Đề luyện thi THPT quốc gia môn Toán số 1

hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
ĐỀ TỰ LUYỆN THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2014- 2015
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1( 2 điểm) : Cho hàm số
3 2
3 1y x x
= − + −
a*) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên.
b*) Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình
3 2
3 0x x m
− + =
.
Câu 2 ( 1 điểm ) :
a*) Giải phương trình: 2sin
2
x + 3cosx – 2 = 0
b*) Tìm số phức liên hợp của

1
(1 )(3 2 )
3
z i i
i
= + − +
+
Câu 3* ( 0,5 điểm): Giải phương trình
3
2 2 2 0
x x

−
− − =
Câu 4 (1,0 điểm). Giải phương trình:
4 2 2
1 (1 )x x x x x
+ + + = −
Câu 5* ( 1 điểm): Tính Tích phân
2
0
cosI x xdx
π
=
∫
Câu 6 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,
,SA a
=
SA
⊥

(ABCD). Gọi M là trung điểm của SA. Mặt phẳng (BCM) cắt SD tại N. Tính thể tích
khối chóp S.BCMN và khoảng cách giữa SB và AC.
Câu 7( 1,0 điểm):
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho 3 đường thẳng
1
: 2 6 0d x y
+ − =
;
2
: 2 0d x y+ =
và

3
:3 2 0d x y
− − =
. Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I thuộc d
3
, cắt d
1
tại A và B, cắt d
2
tại
C và D sao cho tứ giác ABCD là hình vuông.
Câu 8 *( 1 điểm ) : Cho mặt cầu (S):
2 2 2
2 6 8 1 0x y z x y z
+ + − + − + =
.
a) Xác định tọa độ tâm I và bán kính r của mặt cầu (S).
b) Viết phương trình mp(P) tiếp xúc với mặt cầu tại M(1;1;1).
Câu 9* (0.5 điểm) Cho khai triển:
( )
2
2 2
0 1 2 2
3 1
n
k n
n
k
x a a x a x a x a x
+ = + + + + + +

,
( )
, ;0 2k n N k n
∈ ≤ ≤

Biết rằng:
( )
0 1 2 2
1 4096
k
n
k
a a a a a
− + − + − + + =
. Tìm hệ số của
8
x
trong khai triển.
Câu 10 (1,0 điểm) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn:
1x y z
+ + =
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Tìm giá trị nhỏ nhất của:
x y y z z x
P
xy z yz x zx y
+ + +
= + +
+ + +
c)

d) ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM THI
Câ
u 1
Nội dung Điểm
(1,0) )
a
• TXĐ: D = R.
•
2
' 3x 6xy = − +
2
0
' 0 3x 6x=0
2
x
y
x
=

= ⇔ − + ⇔

=

• Giới hạn:
lim , lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= +∞ = −∞
0.25

• Bảng biến thiên:
0.25
• Hàm số đồng biến trên (0 ; 2); hàm số nghịch biến trên
( ;0)
−∞
và
(2; )
+∞
.
• Hàm số đạt cực đại tại x = 2, y
CĐ
= 3; hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, y
CT
= -1.
0.25
• Đồ thị: Điểm đặc biệt: (0;-1), (-1; 3), (3; -1), (1; 1)
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học
môn toán
0.25
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
(1,0)
b
•
3 2 3 2
3 0 3 1 1x x m x x m
− + = ⇔ − + − = −
• Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số
3 2
3 1y x x

= − + −
với
đường thẳng y = m – 1.
0,5
Vậy
1 3 4m m
− > ⇔ >
: Phương trình có 1 nghiệm.
1 3 4m m
− = ⇔ =
: Phương trình có 2 nghiệm.
3 1 1 4 0m m
> − > − ⇔ > >
: Phương trình có 3 nghiệm.
1 1 0m m
− = − ⇔ =
:Phương trình có 2 nghiệm.
1 1 0m m
− < − ⇔ <
: Phương trình có 1 nghiệm.
0,5
Câu 2
(1,0)
a, 2sin
2
x + 3cosx – 2 = 0 (1)
• Pt (1) ⇔ 2(1 – cos
2
x) + 3cosx – 2 = 0 ⇔ 2cos
2

x – 3cosx = 0 (*)
• đặt t = cosx (t ≤ 1)
• Pt (*) trở thành : 2t
2
– 3t = 0 ⇔
t = 0
3
t =
2




.So sánh điều kiện t = 0 thỏa mãn
• Với t = 0 ⇒ cosx = 0 ⇔ x = k2π (k ∈ Z)
Vậy nghiệm của phương trình là : x = k2π (k ∈ Z)
0,25
0,25
b, Ta có
3 3
5 5
(3 )(3 ) 10
i i
z i i
i i
− −
= + + = + +
+ −
.
0.25

hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Suy ra số phức liên hợp của z là:
53 9
10 10
z i
= −

