Đề ôn thi THPT quốc gia môn Toán số 2

ĐỀ THAM KHẢO ƠN THI TRUNG HỌC PHỔ THƠNG QUỐC GIA NĂM 2015
Mơn thi: TỐN
Thời gian làm bài: 180 phút, khơng kể thời gian giao đề
GV: NGUYỄN CƠNG NHÃ
ĐƠN VỊ: TRƯỜNG THPT NGUYỄN DU
Câu 1.(2,0 điểm)
Cho hàm số
3 2
3 4 ( )y x x C= − +
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số .
b) Tìm m để đồ thị hàm số
3 2
3 1y x x m= − + +
cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt.
Câu 2.( 1,0 điểm)
a) Giải phương trình :
3 os5 2sin 3 . os2 sinx 0c x x c x− − =
b) Cho số phức:
3 2z i
= −
.Xác định phần thực và phần ảo của số phức
2
z z+
.
Câu 3.( 0,5 điểm)
Giải phương trình:
3
log 2 log (2 ) log 0
1 27
3

3
x x x+ − − − =
Câu 4.( 1,0 điểm)
Giải phương trình:
2
2 4 6 11x x x x− + − = − +
Câu 5.( 1,0 điểm)
Tính tích phân
−
=
∫
−
+ + +
3
x 3
I dx
1
3 x 1 x 3
Câu 6.( 1,0 điểm)
Cho hình chóp S.ABC có AB=AC=a, BC=
2
a
,
·
·
0
3, 30SA a SAB SAC= = =
.Tính thể tích khối
chóp S.ABC
Câu 7.(1,0 điểm)

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ oxy, cho elip(E):
2
2
1
4
x
y+ =
và điểm C(2;0).Tìm tọa độ các
điểm A,B
∈
(E) biết rằng A,B đối xứng nhau qua trục hồnh và
∆
ABC đều
Câu 8.(1,0 điểm)
Trong khơng gian oxyz cho điểm A(0;2;2) . Viết phương trình đường thẳng
∆
qua A và vng
góc đường thẳng
1 2
:
1
3 2 2
x y z
d
− +
= =
; đồng thời cắt
2
:
2

1
x
d y t
z t
= −
=
= +





.
Câu 9.(0,5 điểm)
Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau và
tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng ngàn bằng 8.
Câu 10.(1,0 điểm)
Cho x, y là các số thực thỏa mãn
(
)
2
2 2 2 2 2 2
1 3 1 4 5x y x y x y+ + + + = +
. Tìm GTLN và GTNN
của biểu thức
2 2 2 2
2 3
2 2
1
x y x y

P
x y
+ −
=
+ +
.
ĐÁP ÁN
Câu NỘI DUNG
Điểm
1b
Tìm m để đồ thị hàm số
3 2
3 1y x x m= − + +
cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
1.0đ
Dựa vào đồ thị tìm được
1 3m− < <
2a
Giải phương trình :
3 os5 2sin 3 . os2 sinx 0c x x c x− − =
0.5đ
PT
3 1
os5 sin5 sinx sin 5 sinx
2 2 3
c x x x
π
 
⇔ − = ⇔ − =
 ÷

 
18 3
6 2
x k
x k
π π
π π

= +

⇔


= − +


2b
Cho số phức:
3 2z i= −
.Xác định phần thực và phần ảo của số phức
2
z z+
.
0.5đ
( ) ( )
2
2
3 2 3 2 8 14z z i i i+ = − + − = −
Phần thực a=8; phần ảo b=-14
3

Giải phương trình:
3
log 2 log (2 ) log 0
1 27
3
3
x x x+ − − − =
0.5đ
+ ĐK:
0 2x
< <
(*)
+PT
⇔
log ( 2) log (2 ) log 0
3 3 3
+ + − − =x x x
log [( 2)(2 )]= log (2 )(2 )
3 3
⇔ + − ⇔ + − =x x x x x x
1 17
2
4 0
2
− ±
⇔ + − = ⇔ =x x x
Kết hợp với (*) ta được nghiệm của phương trình là
1 17
2
x

− +
=
4
Giải phương trình:
2
2 4 6 11x x x x− + − = − +
1.0đ
+ ĐK:
[ ]
2;4x∈
+ Áp dụng BĐT Cauchy
2 1
2
2
2 4 2
4 1
4
2
x
x
x x
x
x
− +

− ≤


⇒ − + − ≤


− +

− ≤


Dấu “=”khi
2 1
3
4 1
x
x
x
− =

⇔ =

− =

. Mặt khác
( )
2
2
6 11 3 2 2x x x− + = − + ≥
dấu “=”xảy
ra khi x=3
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=3
5
Tính tích phân
−
=

