Đề luyện thi THPT quốc gia môn Toán số 13

hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
ĐỀ TỰ LUYỆN THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2014- 2015
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
Câu 1* (2,0 điểm) Cho hàm số y = x
3
− (m + 1)x + 5 − m
2
.
1) Khảo sát hàm số khi m = 2;
2) Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời các điểm cực
đại, cực tiểu và điểm I(0 ; 4) thẳng
Câu 2* (1,0 điểm)
1. Giải phương trình:
3sin cos 2 cos2 sin 2 0x x x x− + − − =
2. Gọi
1 2
; z z
là 2 nghiệm phức của phương trình sau:
2
1 0,( )z z z C
− + = ∈
Tính A=
1 2
z z
+

Câu 3* (0,5 điểm) Giải bất phương trình sau:
( ) ( )
2 2
2

1 log log 2 log 6x x x+ + + > −
Câu 4 (1,0 điểm)
Giải hệ phương trình:
3 2 3 5
2 3 2 3 4 2
x y x y
x y x y

+ + − − =


− − − + + =



( )
,x y ∈¡
Câu 5* (1,0 điểm).
Tính tích phân sau:
3
0
3
3. 1 3
x
dx
x x
−
+ + +
∫
Câu 6 (1,0 điểm).

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a ,tam giác SAB cân tại S và
thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Hai mặt phẳng (SCA) và (SCB) hợp
với nhau một góc bằng
0
60
α
=
. Xác định rõ góc
α
và tính thể tích của khối chóp S.ABC
theo a .
Câu 7 (1,0 điểm)
Trong mặt phẳng Oxy cho hình vuông ABCD có M là trung điểm của cạnh BC,phương
trình đường thẳng DM:
x y 2 0− − =
và
( )
C 3; 3−
.Biết đỉnh A thuộc đường thẳng
d :3x y 2 0+ − =
,xác định toạ độ các đỉnh A,B,D.
Câu 8* (1,0 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;-1;1) và hai đường thẳng
1
( ):
1 2 3
x y z
d
+
= =

− −
và
1 4
( ') :
1 2 5
x y z
d
− −
= =
. Chứng minh: điểm M, (d), (d’) cùng nằm trên
một mặt phẳng. Viết phương trình mặt phẳng đó.
Câu 9* (0,5 điểm)
Cho tập
{ }
0;1;2;3;4;5A
=
, từ A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác
nhau, trong đó nhất thiết phải có chữ số 0 và 3.
Câu 10 (1,0 điểm). Cho x, y, z
0≥
thoả mãn x+y+z > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
( )
3 3 3
3
16x y z
P
x y z
+ +
=
+ +

hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn
P N
Cõu í Ni dung im
1 1 HS t lm (HS lm cỏc bc) 1
2
Cú y = 3x
2
(m + 1). Hm s cú C, CT y = 0 cú 2 nghim phõn bit
3(m + 1) > 0 m > 1 (*)
0,25
Phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số là
2
2
( 1) 5
3
y m x m= + +
0,25
Cỏc im cc i, cc tiu v im I(0 ; 4) thng hng.
2
5 4
1
m
m
=
=

0,5
2 1
2

sin x cos x 1 2sin x 2sin x 2sin x cos x 0 + + + =

(1+2sinx)(sinx - cosx +1) = 0
0,25
2
sinx cos x 1
sin(x )
4 2
1
sinx
1
sinx
2
2


=

=






=


=

7
2
6
2
6
3
2
2
2
x k
x k
x k
x k








= +




= +

= +


=


k Â
0,25
2
1 2
1 8 1 8
;
2 2 2 2
z i z i
= + =
0.25
1 2 1 2
1 8 3
3
2 2 2
z z i z z
= = = + =
0.25
3
K:
0 6x
< <

. BPT
( )
( )
2
2
2 2
log 2 4 log 6x x x + >
.
0.25
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Hay: BPT
( )
2
2 2
2 4 6 16 36 0x x x x x⇔ + > − ⇔ + − >
Vậy:
18x < −
hay
2 x<
So sánh với điều kiện. KL: Nghiệm BPT là
2 6x< <
.
0.25
4
Đặt
2 2 2
2 2
2 2 2
2
2 3

2 3 4 7
3 6 2
3
u x y
x y u y u v
x y u v
x y v x u v
v x y

= +
 
+ = = + −
  
⇒ ⇒ ⇒ + + = − +
  
− − = = − −
 
= − −
 


Kết luận nghiệm là (- 3; 2)
0,25
Khi đó hệ ban đầu trở thành:
( )
2 2
3 5
2 7 2 *
u v
v u v

+ =



− − + =


thế v = 5 – 3u vào phương trình (*) giải
tìm được u = 1, từ đó v = 2
0,5
suy ra x = - 3, y = 2.
0,25
5
Đặt u =
2
1 1 2x u x udu dx+ ⇒ − = ⇒ =
; đổi cận:
0 1
3 2
x u
x u
= ⇒ =


= ⇒ =

0,25
Ta có:
3 2 2 2
3

2
0 1 1 1
3 2 8 1
(2 6) 6
3 2 1
3 1 3
x u u
dx du u du du
u u u
x x
− −
= = − +
+ + +
+ + +
∫ ∫ ∫ ∫
0,5

