Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán 2015 số 25

Trờng thpt lơng thế vinh
Hà nội

Năm học 2014 - 2015

đề thi thử thpt quốc gia năm 2015
Môn thi: Toán
Môn thi: ToánMôn thi: Toán
Môn thi: Toán

-

- Lần thứ 3
Lần thứ 3 Lần thứ 3
Lần thứ 3



Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

Ngày 16.5.2015


Cõu 1 (2,0 ủim). Cho hm s
3 2
1
x
y
x

=

.
a) Kho sỏt s bin thiờn v v ủ th (
C
) ca hm s ủó cho.
b) Tỡm cỏc giỏ tr ca
m
ủ ủng thng
:
d y x m
= +
ct ủ th (
C
) ti hai ủim phõn bit.
Cõu 2 (1,0 ủim).
a) Cho gúc

tha món:
3
2


< < v
tan 2

=
. Tớnh
2
5
sin sin sin 2

2 2
M



= + + +


.
b) Cho s phc
z
tha món h thc:
2
( 3) (2 )
i
i z i z
i
+
+ + = . Tỡm mụủun ca s phc
w z i=
.
Cõu 3 (0,5 ủim).
Gii bt phng trỡnh:
2 0,5
log ( 2) log 1
x x
+ < .
Cõu 4 (1,0 ủim).
Gii bt phng trỡnh:
3 2 3 2

2 4 5 3 4x x x x x x x > + + .

Cõu 5 (1,0 ủim).
Tớnh tớch phõn:
( )
2
0
cos2 .
I x x x dx

= +


Cõu 6 (1,0 ủim).
Cho hỡnh chúp
.S ABCD
cú ủỏy l hỡnh thang vuụng ti
A
v
B
;
;AB BC a= =

2AD a=
;
( )SA ABCD
. Gúc gia mt phng
( )SCD
v mt phng
( )ABCD

bng
0
45
. Gi
M
l trung
ủim
AD
. Tớnh theo
a
th tớch khi chúp
.S MCD
v khong cỏch gia hai ủng thng
SM
v
BD
.
Cõu 7 (1,0 ủim). Trong mt phng ta ủ
,Oxy
cho tam giỏc
ABC
cú phng trỡnh ủng phõn giỏc
trong gúc
A l : 3 0d x y+ = . Hỡnh chiu vuụng gúc ca tõm ủng trũn ni tip tam giỏc
ABC
lờn
ủng thng
AC
l ủim
(1;4)E

. ng thng
BC
cú h s gúc õm v to vi ủng thng
AC
gúc
0
45
. ng thng
AB tip xỳc vi ủng trũn
(
)
2
2
( ) : 2 5C x y+ + = . Tỡm phng trỡnh cỏc cnh ca tam
giỏc
ABC .
Cõu 8 (1,0 ủim).
Trong khụng gian vi h ta ủ Oxyz , cho ủim
( )
1; 1;0
A

v ủng thng
1 1
:
2 1 3
x y z
d
+
= =

. Lp phng trỡnh mt phng ( )
P
cha
A
v
d
. Tỡm ta ủ ủim
B
thuc trc
Ox

sao cho khong cỏch t ủim
B
ủn mt phng ( )
P
bng 3 .
Cõu 9 (0,5 ủim).
Trong ủt xột tuyn vo lp 6A ca mt trng THCS nm 2015 cú 300 hc sinh ủng
ký. Bit rng trong 300 hc sinh ủú cú 50 hc sinh ủt yờu cu vo lp 6A. Do khụng ủc t chc thi
tuyn, nh trng quyt ủnh bc thm ngu nhiờn 30 hc sinh t 300 hc sinh núi trờn. Tỡm xỏc sut ủ
trong s 30 hc sinh chn trờn cú ủỳng 90% s hc sinh ủt yờu cu vo lp 6A.
Cõu 10 (1,0 ủim).
Cho cỏc s thc
,
a b
dng v tha món
1
ab

.
Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc
1 1 32
1 1
2 (1 ) 2 (1 ) 8
T
a b
a a b b
= +
+ +
+ + + +
.

