Đề ôn thi THPT quốc gia môn Toán số 8

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH
TRƯỜNG THPT VÂN CANH
Giáo viên : Trần Đoàn Bằng
MA TRẬN ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT
QUỐC GIA NĂM HỌC: 2014 – 2015
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài : 180 phút
Tên Cấp độ
chủ đề
Nhận
biết
Thông hiểu Vận dụng thấp Vận dụng cao Cộng
1.Khảo sát hàm số Câu 1
2,0
Số câu:1
Số điểm:2,0
Tỉ lệ:20%
2.Lượng giác Câu 2b
0,5
Số câu:1/2
Số điểm:0,5
Tỉ lệ:5%
3.Số phức Câu 2a

0,5
Số câu:1/2
Số điểm:0,5
Tỉ lệ:5%
4.Phương trình ,
bất phương trình
Câu 3

0,5
Câu 4
1,0
Số câu:2
Số điểm:1,5
Tỉ lệ:15%
5.Tích phân Câu 5
1,0
Số câu:1
Số điểm:1
Tỉ lệ:10%
6.Khối đa diện Câu 6
1,0
Số câu:1
Số điểm:1
Tỉ lệ:10%
7.Phương pháp tọa
độ trong không gian
Câu 7
1,0
Số câu:1
Số điểm:1
Tỉ lệ:10%
8.Phương pháp tọa
độ trong mặt phẳng
Câu 8
1,0
Số câu:1
Số điểm:1
Tỉ lệ:10%

9.Tổ hợp ,Xác suất Câu 9
0,5
Số câu:1
Số điểm:0,5
Tỉ lệ:5%
10.GTLN,GTNN,
Chứng minh bất
đẳng thức
Câu 10
1,0
Số câu:1
Số điểm:1
Tỉ lệ:10%
Cộng Số câu:2
Số điểm:3,0
Số câu:4
Số điểm:3,5
Số câu:4
Số điểm:3,5
Số câu:10
Số điểm:10
Tỉ lệ:30% Tỉ lệ:35% Tỉ lệ:35% Tỉ lệ:100%
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH
TRƯỜNG THPT VÂN CANH
Giáo viên : Trần Đoàn Bằng
ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA
NĂM HỌC: 2014 - 2015
Môn: TOÁN-ĐỀ 2
Thời gian làm bài : 180 phút

Câu 1 (2,0 điểm)Cho hàm số
3 2
1
2 3
3
y x x x= − +
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại của đồ thị (C) và vuông góc với tiếp tuyến của
đồ thị (C) tại gốc tọa độ.
Câu 2 (1, 0 điểm)
a. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z thoả mãn điều kiện
(2 ) 3 5z i z i+ + = +

b. Cho
α
là góc mà tan
α
=2. Tính
3 3
sin
sin 3cos
P
α
α α
=
+

Câu 3 (0,5 điểm) Giải phương trình:
2
2 1

2
log ( 2 8) 1 log ( 2)x x x− − = − +
Câu 4 (1, 0 điểm) Giải bất phương trình
3 2 3 2 1x x x+ + + > −

Câu 5 (1, 0 điểm) Tính:
1
0
( 2) .
x
I x e dx= +
∫
Câu 6 (1,0 điểm)Cho khối chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với đáy. Mặt bên (SBC) tạo với
đáy góc 60
0
.

Biết SB = SC = BC = a. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
Câu 7 (1,0 điểm)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
- 4x + 2y + 4z - 7
= 0 và
mặt phẳng (α) : x - 2y + 2z + 3 = 0
a. Tính khoảng cách từ tâm I của mặt cầu (S) tới mặt phẳng (α).
b. Viết phương trình mặt phẳng (β) song song với mặt phẳng (α) và tiếp xúc với mặt cầu (S).
Câu 8(1,0 điểm)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,cho hình vuông ABCD có M(1;2) là trung điểm

