Đề luyện thi THPT quốc gia môn Toán số 25

hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn
T LUYN THPT QUC GIA NM HC 2014- 2015
Mụn: TON
Thi gian lm bi: 180 phỳt
Cõu *1.(2). Cho hm s
34
24
+=
xxy
, gi th ca hm s l (C) .
a)Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s ó cho .
b)Da vo th (C) , tỡm tt c cỏc giỏ tr ca m phng trỡnh
( )
022
2
2
=+
mx
cú 4 nghim phõn
bit.
Cõu 2*.(1)
a)Gii phng trỡnh:
2
2 sin
4
tan 2 cos 0
sin cos
x
x x
x x

+
ữ

+ + =

b)Tỡm phn thc v phn o ca s phc sau:
( ) ( )
3 5
5 2 3
1 4
i
z i i
i

= +
+
C õu 3*. (0,5 ). Gii bt phng trỡnh
2 2
2 1 2 1
4
(2 3) (2 3)
2 3
x x x x
+
+ + =

C õu 4. (1 ) Gii h phng trỡnh:
(
)

(
)
2 2
2 33
4 1 2
( ; )
12 10 2 2 1
x x y y
x y
y y x

+ + + + =




+ = +

Ă

C õu 5*. (1 ) Tớnh tớch phõn
2
1
3 2ln 1
ln
e
x x
I dx
x x x
+ +

=
+

C õu 6. (1 ) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a, tam giỏc SBD vuụng ti
S v nm trong mt phng vuụng gúc vi mt phng (ABCD), gúc gia ng thng SB v mt
phng ỏy bng
0
60
.Tớnh th tớch khi chúp S.ABCD theo a.Tớnh khong cỏch gia hai ng
thng SB v CD theo a.
C õu 7. (1 ) Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng thng
: 1 0d x y
=
v hai ng
trũn:
2 2
1
( ) : 6 8 23 0C x y x y
+ + + =
;
2 2
2
( ): 12 10 53 0C x y x y+ + + =
. Vit phng trỡnh ng trũn (C)
cú tõm thuc ng thng d, tip xỳc trong vi ng trũn
1
( )C
tip xỳc ngoi vi ng trũn
2
( ).C

C õu 8*. (1 ) Trong khụng gian vi h trc to độ Oxyz cho
1
1 1
: ,
2 1 1
x y z
d

= =
2
1 1 2
:
1 1 1
x y z
d

= =

và điểm A(
1, 1,2)
. Tìm toạ độ điểm
,B
C
lần lợt thuộc
1
d
,
2
d
sao cho đờng

thẳng
BC
nằm trong mặt phẳng đi qua A và đờng thẳng
1
d
, đồng thời
2AC AB=
. Biết điểm B có
hoành độ dơng.
C õu 9*. (0,5 )Cho tp
{ }
A 0;1;2;4;5;7;8=
.Gi X l tp hp cỏc s t nhiờn cú 4 ch s phõn bit
ly t A.Tớnh s phn t ca X.Ly ngu nhiờn mt s t tp X,tớnh xỏc sut s ly c l s
chn.
C õu 10. (1 ) Cho a, b, c l di 3 cnh ca mt tam giỏc. Chng minh rng:

2
2.
3 3 2 3 3
a a a b c
a b a c a b c a c a b
+ + + + <
+ + + + + +
hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn
Ht


H ng d n ch m
C õu im

C
õu1.a
1.b
TX : D = R
xxy 84'
3
=



==
==
=
1;2
3;0
0'
yx
yx
y
Kt lun ng bin nghch bin
Lp bng bin thiờn ỳng
th
4
2
-2
-4
-5
5
O
2

-2
3
-1
Phng trỡnh vit thnh :
1234
24
=+ mxx
S nghim phng trỡnh l s giao im (C) v (d):y = - 2m -1
023121
<<<<
mm
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
C
õu.2.a

ĐK : cos2x

0.
Biến đổi phơng trình
( )
2
2
sin cos sin 2 cos .cos 2 0x x x x x x + + + =

2
cos .cos2 1 0pt x x =

2
cos 2 cos2 2 0pt x x + =

cos2 1x
=
(thoả mãn ĐK) hoặc cos2x = -2 (vn)
Với cos2x = 1


4 2
k
x

= +
, k

Z
0,25
0,25
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Vậy phương trình có 1 họ nghiệm.
4 2
k
x
π π
= +
, k

∈
Z
C
âu.2.b
Tìm phần thực và phần ảo của số phúc sau:

( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
3 5
5 2 3
1 4
3 5 1 4
15 2 5 6
1 16
1 17
18
i
z i i
i
i i
i i
i i
−
= + − − −
+
− −
= + − − − +
+

