Đề luyện thi THPT quốc gia môn Toán số 18

hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
ĐỀ TỰ LUYỆN THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2014- 2015
Câu 1*: (2điểm) Cho hàm số
1
12
+
−
=
x
x
y
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Xác định tọa độ giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng (D) : y = x – 1
Câu 2*: (1điểm)
a) Giải phương trình :
( ) ( )
3 cos 2 -sin cos 2sin 1 0x x x x+ + =
.
b) Tìm phần thực, phần ảo của các số phức z, biết:



=
=+
.13
.10
z
zz
Câu 3*: (0,5điểm) Giải phương trình
015.265
222

=+−
−−
xx
Câu 4*: (1điểm) Giải hệ phương trình :
3 2
2
1 3 ( 1) 1
5 5

− + + = + + + − +


+ − =


y x y x y x xy y
y y x
Câu 5*: (1điểm) Tính các tích phân:
∫
=
2
0
3
.sin.2sin
π
dxxxI
Câu 6: (1điểm) Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, biết AB = 2a , AD = a . Trên cạnh
AB lấy điểm M sao cho
2
a

AM
=
, cạnh AC cắt MD tại H . Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và
SH = a . Tính thể tích khối chóp S. HCD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AC theo a.
Câu 7: (1điểm) Cho hình thang cân ABCD có AB // CD, CD = 2AB. Gọi I là giao điểm của hai
đường chéo AC và BD. Gọi M là điểm đối xứng của I qua A với
2 17
3 3
M ;
 
 ÷
 
. Biết phương trình đường
thẳng DC : x + y – 1= 0 và diện tích hình thang ABCD bằng 12. Viết phương trình đường thẳng BC biết
điểm C có hoành độ dương.
Câu 8*: (1điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):
2 2 2
2 4 6 2 0x y z x y z+ + − + − − =
và mặt phẳng (P): x + y + z + 2015 = 0
a) Xác định tọa độ tâm I và tính bán kính của mặt cầu (S). Viết phương trình đường thẳng qua I và
vuông góc với mặt phẳng (P)
b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song mặt phẳng (P) và tiếp xúc (S)
Câu 9*: (0,5điểm)Có 30 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 30. Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Tính
xác suất để có 5 tấm thẻ mang số lẻ,5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có duy nhất 1 tấm mang
số chia hết cho 10.
Câu 10: (1điểm) Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = 3xyz.
Chứng minh rằng :
3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2
3
4

xy yz zx
x y x z y z y z y x z x z x z y x y
+ + ≤
+ + + + + + + + +
HẾT
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
ĐÁP ÁN ĐỀ MINH HỌA KỲ THI QUỐC GIA 2015 – MÔN TOÁN
Câu 1.
(2,0đ)
1.
2 1
1
x
y
x
−
=
+
Tập xác định: D =
¡
\{–1}.
x
lim y 2
→±∞
=
Tiệm cận ngang:
2
=
y
x 1 x 1

lim y ; lim y
+ −
→− →−
= −∞ = +∞
Tiệm cận đứng:
1
−=
x
0,25
2
)1(
3
'
+
=
x
y
> 0, ∀x∈D
Hàm số tăng trên (–∞;–1), (–1;+∞)
Hàm số không có cực trị.
0,25
0,25
x
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
y
-2
-1
1
2
3

4
5
0,25
2. Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (D) là :
2 1
1
1
x
x
x
−
= − ⇔
+
x
2
– 2x = 0
0,25
⇔
x = 0 hay x = 2 suy ra y = -1 hay y = 1 0,5
Vậy tọa độ giao đểm là (0; -1) hay (2; 1) 0,25
Câu 2
1. Giải phương trình:
( ) ( )
3 cos 2 -sin cos 2sin 1 0x x x x+ + =
x
–∞
–1
+∞
y’ + +
y