( )
2
2
1
2
6 6ln 1
1
u u u= − + +
3
3 6ln
2
= − +
0,25

6
Gọi H là trung điểm của AB
( )
SH AB SH ABC⇒ ⊥ ⇒ ⊥
Kẻ
( )
AK SC SC AKB⊥ ⇒ ⊥
SC KB
⇒ ⊥
0,25
( ) ( ) ( )
0
SAC ; SBC KA;KB 60
 
⇒ = =
 
0 0
AKB 60 AKB 120⇒ ∠ = ∨ ∠ =
0,25
Nếu
0
AKB 60⇒ ∠ =
thì dễ thấy
KAB∆
đều
KA KB AB AC
⇒ = = =
(vô lí)
Vậy
0

AKB 120∠ =

∆ΚΑΒ
cân tại K
0
AKH 60⇒ ∠ =
0
AH a
KH
tan 60
2 3
⇒ = =
0,25
Trong
SHC∆
vuông tại H,đường cao
KH có
2 2 2
1 1 1
KH HC HS
= +
thay
a
KH
2 3
=
và
a 3
HC
2

=
vào ta được
a 6
SH
8
=
0,25
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
2 3
S.ABC ABC
1 1 a 6 a 3 a 2
V .SH.dt . .
3 3 8 4 32
∆
= = =
7
Gọi A
( )
t; 3t 2− +
.Ta có khoảng cách:
( ) ( )
4t 4
2.4
d A,DM 2d C,DM t 3 t 1
2 2
−
= ⇔ = ⇔ = ∨ = −
hay
( ) ( )
A 3; 7 A 1;5− ∨ −

.Mặt khác A,C nằm về 2 phía của đường thẳng DM nên chỉ có A
( )
1;5−
thoả mãn.
Gọi D
( )
m;m 2−
DM∈
thì
( ) ( )
AD m 1;m 7 ,CD m 3;m 1= + − = − +
uuur uuur
Do ABCD là hình vuông
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
m 5 m 1
DA.DC 0
m 1 m 7 m 3 m 1
DA DC
= ∨ = −


=
 
⇒ ⇔
 
+ + − = − + +
=





uuur uuur
m 5⇔ =
Hay D
( )
5;3
( ) ( )
AB DC 2; 6 B 3; 1= = − − ⇒ − −
uuur uuur
.
Kết luận A
( )
1;5−
,
( )
B 3; 1− −
, D
( )
5;3
0,5
0,5
8
*(d) đi qua
1
(0; 1;0)M −
và có vtcp
1
(1; 2; 3)u = − −
uur

(d’) đi qua
2
(0;1;4)M
và có vtcp
2
(1;2;5)u =
uur
*Ta có
1 2
; ( 4; 8;4)u u O
 
= − − ≠
 
uur uur ur
,
1 2
(0;2;4)M M =
uuuuuuur
Xét
1 2 1 2
; . 16 14 0u u M M
 
= − + =
 
uur uur uuuuuuur
 (d) và (d’) đồng phẳng .
0,5
*Gọi (P) là mặt phẳng chứa (d) và (d’) => (P) có vtpt
(1;2; 1)n = −
ur

và đi qua M
1
nên có phương
trình
2 2 0x y z+ − + =
*Dễ thấy điểm M(1;-1;1) thuộc mf(P) , từ đó ta có đpcm
0,5
9
-Gọi số cần tìm là
( )
0abcde a ≠
-Tìm số các số có 5 chữ số khác nhau mà có mặt 0 và 3 không xét đến vị trí a.
Xếp 0 và 3 vào 5 vị trí có:
2
5
A
cách
3 vị trí còn lại có
3
4
A
cách
Suy ra có
2 3
5 4
A A
số
0.25
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
-Tìm số các số có 5 chữ số khác nhau mà có mặt 0 và 3 với a = 0.

Xếp 3 có 4 cách
3 vị trí còn lại có
3
4
A
cách
Suy ra có
3
4
4.A
số
Vậy số các số cần tìm tmycbt là:
2 3
5 4
A A
-
3
4
4.A
= 384
0.25
10
Trước hết ta có:
( )
3
3 3
4
x y
x y
+

+ ≥
(biến đổi tương đương)
( ) ( )
2
0x y x y⇔ ⇔ − + ≥
0.25
Đặt x + y + z = a. Khi đó
( ) ( )
( )
3 3
3 3
3
3
3 3
64 64
4 1 64
x y z a z z
P t t
a a
+ + − +
≥ = = − +

(với t =
z
a
,
0 1t
≤ ≤
)
0.25

Xét hàm số f(t) = (1 – t)
3
+ 64t
3
với t
[ ]
0;1∈
. Có
( )
[ ]
2
2
1
'( ) 3 64 1 , '( ) 0 0;1
9
f t t t f t t
 
= − − = ⇔ = ∈
 
0.25
Lập bảng biến thiên
( )
[ ]
0;1
64
inf
81
t
M t
∈

⇒ = ⇒
GTNN của P là
16
81
đạt được khi x = y = 4z > 0
0.25
Chú ý : Học sinh làm cách khác mà vẫn đúng vẫn được điểm tối đa