∫
−
+ + +
3
x 3
I dx
1
3 x 1 x 3
1.0đ
Đặt
1t x= +
ĐS:
= −I 6ln3 8
6 Tính thể tích khối chóp S.ABC 1.0đ
Áp dụng định lí cô sin
·
2 2 2 2 2 0 2
2 . cos 3 2 3. cos30SB SA AB SA AB SAB a a a a a= + − = + − =
SB a⇒ =
+ Tương tự
SC a=
.
+ Gọi M là trung điểm SA, do hai tam giác SAB và SAC là hai tam giác cân nên
( )
MB SA
SA MBC
MC SA
⊥

⇒ ⊥


⊥

+ Ta có
1 1 1
. . .
. . .
3 3 3
V V V SM S MA S SA S
S ABC S MBC A MBC MBC MBC MBC
= + = + =
.
+ Tam giác MBC cân tại M. Gọi N là trung điểm BC suy ra MN vuông BC.
Tương tự MN vuông SA.
+ Ta có
2
3
2 2 2 2 2 2
16
3
4
a
MN AN AM AB BN AM MN
a
= − = − − = ⇒ =
.
+ Vậy
3
1
. .

6 16
a
V SA MN BC= =
7 Tìm tọa độ các điểm A,B
∈
(E) biết rằng A,B đối xứng nhau qua trục hoành và
∆
ABC đều
1.0đ
Giả sử
( ; ), ( ; )
0 0 0 0
A x y B x y−
.
+ Vì A,B thuộc (E) nên
2 2
2 2
0 0
1 1
0 0
4 4
,(1)
x x
y y+ = ⇔ = −
.
+ Mà tam giác ABC đều nên
( )
2
2 2 2 2
2 4 , (2)

0 0 0
AB AC x y y= ⇔ − + =
+ Từ (1) và (2) suy ra A,B là một trong hai điểm
2 4 3 2 4 3
; ; ;
7 7 7 7
   
−
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
.
8 Viết phương trình đường thẳng
∆
… 1.0đ
Giả sử
∆
cắt
2
d
tại B(-2;t;1+t)
Ta có
( )
2; 2; 1AB t t= − − −
uuur
Đường thẳng
1
d
có VTCP
( )

3;2;2u =
r
∆
vuông
1
d
( )
. 0 3 2;1;2AB u t AB⇔ = ⇔ = ⇒ = −
uuur r uuur
.
Vậy
∆
qua A có VTCP
( )
2;1;2AB = −
uuur
có PTTS:
2
2
2 2
x u
y u
z u
= −


= +


= +


9 Lập được bao nhiêu số tự nhiên mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau … 0.5đ
Giả sử số cần lập có dạng
5
1 2 3 4 6
a a a a a a
Theo đề
{ }
{ }
, , 1; 2;5
5
3 4
8
5
3 4
, , 1;3;4
5
3 4
a a a
a a a
a a a
∈
+ + = ⇒
∈




.
TH1:

{ }
, , 1; 2;5
5
3 4
a a a ∈
.
Có 6 cách chọn a
1
; 5 cách chọn a
2
; 3! Cách chọn a
3
,a
4
,a
5
và 4 cách chọn a
6
Vậy có 6.5.3!.4=720 số
TH2:
{ }
, , 1;3;4
5
3 4
a a a ∈
. Tương tự có 720 số
Vậy có 1440 số thỏa đề.
10
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức
2 2 2 2

2 3
2 2
1
x y x y
P
x y
+ −
=
+ +
.
1.0đ
* Từ giả thiết ta có:
(
)
(
)
2
2 2 2 2 2 2 2
3 2 3x y x y x x y+ − + + = − −
* Mà
(
)
(
)
2
2 2 2 2 2 2 2
3 0 3 2 0x x y x y x y− − ≤ ⇒ + − + + ≤
;
* Đặt
2 2 2

3 2 0 1 2t x y t t t= + ⇒ − + ≤ ⇔ ≤ ≤
.
*Ta được
(
)
(
)
(
)
[ ]
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 3 2
2 2 2 2
2
2 3
2
, 1;2
2 2 2 2 2 2
1
1 1 1
x y x x y x y x y
x y x y
t t
P t
t
x y x y x y
+ − − + − + +
+ −
− +

= = = = ∈
+
+ + + + + +
* Xét hàm số
[ ]
0
min ( ) (1) 1
min 1,
1;2
2
1
2
( ) , 1;2
4
0
1
4
max ( ) (2)
max ,
3
1;2
3
2
x
f t f
P khi
y
t t
f t t
x

t
f t f
P khi
y
 
 
 
 
 
 







 
 


 

 



=
= =
=

= ±
− +
= ∈ ⇒ ⇒
=
+
= =
=
= ±
¡
¡