= − − + − +
= −
kết luận phần thực bằng -18, phần ảo bằng 0
0,25
0,25
C âu.3
pt
2 2
2 2
(2 3) (2 3) 4
x x x x− −
⇔ + + − =
.
+) Ta có:
2 2 2
2 2 2
(2 3) .(2 3) (4 3) 1,
x x x x x x
x
− − −
+ − = − = ∀ ∈
¡
.
đặt
2 2
2 2
1
(2 3) 0 (2 3)
x x x x
t

t
− −
= + > ⇒ + =
.
trở thành:
2
2 3 ( )
1
4 4 1 0 .
2 3 ( )
t TM
t t t
t
t TM

= −
+ = ⇔ − + = ⇔

= +


2 3t = +
, ta có:
2
2 2 2
1 2
(2 3) 2 3 2 1 2 1 0
1 2
x x
x

x x x x
x
−

= −
+ = + ⇔ − = ⇔ − − = ⇔

= +


2 3t = −
, ta có:
2
2 1 2 2
(2 3) (2 3) 2 1 2 1 0 1
x x
x x x x x
− −
+ = + ⇔ − = − ⇔ − + = ⇔ =
.
+) KL:
0,25
0,25
C âu.4
Gi ải h ệ
(
)
(
)
2 2

32 3
4 1 2 (1)
12 10 2 2 1 (2)
x x y y
y y x

+ + + + =



− + = +

Ta có:
2 2
(1) 4 ( 2 ) 4 ( 2 ) (*)x x y y⇔ + + = − + + −
.
Xét hàm số đặc trưng
2
2
2 2 2
4
( ) 4 '( ) 1 0.
4 4 4
t t
t t t
f t t t f t
t t t
+
+ +
= + + ⇒ = + = > ≥

+ + +
Suy ra f(t) là hàm số đồng biến trên R. Từ (*) suy ra:
( ) ( 2 ) 2f x f y x y= − ⇒ = −
.
Thay vào phương trình (2) ta được:
( ) ( )
( )
32 3
3
33 3
3 5 2 2 1
1 2 1 1 2 1 (**)
x x x
x x x x
+ + = +
⇔ + + + = + + +
0,25
0,25
0,25
0,25
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Xét hàm số
3
( ) 2g t t t= +
ta thấy g(t) đồng biến trên R nên từ (**) suy ra
3 3
0
1 1
1
x

x x
x
=

+ = + ⇔

= −

. Vậy hệ có hai nghiệm là
1
( 1; ); (0;0)
2
−
.
C âu.5
Ph©n tÝch
2
1
3 2ln 1
ln
e
x x
I dx
x x x
+ +
=
+
∫
=
2

1
2( ln )
ln
e
x x
dx
x x x
+
+
+
∫
2
1
1
ln
e
x
dx
x x x
+
+
∫
TÝnh
2
1
2( ln )
ln
e
x x
dx

x x x
+
=
+
∫
2
1
1
e
dx
x
=
∫
2.
TÝnh
2
1
1
ln
e
x
dx
x x x
+
+
∫
=
1
1
1

ln
e
x
dx
x x
+
=
+
∫
1
( ln )
ln
e
d x x
x x
+
=
+
∫
1
ln( ln ) ln( 1)
e
x x e+ = +
VËy I = 2 + ln(e+1).
0,25
0,25
0,25
0,25
C âu.6
.

+) Học sinh phải vẽ hình.+)
2
S
ABCD
a=
.
+) Gọi O = AC ∩ BD, H là hình chiếu của S trên BD.
+) (ABCD) ∩ (SBD) = BD; (SBD)⊥(ABCD); SH⊥BD; SH⊂(SBD) ⇒
SH⊥(ABCD).
+) BH là hình chiếu của SB trên (ABCD) ⇒ góc giữa SB và (ABCD) là
·
0
60SBH =
.
+)
·
·
0 0
; . 3
tan 60 tan30
3
tan tan
SH SH SH SH SH
HB HD SH
SBH SDH
= = = = = =
4 6
. 3 2
4
3 3

SH SH a
HB HD SH BD a SH⇒ + = + = = = ⇒ =
.
Vậy:
3
2
.
1 1 6 6
. . . . .
3 3 4 12
S ABCD ABCD
a a
V SH S a= = =
+) Ta có: CD // AB, AB ⊂ (SAB) ⇒ CD // (SAB) mà SB ⊂ (SAB).
⇒
d(SB,CD) = d(CD,(SAB)) = d(D,(SAB)).
0,25
0,25
0,25
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
+)
6
2 1
4
4 4
3 3
a
SH a HB
HB
DB

= = = ⇒ =
⇒
d(SB,CD) = d(D,(SAB)) = 4. d(H,(SAB)).
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BM
⇒
OM ⊥ AB, H là trung điểm của
OB
⇒
HN là đường trung bình của ∆OBM
⇒
HN // OM
⇒
HN ⊥ AB, lại có AB ⊥
SH vì SH⊥(ABCD)
⇒
AB ⊥ (SHN), kẻ HK ⊥ SN tại K, ta có: HK ⊥ AB và AB ⊥
(ABCD)
⇒
HK ⊥ (SAB)
⇒
d(H,(SAB)) = HK;
2 4 4
OM BC a
HN = = =
+)
2
2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 16 16 56 3 42
6 3 56 28

a a
HK HK
HK SH HN a a a
= + = + = ⇒ = ⇒ =
.
+) Vậy: d(SB,CD) =
42
7
a
.
0,25
C âu.7
+)
1
( )C
có tâm
1
(3; 4)I −
, bán kính
1
2R =
;
2
( )C
có tâm
1
(3; 4)I −
,bán kính
2
2 2R =

