù
ợ
Tr(5)cho(6)tac

2 2
1 1 S P S P - = ị = +
Thayvo(6):
2 4 2
2 1 2 3 P P P P + + + - =
3 2
( 1)( 4 2) 0 P P P P - + + + =
3 2
1
4 2 0
P
P P P
=
ộ

ờ
+ + + =
ở
Kthpiukiờn 0 P tacP=1 S=2
0,25
Giih P=1 S=2 tathuca=b=1
Suyrahcúnghimduynht
(x 2y 1) = =
0,25
9
(1im)
Do
( )
( )
4 4 4 4 4 4

3 3 P a b c ab bc ca a b c a b b c c a = + + + + + Ê + + + + +
nờntacúthcoi , , 0 a b c .gis
1 3 = ị Ê Êax{a,b,c} a m a
0,25
Doú
( )
2
2 2
4 2
3 3
2 3 2. 3 3
2 2
a a
P a a a
ổ ử ổ ử
- -
Ê + + - +
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
Hay
( )
4 2 2
3 9
9 3 2 3
2 2
P a a a a Ê + + + -
0,25
Xộthms
( )
( )

4 2
3 6 2 2 3 f a a a a a = - + + -
trờn
0 3
ộ ự
ở ỷ
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
3 2
2
2
3
2
2
2
4
' 4 6 2 2 3
2 3
12 8
4 6
2 3
2
4 6
2 3
a

f a a a a
a
a
a a
a
a a
a
= - + - -
-
-
= - +
-
ổ ử
ỗ ữ
= - -
ỗ ữ
ỗ ữ
-
ố ứ
( )
( )
2
2
3
4 6 0
2
2
' 0 1
0
2 3

2
a
a
f a a
a
a
a
ộ
=
ờ
ộ
- =
ờ
ờ
ờ
= =
ờ
- =
ờ
ờ
-
=
ờ
ở
ờ
ở
(do 0 a )
Tacúbngbinthiờn
a
1

3
2
2
3
f 0 0 +0
f
( )
0 3
1
8
2
ax
a
M f a
a
ộ ự
ở ỷ
=
ộ
ị =
ờ
=
ở
0,25
( )
1
3
2
12
2

1
2
axP=12
a b c
a
P f a M
b c
= = =
ộ
ờ
ỡ
=
ờ
ị Ê Ê ị
ù
ờ
ớ
ờ
= =
ù
ờ
ợ
ở
0,25
6
8 8