0.25
Câu 3 ( 0,5 điểm)
3 2
8
2 2 2 0 2 2 0 2 2.2 8 0
2
x x x x x
x
−
− − = ⇔ − − = ⇔ − − =
Đặt
2 , 0
x
t t= >
Phương trình trở thành:
2
4 ( )
2. 8 0
2 ( )
t nhan
t t
t loai
=


− − = ⇔

= −


0.25
4 2 4 2
x
t x
= ⇔ = ⇔ =
Vậy phương trình có nghiệm x = 2.
0.25
Câu 5
(1)đ
2
0
cosI x xdx
π
=
∫

cos sin
u x du dx
dv xdx v x
= =
 
⇒
 
= =

 
2
2 2
0 0
0
sin sin cos 1
2 2
I x x xdx x
π
π π
π π
= − = + = −
∫
0,5
0,5
Câu 6
(1)đ
Do (BCM) // AD nên mp này cắt mp (SAD) theo giao tuyến MN // AD.
Ta có
BC AB
BC BM
BC SA
⊥

⇒ ⊥

⊥

Tứ giác BCMN là hình thang vuông có BM là đường cao,
5

;
2 2
a a
MN BM= =
.
‘0.5
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Diện tích hình thang BCMN là
2
5
.
3 5
2 2
2 8
BCMN
a a
a
a
S
 
+
 ÷
 
= =
.
Dụng
SK BM
⊥
, do
( ) ( )BC SAB BC SK SK BCMN

⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥
.
Có
5
( , )
5
a
SK d A BM
= =
. Vậy
2 3
.
1 3 5 5
. .
3 8 5 8
S BCMN
a a a
V
= =
Trong mặt phẳng (ABCD) dựng
∆
qua B song song với AC. Đặt (P) = (
∆
, SB).
Khi đó, AC // (P) và d(AC; SB) = d(AC; (P)) = d(A; (P)).
Từ A hạ AI
⊥
∆
tại I; Từ A hạ AH
⊥

SI tại H suy ra AH = d(A; (P)).
Ta có AI =
3
.
3
2
a a
AH→ =

0.5
Câu 7
(1)đ
Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng 1
Gọi I(a; 3a – 2)
Vì ABCD là hình vuông
⇒
d(I, AB) = d(I, CD) = d

0,25
7a - 10 7a - 4
=
5 5
3
a = 1 I(1;1) d =
5
⇔
⇔ ⇒ ⇒
0.25
Bán kính:
3 2

R = d 2 =
5
0.25
B
A
d
I
D
C
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
⇒
pt(C):
( ) ( )
2 2
18
x - 1 + y - 1 =
5
0.25
Câu 8
(1)đ
a.Từ phương trình mặt cầu ta có:
2 2 1
2 6 3
2 8 4
1 1
a a
b b
c c
d d
− = − =

 
 
− = = −
 
⇔
 
− = − =
 
 
= =
 
0,25
Tọa độ tâm I(1; -3; 4).
Bán kính:
1 9 16 1 5r
= + + − =
0,25
Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại M nên IM vuông với mp.
(0;4; 3)IM
= −
uuur
0,25
Mp(P) qua M(1;1;1), có VTPT
(0;4; 3)IM
= −
uuur
có phương trình:
0 0 0
( ) ( ) ( ) 0
0( 1) 4( 1) 3( 1) 0

4 3 1 0
A x x B y y C z z
x y z
y z
− + − + − =
⇔ − + − − − =
⇔ − − =
0,25
Câu 9
0.5 đ
Ta có:
( )
2n
2 k 2n
0 1 2 k 2n
3x + 1 = a + a x + a x + + a x + + a x
Thay x = -1, ta có: (-2)2n = a0 – a1 + a2 - … + (-1)kak +…+ a2n
Từ giả thiết suy ra: (-2)2n = 4096
n = 6
⇒
0.25
Với n = 6, ta có khai triển:

( )
12
0 1 2 2 12 12
12 12 12 12
1+3x =C + C .(3x) + C (3x) + + C (3x)
⇒
Hệ số của x8 trong khai triển là:

8 8
12
C .3
0.25
Câu 10
1 đ
Ta có
1 1x y z x y z
+ + = ⇒ + = −
1 1
1 (1 )(1 )
x y z z
xy z xy x y x y
+ − −
= =
+ + − − − −
0.5
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
1 1
1 (1 )(1 )
y z x x
yz x yz y z y z
+ − −
= =
+ + − − − −
1 1
1 (1 )(1 )
z x y y
zx y zx x z x z
+ − −

= =
+ + − − − −
Khi đó
x y y z z x
P
xy z yz x zx y
+ + +
= + +
+ + +
=
1
(1 )(1 )
z
x y
−
− −
+
1
(1 )(1 )
x
y z
−
− −
+
1
(1 )(1 )
y
x z
−
− −

3
1 1 1
3 . . 3
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )
z x y
x y y z x z
− − −
≥ =
− − − − − −
.
Vậy
3MinP
=
đạt được khi
1
3
x y z
= = =
0.5