ÔN TOÁN ĐẠI HỌC ĐỀ 20 NĂM 2014

Website: dophuongthcsnt.violet.vn


Biên soạn: Đỗ Việt Phương - Nam Trực, Nam Định
ÔN TOÁN ĐẠI HỌC ĐỀ 20 NĂM 2014
Thời gian làm bài 180 phút

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số
4)23()12(
223
 xmmxmxy
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2. Xác định các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số (1) có các điểm cực trị nằm về hai
phía của trục tung.
Câu II (2,0 điểm) Giải phương trình – HPT:
1/.
2
sin4
3
cos
3
cos
22
x
xx


















2/.







637
422
yx
yx

Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân




2ln
0
2
dxeI
x
ex

Câu IV (1,0 điểm) Cho khối chóp đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Gọi M và N
lần lượt là trung điểm của cạnh SC và SB. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a, biết BM
vuông góc với CN.
Câu V (1,0 điểm) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình
mxxxx  99
2
có nghiệm.
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1. Cho đường thẳng d: 3x - 4y + 2012 = 0 và đường tròn (C):
3)1()3(
22
 yx
.
Viết phương trình đường thẳng  song song với đường thẳng d và cắt đường tròn (C)
theo một dây cung có độ dài bằng 2
5
.
2. Cho các điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;3;2) và mặt phẳng (): x + 2y + 2 = 0. Tìm tọa
độ của điểm M, biết rằng M cách đều các điểm A, B, C và mặt phẳng ().
Câu VII.a (1,0 điểm) Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện
iziz  351

.Tìm số
phức z có môđun nhỏ nhất.
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1. Cho elip (E) có phương trình
1
1625
22

yx
. Tìm tọa độ điểm M thuộc (E) sao cho MF
1

= 4MF
2
. (F
1
và F
2
là tiêu điểm bên trái và bên phải của (E))
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;-1;1). Viết phương trình mặt phẳng
(P) đi qua điểm A và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất.
Câu VII.b (1,0 điểm) Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện
iziz 242 
.Tìm số
phức z có môđun nhỏ nhất.

Website: dophuongthcsnt.violet.vn


Biên soạn: Đỗ Việt Phương - Nam Trực, Nam Định
ĐÁP ÁN ÔN TOÁN ĐẠI HỌC ĐỀ 20 NĂM 2014
Câu Đáp án Điểm


2. (1,0 điểm)

Ta có
)23()12(23
22'
 mmxmxy
. Để đồ thị hàm số có hai đi
ểm cực trị nằm về hai phía
của trục tung khi và chỉ khi phương trình y
’
= 0 có hai nghiệm trái dấu

0,25







0
0
'
P

0,25








0)23(3
0)23(3)12(
2
22
mm
mmm

0,25
21

m

0,25
II.
(2,0

điểm)

1. (1,0 điểm)

Ta có:
2
sin4
2
2
3
2
cos1
2
2
3
2
cos1
2
sin4
3
cos
3
cos
22
x
xx
x
xx









































0,25
02cos
3
2
cos22sin02
3
2
cos2
3
2
cos2sin 














 xxxxx


0,25
03sinsin202cos2sin
2
 xxxx

0,25







)(
2
3
sin
1sin
VNx
x


2
2
kx 
(k  Z)

0,25
2. (1,0 điểm)

ĐK:
23,27

yx

Ta có















22327
102327
637
422
yyxx

yyxx
yx
yx


0,25
Đặt
27  xxu
và
23  yyv
(u > 0 và v > 0)
Ta được







2
55
10
vu
vu

0,25













5
5
25
10
v
u
uv
vu

0,25
Khi đó














6
2
523
527
y
x
yy
xx
Vậy nghiệm của hệ phương trình là: (x;y) = (2;6).
0,25
III.
(1,0
điểm)

(1,0 điểm)

Ta có:



2ln
0
2
2ln
0
2
. dxeedxeI
xx

exex

0,25
Đặt
x
et 
,dt = e
x
dx; x = 0  t = 1, x = ln2  t = 2
0,25
Ta được
2
1
2
2
1
2
.
2
1
tt
edteI



0,25
=
 
24
2

1
ee 
. Vậy I =
 
24
2
1
ee 

0,25
IV.
(1,0
điểm)

(1,0 điểm)

Gọi I là trung điểm BC và G là trọng tâm

SBC.
Vì tam giác SBC cân tại S nên tam giác BGC vuông cân tại G.