.
+) Gọi I là tâm, R là bán kính của đường tròn (C).
( ; 1)I d I a a∈ ⇔ −
.
+) (C) tiếp xúc trong với
1
( )C
1 1
(1)II R R⇔ = −
.
+) (C) tiếp xúc ngoài với
2
( )C
2 2 2 2
(2)II R R R II R⇔ = + ⇔ = −
.
+) TH1:
1
R R>
, (1)
1 1
R II R⇔ = +
, từ (1) và (2) ta có:
1 1 2 2
II R II R+ = −
2 2 2 2
( 3) ( 3) 2 ( 6) ( 6) 2 2 0a a a a a⇔ − + + + = + + − − ⇔ =
(0; 1); 4 2I R⇒ − = ⇒
PT đường tròn (C):
2 2

( 1) 32.x y+ + =
+) TH2:
1
R R<
, (1)
1 1
R R II⇔ = −
, từ (1) và (2) ta có:
1 1 2 2
R II II R− = −
2 2 2 2 2 2
2 ( 3) ( 3) ( 6) ( 6) 2 2 9 36 3a a a a a a
⇔ − − + + = + + − − ⇔ + + + =
(vô ng)
+) KL: …
0,25
0,25
0,25
0,25
C âu.8
+
1
d
®i qua M( 0,1,1) vtcp
1 1
(2,1,1) ( 1, 2, 1) , ( 3,1,5)u AM u AM
 
= ⇒ = − − ⇒ = −
 
ur uuuur uuruuuur

=> (P) : -3x + y + 5z - 6 = 0
+ Theo gi¶ thiÕt
( )C P∈
vµ
2
C d∈
=>
2
( )C d P= ∩
=> C(-1,3,0)
0,25
hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn
C õu.9
+
1
B d
=> B(2t; 1+t; 1+t) . Ta có
24,AC =

2
6 2 6AB t t= +
+ AC = 2AB
2
6 2 6 6t t + =
=> t = 0 hoặc t =
1
3
Với t = 0 => B(0,1,1) ( loại) do hoành của B bằng 0.
Với t =
1

3
=> B(
2
,
3
4
,
3
4
3
) thoả mãn.
Vậy 2 điểm phải tìm C(-1,3,0) , B(
2
,
3
4
,
3
4
3
)
+) Xột cỏc s t nhiờn cú 4 ch s phõn bit ly t A, gi s cỏc s ú cú dng:
, 0.abcd a

Chn
0a

, cú 6 cỏch chn, chn cỏc ch s
, ,b c d a
v xp th t cú:

3
6
120A =

cỏch.

cú tt c: 6.120 = 720 s t nhiờn nh vy.
Vy s phn t ca X l: 720. S phn t ca khụng gian mu l:
( ) 720n =
.
+) Gi B l bin c: S t nhiờn c chn l s chn.
+) Xột cỏc s t nhiờn chn cú 4 ch s phõn bit ly t A, gi s cỏc s ú cú
dng:
{ }
1 2 3 4 1 4
, 0, 0;2;4;8a a a a a a

.
+) TH1:
4
0a =
, cú 1 cỏch chn; chn cỏc ch s
1 2 3
, , 0a a a
v xp th t cú
3
6
120A =
cỏch chn

TH1 cú: 1.120 = 120 s t nhiờn nh vy.
+) TH2:
{ }
4
2;4;6a

, cú 3 cỏch chn; chn
{ }
1 4
\ 0;a A a
, cú 5 cỏch chn; chn
cỏc ch s
{ }
2 3 1 4
, \ ;a a A a a

v xp th t cú
2
5
20A =
cỏch chn

TH2 cú: 3.5.20 =
300 s t nhiờn nh vy.

cú tt c: 120 + 300 = 420 s t nhiờn nh vy

S phn t thun li cho bin
c B l: n(B) = 420.
+) Vy:

( ) 420 7
( )
( ) 720 12
n B
P B
n
= = =

.

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
C
õu.10
+) Vỡ a, b, c l 3 cnh ca mt tam giỏc nờn ta cú:
; ;a b c b c a c a b+ > + > + >
.
+) t
; ; ( , , 0).
2 2
a b c a
x y z a x y z
+ +
= = = >
Ta cú:
; ;x y z y z x z x y
+ > + > + >

.
0,25
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
VT =
2 2 2 2
3 3 2 2 2 2 2 2 2
a c a b a x y z x y z
a b a c a b c y z z x x y y z z x x y
+ +
+ + = + + = + +
+ + + + + + + + + +
(1).
Lại có:
2z
( ) 2z( )
z
x y z z x y z x y
x y z x y
+ > ⇔ + + < + ⇔ >
+ + +
.
CM tương tự ta có:
2 2
(2); (3).
x x y y
y z x y z z x x y z
< <
+ + + + + +
Từ (1),(2) và (3) ta có
2 2 2

2
x y z x y z
y z z x x y x y z
+ +
+ + < =
+ + + + +
⇒ (đpcm).
0,25
0,25
0,25