ÔN TOÁN ĐẠI HỌC ĐỀ 8 NĂM 2014

Website: dophuongthcsnt.violet.vn


Biên soạn: Đỗ Việt Phương - Nam Trực, Nam Định
ÔN TOÁN ĐẠI HỌC ĐỀ 8 NĂM 2014
Thời gian làm bài 150 phút

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH ( 7,0 điểm)
Câu I.( 2,0 điểm) Chohàmsố
y
=
x 2
x 1


(1).
1.Khảosátsựbiếnthiênvàvẽđồthị(C)củahàmsố(1).
2.Tìmtrên(C)nhữngđiểmMsaochokhoảngcáchtừđiểmMđếntrụchoànhbằng3
lầnkhoảngcáchtừMđếntrụctung.
Câu II. (2,0 điểm)
1.Giảiphươngtrình:sin
3
x+2cosx-2+sin
2
x=0
2.Giảiphươngtrình:
3
3 5
log x log (x x 95)  

Câu III. ( 1 điểm) Tínhtíchphân:I=

ln8
x x
ln3
e e 1dx


Câu IV. ( 1,0 điểm) Trongmp(P)chođườngtrònđườngkínhAB=2R;Clàmộtđiểmtrên
đườngtròn,AC=R.CạnhSAvuônggócvớimp(P),gócgiữahaimặtphẳng(SAB)và(SBC)
bằng60
0
.GọiH,KlầnlượtlàhìnhchiếuvuônggóccủađiểmAtrênSB,SC.
1. ChứngminhtamgiácAHKvuông.
2. TínhthểtíchcủahìnhchópS.ABCtheoR.
Câu V. ( 1,0 điểm ) Chox,y,z>0thỏamãnx+y+z=1.Chứngminh:
1 4 9
36
x y z
  
.
II. PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a ( 2,0 điểm)

1.TrongmặtphẳngvớihệtọađộOxy,chohìnhbìnhhànhABCDcódiệntíchS=4,
biếtA(1;0),B(2;0)vàgiaođiểmIcủahaiđườngchéoACvàBDnằmtrênđườngthẳng
y=x.TìmtọađộcácđỉnhC,D.
 2.TrongkhônggianvớihệtoạđộOxyz,chohaimặtphẳng(P):x+y+z3=0và
(Q):xy+z1=0.Viếtphươngtrìnhmặtphẳng(R)vuônggócvới(P)và(Q)saocho
khoảngcáchtừOđến(R)bằng2.
Câu VII.a ( 1,0 điểm)Tìmcácsốthựcx,ythỏamãn:x(-1+4i)+y(1+2i)

3
=2+9i.
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
 1.TrongmặtphẳngvớihệtọađộOxy, choelip(E):
2
2
x
y 1
4
 
vàđiểmC(2;0).Tìm
tọađộđiểmA,Bthuộc(E),biếtrằngA,BđốixứngnhauquatrụcOxvàtamgiácABCđều
.
 2.TrongkhônggianvớihệtoạđộOxyz,chođiểmA(4;0;0),B(x
0
;y
0
;0)vớix
0
>0,
y
0
>0saochoOB=8vàgóc

0
AOB 60
.
a)XácđịnhđiểmCtrêntiaOzđểthểtíchcủatứdiệnOABCbằng8.
b)GọiGlàtrọngtâmtamgiácOABvàđiểmMtrênđườngthẳngACvớiAM=x.Tìm

xđểOMvuônggócGM.
Câu VII.b (1,0 điểm)Giảiphươngtrình:z
2
-(4-i)z+5+i=0trêntậphợpcácsốphức.