HT

Thớ sinh khụng ủc s dng ti liu. Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm.
Gv. Trn Mnh Tựng 091 3366 543
WWW.VNMATH.COM

1/6

Trờng thpt lơng thế vinh
Hà nội

Nm hc 2014 2015
đáp án thang điểm
đề thi thử thpt quốc gia năm 2015
Môn thi: Toán
Môn thi: Toán Môn thi: Toán
Môn thi: Toán Lần thứ

Lần thứ Lần thứ
Lần thứ 3
33
3





ỏp ỏn cú 06 trang


Cõu ỏp ỏn im

a) (1,0 ủim) Kho sỏt s bin thiờn v v ủ th ca hm s
3 2
1
x
y
x

=

.


Tp xỏc ủnh:
D = R
\
{1}

.
lim 3; lim 3
x x
y y
+
= =
suy ra tim cn ngang
3y =
.
1 1
lim ; lim
x x
y y
+

= + =
suy ra tim cn ủng ca ủ th hm s l ủng thng
1
x
=
.
o hm:
( )
2
1
' 0 1
1
y x
x

= <

.
0,25
Hm s luụn nghch bin trờn khong
( )
;1
v
( )
1;+
.
Hm s khụng cú cc tr.
0,25
Bng bin thiờn:
x
1 +
y' - -
y
3
+



3


0,25
th: (Hs cú th ly ủim
(2;4); (0;2)
).

0,25
b)

(1,0 ủim) Tỡm cỏc giỏ tr ca m ủ
:d y x m= +
ct ủ th (
C
) ti hai ủim phõn bit.


Phng trỡnh tng giao:
3 2
1
x
x m
x

= +


( 1)x

2
( ) (2 ) 2 0f x x m x m = + + =
(1)
0,25
K: (1) cú 2 nghim phõn bit khỏc 1
0
(1) 0f
>

0,25
2
4 12 0m m >

0,25
1
(2,0ủ)
6; 2m m > <
.
0,25
a)

(0,5 ủim) C
ho
tan 2

= .
3
2


< < . T
ớnh
2

5
sin sin sin 2
2 2
M



= + + +


.

Ta cú
2 2
2
1 1 1 3
1 tan 1 4 5 cos cos
cos 5 2
5
x




= + = + = = = < <


.
0,25
2 2 2 2

sin cos cos2 sin cos 2cos 1 cos cos
M

= + + = + + = + =
1 1
5
5

.
0,25
2
(1,0ủ)
b)

(0,5 ủim)

Cho
2
( 3) (2 )
i
i z i z
i
+
+ + =
. Tỡm mụủun ca s phc w z i= .


WWW.VNMATH.COM

2/6

Gọi
(
)
2
, , 1z a ib a b R i= + ∈ = −
. Từ giả thiết ta có:
( 3)( ) 1 2 (2 )( )
1
1 0
4
( 1) (2 5 2) 0 1 .
4
2 5 2 0
5
5
i a bi i i a bi
a
a
a a b i z i
a b
b
+ + + − = − −
= −

+ =


⇔ + + + − = ⇔ ⇔ ⇒ = − +
 

+ − =
=




0,25
Từ ñó:
1 1
| | | 1 | 1
5 25
z i i− = − − = + =
26
5
.
0,25
Giải bất phương trình:
2 0,5
log ( 2) log 1
x x
− + <
.

ðiều kiện:
2
x
>
.
Bpt
( )

2 2 2
2 2
log 2 log 1 log 1 2
x x
x x
x x
− −
⇔ − − < ⇔ < ⇔ <

0,25
3
(0,5ñ)
2 2 2
x x x
⇔ − < ⇔ > −
.
Kết hợp ñiều kiện ta ñược nghiệm của bpt là
2
x
>
.
0,25
Giải bất phương trình:
3 2 3 2
2 4 5 3 4x x x x x x x− − > − + − − +
.