AB, N(-2;1) là điểm thuộc đoạn AC sao cho AN=3NC.Viết phương trình của đường thẳng CD
Câu 9(0,5 điểm) Đề cương ôn tập cuối năm môn Toán lớp 12 có 40 câu hỏi.Đề thi cuối năm gồm 3
câu hỏi trong số 40 câu đó.Một học sinh chỉ ôn 20 câu trong đề cương.Giả sử các câu hỏi trong đề
cương đều có khả năng được chọn làm câu hỏi thi như nhau.Hãy tính xác suất để có ít nhất 2 câu hỏi
của đề thi cuối năm nằm trong số 20 câu hỏi mà học sinh nói trên đã ôn.
Câu 10(1,0 điểm)Cho các số thực không âm a,b,c thõa mãn a+b+c =1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
2 2 2 2 2 2 2 2 2
3( ) 3( ) 2M a b b c c a ab bc ca a b c= + + + + + + + +

Hết
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ 1
Nội dung
Điểm
Câu 1(2,0điểm)
a.
(1,0
điểm)
+Tập xác định
+Chiều biến thiên
+Cực trị
+Giới hạn
+BBT
+Đồ thị
f(x)=1/3*x^3-2*x^2+3*x
-26 -24 -22 -20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28
-25
-20
-15
-10

-5
5
10
15
20
25
x
y
0,25
0,25
0,25
0,25
b
(1,0
điểm)
+ Điểm Cực đại của ( C ) là M(1;4/3)
+T.T của ( C ) tại gốc toạ độ có hệ số góc k= y’(0)=3
+Đường thẳng cần tìm đi qua điểm M và có hệ số góc k’= -1/3 nên có pt:
y= - 1/3(x-1)+4/3=-1/3x+5/3
0,25
0,25
0,5
Câu 2(1,0 điểm)
a
(0,5
điểm)
Giả sử ,z=x+yi(x,y
R∈
).Ta có
(2 ) 3 5z i z i+ + = +

x+yi +(2+i)(x-yi)=3+5i
3x+y+(x-y)i=3+5i

3 3 2
5 3
x y x
x y y
+ = =
 
<=>
 
− = = −
 

Vậy phần thực và phần ảo của số phức z lần lượt bằng 2,-3
0,25
0,25
b.
(0,5
điểm)
2
3 3 3
1
tan
sin
cos
sin 3cos tan 3
P
α
α

α
α α α
= =
+ +

=
2 2
3 3
(1 tan )tan (1 2 )2 10
tan 3 2 3 11
α α
α
+ +
= =
+ +

0,25
0,25
Câu 3(0,5 điểm)

2
2 1
2
log ( 2 8) 1 log ( 2)x x x− − = − +

2
2 2 2
log ( 2 8) log 2 log ( 2)x x x− − = + +

2

2 2
log ( 2 8) log 2( 2)x x x− − = +

2
2 0
2 8 2( 2)
x
x x x
+ >


− − = +



2
2 0
6
4 12 0
x
x
x x
+ >

<=> =

− − =


0,25

0,25
Câu 4(1,0 điểm)
ĐK:
2
3
x ≥ −

3 2 3 2 1x x x+ + + > −

3 2 3 ( 3 2 3)( 3 2 3)x x x x x x+ + + > + + + + − +

1 3 2 3x x> + − +
(vì
3 2 3x x+ + +
>0)

1 3 3 2x x+ + > +

1 3 2 3 3 2x x x+ + + + > +

3 1x x+ > −


2
1 0
1 0
3 2 1
x
x
x x x

− <


<=>
− ≥




+ > − +



1
3 17
1
2
x
x
<


<=>
+

≤ <



So sánh với điều kiện , ta có nghiệm của bất phương trình là

2 3 17
3 2
x
+
− ≤ <

0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 5(1,0 điểm)
1
0
( 2) .
x
I x e dx= +
∫
Đặt
2
x x
u x du dx
dv e dx v e
= + =
 
=>
 
= =
 
…………………………………………………….
Khi đó I=

1
1
0
0
( 2)
x x
x e e dx+ −
∫
…………………………………………………….
=
1 1
0 0
( 2) 2 1
x x
x e e e+ − = −
………………………………………………
……….
0,25
0,25
0,5
Câu 6(1,0 ñieåm)
(Hình vẽ)
Vẽ đường cao AH của tam giác ABC.
Khi đó BC
⊥
SC (định lí 3 đường vuông góc)
Và góc SHA là góc giữa mặt bên (SBC) và mặt đáy.
Từ gt,ta có góc SHA bằng 60
0