Website: dophuongthcsnt.violet.vn


Biên soạn: Đỗ Việt Phương - Nam Trực, Nam Định
ĐÁP ÁN ÔN TOÁN ĐẠI HỌC ĐỀ 8 NĂM 2014
Câu

Đáp án
I
(2đ)
1. (1 điểm)
y
=
x 2
x 1


(1)
1.TXĐ:D=
R
\{-1}
2.Sựbiếnthiên:

a)Chiềubiếnthiên:
y’=
 
2
3
x 1
>0,
x 1  

Hàmsốđồngbiếntrêncáckhoảng(
; 1 
);(-1;+

)
Hàmsốkhôngcócựctrị

b)Giớihạnvàtiệmcận:

x
lim y 1


đồthịhàmsốcótiệmcậnnganglàđườngthẳngy=1

x ( 1)
lim y

 
 
và

x ( 1)
lim y

 
 

 đồthịhàmsốcótiệmcậnđứnglàđườngthẳngx=-1

c)Bảngbiếnthiên

x -

-1+


y’ ++
y



+

1




1-




3)Đồthị:
GiaođiểmcủađồthịvớicáctrụctọađộlàA(2;0),B(0;-2)

 


2)1điểm
GiảsửđiểmM(x
0
;y
0
)

(C)thỏad(M,Ox)=3d(M,Oy)
d(M,Ox)=3d(M,Oy)
0 0
y 3 x

-5
5
4
2
-2
f x
 
=
x-2
x+1
Website: dophuongthcsnt.violet.vn

Biên soạn: Đỗ Việt Phương - Nam Trực, Nam Định






0
0
0
0 0
0 0
0
0
0
x 2
3x
x 1
y 3x
y 3x
x 2
3x
x 1











 



 




2
0 0
2
0 0
3x 2x 2 0 (PTVN)
3x 4x 2 0

  

   





0 0

0 0
2 10
x y 2 10
3
2 10
x y 2 10
3

 
   



 
   




VậycóhaiđiểmMthỏaYCBTlàM(
2 10
;2 10
3
 

)hoặcM(
2 10
;2 10
3
 


)
II
(2 đ)

1. (1 đi ểm)
 Sin
3
x+2cosx-2+sin
2
x=0(1)(1-cosx)(sinx+cosx+sinxcosx-1)=0


cos x 1
sin x cos x sin x cos x 1 0



   



cosx=1x=k2

,k

Z

sinx+cosx+sinxcosx-1=0(2)
Đặtt=sinx+cosx( t 2 )=>sinxcosx=

2
t 1
2


Pt(2)trởthànhpt:t+
2
t 1
2

-1=0t
2
+2t-3=0t=1vàt=-3(loại)
+t=1:sinx+cosx=1
2
cos(x ) x k2 ,k Z
4 2 4 4
  
        


x k2
2
x k2


  


 




Vậypt(1)cócáchọnghiệmlà:x=k2

,x=
k2 ,k Z
2

  


2. (1 điểm)

3
3 5
log x log (x x 95)  
(1)
ĐK:x>0.Đặtt=log
3
xx=3
t

Pt(1)trởthành:t=log
5
(
 
t
t
3

3 3 95  )

Website: dophuongthcsnt.violet.vn


Biên soạn: Đỗ Việt Phương - Nam Trực, Nam Định
5
t
=
 
t
t
3
3 3 95  

t
t t
3
3 3 1
95. 1
5 5 5
 
   
  
 
   
 
   
 
(2)


Xéthàmsốf(t)=
t
t t
3
3 3 1
95.
5 5 5
 
   
 
 
   
 
   
 
,t

R
f'(t)=
t
t t
3 3
3 3 3 3 1 1
ln .ln 95. .ln
5 5 5 5 5 5
 
   
 
 

   
 
   
 
<0,

t

R
Hàmsốf(t)nghịchbiếntrênR.


