Xác định và rèn luyện một số kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề thông qua dạy học giải bài tập toán phần bất đẳng thức ở trường THPT

LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy giáo,
GS.TS. Đào Tam đã trực tiếp giảng dạy và hướng dẫn khoa học để tác giả
hoàn thành luận văn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong chuyên
ngành lý luận và phương pháp giảng dạy bộ mơn Tốn, trường Đại học Vinh,
đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và thực hiện
luận văn.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới Ban chủ nhiệm cùng các thầy cô
khoa Sau đại học, Đại học Vinh; Sở GD và ĐT Nghệ An; Ban giám hiệu cùng
các bạn bè đồng nghiệp Trường THPT Hà Huy Tập đã tạo điều kiện giúp đỡ
trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Tác giả xin gửi tới tất cả người thân và bạn bè lòng biết ơn sâu sắc.
Xin chân thành cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ quý báu đó!
Luận văn khơng tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được
và biết ơn các ý kiến đóng góp của thầy cơ giáo và các bạn.


MỤC LỤC
.........................................................................................................................77
Đồ thị 1. Đồ thị phân phối tần suất của hai lớp...............................................77
........................................................................................................................77

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
Viết tắt

Viết đầy đủ

DH

:

Dạy học

ĐC

:

Đối chứng

ĐHSP

:

Đại học sư phạm

GV

:

Giáo viên

HS

:

Học sinh

SGK

:

Sách giáo khoa

THPT

:

Trung học phổ thông


TN

:

Thực nghiệm

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
1.1. Nghị quyết hội nghị lần thứ IV BCH Trung ương Đảng Cộng Sản
Việt Nam (khoá IV, 1993) nêu rõ: “Mục tiêu giáo dục - đào tạo phải hướng
vào việc đào tạo những con người tự chủ sáng tạo, có năng lực giải quyết
những vấn đề thường gặp, qua đó mà góp phần tích cực thực hiện mục tiêu
lớn của đất nước…”.
Luật giáo dục nước Cộng Hoà Xã hội Chủ Nghĩa Việt Nam quy định:
“…phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng
tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi dưỡng
phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác
động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh…”.
Chương trình mơn tốn (thí điểm) trường Trung học phổ thông (năm
2002) cũng đã chỉ rõ: “…Một điểm yếu trong hoạt động dạy và học của chúng

ta là phương pháp giảng dạy. Phần lớn là kiểu thầy giảng - trò ghi, thầy đọc trò chép; vai trò của học sinh trở nên thụ động. Phương pháp đó làm cho học


sinh có thói quen học vẹt, thiếu suy nghĩ sáng tạo cũng như thói quen học
lệch, học tủ, học để đi thi. Tinh thần của phương pháp giảng dạy mới là phát
huy tính chủ động sáng tạo và suy ngẫm của học sinh, chú ý tới sự hoạt động
tích cực của học sinh trên lớp, cho học sinh trực tiếp tham gia vào bài giảng
của thầy; dưới sự hướng dẫn của thầy, họ có thể phát hiện ra vấn đề và suy
nghĩ tìm cách giải quyết vấn đề…”.
1.2. Dạy tốn là dạy kiến thức, kỹ năng tư duy và tính cách cho học
sinh [26]. Việc hình thành và rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh là một
trong những yêu cầu cơ bản và cần thiết của hoạt động dạy toán, giúp học
sinh hiểu sâu sắc kiến thức toán trong trường phổ thông, đồng thời rèn luyện
cho học sinh các thao tác tư duy, các hoạt động trí tuệ. Từ đó, bồi dưỡng các
phẩm chất trí tuệ, phát triển năng lực giải tốn cho học sinh.
Ở trường phổ thơng, dạy toán là dạy hoạt động toán học. Học sinh phải
hoạt động tích cực để tự chiếm lĩnh tri thức cho bản thân. Cơ sở để học sinh
hoạt động chính là những tri thức và kinh nghiệm đã có. Đứng trước một vấn
đề đặt ra trong vốn tri thức mà bản thân đã có, đã tích luỹ được việc lựa chọn
tri thức nào, sử dụng ra làm sao luôn luôn là những câu hỏi lớn, mà việc trả
lời được những câu hỏi đó là mấu chốt trong việc giải quyết vấn đề.
1.3. Phát hiện sớm và giải quyết hợp lí những vấn đề nảy sinh trong
thực tiễn là một năng lực bảo đảm sự thành cơng trong cuộc sống. Vì vậy, tập
dượt cho học sinh biết phát hiện, đặt ra và giải quyết những vấn đề gặp phải
trong học tập, trong cuộc sống của cá nhân, gia đình và cộng đồng khơng chỉ
có ý nghĩa ở tầm phương pháp dạy học mà phải được đặt như một mục tiêu
giáo dục.
1.4. Trong q trình dạy học mơn Tốn ở trường phổ thơng, việc dạy
học giải bài tập tốn học có một vị trí quan trọng hàng đầu, giúp học sinh nắm
vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo, ứng dụng Toán

