Đề ôn thi THPT quốc gia môn Toán số 21

Trường THPT Nguyễn Diêu
MA TRẬN ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 1 8 0 phút
Mạch kiến thức, kỹ năng
Mức độ nhận thức
Điểm
Nhận
biết
Thông
hiểu
Vận dụng
thấp
Vận dụng
cao
1
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ
thị hàm số
Câu 1.1
1
1
2
Bài toán liên quan đến hàm số
(tiếp tuyến, tính đơn điệu, cực trị,
tương giao các đồ thị, tìm điểm
trên đồ thị )
Câu 1.2
1
1
3
Phương trình lượng giác, công

thức lượng giác
Câu 2.1
0.5
1
4 Số phức
Câu 2.2
0.5
5
Phương trình và bất phương trình
lôgarit, mũ.
Câu 3
0.5
0,5
6
Phương trình, bất phương trình,
hệ phương trình đại số.
Câu 4
1
1
6
Nguyên hàm, tích phân và ứng
dụng của tích phân
Câu 5
1
1
7
Thể tích khối đa diện, khối tròn
xoay; diện tích hình tròn xoay;
bài toán khoảng cách, góc.
Câu 6.2

0.5
Câu 6.1
0.5
1
8
Phương pháp tọa độ trong không
gian
Câu 7
1
1
9
Phương pháp tọa độ trong mặt
phẳng
Câu 8
1
1
10
Xác suất, tổ hợp, nhị thức
Niutơn, giới hạn của hàm số
Câu 9
0.5
0.5
11 Bất đẳng thức, GTLN - GTNN
Câu 10
1
1
Tổng 4.0 4.0 2.0 10
Trường THPT Nguyễn Diêu
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015
MÔN THI: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số
4 2
2y x x
= −
(1).
1)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )
C
của hàm số (1).
2)
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
( )
C
tại điểm M có hoành độ
0
2.x
=
Câu 2 (1,0 điểm).
1) Giải phương trình
( )
sin 4 2cos2 4 sin cos 1 cos4x x x x x
+ + + = +
.
2) Tìm phần thực và phần ảo của số phức
( 4 )w z i i
= −
biết z thỏa mãn điều kiện
( ) ( )

1 2 1 4 .i z i z i
+ + − = −
Câu 3 (0,5 điểm). Giải phương trình
2
5 0,2
log log (5 ) 5 0.x x+ − =
Câu 4 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình
2 2 2 2
2
( )( 3) 3( ) 2
4 2 16 3 8
x y x xy y x y
x y x

− + + + = + +


+ + − = +



( )
,x y
∈
¡
.
Câu 5 (1,0 điểm). Tính tích phân
π
= +
∫

2
2
0
( sin )cos .I x x xdx
Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh bằng
2a
.
,E F
lần lượt là trung điểm của
AB
và
BC
,
H
là giao điểm của
AF
và
DE
. Biết
SH
vuông góc với mặt phẳng
( )ABCD
và góc giữa đường thẳng
SA
và mặt phẳng
( )ABCD

bằng
0
60
. Tính thể tích khối chóp
.S ABCD
và khoảng cách giữa hai đường thẳng
SH
,
DF
.
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông
ABCD
. Điểm
(2;3)E
thuộc đoạn thẳng
BD
, các điểm
( 2;3)H
−
và
(2;4)K
lần lượt là hình chiếu
vuông góc của điểm
E
trên
AB
và
AD
. Xác định toạ độ các đỉnh
, , ,A B C D

của hình
vuông
.ABCD
Câu 8 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(-1;0;0) và đường thẳng
d có phương trình
2 1 1
.
1 2 1
x y z− − −
= =
Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông
góc với đường thẳng d. Từ đó suy ra tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của A lên đường
thẳng d.
Câu 9 (0,5 điểm). Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5
chữ số và số đó chia hết cho 3?
Câu 10 (1,0 điểm). Cho ba số thực
, ,x y z
thoả mãn:
2 2 2
2 4 1x y z x y
+ + ≤ − −
. Tìm giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2( ) .T x z y
= + −
Hết
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-5
5
x

y
ĐÁP ÁN THI THỬ THPT QUỐC GIA II NĂM 2015
MÔN : TOÁN
CÂU Ý NỘI DUNG ĐIỂM
1
1
1đ
4 2
2y x x
= −
+ TXĐ:
D
=
R\
+ Sự biến thiên:
•
Chiều biến thiên:
3
' 4 4y x x
= −
.
3
0
' 0 4 4 0
1
x
y x x
x
=


= ⇔ − = ⇔

= ±


Vậy hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng:
( )
;1
−∞
và (0;1) ;
đồng biến trên mỗi khoảng (-1;0) và
( )
1;
+∞
.
•
Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại x = 0, y
cđ
= 0.
Hàm số đạt cực tiểu tại
1x
= ±
, y
ct
= - 1.
•
Giới hạn :
→±∞
= +∞

lim .
x
y
Bảng biến thiên :