Nhậnthấyf(3)=1nênt=3làmộtnghiệmcủapt(2).
Vìhàmsốf(t)nghịchbiếntrênRnênpt(2)cónghiệmduynhấtt=3
t=3,suyralog
3
x=3x=27.
Vậypt(1)cónghiệmduynhấtx=27.
III
(1 đ)

1. (1 điểm)
I=
ln8
x x
ln3
e e 1dx


Đặtt=

x
e 1 t
2
=e
x
+12tdt=e
x
dx

Đổicận:x=ln3=>t=2
x=ln8=>t=3

 
I=
3
3
3
2
2
2
2t 38
2t dt
3 3
 





IV

(1 đ)

1.ChứngminhtamgiácAHKvuông

SA

(P)=>SA

BC
S

LạicóCA


BCnênBC


(SAC)

=>BC

AK
 H
Theogt:SC

AK


DođóAK


(SBC)=>AK

HK
Hay

tamgiácAHKvuông
60
0

K
 AB


C


2.TínhV
S.ABC

TacóAK

(SBC)=>AK

SB
ĐồngthờitheogtAH

SB
Website: dophuongthcsnt.violet.vn

Biên soạn: Đỗ Việt Phương - Nam Trực, Nam Định
SuyraBS

(AHK)=>SB

HK
Vìvậygócgiữahaimp(SAB)và(SBC)chínhlàgócgiữahaiđườngthẳngAHvàHKvà
bằnggóc
ˆ
AHK

TrongtamgiácSACcó:
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
AK SA AC SA R
   
(1)
TrongtamgiácSABcó:
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
AH SA AB SA 4R
   
(2)
Lấy(1)-(2),tađược:
2 2 2
1 1 3
AK AH 4R
 
(3)
VìtamgiácAHKvuôngtạiKvà

ˆ
AHK
=60
0
nêntamgiácAHKbằngnửatamgiácđều
vàdođóAK=
3
2
AHthayvào(3),tatìmđược
2 2
1 9
AH 4R

thayvào(2),tacó:
SA
2
=
2
R R 2
SA
2 2
 

VậyV
SABC
=
1
3
.SA.
1

2
.AC.BC=
2 2
1
SA.AC. AB AC
6


=
3
2 2
1 R 2 R 6
. .R. (2R) R
6 2 12
 



V
(1 đ)
























VIa
(2đ)

1. (1 điểm)
Từgiảthiết
Đặtx=
a
a b c 
,y=
b
a b c 
,z=
c
a b c 
vớia,b,c>0
Bấtđẳngthứcđãchotrởthành:
a b c a b c a b c

4. 9. 36
a b c
     
  



hay
b 4a c 9a 4c 9b
22
a b a c b c
     
     
     
     
(*)

ÁpdụngbấtđẳngthứcCôsitacóVT(*)
b 4a c 9a 4c 9b
2 . 2 . 2 . 22
a b a c b c
   


Đẳngthứxảyrak.v.c.k
1
x
6
b 2a
1

c 3a y
3
2c 3b
1
z
2






 
  
 
 







1.(1điểm)
A(1;0),B(2;0)=>đườngthẳngABchínhlàtrụcOx
AB

=(1;0),AB=1
ABCDlàhìnhbìnhhànhnênCD//ABvàdiệntíchcủahìnhbìnhhànhABCDlà
S=AB.d(C,AB)4=d(C,Ox)


Website: dophuongthcsnt.violet.vn


Biên soạn: Đỗ Việt Phương - Nam Trực, Nam Định
VậyC,Dthuộcđườngthẳng(d)//OxvàcáchtrụcOxmộtkhoảngbằng4nên(d)cópt
:
y=4hoặcy=-4.

Khi(d)cópty=4,gọiC(x
c
;4),D(x
D
;4)
VìI=AC

BDnênIlàtrungđiểmcủaACvàBDđồngthờiIthuộcđt:y=x,dođó:

c
c
x 1
0 4
x 3
2 2


  

D
D

x 2 4 0
x 2
2 2
 
  

VậyC(3;4),D(2;4)


Khi(d)cópty=-4,gọiC(x
c
;-4),D(x
D
;-4)
VìI=AC

BDnênIlàtrungđiểmcủaACvàBDđồngthờiIthuộcđt:y=x,dođó:
c
c
x 1
0 4
x 5
2 2


   

D
D
x 2 4 0

x 6
2 2
  
   

VậyC(-5;-4),D(-6;-4)