Bpt
( ) ( )

2 2
2 2 1 2 ( 1)x x x x x x
 
⇔ − − > − + − − +
 

(
)
0
x
≥
.
( )
2
( 2) | 2 | 1 1 2 1
x x x x x
 
⇔ − + − + > + − +
 
 
. (1)
•
2 :
x
=

(1) 0 2 2⇔ >
(loại).
0 : (1) 2 2
x

= ⇔ − > −
(loại).
0,25
•
2 :
x
>

(
)
( )
2
(1) ( 2) 1 1 1 2 1
x x x x
 
⇔ − + + > + − +
 
 

Chia 2 vế cho
.( 2) 0
x x
− >
ta ñược:
( )
2
1 1 1 1
(1) 1 1
2
2

x x
x
x
⇔ + + > + +
−
−
.
Xét hàm
2
2
( ) 1 , 0 '( ) 1 0 0
1
t
f t t t t f t t
t
= + + > ⇒ = + > ∀ >
+
( )
f t
⇒
ñồng biến
0t∀ >

1 1
(1)
2
x
x
⇔ >
−

.
0,25
2
2 5 4 0 4; 1
x x x x x x
⇔ − > ⇔ − + > ⇔ > <
.
Kết hợp
2 4
x x
> ⇒ >
.
0,25
4
(1,0ñ)
•
0 2:
x
< <

(
)
( )
2
(1) ( 2) 1 1 1 2 1
x x x x
 
⇔ − − + > + − +
 
 

.
Chia 2 vế cho
.( 2) 0
x x
− <
ta ñược:
( )
2
1 1 1 1
(1) 1 1
2
2
x x
x
x
⇔ − + < − +
−
−
.
Xét hàm
2
2
2 2
1
( ) 1 , '( ) 1 0
1 1
t t t
f t t t t f t t
t t
+ −

= − + ∈ ⇒ = − = > ∀
+ +
R
( )f t⇒
ñồng biến
t∀
.
Từ ñó
1 1
(1)
2x
x
⇔ <
−
. Trường hợp này vô nghiệm vì
1
0
2
x
<
−
.
ðáp số:
4
x
>
.
0,25
WWW.VNMATH.COM

3/6


Cách 2:
ðK

0
x
≥

(mỗi dấu + ứng với ¼ ñiểm)
0
x
=
không là nghiệm. Xét
0 :
x
>

+
( )( )
2
3 2 3 2
5 4
(1) 2 1
4 5 3 4
x x
x x
x x x x x
− +

⇔ − + >
− + + − +

( )
3 2 3 2
1 1
( ) 4 0
2
4 5 3 4
x x
f x x
x
x x x x x
 
+ −
⇔ = − + >
 
+
− + + − +
 
.
+ Xét
3 2 3 2
1 1
( )
2
4 5 3 4
x x
g x
x

x x x x x
+ −
= +
+
− + + − +

Nếu
1
x
≥
thì
( ) 0g x >
.
+ Nếu
0 1:
x
< <

1 1 1 1x x+ > ⇒ + >
. Ta có:
1 1 1
(1)
2
2 2 2
x x
x x
+ +
> =
+ +

( )( )
2
3 2
3 4 1 2 2 1 2 2
x x x x x x x x
− + = + − = − + > − = −


3 2 3 2
4 5 3 4 2
x x x x x x
⇒ − + + − + > −


3 2 3 2
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
4 5 3 4
x x x x
x x x x
x x x x x
− − − −
⇒ < = < =
− − + −
− + + − +


3 2 3 2
1 1

(2)
2
4 5 3 4
x
x x x x x
−
⇒ > −
− + + − +
. Từ
(1)
và
(2)
suy ra
( ) 0 0g x x> ∀ >
.
+
( ) 0 4 0 4f x x x> ⇔ − > ⇔ >
. Kết hợp ðK suy ra ñáp số:
4
x
>
.