+ Đồ thị:
- Giao điểm với Ox : (0; 0);
( ) ( )
2;0 , 2;0−

- Giao điểm với Oy : (0 ; 0)
Nhận xét : Đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng.
0,25
0,25
0,25
0,25
2
1đ
Với x
0
=
2
, y
0
= 0,
0
'( ) 4 2.f x
=
Pttt là
4 2 8.y x

= −
0,5
0,5
2 1
0,5đ

( )
xxxxx 4cos1cossin42cos24sin
+=+++
( )
0cossin42cos22cos22cos2sin2
2
=++−+⇔ xxxxxx
( ) ( )
0cossin22cos12sin2cos
=++−+⇔
xxxxx
( )
( )
0cossin2sin2cossin22cos
2
=+++⇔ xxxxxx
( )( )
01sin2coscossin
=++⇔
xxxx
0.25
x
−∞
-1 0 1

+∞
y
/
- 0 + 0 - 0 +
y
+∞
0
+∞

-1 -1
Với
Zkkxxx
∈+−=⇔=+
,
4
0cossin
π
π
Với
( )
( )
( )
01sin21sin01sinsin2101sin2cos
22
=−−−⇔=+−⇔=+ xxxxxx

Zmmxx
∈+=⇔=⇔
,2
2

1sin
π
π
0.25
2
0,5đ
Gỉa sử
( )
, . ,z x yi x y
= + ∈
¡
suy ra
.z x yi
= −
Thế vào gt ta tìm được x= 3, y = 4.
Vậy z = 3 +4i. Do đó w = 3i
w có phần thực 0; phần ảo 3.
0,25
0,25
3 0,5đ
Gpt:
2
5 0,2
log log (5 ) 5 0x x
+ − =
(1)
Đk: x>0. Pt (1)
2 2
5 5 5 5
log log (5 ) 5 0 log log 6 0x x x x

⇔ − − = ⇔ − − =

5
5
log 3
125
log 2 1/ 25
x
x
x x
=
=


⇔ ⇔


= − =



KL: Vậy tập nghiệm pt (1) là
{ }
1/ 25;125T
=

0,25
0,25
4 1đ
ĐK:

16
2,
3
x y
≥ − ≤
3 3
(1) ( 1) ( 1) 2x y y x⇔ − = + ⇔ = −
Thay y=x-2 vao (2) được
2
4( 2) 3( 2)
4 2 22 3 8 ( 2)( 2)
2 2 22 3 4
x x
x x x x x
x x
− −
+ + − = + ⇔ = − + +
+ + − +
2
4 3
( 2) 0(*)
2 2 22 3 4
x
x
x x
=


⇔
−


+ + + =

+ + − +

Xét f(x)=VT(*) trên [-2;21/3],có f’(x)>0 nên hàm số đồng biến. suy ra
x=-1 là nghiệm duy nhất của (*)
KL: HPT có 2 nghiệm (2;0),(-1;-3)
0,5
0,25
0,25
5 1đ
π π π
= + = +
∫ ∫ ∫
1 42 43 1 442 4 43
2 2 2
2 2
0 0 0
( sin )cos cos sin cos .
M N
I x x xdx x xdx x xdx
Tính M
Đặt
cos sin
u x du dx
dv xdx v x
= =
 
⇒

 
= =
 

2
0
sin sin cos 1.
2 2
2 2
0 0
M x x xdx x
π
π π
π π
= − = + = −
∫
Tính N
Đặt
sin cost x dt xdx
= ⇒ =
Đổi cận
1
2
0 0
x t
x t
π
= ⇒ =
= ⇒ =

1
3
2
0
1
1
.
0
3 3
t
N t dt
= = =
∫





0,25
0,25
0,25
Vậy
2
.
2 3
I M N
π
= + = −
0,25
6

1
1đ
Do
ABCD
là hình vuông cạnh
2a
nên
2
4
ABCD
S a
=
.
( )SH ABCD
⊥
HA
⇒
là hình chiếu vuông góc của
SA

trên mp
( )
ABCD
·
0
60 3SAH SH AH
⇒ = ⇒ =

( )
·

·
. .ABF DAE c g c BAF ADE
∆ = ∆ ⇒ =
Mà:
·
·
0
90AED ADE+ =

Nên
·
·
0
90BAF AED
+ =
·
0
90AHE DE AF⇒ = ⇒ ⊥
Trong
ADE
∆
có:
2
. .
5
a
AH DE AD AE AH= ⇒ =
Thể tích của khối chóp
.S ABCD
là:

3
2
1 2 3 8 15
. .4
3 15
5
a a
V a= =
(đvtt)
Trong mp
( )
ABCD
kẻ
HK DF
⊥
tại
K
.
( )
,d SH DF HK
⇒ =
.
Trong
ADE
∆
có:
2
4
.
5

a
DH DE DA DH= ⇒ =

Có :
5DF a=
Trong
DHF
∆
có:
2 2
2 2 2 2
16 9 3
5
5 5
5
a a a
HF DF DH a HF
= − = − = ⇒ =

. 12 5
25
HF HD a
HK
DF
⇒ = =

Vậy
( )
12 5
,

25
a
d SH DF
=
0,25
0,25
0,25
0,25
7 1đ
Ta có:
: 3 0EH y
− =

: 2 0EK x
− =

: 2 0
: 4 0
AH x
AK y
+ =

⇒

− =


( )
2;4A
⇒ −

Giả sử
( )
;n a b
r
,
( )
2 2
0a b
+ >
là VTPT của đường thẳng
BD
.
Có:
·
0
45ABD =
nên:
2 2
2
2
a
a b
a b
= ⇔ = ±
+
• Với
a b
= −
, chọn
1 1 : 1 0b a BD x y

= − ⇒ = ⇒ − + =
( ) ( )
2; 1 ; 3;4B D
⇒ − −
( )
( )
4; 4
1;1
EB
ED

= − −

⇒

=


uuur
uuur
E⇒
nằm trên đoạn
BD
(thỏa mãn)
0,25
0,25
Khi đó:
( )
3; 1C
−

• Với
a b
=
, chọn
1 1 : 5 0b a BD x y
= ⇒ = ⇒ + − =
.
( ) ( )
2;7 ; 1;4B D
⇒ −
( )
( )
4;4
1;1
EB
ED

= −

⇒

= −


uuur
uuur
4EB ED
⇒ =
uuur uuur
E

⇒
nằm ngoài đoạn
BD
(L)
Vậy:
( ) ( ) ( ) ( )
2;4 ; 2; 1 ; 3; 1 ; 3;4A B C D
− − − −
0,25
0,25
8 1đ
+) d có 1 VTCP là
( )
1;2;1 .u =
r
+) (P) qua A(-1;0;0) và có VTPT
( )
1;2;1n u= =
r r
có pt : x + 2y + z +1 = 0.
+) H là giao điểm của (d) và (P) nên tọa độ H là nghiệm của hệ pt
1
2 1 1
1.
1 2 1
2 1 0
0
x
x y z
y

x y z
z
=

− − −

= =
 
⇔ = −
 
 
+ + + =
=


Vậy H(1;-1;0).
0,25
0,5
0,25
9 0,5đ
Số có 5 chữ số cần lập là
abcde
(
0a
≠
; a, b, c, d, e
∈
{0; 1; 2; 3; 4; 5})
3abcde M

( ) 3a b c d e
⇔ + + + +
M
- Nếu
( ) 3a b c d
+ + +
M
thì chọn e = 0 hoặc e = 3
- Nếu
( )a b c d
+ + +
chia 3 dư 1 thì chọn e = 2 hoặc e = 5
- Nếu
( )a b c d
+ + +
chia 3 dư 2 thì chọn e = 1 hoặc e = 4
Như vậy với mỗi số
abcd
đều có 2 cách chọn e để được một số có 5
chữ số chia hết cho 3
Số các số dạng
abcd
lập được từ tập A là: 5x6x6x6= 1080 số
Số các số cần tìm là 2 x 1080 = 2160 số
0,25
0,25
10 1đ
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2

2 4 1 1 2 4 1x y z x y x y z
+ + ≤ − − ⇔ − + + + ≤
Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
. Xét mặt cầu:
( ) ( ) ( )
2 2
2
: 1 2 4S x y z
− + + + =
. Có tâm
( )
1; 2;0I
−
,bán kính
2R
=
.
Xét mp
( )
: 2 2 0x y z T
α
− + − =
G/s
( )
; ;M x y z
. Từ
( )
1
có điểm

M
nằm bên trong
( )
S
và kể cả trên mặt cầu
( )
S
( )
( )
,d I R
α
⇒ ≤
4
2 2 10
3
T
T
−
⇔ ≤ ⇔ − ≤ ≤
• Với
2T
= −
thì
M
là giao điểm của mp
( )
β
:
2 2 2 0x y z
− + + =

Và đường thẳng
∆
đi qua
I
và
( )
β
⊥
.

1 2
: 2
2
x t
y t
z t
= +


∆ = − −


=


1 4 4
; ;
3 3 3
M
 

⇒ − − −
 ÷
 
Với
10T
=
. Tương tự
7 8 4
; ;
3 3 3
M
 
−
 ÷
 
0,25
0,25
0,25
0,25
Vậy
min 2T
= −
khi
1
3
4
3
x
y z


= −




= = −



max 10T
=

khi
7
3
8
3
4
3
x
y
z

=



= −




=


* Chú ý: Mọi cách giải khác đúng đều đạt điểm tối đa.