Đề luyện thi THPT quốc gia môn Toán số 6

hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
ĐỀ TỰ LUYỆN THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2014- 2015
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu I (2 điểm) Cho hàm số :
1x2
1x
y
+
+−
=
(C)
1*. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
2*. Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến đó đi qua giao điểm của đường
tiệm cận và trục Ox.
Câu II (1 điểm)
1*. Giải phương trình sau trên tập số phức
2
1 0z z− + =
2*. Giải phương trình:
( )
cos2 cos sin 1 0x x x
+ − =
Câu III* (0,5 điểm) Giải phương trình:
2
2
2
4log log 2x x+ =
Câu IV. (1 điểm) Giải bất phương trình
2 2
1 2 3 4 .x x x x

+ − ≥ − −
Câu V* (1 điểm) Tính tích phân sau
1
0
2 1
1 3 1
x
I dx
x
+
=
+ +
∫
Câu VI(1 điểm)
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của
A’ lên măt phẳng (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC. Tính thể tích khối lăng trụ
ABC.A’B’C’ biết khoảng cách giữa AA’ và BC là
a 3
4
Câu VII( 1điểm)
Trong mp(Oxy) cho 4 điểm A(1;0),B(-2;4),C(-1;4),D(3;5). Tìm toạ độ điểm M thuộc
đường thẳng
( ) : 3 5 0x y∆ − − =
sao cho hai tam giác MAB, MCD có diện tích bằng nhau.
Câu VIII*(1điểm)
Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1;0;0); B(0;2;0); C(0;0;-2) tìm tọa độ điểm O’
đối xứng với O qua (ABC).
Câu IX* (0,5điểm) . Một tổ có 5 học sinh nam và 6 học sinh nữ. Giáo viên chọn ngẫu
nhiên 3 học sinh để làm trực nhật . Tính xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và
nữ.

Câu X (1điểm) . Tìm m để hệ phương trình

3 3 2
2 2 2
3 3 2 0
1 3 2 0
x y y x
x x y y m

− + − − =


+ − − − + =


có nghiệm thực.
…… HẾT
hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn
P N
Cõu ỏp ỏn im
I.1(1d)
TXĐ: D = R\ {-1/2}
Sự Biến thiên:
( )
,
2
3
0
2 1
y x D

x

= <
+
Nên hàm số nghịch biến trên
1 1
( ; ) ( ; )
2 2
va
+
0,2
5
+ Giới hạn ,tiệm cận:

1
2
lim
x
y
+

=+


1
2
lim
x
y

=


ĐTHS có tiẹm cận đứng : x = -1/2

1
lim
2
x
y

=

1
lim
2
x
y
+
=


đTHS có tiệm cận ngang: y = -1/2
0,2
5
+ Bảng biến thiên:

x

-1/2
+
,
y
- -
y -1/2
+




-1/2
0,25
Đồ Thị :
0,25
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán

I.2(1d)
Giao điểm của tiệm cận đứng với trục Ox là






− 0,
2
1
A
Phương trình tiếp tuyến (∆) qua A có dạng







+=
2
1
xky
(∆) tiếp xúc với (C)
/
x 1 1
k x
2x 1 2
x 1
k co ù nghieäm
2x 1
− +
 
= +
 ÷


+
 
⇔

− +
 


=
 ÷

+
 

0,25
( )







=
+
−






+=
+
+−
⇔
)2( k

1x2
3
)1(
2
1
xk
1x2
1x
2
Thế (2) vào (1) ta có pt hoành độ tiếp điểm là

( )
2
1
3 x
x 1
2
2x 1
2x 1
 
+
 ÷
− +
 
= −
+
+
0,25
1
(x 1)(2x 1) 3(x )

2
⇔ − + = +
và
1
x
2
≠ −

3
x 1
2
⇔ − =

5
x
2
⇔ =
. Do đó
12
1
k −=
0,25
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
1 1
y x
12 2
 
= − +
 ÷
 

0,25
y
x
0
I
-1/2
1
1
-1/2
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
II.1(0,5d)
Ta có:
2
1 4 3 3i∆ = − = − =
căn bậc hai của
∆
là
3i±
0,25
Phương trình có nghiệm:
1 2
1 3 1 3 1 3
,
2 2 2 2 2
i
z i z i
+
= = + = −
0,25
II.2(0,5đ)

( )
cos2 cos sin 1 0x x x
+ − =
cos2 0
1
sin
4
2
x
x
π
=


⇔
 

+ =
 ÷

 


+) Với
( )
cos2 0
4 2
k
x x k
π π

= ⇔ = + ∈
¢
+) Với
2
1
sin ( )
4
2
2
2
x k
x k
x k
π
π
π
π
=

 

+ = ⇔ ∈
 ÷

= +
 

¢

III.(0,5d)

Điều kiện x > 0.
1
2
2 2
2 2 2
2
(1) 4log log 2 4log 2log 2 0x x x x⇔ + = ⇔ + − =

Đặt
2
logt x=
Pt có dạng
2
1
4 2 2 0
1
2
t
t t
t
= −


+ − = ⇔

=

0,25
1
2

1
1 log 1 2 ( )
2
t x x nhan
−
= − ⇔ = − ⇔ = =
1
2
2
1 1
log 2 2 ( )
2 2
t x x nhan= ⇔ = ⇔ = =
Vậy phương trình có nghiệm
1
2
x =
và
2x =
0,25
IV(1d)
Điềukiện:
2
2
0
0 1
3 41
1 0 0 .
3 41 3 41
8