Tính tích phân:
( )
2
0
cos2 .
I x x x dx
π

= +
∫


2 2
2
0 0
cos2
I x dx x xdx
π π
= +
∫ ∫
. Ta có
3
2
2 3
2
0
0
1
3 24
A x dx x
π
π
π
= = =
∫
.
0,25
2

0
cos2 .
B x xdx
π
=
∫
ðặt
1
' 1. ' cos2 sin 2
2
u x u v x v x= ⇒ = = ⇒ =
.
2
2
0
0
1 1
sin 2 sin 2
2 2
B x x xdx
π
π
= −
∫
.
0,25
( )
2
0
1 1 1 1

0 cos 2 1 1
2 2 4 2
x
π
 
= − − = − − = −
 
 

0,25
5
(1,0ñ)





I A B
= + =
3
1
24 2
π
−
.
( 0,792)
I
≈
.
0,25

.S ABCD ñáy là hình thang vuông tại
A
và
B
;
;
AB BC a
= =
2
AD a
= ;
( )
SA ABCD
⊥
. Góc giữa
( )
SCD
và
( )
ABCD
bằng
0
45
.
M
là trung ñiểm
AD
. Tính thể tích .S MCD ,
( , )
d SM BD

6
(1,0ñ)
Ta có
( ) ( ) .
SCD ABCD CD
∩ =


0
, ( ) 45 .
CD SA AC CD SAC SC CD SCA
⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ =

0,25
WWW.VNMATH.COM

4/6

H
B
A
C
I
D
F
E
J
.

1
. .
3
S MCD MCD
V SA S=
.
2
1
2; .
2
MCD
SA AC a S a= = =

Suy ra
2
.
1 1
. 2.
3 2
S MCD
V a a= =
3
2
6
a
.
0,25
Gọi
N
là trung ñiểm

AB

//( )
BD SMN
⇒
.
Suy ra:
( , ) ( ,( )) ( ,( )) ( ,( ))
d SM BD d BD SMN d D SMN d A SMN
= = =
.
Kẻ
( ) ( )
,
( ) ( ,( ))
AP MN P MN AH SP H SP
AH SMN d A SMN AH
⊥ ∈ ⊥ ∈
⊥ ⇒ =
.
0,25
Tam giác vuông
SAP
có
2 2 2
1 1 1
AH AS AP
= +

2

2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 11
2 2
4
a
AS AN AM a a a
= + + = + + =

Suy ra
22
11
a
AH
= ⇒
22
( , )
11
a
d SM BD
=
.
0,25
Tam giác
ABC
có phân giác trong góc
A
là
: 3 0
d x y
+ − =

. Hình chiếu của tâm ñường tròn nội
tiếp tam giác
ABC
lên
AC
là
(1;4)
E
.
BC
có hệ số góc âm và tạo với ñường thẳng
AC
góc
0
45
.
ðường thẳng
AB
tiếp xúc với
( )
2
2
( ) : 2 5
C x y
+ + =
. Tìm phương trình các cạnh.

Gọi
F
là ñiểm ñối xứng với

E
qua
d
( 1;2)
F
⇒ −
. Nhận xét:
( )
C
có tâm
( 2;0),
I
−
bán kính
5R =

và
( )
F C
∈
.
Từ ñó
AB
qua
F
và vuông góc với
IF
nên có phương trình
: 2 3 0
AB x y

+ − =
.
0,25
(3;0)
AB d A
∩ = ⇒
: 2 6 0
AC x y
+ − =
.
Gọi
J
là tâm ñường tròn nội tiếp
ABC
∆
. ðường thẳng
∆
qua
1 10
, : 2 7 0 ;
3 3
E AC x y d J
 
⊥ ⇒ ∆ − + = ⇒ ∆ ∩ = −
 
 
.
0,25
7
(1,0ñ)

Gọi vtpt của ñường thẳng
BC
là
2 2
( ; ), 0
n a b a b
= + ≠

. Ta có:
( )
( )
0
2 2
2
2 2 2 2
| 2 |
cos45
5.
2 2 5 3 8 3 0
a b
a b
a b a b a ab b
+
=
+
⇒ + = + ⇒ + − =