2
+∞
–∞
2
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
(1,0đ)

sin 2 3 cos 2 3 sin cos
1 3 3 1
sin 2 cos2 sin cos
2 2 2 2
x x x x
x x x x
⇔ + = −
⇔ + = −


sin 2 cos cos2 sin sin cos cos sin
3 3 6 6
x x x x
π π π π
⇔ + = −

sin(2 ) sin( )
3 6
x x
π π
⇔ + = −
0,25

2 2
3 6
( )
2 ( ) 2
3 6
x x k
k
x x k
π π
π
π π
π π

+ = − +

⇔ ∈


+ = − − +


¢

2
2
( )
5 2
18 3
x k
k

k
x
π
π
π π

= − +

⇔ ∈


= +


¢
0,25
2. Tìm phần thực, phần ảo của các số phức z, biết:



=
=+
.13
.10
z
zz
Giả sử z = x + yi =>
z
= x– yi. (x, y∈IR)
Theo đề bài ta có :






=+
=
.13
.102
22
yx
x
.
0,25
⇔



±=
=
12
5
y
x
.
0,25
Câu 3
(0,5đ)
Giải phương trình
015.265

222
=+−
−−
xx
Đặt t = 5
x
>0. Pt <=> t
2
–26t + 25 = 0 <=>



=
=
25
1
t
t
0,25
<=>



=
=
2
0
x
x
. 0,25

Câu 4
(1,0đ)
Giải hệ phương trình :
3 2
2
1 3 ( 1) 1
5 5

− + + = + + + − +


+ − =


y x y x y x xy y
y y x
0
Điều kiện :
0
1
>


+ ≥ −

y
x y
( vì y=0 không thỏa hpt)
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
(1)

2
( 1)
( 1)( 1) 3 ( 1)( 1)
1
− +
⇔ = + − + + + + −
+ + +
x
x x x y x x y
y x y
2 2
1
( 1)[ 3 3 3 1 ]
1
⇔ + − + + − + +
+ + +
x x x xy y y
y x y
2 2
1
( 1)[ (3 1) 3 3 1 ] (3)
1
⇔ + + − + − + +
+ + +
x x y x y y
y x y
0,25
0,25
Xét A = x
2

+ (3y – 1 )x + 3y
2
– 3y + 1
∆
= -3(y - 1)
2

0 ≤ ∀ ∈x R
=>
0 ,≥ ∀ ∈A x y R
(3)
⇔
x = -1
0,25
Thay x = -1 vào (2) ta có :
2
5 5+ + =y y
1 17
2
1 17
( )
2

− +
=


⇔

− −

=


y
y l
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( - 1 ;
1 17
2
− +
)
0,25
Câu 5
(1,0đ)
Tính các tích phân:
∫
=
2
0
3
.sin.2sin
π
dxxxI
I =
∫
2
0
4
.cos.sin2
π
dxxx

.
Đặt t=sinx => dt=cosxdx
0,25
▪
∫
=
1
0
4
2 dttI
. 0,25
=
1
0
5
5
2
t
=
5
2
. 0,25x2
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Câu 6(1,0
điểm)
* Tính thể tích khối chóp S.HCD:
Hai tam giác vuông AMD và DAC có
AM AD 1
AD DC 2
= =

nên đồng dạng,
Suy ra
·
·
ADH DCH
=
, mà
·
· ·
ADH HDC 90 DHC 90+ = ⇒ =
o o
∆
ADC vuông tại D:
2 2 2
AC AD DC AC a 5
= + ⇒ =
Hệ thức lượng
∆
ADC: DH.AC = DA.DC
Suy ra:
DC.DA 2a
DH
AC
5
= =
∆
DHC vuông tại H:
2 2
4a
HC DC DH

5
= − =
0,25
Do đó diện tích
∆
HCD:
2
HCD
1 4a
S DH.HC
2 5
= =
Thể tích khối chóp SHCD:
3
S.HCD HCD
1 4a
V SH.S
3 15
= =
0,25
Tính khoảng cách giữa SD và AC:
Dựng
HE SD
⊥
Ta có SH
⊥
(ABCD) nên SH
⊥
AC và DH
⊥