2.(1điểm)
2/ VTPTcủamp(P)
(1;1;1)
P
n 

;VTPTcủamp(Q) (1; 1;1)
Q
m  

;
Đặt
(2;0; 2) 2(1;0; 1)
R
k n m     
  


Mp(R)vuônggócvới(P)và(Q)nênmp(R)nhận
1
n k (1;0; 1)
2
  

 
làmVTPT.
Phươngtrình(R)códạng:xz+D=0

Tacó:d(0;(R))=2
2 2 2
2
D
D    


Phươngtrình(R):
2 2 0 2 2 0x z hay x z     


VIIa

(1đ)









VIb
(2đ)
(1điểm)

x(-1+4i)+y(1+2i)
3
=2+9i
(-x-11y)+(4x-2y)i=2+9i



95
x
x 11y 2
46
4x 2y 9 17
y
46



  



 
  








1.(1điểm)
 GọiA(x
0
;y
0
),vìA

(E)nên
2
2
0
0
x
y 1
4
 
(1)
A,BđốixứngnhauquatrụcOxnênB(x
0
;-y
0
)
Website: dophuongthcsnt.violet.vn


Biên soạn: Đỗ Việt Phương - Nam Trực, Nam Định
AB
2
=4y
0

2
vàAC
2
=(x
0
-2)
2
+y
0
2

TamgiácABCđềunênAB=AC=BC
Suyra4y
0
2
=(x
0
-2)
2
+y
0
2
(2)
Từ(1)và(2)tacó:
 
2
2
0
0
2

2 2
0 0 0
x
y 1
4
4y  x 2  y 

 



  


x 2
y 0
2
x
7
4 3
y
7
 

















 





VậyA(
2
7
;
4 3
7
)vàB(
2
7
;-
4 3
7
)hoặcA(
2
7

;-
4 3
7
)vàB(
2
7
;
4 3
7
)
2.(1đ)
a.B(x
0
;y
0
;0)nênOB=8x
0

2
+y
0

2
=64(1)

OB

=(x
0
;y

0
;0),
OA

=(4;0;0)
cos
0
0
4x
x
ˆ
AOB cos(OA,OB)
4.8 8
  
 
(vìx
0
>0)
cos60
0
=
0
x
8
x
0
=4thayvào(1)tađượcy
0=
4 3


hayy
0
=-
4 3

(loại)
VậyB(4;
4 3

;0)=>tamgiácAOBvuôngtạiA.


CthuộctiaOznênC(0;0;a),a>0vàOC=a
ThểtíchcủatứdiệnOABClà:V=
1
OC.OA.AB
6
=
1
.a.4.4 3
6
=
8 3a
3

V=8
8 3a
3
=8a= 3 .VậyC(0;0; 3 )




b.GlàtrọngtâmtamgiácOABnênG(
8 4 3
; ;0)
3 3


AC

=(-4;0; 3 ),đtACcópt:
x 4 4t
y 0
z 3t

 







MthuộcđtACnênM(4-4t;0; 3 t)

OM

=(4-4t;0; 3 t),
GM


=
4 4 3
4t; ; 3t
3 3
 


 
 
 

OM

GM
OM

.
GM

=0(4-4t)(
4
4t)
3

+3t
2
=057t
2
-64t+16=0


32 4 7
t
57
32 4 7
t
57











AM

=(-4t;0; 3 t),AM=xx= t 19 
(loại)
Website: dophuongthcsnt.violet.vn


Biên soạn: Đỗ Việt Phương - Nam Trực, Nam Định
Vớit=
32 4 7
57

,x=

32 4 7
57

. 19 
Vớit=
32 4 7
57

,x=
32 4 7
57

. 19 
VIIb
(1đ)
z
2
-(4-i)z+5+i=0

=(4-i)
2
-4(5+i)=-5-12i



=(2-3i)
2


cóhaicănbậchailà  (2-3i)


Vậyptcóhainghiệmphức:
z
1
=1+i,z
2
=3-2i