học vào thực tiễn… Bài tập toán phần bất đẳng thức ở trường THPT là rất đa
dạng và phong phú; được sử dụng nhiều trong kì thi tuyển sinh đại học và cao
đẳng, các kì thi học sinh giỏi tỉnh, học sinh giỏi quốc gia, quốc tế... Vì thế
thơng qua dạy học giải bài tập toán phần bất đẳng thức ở trường phổ thơng ta
có thể rèn luyện cho học sinh một số kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề.
Đã có một số cơng trình nghiên cứu liên quan đến rèn luyện kỹ năng,
chẳng hạn luận văn thạc sỹ của Lê Đăng Khoa (2008): “Rèn luyện các kỹ
năng kiến tạo kiến thức cho học sinh thông qua dạy học phương pháp tọa độ”,
nhưng chưa có một cơng trình nào nghiên cứu việc rèn luyện kỹ năng cho học
sinh thơng qua dạy học giải bài tập tốn phần bất đẳng thức.
Vì những lí do nêu trên chúng tơi quyết định chọn đề tài nghiên cứu là:
“Xác định và rèn luyện một số kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề
thơng qua dạy học giải bài tập tốn phần bất đẳng thức ở trường THPT’’
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của luận văn là: Nghiên cứu về kỹ năng phát hiện
và giải quyết vấn đề và xác định một số kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn
đề. Từ đó đề xuất các phương thức nhằm rèn luyện một số kỹ năng phát hiện
và giải quyết vấn đề thơng qua dạy học giải bài tập tốn phần bất đẳng thức ở
trường THPT .
3. Giả thuyết khoa học
Thông qua dạy học giải bài tập toán phần bất đẳng thức ở trường THPT
nếu chúng ta xác định được một số kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề
đồng thời đề ra được các phương thức để rèn luyện các kỹ năng đó thì sẽ góp
phần triển khai đổi mới phương pháp dạy học tốn ở trường phổ thơng.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn sẽ làm rõ các vấn đề sau:

4.1. Cơ sở lí luận và thực tiễn về việc xác định một số kỹ năng phát
hiện và giải quyết vấn đề thơng qua dạy học giải bài tập tốn phần bất đẳng
thức ở trường THPT.
4.2. Có thể rèn luyện một số kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề
thơng qua dạy học giải bài tập tốn phần bất đẳng thức ở trường THPT bằng
các phương thức nào?
5. Phương pháp nghiên cứu
5.1. Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu về tâm lí học giáo dục,
tài liệu giáo dục học, triết học, các tài liệu về lí luận và giảng dạy bộ mơn
Tốn làm cơ sở để xác định một số kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề. Từ
đó đề ra được các phương thức để rèn luyện các kỹ năng đó thơng qua dạy
học giải bài tập toán phần bất đẳng thức ở trường THPT.
5.2. Quan sát, trao đổi: Thực hiện việc trao đổi với giáo viên và học
sinh, tham khảo các tài liệu để đề ra các phương thức để rèn luyện các kỹ
năng đó thơng qua dạy học giải bài tập tốn phần bất đẳng thức ở trường
THPT.
5.3. Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nghiệm trên những đối
tượng học sinh cụ thể nhằm đánh giá hiệu quả của đề tài.
6. Đóng góp của luận văn
6.1. Xác định một số kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề và đề ra
được các phương thức để rèn luyện các kỹ năng đó thơng qua dạy học giải bài
tập toán phần bất đẳng thức ở trường THPT.
6.2. Luận văn có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên trung
học phổ thông.
7. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn có ba chương:
Chương 1


CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1. Kỹ năng.
1.1.1. Khái niệm kỹ năng
1.1.2. Sự hình thành các kỹ năng
1.2. Kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề.
1.2.1. Vấn đề
1.2.2. Khái niệm kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề.
1.2.3. Một số kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề.
1.2.3.1. Kỹ năng dùng dự đoán để phát hiện và giải quyết vấn đề.
1.2.3.2. Kỹ năng dùng suy luận diễn dịch để phát hiện và giải quyết vấn đề.
1.2.3.3. Kỹ năng biến đổi bài toán về dạng thuận lợi cho việc tìm liên hệ với
kiến thức đã có của học sinh và điều kiện đã cho của bài toán.
1.2.3.4. Kỹ năng nhìn nhận vấn đề dưới nhiều góc độ khác nhau từ đó tìm
nhiều cách giải quyết vấn đề đó.
1.3. Dạy học giải bài tập
1.3.1. Vị trí và chức năng của bài tập toán học.
1.3.2. Những yêu cầu chủ yếu của lời giải bài tập.
1.3.3. Dạy học sinh phương pháp giải bài tập toán.
1.4. Tiềm năng trong việc rèn luyện một số kỹ năng phát hiện và giải quyết
vấn đề thơng qua dạy học giải bài tập tốn phần bất đẳng thức.
1.5. Kết luận chương 1.
Chương 2
MỘT SỐ PHƯƠNG THỨC NHẰM RÈN LUYỆN MỘT SỐ KỸ NĂNG
PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ THÔNG QUA DẠY HỌC
GIẢI BÀI TẬP TOÁN PHẦN BẤT ĐẲNG THỨC Ở TRƯỜNG THPT


2.1. Một số cơ sở khoa học đề xuất các phương thức nhằm rèn luyện một số
kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề thông qua dạy học giải bài tập toán
phần bất đẳng thức ở trường THPT.
2.1.1. Yêu cầu của sách giáo khoa mới.

2.1.2. Trình độ nhận thức của học sinh.
2.1.3. Những khó khăn của giáo viên khi dạy học theo chương trình sách giáo
khoa mới.
2.2. Một số phương thức nhằm rèn luyện một số kỹ năng phát hiện và giải
quyết vấn đề thông qua dạy học giải bài tập toán phần bất đẳng thức ở trường
THPT.
2.2.1. Phương thức 1. Rèn luyện cho học sinh kỹ năng dự đốn.
2.2.2. Phương thức 2: Rèn luyện cho học sinh thói quen làm rõ phương pháp
giải quyết một vấn đề cụ thể sau khi đã giải quyết vấn đề đó.
2.2.3. Phương thức 3. Rèn luyện cho học sinh kỹ năng biến đổi bài tốn về
dạng thuận lợi cho việc tìm liên hệ với kiến thức đã có của học sinh và điều
kiện đã cho của bài toán.
2.2.4. Phương thức 4: Rèn luyện cho học sinh kỹ năng nhìn nhận bài tốn
dưới nhiều góc độ khác nhau từ đó tìm nhiều cách giải.
2.2.5. Phương thức 5: Rèn luyện cho học sinh thói quen không suy nghĩ cứng
nhắc theo những quy tắc đã học trước đó, khơng máy móc áp dụng những mơ
hình đã gặp để ứng xử trước những tình huống mới.
2.2.6. Phương thức 6: Rèn luyện cho học sinh thói quen khai thác, đào sâu
kết quả bài toán.
2.3. Kết luận chương 2.
Chương 3
THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM


3.1. Mục đích thực nghiệm.
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm.
3.2.1. Tổ chức thực nghiệm.
3.2.2. Nội dung thực nghiệm.
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm.
3.3.1. Đánh giá định tính.

3.3.2. Đánh giá định lượng.
3.4. Kết luận chung về thực nghiệm.

Chương 1
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Kỹ năng
1.1.1. Khái niệm kỹ năng
Theo Tâm lý học lứa tuổi và Tâm lý học sư phạm thì: “Kỹ năng là khả
năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp…) để giải quyết
một nhiệm vụ mới” [5, tr. 131].
Còn Tâm lý học đại cương cho rằng: “Kỹ năng là năng lực sử dụng các
dữ liệu, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát
hiện những thuộc tính bản chất của sự vật và giải quyết thành công những
nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định”[14, tr. 149].
Theo từ điển Tiếng Việt khẳng định: “Kỹ năng là khả năng vận dụng những
kiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế”[32, tr. 426].
Theo cách hiểu của Chúng tôi, kỹ năng là độ thành thục của các hoạt
động đã có hướng vào các đối tượng, các quan hệ dựa trên cơ sở vận dụng các
kiến thức đã có giải quyết nhiệm vụ mới. Trong thực tế dạy học, học sinh