0,25
Vì tam giác SBC là tam giác đều cạnh a nên SH =
3
a
2
Ta lại có AH =SH cos60
0
=
3
a
4
,SA=SH sin60
0
=
3a
4

Vậy thể tích của khối chóp S.ABC
V=1/3 SA.S
ABC
=1/6.SA.AH.BC=
3
1 3 3 3
. . .
6 4 4 32
a a a
a =

0,25
0,5

Câu 7(1,0 ñieåm)
a.
(S) có tâm I(2;-1;-2) và bán kính R=4
Do đó d(I,(
α
))=1
0,25
0,25
b.
Viết phương trinh mặt phẳng (β) song song với mặt phẳng (α) và tiếp xúc với mặt cầu
(S).
Vì mặt phẳng (β) song song với mặt phẳng (α) nên pt của (β) có dạng
x-2y+2z+D=0
Ta có d(I, (β))=R

4
3
D
=

12
12
D
D
=


= −

Vậy (β) có pt là x-2y+2z+12=0 hoặc x-2y+2z-12=0

0,25
0,25
Câu 8(1,0 ñieåm)
Ta có MN=
10
,AN=3AC/4=
3 2
4
a

MN
2
=AM
2
+AN
2
-2AM.AN.cos45
0
=
2
5
8
a

=>a=4
Gọi I(x;y) là trung điểm của CD.Ta có
1, 2
4
17 6
,

2
5 5
4
x y
IM
BD
x y
IN
= = −
=


 
=>
 
= = −
= =
 



+Đường thẳng CD đi qua I(1;-2) có pt : y+2=0
+ Đường thẳng CD đi qua I(17/5;-6/5) có pt : 3x-4y-15=0
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 9(0,5 ñieåm)
Không gian mẫu
Ω

có
n(
Ω
)=
3
40
9880C =
(phần tử)
Gọi A là biến cố “có ít nhất 2 câu hỏi của đề thi nằm trong số 20 câu đã ôn”.Ta thấy
xảy ra một trong hai TH sau
TH1: Trong đề thi có đúng 2 câu hỏi trong 20 câu đã ôn
TH2: Trong đề thi có đúng 3 câu hỏi trong 20 câu đã ôn
Do đó n(X)=
2 1 1
20 20 20
. 1330C C C+ =
(phần tử)
Vậy xác suất cần tìm: P(X)=
( ) 1330 7
( ) 9880 52
n A
n
= =
Ω
0,25
0,25
Câu 10(1,0 ñieåm)
Đặt t=ab+bc+ca (
0t ≥
),ta có

a
2
+b
2
+c
2
≥
ab+bc+ca
=>1=(a+b+c)
2
= a
2
+b
2
+c
2
+2(ab+bc+ca)
≥
3(ab+bc+ca)=3t
=> a
2
+b
2
+c
2
=1-2t với
1
3
t ≤

Theo bất đẳng thức Cô-si
T
2
=(ab+bc+ca)
2
≤
3(a
2
b
2
+b
2
c
2
+c
2
a
2
)
Do đó M
≥
t
2
+3t+2
1 2t−

Xét hàm số f(t)= t
2
+3t+2
1 2t−

trên tập
1
0;
3
D
 
=
 
 
,
f’(t)=
2
2 3
1 2
t
t
+ −
−

f’’(t)=
3
2
2 0
(1 2 )
t D
t
− ≤ ∀ ∈
−

=>f’(t) nghịch biến trên D

=>f’(t)
≥
f’(1/3)=
11
2 3
3
−
=> f(t)đồng biến trên D
=>f(t)
≥
f(0)=2
Vậy minM =2 đạt được khi t=0,tức là với a,b,c không âm thõa mãn
1
0
a b c
ab bc ca
ab bc ca
+ + =