2 3 4 0
8 8
x
x
x x
x
x x
≥

≤ ≤

− +


− ≥ ⇔ ⇔ ≤ ≤
 
− − − +
≤ ≤
 
− − ≥


(*)
Bất phương trình đã cho tương đương với

2 2 2
1 2 (1 ) 2 3 4x x x x x x+ − + − ≥ − −
2 2
3( ) (1 ) 2 ( )(1 ) 0x x x x x x⇔ + − − + + − ≥
0,5

hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
2 2 2
2
5 34
1
9
3 2 1 0 9 10 1 0
1 1 1 3
5 34
.
9
x
x x x x x x
x x
x x x
x

− +
≥

+ + +

⇔ + − ≥ ⇔ ≥ ⇔ + − ≥ ⇔
− − −

− −
≤


Kết hợp điều kiện (*), ta suy ra nghiệm của bất phương trình là

5 34 3 41
.
9 8
x
− + − +
≤ ≤
0,5
V(1d)
Đặt
3 1x t+ =
ta được
2
1 2
3 3
t
x dx tdt
−
= ⇒ =

Đổi cận
0 1; 1 2x t x t= ⇒ = = ⇒ =
0,5
Khi đó
2 2
3
2
1 1
2 2 2 3 28 2 3
2 2 3 ln
9 1 9 1 27 3 2

t t
I dt t t dt
t t
+
 
= = − + − = −
 ÷
+ +
 
∫ ∫

0,5
VI(1d)


M
Gọi M là trung điểm BC ta thấy:



⊥
⊥
BCOA
BCAM
'
)'( AMABC ⊥⇒
Kẻ
,'AAMH ⊥
(do
A

∧
nhọn nên H thuộc trong đoạn AA’.)
Do
BCHM
AMAHM
AMABC
⊥⇒



∈
⊥
)'(
)'(
.Vậy HM là đọan vuông góc chung của
AA’và BC, do đó
4
3
)BC,A'( aHMAd ==
.
0,5
Xét 2 tam giác đồng dạng AA’O và AMH, ta có:
AH
HM
AO
OA
=
'
⇔
suy ra

3
a
a3
4
4
3a
3
3a
AH
HM.AO
O'A
===
Thể tích khối lăng trụ:
12
3a
a
2
3a
3
a
2
1
BC.AM.O'A
2
1
S.O'AV
3
ABC
====
0,5

VII(1d)
Viết phương trình đường AB:
4 3 4 0x y+ − =
và
5AB =
0,25
A
B
C
C’
B’
A’
H
O
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Viết phương trình đường CD:
4 17 0x y− + =
và
17CD =
Điểm M thuộc
∆
có toạ độ dạng:
( ;3 5)M t t= −
Ta tính được:

13 19 11 37
( , ) ; ( , )
5
17
t t

d M AB d M CD
− −
= =
0,25
Từ đó:
( , ). ( , ).
MAB MCD
S S d M AB AB d M CD CD= ⇔ =

7
9
3
t t⇔ = − ∨ =

⇒
Có 2 điểm cần tìm là:
7
( 9; 32), ( ;2)
3
M M− −
0,5
VIII(1d) *Từ phương trình đoạn chắn suy ra pt tổng quát của mp(ABC) là:2x+y-z-2=0 0.25
*Gọi H là hình chiếu vuông góc của O l ên (ABC), OH vuông góc với
(ABC) nên
)1;1;2(// −nOH
;
( )
H ABC∈
Ta suy ra H(2t;t;-t) thay vào phương trình( ABC) có t=
3

1
suy ra
)
3
1
;
3
1
;
3
2
( −H
0,5
*O’ đỗi xứng với O qua (ABC)
⇔
H là trung điểm của OO’
⇔
)
3
2
;
3
2
;
3
4
(' −O
0,25
IX(0,5d)
( )

3
11
165n CΩ = =
0,25
Số cách chọn 3 học sinh có cả nam và nữ là
2 1 1 2
5 6 5 6
. . 135C C C C+ =
Do đó xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ là
135 9
165 11
=
0,25
X(1d)
3 3 2
2 2 2
3 3 2 0 (1)
1 3 2 0 (2)
x y y x
x x y y m

− + − − =


+ − − − + =


Điều kiện:
2
2

1 0 1 1
0 2
2 0
x x
y
y y

− ≥ − ≤ ≤


⇔
 
≤ ≤
− ≥




0,25
Đặt t = x + 1 ⇒ t∈[0; 2]; ta có (1) ⇔ t
3
− 3t
2
= y
3
− 3y
2
.
0,25
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán

Hàm số f(u) = u
3
− 3u
2
nghịch biến trên đoạn [0; 2] nên:
(1) ⇔ y = t ⇔ y = x + 1 ⇒ (2) ⇔
2 2
2 1 0x x m− − + =
0,25
Đặt
2
1v x= −
⇒ v∈[0; 1] ⇒ (2) ⇔ v
2
+ 2v − 1 = m.
Hàm số g(v) = v
2
+ 2v − 1 đạt
0;1 0;1
min ( ) 1; m ( ) 2
[ ] [ ]
axg v g v= − =
Vậy hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi −1 ≤ m≤ 2
0,25