Bài viết Toán học Bất đẳng thức & cực trị lượng giác - Nguyễn Minh Đức

1

NGUYỄN MINH ĐỨC-THPT LÊ QUẢNG CHÍ (HÀ TĨNH)
Bài Viết Tốn Học

Bất Đẳng Thức
&
Cực Trò
Lượng Giác

Duc_Huyen1604








2

NGUYỄN MINH ĐỨC-THPT LÊ QUẢNG CHÍ (HÀ TĨNH)
Lời Mở:

Trong quá trình tìm hiểu về phần “Bất Đẳng Thức-Cực Trị Lượng Giác” tôi xin viết
nên bài viết nhỏ này! Trong bài viết là một số bài toán và lời giải tham khảo. Trong
quá trình viết không thể không gặp sai sót. Mong bạn đọc cho ý kiến đóng góp!
My Facebook: www.facebook.com/gaulovemiu1604
Gmail:




Bài Toán 1: Cho
ABC
, tìm GTLN của
3 sin sin
22
.
5
4 1 1
sin
2
AB
P
C



Giải:
Áp dụng BĐT BCS ta có:
1 5 1 5
51
3

3
sin
sin
2
2
4 5 1 5
1
33
sin
sin
2
2
1 5 5
4 1 1
3
sin
sin
2
2
31
sin
52
5
4 1 1
sin
2
C
C
C
C

C
C
C
C



   






   



   






Suy ra:

11
cos sin sin 1 sin sin
10 2 2 2 10 2 2

A B C C C C
P
   

   
   
   









3

NGUYỄN MINH ĐỨC-THPT LÊ QUẢNG CHÍ (HÀ TĨNH)
Áp dụng BĐT AM-GM ta lại có :
1 sin sin
22
1
1 sin 1 sin .2 sin
2 2 2
2
CC
C C C





  
  
  
  

3
1 sin 1 sin 2 sin
2 2 2
1 1 8 2
.
27 27
2 2 3 3
C C C

   


  

Từ đó ta suy ra:
1 2 3
.
10 45
33
P 

Dấu « = » xảy ra khi
1

sin
2
3
cos 1 .
1
2
sin
23
1 sin 2 sin
22
C
AB
AB
C
CC




















Vậy
3
.
45
P
Max 


Bài Toán 2: Cho
,B,CA
là ba góc của một tam giác.Chứng minh rằng :
 
15
cos cos cos sin sin sin
6 4 2 2 2
A B C
A B C     

Giải :
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
sin sin
22
tan sin tan sin 2 .2 sin cos . .2 sin cos
2 2 2 2 2 2
cos cos
22

tan sin tan sin 4 sin sin (1)
2 2 2 2
AB
A B B B A A
BA
AB
A B A B
BA

  

Tương tự ta có:
tan sin tan sin 4 sin sin (2)
2 2 2 2
tan sin tan sin 4sin sin (3)
2 2 2 2
B C B C
CB
C A C A
AC



4

NGUYỄN MINH ĐỨC-THPT LÊ QUẢNG CHÍ (HÀ TĨNH)


Cộng vế theo vế (1), (2) và (3) ta suy ra được :
     
tan sin sin tan sin sin tan sin sin
2 2 2
4 sin sin sin sin sin sin (*)
2 2 2 2 2 2
A B C
B C C A A B
A B B C C A
    

  



Ta có biến đổi sau:
 
cos
2
tan sin sin .2 cos cos cos cos
2 2 2
cos
2
BC

A A B C
B C B C
A


   

Tương tự :
 
 
tan sin sinA cosC cosA
2
tan sin sin cos cos
2
B
C
C
A B A B
  
  

Do đó từ (*) ta có được :
 
2
2 2 2
2
2
cos cos cos 2 sin sin sin sin sin sin
2 2 2 2 2 2
cos cos cos sin sin sin

2 2 2 2 2 2
cos cos cos 3 2 sin sin sin
2 2 2
1 5 1 3
cos cos cos sin sin sin
6 4 3 2 2 2 4
A B B C C A
A B C
A B C A B C
A B C
A B C
A B C
A B C

    



     



      



       



Ta sẽ đi chứng minh :
2
13
sin sin sin sin sin sin
3 2 2 2 4 2 2 2
A B C A B C

     




2
2 sin sin sin 3 0
2 2 2
A B C


    





(luôn đúng).

Dấu « = » xảy ra khi
A B C ABC   
đều.

Vậy ta có điều phải chứng minh.








