Đề luyện thi THPT Quốc gia môn toán số 78

SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM
TRƯỜNG THPT NGUYỄN HUỆ
KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2014-2015
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1. (2,0 điểm) Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
+
=
−
có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng d: y = mx - 1 cắt (C) tại hai điểm phân biệt
A, B sao cho diện tích tam giác ABC bằng
3
2
, biết C(1; -1).
Câu 2. (1,0 điểm) Giải phương trình
2
2 2
log (2 ) 5log 1 0.
− + =
x x

Câu 3. (1,0 điểm)
a) Tìm số phức z thỏa
( )

3 1+ − =z z i
.
b) Một giá sách có 5 quyển sách Toán, 4 quyển sách Lí và 1 quyển sách Hóa. Chọn ra ngẫu
nhiên 4 quyển. Tìm xác suất để 4 quyển chọn ra có đủ 3 môn Toán, Lí và Hóa.
Câu 4. (1,0 điểm) Tính tích phân
2
6
cot

cos 2
=
∫
x
I dx
x
π
π
.
Câu 5. (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
( ) : 2 3 0− + + =P x y z
và
đường thẳng d:
4
3
= +


= −



=

x t
y t
z t
.
a) Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng d và mặt phẳng (P).
b) Viết phương trình đường thẳng
∆

nằm trong (P), vuông góc với d và cắt d.
Câu 6. (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có có
, , 3
2
a
AB AC a BC SA a
= = = =
. Biết góc
0
30
= =
SAB SAC
. Chứng minh rằng SA vuông góc với BC và tính thể tích của khối chóp S.ABC
theo a.
Câu 7. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1;2) và hai đường thẳng
1
: 2 1 0
− + =
d x y
,

2
: 2 2 0
+ + =
d x y
. Gọi A là giao điểm của
1
d
và
2
d
. Viết phương trình đường
thẳng d qua M và cắt
1
d
,
2
d
lần lượt tại B, C (B và C không trùng với A) sao cho
2 2
1 1
+
AB AC
đạt
giá trị nhỏ nhất.
Câu 8. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
( )
( )
2 2
2 2
3 12 24 9 2 2 0

, .
5 7 15

+ + − + =

∈

− + =


¡
x y xy x y xy
x y
x y xy
Câu 9. (1,0 điểm) Cho
,a b
là các số thực dương thỏa mãn
3
+ + =
a b ab
.
ĐỀ THAM KHẢO
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2
1 1
= + +
+ + +
a b ab
P
b a a b

.
HẾT
SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM
TRƯỜNG THPT NGUYỄN HUỆ
HƯỚNG DẪN CHẤM
KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2014-2015
Môn thi: Toán
Câu Đáp án Điểm
1.a 1,0
•
Tập xác định:
{ }
\ 1D
=
¡
•
Sự biến thiên
( )
,
2
3
0, 1
1
y x
x
−
= < ∀ ≠
−
.
0,25

+ Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng
( ;1)
−∞
và
(1; )
+∞
.
+ Hàm số không có cực trị
+ Giới hạn:
*
lim 2;lim 2
x x
y y
→−∞ →+∞
= =
⇒
Đường thẳng y=2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
*
1 1
lim ;lim
x x
y y
− +
→ →
= −∞ = +∞

⇒
Đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
0,25
• Bảng biến thiên:

0,25
• Đồ thị: Giao điểm của (C) với Ox là
1
;0
2
 
−
 ÷
 
, giao điểm của (C) với Oy là
( )
0; 1−

Đồ thị nhận
( )
1;2I
làm tâm đối xứng
0,25
ĐỀ THAM KHẢO
1.b 1,0
Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C):
2
1
2 1
1
1
( 3) 0
≠

+

= − ⇔

−
− + =

x
x
mx
x
mx m x
1
0
3(2)
≠


⇔
=




= +


x
x
mx m
0,25
Để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt thì pt (2) có một nghiệm khác 0 và 1

0
3
≠

⇔

≠ −

m
m
0,25
Khi đó
( )
3
0; 1 , ( ; 2)
+
− +
m
A B m
m
2
3
. 1
+
⇒ = +
m
AB m
m
,
2

( , )
1
=
+
m
d C d
m
0,25
0
3
3 3
6
2
=

= ⇔ + = ⇔

= −

ABC
m
S m
m

Vậy m = -6 là giá trị cần tìm.
0,25
2 1,0
Đk x > 0.
0,25
2 2

2 2 2 2
log (2 ) 5log 1 0 log 3log 2 0
− + = ⇔ − + =
x x x x
0,25
2
2
log 1
2
log 2 4
=
=


⇔ ⇔


= =


x
x
x x
Vậy nghiệm của phương trình là x = 2, x = 4.
0,5
3a
( )
3 1+ − =z z i
0,5
Gọi

; ,
= + ∈
¡z a bi a b
( )
2 2
3 1 ( 3) 1
+ − = ⇔ + + + − =
z z i a b b a i
0,25
2 2
3
1
4
3 0

=


+ = −
⇔ ⇔
 
= −
− =



a
a b b
b
a

Vậy
3 4
= −
z i
0,25
3b 0,5
Gọi A là biến cố: “4 quyển chọn ra có đủ 3 môn Toán, Lí và Hóa ”.
Ta có
4
10
( )
Ω =
n C