0,25
Website: dophuongthcsnt.violet.vn


Biên soạn: Đỗ Việt Phương - Nam Trực, Nam Định
Từ đó
GB
GC =

2
2
2
2 a
BC 
và GI =
a
2
1
aGISI
2
3
3 


0,25
Xét tam giác vuông SHI (H là chân đường cao của hình chóp hạ từ A) ta có:

22
HISISH 
mà SI =
2
3a
và HI =
6
78
6
3 a
SH
a




0,25
Vậy V
S.ABC
=
24
26
.
3
1
3
a
SSH
ABC



0,25
V.
(1,0
điểm)

(1,0 điểm)

mxxxx  99
2
(1).
ĐK: 0  x  9

(1)
 
mxxxxmxxxx  )9()9(2999
2
2
(2)



0,25
Đặt t =
)9( xx 
thì t







2
9
;0

Khi đó (2) trở thành 9 - m = t
2
- 2t (3) với t








2
9
;0
.


0,25
Bài toán trở thành tìm các giá trị của m để phương trình (3) có ít nhất một nghiệm t







2
9
;0

Xét hàm số f(t) = t
2
- 2t trên







2
9
;0
ta có f
max
=
4
45
và f
min
= -1


0,25
Khi đó
10
4
9
4
45
91  mm
.
Vậy các giá trị của m để phương trình có nghiệm là
10
4
9
 m

0,25
VIa.
(2,0
điểm)

VIIa.

(1,0
điểm)

1. (1,0 điểm)

Do
d//

nên phương trình  có dạng 3x - 4y + c = 0 ( c  2012). Gọi AB là dây cung mà  c
ắt (C) (AB =
52
) và M là trung điểm AB.
0,25
(C) có tâm I(3;1) và bán kính R = 3. Ta có IM =
259
22
 MAR

0,25
d(I, ) = IM = 2
2
5
49



c

0,25






15
5
105
c
c
c
. Vậy : 3x - 4y + 5 = 0 hoặc 3x - 4y - 15 = 0.
0,25
2. (1,0 điểm)

Goi tọa độ điểm M(a;b;c). Ta có: MA
2
= MB
2

222222
)1()1( cbacba 

 a = b (1)
0,25
MB
2

= MC
2

222222
)2()3()1(  cbacba

 b = 3 - c (2)
0,25
d
2
(M, ()) = MA
2

 
222
2
)1(
5
22
cba
ba



(3)
Thay (1) và (2) vào (3) ta được
0,25
6a
2
- 52a + 46 = 0








3
14
,
3
23
3
23
2,11
cba
cba

Vậy M(1;1;2) hoặc







3
14
;
3

23
;
3
23
M

0,25

Website: dophuongthcsnt.violet.vn


Biên soạn: Đỗ Việt Phương - Nam Trực, Nam Định

Giả sử số phức z cần tìm có dạng z = x + yi (x,y

R). Ta có

iyxiyx )1(3)5(1 
(1)

2222
)1()3()5()1(  yxyx


0,25

43

yx
. Do đó tập hợp các điểm M biểu diễn cho các số phức z thỏa mãn (1) là đường th

ẳng x +
3y = 4. Mặt khác
162410)34(
22222
 yyyyyxz


0,25
Hay
5
22
5
8
5
6
52
2









 yz


0,25

Do đó
5
2
5
6
min
 xyz
. Vậy
iz
5
6
5
2



0,25
VIb.
(2,0
điểm)

VIIb.

(1,0
điểm)


1. (1,0 điểm)

Ta có a
2
= 25

a = 5, b
2
= 16

b = 4. c
2
= a
2
- b
2
= 25 - 16 = 9

c = 3
0,25
Gọi tọa độ điểm M là (x;y) và M


(E) nên ta có MF
1
+ MF
2
= 10
0,25

5MF
2
= 10

MF
2
= 2
0,25
hay
2
5
3
5 
x
 x = 5 thay vào phương trình của (E)  y = 0
Vậy M(5;0)

0,25
2. (1,0 điểm)

Ta có
OAPOd


))(,(
.
0,25
Do đó
OAPOd 
max
))(,(
xảy ra
)(POA 

0,25
nên (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với OA. Ta có
)1;1;2( OA

0,25
Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: 2(x - 2) - (y + 1) + (z - 1) = 0 hay 2x - y + z - 6 = 0. 0,25

Giả sử số phức z cần tìm có dạng z = x + yi (x,y

R). Ta có

iyxiyx )2()4(2 
(1)

2222
)2()4()2(  yxyx


0,25
4


xy
. Do đó tập hợp các điểm M biểu diễn cho các số phức z thỏa mãn (1) là đư
ờng thẳng x + y =
4. Mặt khác
1682168
22222
 xxxxxyxz

0,25
Hay
 
22822
2
 xz

0,25
Do đó
22
min
 yxz
. Vậy
iz 22 

0,25