= =


+ + =


< =>a,b,c là một trong các bộ số (0;0;1),(0;1;0),(1;0;0)
0,25
0,5
0,25

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH
TRƯỜNG THPT VÂN CANH
Giáo viên : Trần Đoàn Bằng
ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA
NĂM HỌC: 2014 - 2015
Môn: TOÁN-ĐỀ 2
Thời gian làm bài : 180 phút

Câu 1 (2,0 điểm)Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
+
=
+
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b.Tìm k để đường thẳng (d) : y=kx+2k+1 cắt (C) tại 2 điểm phân biệt.
Câu 2 (1, 0 điểm)
a. Cho góc
α
thõa mãn :
3
2
π
π α
< <
và
1

cos =-
3
α
. Tính
3 3
sin
sin 3cos
P
α
α α
=
+

b. Tìm môđun của số phức z thoả mãn điều kiện
(2 ) 3 5z i z i+ + = +

Câu 3 (0,5 điểm) Giải phương trình:
(3 2 2) 2( 2 1) 3 0
x x
+ − − − =
Câu 4 (1, 0 điểm) Giải bất phương trình
3 2 3 2 1x x x+ + + > −

Câu 5 (1, 0 điểm) Tính:
1
1 3ln ln
.
e
x x
I dx

x
+
=
∫
Câu 6 (1,0 điểm)Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA=a.Hình chiếu vông
góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC ,
4
AC
AH =
.Gọi CM là đường cao
của
SAC
∆
Chứng minh M là trung điểm của SA và thể tích khối tứ diện SMBC theo a.
Câu 7 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
(S): x
2
+ y
2
+ z
2
- 4x + 2y + 4z - 7 = 0 , đường thẳng d :
1 2
1 2 1
x y z− −
= =
−
a. Viết phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng d và tiếp xúc với mặt cầu (S).
b. Viết phương trình đường thẳng đi qua tâm của mặt cầu (S), cắt và vuông góc với đường thẳng d.
Câu 8(1,0 điểm)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,cho 2 đường thẳng d:
3
x+y=0 và d’:
3
x-y=0.Gọi (C)
là đường tròn tiếp xúc với d tại A,cắt d’ tại 2 điểm B,C sao cho tam giác ABC vuông tại B.Viết
phương trình của (C) biết diện tích tam giác ABC bằng
3
2
và A có hành độ dương.
Câu 9(0,5 điểm) Cho số nguyên dương n thõa điều kiện
1 3 2 1
2 1 2 1 2 1
1023
n
n n n
C C C
−
+ + +
+ + + =
.
Tìm hệ số của x
13
trong khai triển (x+3)
3n
Câu 10(1,0 điểm)Cho các số thực không âm a,b,c thõa mãn a+b+c =1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
2 2 2 2 2 2 2 2 2
3( ) 3( ) 2M a b b c c a ab bc ca a b c= + + + + + + + +

Hết
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ 2
Nội dung
Điểm
Câu 1(2,0điểm)
a.
(1,0
điểm)
+Tập xác định
+Chiều biến thiên
+Cực trị
+Giới hạn , tiệm cận
+BBT
+Đồ thị
f(x)=(2*x+1)/(x+1)
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
0,25
0,25
0,25
0,25

b
(1,0
điểm)
Xét pt
2 1
1
x
x
+
+
=kx+k+1
< =>kx
2
+(3k-1)x+2k=0(x
≠
-1)
< =>kx
2
+(3k-1)x+2k=0 ( vì x=-1 không phải là nghiệm của pt với mọi k)
Do đó d cắt ( C ) tại 2 điểm phân biệt < =>
2
0
6 1 0
k
k k
≠


∆ = − + >



0
(*)
3 2 2
3 2 2
k
k
k
≠



< −



> −




Vậy với k thõa (*) thì thõa yêu cầu bài toán
0,25
0,25
0,5
Câu 2(1,0 điểm)
a
(0,5
điểm)

Giả sử ,z=x+yi(x,y
R∈
).Ta có
(2 ) 3 5z i z i+ + = +
x+yi +(2+i)(x-yi)=3+5i
3x+y+(x-y)i=3+5i