5

NGUYỄN MINH ĐỨC-THPT LÊ QUẢNG CHÍ (HÀ TĨNH)
Bài Toán 3: Cho
ABC
không có góc tù và mỗi góc không nhỏ hơn
4

.
Chứng minh rằng :


P cot cot cot 3cot cotBcosC 4 2 2 .A B C A     

Giải :
Giả sử
 
, , .
43
Min A B C A A


   

Ta có:
 
 
 
 
2
cot cot cot 3 cotA cot cot cot cot cot cotA cot cot cotC
cot cot cot 3 cotA 1 cot cot cot
4 cotA 1 3 cot cot cot
P A B C A B B C C A B
A B C A B C
A B C

       


     

   
Vì
3
A


nên
2
22
1

1 3 cot 1 3cot 1 3. 0
3
3
A


     


.
Vì
ABC
không có góc tù nên:
, cot cot 2cot 2 tan .
2 2 2
B C A
B C B C


    

Đặt
1
tan 2 1;
2 8 2 6
3
AA
t t Do




     





Kết hợp với các đánh giá trên suy ra được:
 
2
2 2 4 2
2
1 1 3 6 1
4 cot 2 1 3cot tan 4 2. 1 3 .
2 2 2 2
A t t t t
P A A t
t t t

   
    

      
   
   

   


Xét hàm số :

42
3 6 1
()
2
tt
ft
t
  

với
1
2 1;
3
t




, ta có:
 
2
2
2
31
1
'( ) 0 2 1; .
2
3
t
f t t

t


    



Vậy suy ra
()ft
luôn nghịch biến trên
1
2 1;
3




.
Do đó :


( ) ( 2 1) 4 2 2 .f t f   
Hay suy ra được


4 2 2P 
.
Dấu “=” xảy ra khi
3
,B C .

48
A

  

Vậy ta có điều phải chứng minh!








6

NGUYỄN MINH ĐỨC-THPT LÊ QUẢNG CHÍ (HÀ TĨNH)

Bài Toán 4: Cho số nguyên dương
n
và số thực
x
.Chứng minh rằng:
cos cos2 cos2 (*)
2
n
n
x x x   

Giải:

-Khi
1n 
:

* Nếu
1
cos
2
x 
thì
1
cos cos2 .
2
xx

* Nếu
1
cos
2
x 
thì
 
22
1
cos cos2 cos 2 cos 1 cos 1 2cos 1 cos 1 2 cos 1 .
2
x x x x x x x x           

Vậy (*) đúng với
1n 

.
Giả sử (*) đúng với
1.nk
Khi đó:

cos cos2 cos2
2
k
k
x x x   


Ta đi chứng minh (*) đúng với
1.nk
Hay đi chứng minh:
1
1
cos cos2 cos2 cos2
2
kk
k
x x x x


    


Thật vậy, áp dụng giả thiết quy nạp ta có:
*Nếu
1

cos
2
x 
thì
1
11
cos cos2 cos2 cos2
2 2 2
kk
kk
x x x x


      

*Nếu
1
cos
2
x 
thì
 
 
1
1
cos cos2 cos2 cos2
11
cos cos2 cos 4 cos2 1
22
kk

k
x x x x
kk
x x x x


   

       


Vậy (*) đúng với
1nk
.Hay suy ra được (*) đúng với mọi số nguyên dương
.n









7

NGUYỄN MINH ĐỨC-THPT LÊ QUẢNG CHÍ (HÀ TĨNH)

Bài Toán 5: Cho
ABC

, tìm GTNN của biểu thức:

5 5 5
3 3 3
tan tan tan
2 2 2
.
tan tan tan
2 2 2
A B C
P
A B C




Giải:
Ta luôn có:
tan tan tan tan tan tan 1
2 2 2 2 2 2
A B B C C A

.
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
5 5 5 5 5 4
5 5 5 5 5 4
5 5 5 5 5 3
tan tan tan tan tan 5 tan tan (1)
2 2 2 2 2 2 2
tan tan tan tan tan 5 tan tan (2)

2 2 2 2 2 2 2
tan tan tan tan tan 5tan tan tan (3)
2 2 2 2 2 2 2 2
A A A A B A B
A A A A C A C
A A A B C A B C
    
    
    

Cộng vế theo vế (1), (2) và (3) ta được:

5 5 5 3
5 5 5 3
11tan 2 tan tan 5 tan tan tan tan tan tan tan
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
11tan 2 tan tan 5 tan (4)
2 2 2 2
A B C A A B B C C A
A B C A
   
    
   
   

   



Tương tự:

5 5 5 3
5 5 5 3
11tan 2 tan tan 5 tan (5)
2 2 2 2
11tan 2 tan tan 5 tan (6)
2 2 2 2
B C A B
C A B C

  



  



Cộng vế theo vế (4), (5) và (6) suy ra được:

5 5 5 3 3 3
5 5 5
3 3 3
15 tan tan tan 5 tan tan tan
2 2 2 2 2 2
tan tan tan
1
2 2 2
.
3
tan tan tan

2 2 2
A B C A B C
A B C
A B C
   
    
   
   