AC , do đó AC
⊥
(SHD)
Mà HE
⊂
(SHD) nên HE
⊥
AC
Từ đó HE là đoạn vuông góc chung của SD và AC.
nên
( )
HE d SD;AC
=
0,25
∆
SHD vuông tại H nên:
0,25
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán

2 2 2
1 1 1 2a
HE
3
HE SH HD
= + ⇒ =
Vậy
( )
2a
d SD;AC HE
3

= =
Câu 7(1,0
điểm)
Ta có : tam giác MDC vuông tại D
=>(MD) : x – y + 5 = 0
=> D(-2; 3)
0,25
MD =
8 2
3
=> HD =
3
4
MD = 2
2
Gọi AB = a => S
ABCD
=
3a.2 2
2
= 12 => a = 2
2
0,25
=>DC = 4
2
Gọi C(c; 1 –c ) => DC
2
= 2(c + 2 )
2
=> c = 2 hay c = -6 (loại)=>C(2; -1)

0,25
=>B(3; 2)
=> (BC): 3x – y – 7 = 0
0,25
Câu 8 (1,0
(S):
2 2 2
2 4 6 2 0x y z x y z+ + − + − − =
và (P): x + y + z + 2015 = 0
a) (S) có tâm I(1; -2; 3) và R = 4 0,25
(D) qua I(1; -2; 3) và có VTCP
u
r
= (1; 1; 1;) có ptts :
x 1 t
y 2 t
z 3 t
= +


= − +


= +

0,25
điểm)
b) (Q)// (P) => (Q): x + y + z + D = 0 (D ≠ 2015)
( )
( )

, 4 2 4 3d I Q D= ⇔ = − ±
0,25
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Vậy (Q) : x + y + z
2 4 3 0− ± =
0,25
Câu 9:
(0,5điểm)
Gọi A là biến cố lấy được 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong
đó chỉ có 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10.
Chọn 10 tấm thẻ trong 30 tấm thẻ có : C
10
30
cách chọn
Ta phải chọn :
5 tấm thẻ mang số lẻ trong 15 tấm mang số lẻ có C
15
5
cách chọn.
1 tấm thẻ chia hết cho 10 trong 3 tấm thẻ mang số chia hết cho 10, có : C
1
3
cc
4 tấm thẻ mang số chẵn nhưng không chia hết cho 10 trong 12 tấm như vậy, có :
C
4
12
0.25
Vậy xác suất cần tìm là : P(A) =
5 4 1

15 12 3
10
30
. .
99
667
=
C C C
C
0.25
Câu 10 (1,0
điểm)
Chứng minh rằng :
3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2
3
4
xy yz zx
x y x z y z y z y x z x z x z y x y
+ + ≤
+ + + + + + + + +
Ta có : xy + yz + zx = 3xyz
1 1 1
3
⇔ + + =
x y z
Với x >0; y > 0; z > 0 ta có x
3
+ y
3
≥ xy(x + y) ;

1 1 1 1
( )
4
≤ +
+
x y x y
;x
2
+ y
2
≥ 2xy
0,25
3 3 2 2 2 2 2 2
1 1
4
xy xy xy
xy(x y)
x y x z y z xy(x y) (x y )z (x y )z
 
≤ ≤ +
 
+
+ + + + + + +
 
3 3 2 2 2 2
1 1 1 1 1
4 4 2
xy xy
(x y) (x y) z
x y x z y z (x y )z

 
 
⇒ ≤ + ≤ +
 
 ÷
+ +
+ + + +
 
 
1 1 1 1 1 1 1 1 1
4 4 2 16 8x y z x y z
 
   
≤ + + = + +
 
 ÷  ÷
   
 
(1)
0,25
Chứng minh tương tự :
3 3 2 2
1 1 1 1
16 8
yz
y z x
y z y x z x
 
≤ + +
 ÷

+ + +
 
(2)
0,25
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
3 3 2 2
1 1 1 1
16 8
zx
z x y
z x z y x y
 
≤ + +
 ÷
+ + +
 
(3)
Công (1) ; (2); (3) theo vế ta được đpcm
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1
0,25