Đề tự luyện thi THPT Quốc gia môn toán số 20

ĐỀ TỰ LUYỆN THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2014- 2015
Môn: TOÁN.
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1* (2,0 điểm). Cho hàm số
3 2
2 3 1y x x= - +

( )
1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
b) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng
: 2 1d y x= +
với đồ thị (C). Tìm tọa độ điểm M
thuộc
d
và cùng với hai điểm cực trị của đồ thị (C) tạo thành một tam giác vuông tại M.
Câu 2* (1,0 điểm).
a) Cho góc
a
thỏa mãn
2
p
a p
< <
và
12
sin
13
α
=
. Tính

os
4
A c
p
a
æ ö
÷
ç
÷
= -
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
b) Cho số phức
z
thỏa mãn
( )
(1 ) 2i z z i+ = +
. Tính môđun của số phức
z
.
Câu 3* (0,5 điểm). Giải phương trình
2 2
log ( 1) log (3 4) 1 0x x- + - - =
.
Câu 4 (1,0 điểm). Giải bất phương trình
2 2 2

3
( 2)( 2 2 5) 9 ( 2)(3 5 12) 5 7x x x x x x x+ - + - + + - - + +£
Câu 5* (1,0 điểm). Tính tích phân
1
2
0
( 3 )
x x
x e e dx+
ò
.
Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp
.S A BCD
có đáy
A BCD
là hình thang vuông tại
A
và
B
,
2 2 , 3A B BC a A D a= = =
. Hình chiếu vuông góc H của S trên mặt phẳng
( )A BCD
là trung
điểm của cạnh AB. Tính theo
a
thể tích khối chóp
.S A BCD
và khoảng cách từ
A

đến mặt phẳng
( )SCD
biết
13SD a=
.
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác
A BC
vuông tại
A
có
2A C A B=
. Điểm
(2; 2)M -
là trung điểm của cạnh
BC
. Gọi
E
là điểm thuộc cạnh
A C
sao cho
3EC EA=
, điểm
4 8
;
5 5
K
æ ö
÷
ç
÷

ç
÷
ç
÷
ç
è ø
là giao điểm của
A M
và
BE
. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác
A BC
, biết điểm
E
nằm trên đường thẳng
: 2 6 0d x y+ - =
.
Câu 8* (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm
(2; 1;2), (0;0;2)A B-
và
đường thẳng
3 6 1
:
2 2 1
x y z
d
- - -
= =
-
. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc

với d và phương trình mặt cầu có tâm B, tiếp xúc với (P).
Câu 9* (0,5 điểm). Trong kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, lớp 12A Có 2 học sinh đạt giải môn Toán
đều là học sinh nam và 4 học sinh đạt giải môn Vật lí trong đó có 2 học sinh nam và 2 học sinh nữ.
Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh trong các học sinh đạt giải đó đi dự lễ tổng kết năm học của tỉnh. Tính
xác suất để 4 học sinh được chọn có 2 nam và 2 nữ, đồng thời còn có cả học sinh đạt giải môn Toán
và học sinh đạt giải môn Vật lí.
Câu 10 (1,0 điểm). Cho các số thực dương
, ,x y z
thỏa mãn
2 2 2
5( ) 9( 2 )x y z xy yz zx+ + = + +
.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2 2 3
1
( )
x
P
y z x y z
= -
+ + +
.
Hết
(Đề thi gồm có 01 trang)
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

SỞ GD & ĐT BẮC NINH
TRƯỜNG THPT THUẬN
THÀNH 2

HƯỚNG DẪN CHẤM THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015
Môn: TOÁN. Đề số 1
Câu Đáp án Điểm
1
(2,0 điểm)
a) (1,0 điểm)
+Tập xác định:
=D R
+ Sự biến thiên:
Chiều biến thiên:
2
0
' 6 6 , ' 0
1
=

= − = ⇔

=

x
y x x y
x

Các khoảng đồng biến:
( ;0)−∞
và
(1; )+∞
; khoảng nghịch biến:
(0;1)

Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại
0,x y=
CĐ
= 1; hàm số đạt cực tiểu tại
1,x y=
CT
= 0
Giới hạn:
lim ; lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= −∞ = +∞
Bảng biến thiên :
x
−∞
0 1
+∞
y’ + 0 - 0 +
y 1
+∞




−∞
0
+ Vẽ đồ thị:
0,25
0,25

0,25
0,25
b) (1,0 điểm)
Xét phương trình hoành độ giao điểm của
: 2 1= +d y x
và đồ thị (C) là:
3 2 3 2
2 3 1 2 1 2 3 2 0x x x x x x− + = + ⇔ − − =
(*)
Giải phương trình (*) ta được ba nghiệm phân biệt
1 2 3
1
0, 2,
2
x x x= = = −
Vậy d cắt (C) tại ba điểm phân biệt
1
(0;1), (2;5), ;0
2
A B C
 
−
 ÷
 
: 2 1 ( ;2 1)M d y x M t t
∈ = + ⇒ +
, tọa độ các điểm cực trị của (C) là
(0;1), (1;0)D T
M cùng với hai điểm cực trị của đồ thị (C) tạo thành tam giác vuông tại M
. 0(**)DM T M⇔ =

uuuuruuuur
, mặt khác ta có
( ;2 ), ( 1;2 1)DM t t T M t t= = − +
uuuur uuuur
2
(**) 5 0 0t t t⇒ ⇔ + = ⇔ =
hoặc
1
5
t = −

0 (0;1)t M D= ⇒ ≡
(loại);
1 1 3
;
5 5 5
t M
 
= − ⇒ −
 ÷
 
0,25
0,25
0,25
0,25
2
(1,0 điểm)
a) (0,5 điểm)
Ta có
( )

2
os os sin
4 2
A c c
π
α α α
 
= − = +
 ÷
 
2 2
144 25 5 5
os 1 sin 1 os os ( )
169 169 13 13 2
c c c do
π
α α α α α π
= − = − = ⇔ = ± ⇒ = − < <
Thay
12 5
sin , os
13 13
c
α α
= = −
vào A ta được
7 2
26
A
=

0,25
0,25
b) (0,5 điểm). cho số phức
z
thỏa mãn
( )
(1 ) 2 (*)i z z i+ = +
. Tính môđun của số phức
z
Đặt
,( , );z a bi a b= + ∈ ¡
khi đó
z a bi= −
. Do đó
(*) (1 )( ) ( 2) ( ) ( ) ( 2)i a bi a bi i a b a b i b a i+ + = - + - + + = + +Û Û

0,25
B

A
H
C
D
E
C
A B
M
I
E
K

K
D
BA
E
I
C
M
F
HẾT