0,25
Số cách chọn 2 quyển sách Toán, 1 quyển sách Lí là
2 1
5 4
.C C
.
Số cách chọn 1 quyển sách Toán, 2 quyển sách Lí là
1 2
5 4
.C C
.
Do đó
2 1 1 2
5 4 5 4
( ) . . 70
= + =

n A C C C C
Vậy
( )
4
10
( ) 70 1
( ) 3
= = =
Ω
n A
P A
n C

0,25
4 1,0
Ta có:
2 2
2
6 6
cot cos

cos2 sin (1 2sin )
= =
−
∫ ∫
x x
I dx dx
x x x
π π
π π

0,25
Đặt
sin cos
= ⇒ =
t x dt xdx


1
, 1
6 2 2
= ⇒ = = ⇒ =x t x t
π π
Khi đó
1
2
1
2
1

(1 2 )
=
−
∫
I dt
t t
0,25

1
2
2

1
2
1
1 2 1
ln ln 1 2
1
1 2 2
2
   
= + = − −
 ÷  ÷
−
   
∫
t
dt t t
t t
0,5

1
ln 2
2
=
0,25
5 1,0
a)
Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ
4
3
3

4
1
2 3 0
= +

=


= −
 
⇒ =
 
=
 
= −


+

− + =x y
x t
x
y t
y
z t
z
z
Vậy I(3; 4; -1)
0,5
b) Đường thẳng d có véctơ chỉ phương

(1; 1;1)
= −
r
u
và mặt phẳng (P) có véctơ pháp tuyến
(1; 1;2)
= −
r
n
Đường thẳng
∆
có véctơ chỉ phương
, (1;1;0)
 
=
 
r r
n u
và đi qua I nên có phương trình tham
số
3
4
1
= +


= +


= −


x t
y t
z
0,5
6 1,0
a
2
a
3
a
a
30
0
F
E
S
A
B
C
Gọi E là trung điểm của BC.
Ta có
⊥
BC AE
Mặt khác,
∆ = ∆ ⇒ = ⇒ ⊥
SAB SAC SB SC BC SE
Do đó
⊥
BC SA

0,5
Theo định lý cosin trong tam giác SAB ta có
2 2 2 0 2 2 2
3
2 . . os30 3 2 3. .
2
= + − = + − = ⇒ =SB SA AB SA AB c a a a a a SB a
⇒ =EA ES
Gọi F là trung điểm SA, ta có
⊥
EF SA

và
2
2
2
2 2 2 2 2 2 2
3 3 3
4 2 16 4
 
 
= − = − − = − − = ⇒ =
 ÷
 ÷
 
 
a a a a
EF AE AF AB BE AF a EF
Ta có
3

. . .
1 1 1
. . . . . .
3 3 2 16
= + = = =
S ABC B SAE C SAE SAE
a
V V V BC S BC SA EF
0,5
7 1,0
Ta có
2 1 0 1
( 1;0)
2 2 0 0
− + = = −
 
⇔ ⇒ −
 
+ + = =
 
x y x
A
x y y

và
1 2
⊥
d d
0,25
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d.

Khi đó
2 2 2 2
1 1 1 1
+ = ≥
AB AC AH AM
Do đó
2 2
1 1
+
AB AC
nhỏ nhất khi H trùng với M.
0,5
Vậy d là đường thẳng vuông góc với AM tại M nên có phương trình
3 0− − =x y
0,25
8 1,0
( )
( )
2 2
2 2
3 12 24 9 2 2 0(1)
, .
5 7 15(2)

+ + − + =

∈

− + =



¡
x y xy x y xy
x y
x y xy
ĐK
0
≥
xy

( ) ( )
2
(1) 2 4 3 2 2 (3)
⇔ + + = +
x y xy x y xy
0,25
Ta có x = 0 hoặc y = 0 không là nghiệm của hệ nên
0
>
xy
. Chia hai vế của (3) cho
( )
2 2
+
x y xy
ta được
2 2
2
3(4)
2

2
+
+ =
+
xy
x y
x y
xy
Đặt
2
2
2
+
= ≥
x y
t
xy
ta được
2
3 2+ = ⇔ =t t
t
0,25
2
2 2 2
2x
+
= ⇒ = ⇔ =
x y
t x y
y

Thay
2
=
x y
vào (2) ta được
2
1 1
= ⇔ =
y y
Vậy hệ có nghiệm
( ) ( )
; 2;1 .=x y
0,5
9 1,0
Đặt
0 3
= + > ⇒ = −
x a b ab x
Ta có
( ) ( ) ( )
2 2 2
4 0 4
+ − = − ≥ ⇒ + ≥
a b ab a b a b ab
2
4(3 ) 2
⇔ ≥ − ⇔ ≥
x x x
(do x > 0)

Khi đó,
3 3 2 2 3 2
( ) 3 ( ) 2
( 1)( 1) 1
( )
+ + + + − + + −
= + = +
+ + + + + +
+
+
aba b a b ab a b a b ab
P
a b a b a
a b ab
b ab a b
0,5

3
2
7 3 5
4 4 2
= + − + −
x
x x
x
Xét
3
2
7 3 5
( ) , 2

4 4 2
= + − + − ≥
x
f x x x x
x

Ta có
2
2
3 7 3
'( ) 2 0, 2
4 4
= + − − > ∀ ≥
f x x t x
x
3
( ) (2) .
2
⇒ ≥ =f x f
Do đó,
2
3
≥
P
và
1.
3
2
= ⇔ = =
P a b

Vậy GTNN của
P
bằng
3
2
.
0,5
HẾT