3 3 2
5 3
x y x
x y y
+ = =
 
<=>
 
− = = −
 

Vậy z=2-3i
Do đó môđun của số phức z lần lượt bằng
13

0,25
0,25
b.
(0,5
điểm)
Ta có
2 2
1 8

sin 1 cos 1
9 9
α α
= − = − =
Vì
3
2
π
π α
< <
nên sin
α
<0
Do đó
2 2
sin
3
α
= −

Vậy
3 3
sin
sin 3cos
P
α
α α
=
+
=

3
3
2 2
18 2
3
16 2 3
2 2 1
3.
3 3
−
=
−
 
 
− − −
 ÷
 ÷
 
 

0,25
0,25
Câu 3(0,5 điểm)

(3 2 2) 2( 2 1) 3 0
x x
+ − − − =

2
( 2 1) 2( 2 1) 3 0

x x−
+ − + − =

3
( 2 1) 3( 2 1) 2 0
x x
+ − + − =


( 2 1) 2
x
+ =

2 1
log 2x
+
=

0,25
0,25
Câu 4(1,0 điểm)
ĐK:
2
3
x ≥ −

3 2 3 2 1x x x+ + + > −

3 2 3 ( 3 2 3)( 3 2 3)x x x x x x+ + + > + + + + − +


1 3 2 3x x> + − +
(vì
3 2 3x x+ + +
>0)

1 3 3 2x x+ + > +

1 3 2 3 3 2x x x+ + + + > +

3 1x x+ > −


2
1 0
1 0
3 2 1
x
x
x x x
− <


<=>
− ≥




+ > − +




1
3 17
1
2
x
x
<


<=>
+

≤ <



So sánh với điều kiện , ta có nghiệm của bất phương trình là
2 3 17
3 2
x
+
− ≤ <

0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 5(1,0 điểm)

1
1 3ln ln
.
e
x x
I dx
x
+
=
∫
Đặt u=
1 3ln x+
=>u
2
= 1+3lnx
0,25
 2udu=
3
dx
x

Đổi cận : x=e => u=2
x=1 => u=1
Khi đó I=
2
2
1
1 2
. .
3 3

u
u udu
−
∫
…………………………………………………….
=
2
2
5 3
2 2
1
1
2 2 116
( 1) ( )
9 9 5 3 135
u u
u u du− = − =
∫
……………………………………
………………….
0,25
0,5
Câu 6(1,0 ñieåm)
(Hình vẽ )
+ C/m M là trung điểm của SA.
Ta tính được
SH=
2 2 2
2 14
4 4

a a
SA AH a
 
− = − =
 ÷
 ÷
 

SC=
2
2
2 2
14 3 2
2
16 4
a a
SH CH a AC
 
+ = − = =
 ÷
 ÷
 
Do đó tam giác SCA cân tại C nên M là trung điểm của SA
+ Tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a
Ta vẽ MK vuông góc với AC tại K,khi đó KM=SH/2
V
S.ABC
=1/3 SH.S
ABC
=

3
14
24
a

Khi đó
V
MSBC

=V
MABC
=1/2 V
S.ABC
=
3
14
48
a
0,25
0,25
0,5
Câu 7(1,0 ñieåm)
a.
d có một vtcp
(1;2; 1)u = −
r
, (S) có tâm I(2;-1;-2) và bán kính R=4
Vì (P) vuông góc với d nên (P) nhận
(1;2; 1)u = −
r

làm vtpt .Do đó pt của (P) có dạng
x+2y-z+D=0
Mặt khác (P) tiếp xúc với (S) nên ta có
d(I,(P))=R
2
4
6
D+
=

2 4 6
2 4 6
D
D

= − +

= − −


Vậy pt của (P) là x+2y-z-2+
4 6
=0 hoặc x+2y-z-2-
4 6
=0
0,25
0,25
b.
Pt của d được viết dưới dạng tham số
1 2

2
x t
y t
z t
=


= +


= −

Gọi d’ là đt cần tìm,và H(t ;1+2t ;2-t) là giao điểm của d và d’
Ta có
( 2;2 2 ;4 )IH t t t= − + −
uuur
Và
. 0IH u =
uuur r
t-2+2(2+2t)-(4-t)=0t=1/3
Vậy H(1/3 ;5/3 ;5/3)
Do đó d’ đi qua 2 điểm I(2;-1;2) và H(1/3 ;5/3 ;5/3)
Vậy pt đt cần tìm
2 5
1 8
2 11
x t
y t
z t
= −