•
0 :a =
suy ra

0
b
=
(loại)
•
0 :a ≠
chọn
1 3
a b
= ⇒ =
(thỏa mãn hệ số góc âm),

1
3
b = −
(loại).
Suy ra phương trình
: 3 0
BC x y C
+ + =
.
0,25
A
D
B C
S
M
N
P
H

WWW.VNMATH.COM
WWW.VNMATH.COM

5/6

Do
J
là tâm ñường tròn nội tiếp
ABC
∆
nên
( , ) ( , )
d J AC d J BC
=

Suy ra
2 10 1
| 6| | 10 |
29 10 2
3 3 3
3
5 10
C
C
− + − − + +
− −
= ⇒ =
(thỏa mãn);
29 10 2
3

C
− +
=
(loại vì khi
ñó
,
A J
nằm 2 phía
BC
). Từ ñó:
29 10 2
: 3 0
3
BC x y
+
+ − =
.
ðáp số:
: 2 3 0
AB x y
+ − =
;
: 2 6 0
AC x y
+ − =
;
29 10 2
: 3 0
3
BC x y

+
+ − =
.
0,25
( )
1; 1;0
A
−
,
1 1
:
2 1 3
x y z
d
+ −
= =
−
. Lập
( )
P
chứa
A
và
d
. Tìm
: ( , ) 3
B Ox d B Ox
∈ =
.

ðường thẳng
d
qua
( )
1;1;0
M
−

và có vtcp
(2;1; 3)
u
= −

. Ta có
(2; 2;0)
MA
= −

.
( )
P
qua
( )
1; 1;0
A
−
và có vtpt
( )
, 6;6;6 .n MA u
 

= =
 
  
Chọn
(1;1;1)n =

.
0,25
Phương trình tổng quát của
( )P
là:
1( 1) 1( 1) 1( 0) 0 0.x y z x y z− + + + − = ⇔ + + =

0,25
Gọi
( ;0;0) ;
B b Ox
∈

| |
( ,( )) 3 3
3
b
d B P = ⇔ =
.
0,25
8
(1,0ñ)
| | 3 3 ( 3;0;0)b b B⇔ = ⇔ = ± ⇒ ±
.

ðáp số:
( ) : 0P x y z+ + =
;
( 3;0;0)B ±
.
0,25
Có 300 học sinh ñăng ký. Có 50 học sinh ñạt yêu cầu vào lớp 6A. Bốc thăm ngẫu nhiên 30 học sinh từ
300 học sinh nói trên. Tìm xác suất ñể có ñúng 90% số học sinh ñạt yêu cầu.

Gọi
A
là biến cố: “Chọn ñược 90% học sinh ñạt yêu cầu”.
Chọn ngẫu nhiên 30 học sinh từ 300 học sinh có
30
300
C
cách chọn.
Chọn ñược 90% học sinh ñạt yêu cầu, tức là chọn ñược 27 em. Chọn 27 học sinh từ 50 học sinh có
27
50
C

cách.
Chọn nốt 3 em từ 250 em còn lại có
3
250
C
cách.
0,25
9

(0,5ñ)
Số cách chọn học sinh ñạt yêu cầu là:
27
50
C
.
3
250
C
.
Xác suất của biến cố
A
là
( )P A =
27 3
21
50 250
30
300
.
1,6.10
C C
C
−
≈
.
0,25
Cho
, 0 :a b >

1ab ≥
. Tìm GTNN của
1 1 32
1 1
2 (1 ) 2 (1 ) 8
T
a b
a a b b
= + −
+ +
+ + + +
.


10
(1,0ñ)


Ta có:
( )
1 1 2
, 1
1 1
1
ab
a b
ab
+ ≥ ≥
+ +
+

.
Thật vậy: Quy ñồng, chuyển vế, bñt trên tương ñương với
(
)
(
)
2
1 0a b ab− − ≥
(ðúng).
Lại có:
2 2 2 4
1
3
1 1 .1
1
2
ab
ab
ab ab
= ≥ =
+
+
+ +
+
. Suy ra:
1 1 4
1 1 3a b ab
+ ≥
+ + +
.

0,25
WWW.VNMATH.COM
WWW.VNMATH.COM