= − +


= − +


0,25
0,25
Câu 8(1,0 ñieåm)
Ta thấy đường tròn (C ) là đường tròn ngoại tiếp tam giác vông ABC,có đường kính
AC
Điểm A thuộc d nên A(a;-a
3
) (a>0).
+Đường thẳng AB đi qua A và vuông góc với d’ có pt: x+
3
y+2a=0
Do đó B là giao điểm của AB với d’ .khi đó B
3
;
2 2
a a
 
− −
 ÷
 ÷
 

+ Đường thẳng AC đi qua A và vuông góc với d có pt: x-
3
y-4a=0
Do đó C là giao điểm của AC với d’ .khi đó C
( )
2 ; 2 3a a− −

Ta lại có S
ABC∆

=
1 3
.
2 2
AB BC =
=>a=
1
3

Vậy
1 2
; 1 ,C ; 2
3 3
A
   
− − −
 ÷  ÷
   

Do đó đường tròn (C ) có tâm

1 3
;
2
2 3
I
 
− −
 ÷
 
là trung điểm của AC và bán kính
R=IA=1
Vậy pt của( C):
2
2
1 3
1
2
2 3
x y
 
 
+ + + =
 ÷
 ÷
 
 

0,25
0,25
0,5

Câu 9(0,5 ñieåm)
Đặt S =
0 1 2 2 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2
n n n
n n n n n
C C C C C
+ +
+ + + + +
+ + + + + =

Ta có
1 3 2 1 2 1 0 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

n n n
n n n n n n n
C C C C C C C
− +
+ + + + + +
+ + + + = + + +
Do đó
1 3 2 1 2 1 1
2 1 2 1 2 1 2 1
1 1
.2 2
2 2
n n n n
n n n n

C C C C S
− + +
+ + + +
+ + + + = = =
=>
1 3 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
2 2 1
n n n n
n n n n
C C C C
− +
+ + + +
+ + + = − = −
Vậy
1 3 2 1
2 1 2 1 2 1
1023 2 1 1023 5
n n
n n n
C C C n
−
+ + +
+ + + = <=> − = <=> =

Với n=5 , ta có (x+3)
3n
=(x+3)
15
15

15 15
15
0
3
k k k
k
C x
− −
=
∑
.
Vậy hệ số của x
13
trong khai triển (x+3)
15
là
2 13
15
3 . 945C =

0,25
0,25
Câu 10(1,0 ñieåm)
Đặt t=ab+bc+ca (
0t ≥
),ta có
a
2
+b
2

+c
2
≥
ab+bc+ca
=>1=(a+b+c)
2
= a
2
+b
2
+c
2
+2(ab+bc+ca)
≥
3(ab+bc+ca)=3t
=> a
2
+b
2
+c
2
=1-2t với
1
3
t ≤

Theo bất đẳng thức Cô-si
T
2
=(ab+bc+ca)

2
≤
3(a
2
b
2
+b
2
c
2
+c
2
a
2
)
Do đó M
≥
t
2
+3t+2
1 2t−

Xét hàm số f(t)= t
2
+3t+2
1 2t−
trên tập
1
0;
3

D
 
=
 
 
,
f’(t)=
2
2 3
1 2
t
t
+ −
−

f’’(t)=
3
2
2 0
(1 2 )
t D
t
− ≤ ∀ ∈
−

=>f’(t) nghịch biến trên D
=>f’(t)
≥
f’(1/3)=
11

2 3
3
−
=> f(t)đồng biến trên D
=>f(t)
≥
f(0)=2
Vậy minM =2 đạt được khi t=0,tức là với a,b,c không âm thõa mãn
1
0
a b c
ab bc ca
ab bc ca
+ + =


= =


+ + =


< =>a,b,c là một trong các bộ số (0;0;1),(0;1;0),(1;0;0)
0,25
0,5
0,25