thường gặp khó khăn khi vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương
pháp...) vào giải quyết các bài tập cụ thể. Học sinh thường khó tách ra những
chi tiết thứ yếu, không bản chất ra khỏi đối tượng nhận thức, khơng phát hiện
những thuộc tính, mối quan hệ vốn có giữa kiến thức và đối tượng. Sở dĩ như
vậy là do kiến thức không chắc chắn, khái niệm trở nên chết cứng, không gắn
liền cơ sở của kỹ năng.
Một sự vật có thể có nhiều thuộc tính bản chất khác nhau, những thuộc
tính bản chất về các mặt phù hợp với những hoạt động, mục đích nhất định.
Do đó cần lựa chọn những thuộc tính phù hợp với mục tiêu đặt ra trước hành

động, để hành động biến đổi đối tượng đạt mục tiêu (tất nhiên mục tiêu đặt ra
thu được thơng tin mới). Sự dễ dàng hay khó khăn khi vận dụng kiến thức
(hình thành kỹ năng) tùy thuộc vào khả năng nhận dạng kiểu bài toán, phát
hiện, nhìn thấy trong các dữ liệu đã cho của bài tốn, có những thuộc tính và
những quan hệ là bản chất để thực hiện giải bài toán đã cho. Tri thức về các
sự vật là rất đa dạng và phong phú, nó phản ánh những thuộc tính khác nhau
của các sự vật, những thuộc tính bản chất về các mặt phù hợp với những hoạt
động, mục đích nhất định. Như vậy, để tri thức trở thành cơ sở để lựa chọn
đúng đắn các hành động (kỹ năng) thì cần phải biết lựa chọn và vận dụng
đúng. Nói cách khác cần: lựa chọn tri thức phản ánh thuộc tính của sự vật; lựa
chọn tri thức phản ánh thuộc tính bản chất phù hợp với mục tiêu đặt ra trước
hành động; làm sao cho hành động đảm bảo biến đổi đối tượng để đạt được
mục tiêu. Để minh họa ta xét ví dụ sau:
Bài tốn 1.1.1.1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
y =

x2 + x +1 +

x2 − x +1 .

Có thể thấy rằng tri thức phản ánh trong sự vật thể hiện qua bài tốn này
có rất nhiều: tổng của hai căn bậc hai, các tam thức bậc hai,... Để tiến hành


hoạt động giải toán ta phải lựa chọn tri thức phù hợp với mục tiêu là tìm giá
trị nhỏ nhất của hàm số y.
Ta nhận thấy biểu thức f (x) =

x 2 − x + 1 có thể đưa về

x2 + x +1 +

dạng u + v , khi đó bài tốn tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y có thể được
giải quyết (mục tiêu) và do đó ta có thể lựa chọn phép biến đổi:
2

2
2
 3
1  3
1

 ; x2 − x +1 =  − x + 

x + x +1 =  x +  + 

 
2  2 

2
  2 




2

2

Như vậy hành động biến đổi sẽ nhằm đạt được mục tiêu:

y =

2
1  3


x+  +

2  2 




=u
Mà

u + ≥ +
v
u
v

Do đó

2

2
1
  3

− x + 


2
  2 



+


1

3

1

2

3

+ v (Với u =  x + 2 ; 2 ; v =  2 − x; 2  ;









(

u +v = 1; 3

) ).

.

y ≥ 1 +3 = 2 .

Từ đó dễ dàng suy ra giá trị nhỏ nhất của y bằng 2.
Khi hình thành kỹ năng thì yếu tố quan trọng nhất là năng lực nhận ra
kiểu bài tốn, phát hiện, nhìn thấy trong các dữ kiện đã có những thuộc tính
những quan hệ là bản chất đối với việc giải bài toán đã cho. Trong khi tiến
hành hoạt động, các nhà Tâm lí học đã phát hiện ra một loạt nhân tố thúc đẩy
hay cản trở sự hình thành các kỹ năng. Một trong những nhân tố như vậy là:
Tách ra một cách rõ ràng hay ngược lại che đậy quan hệ bản chất của bài toán
trong các dữ kiện xuất phát. Chẳng hạn, xét bài toán sau:
Bài toán 1.1.1.2. Cho các số thực a, b, c. Chứng minh rằng:
Nếu

a 2009 (a +b +c ) <0

thì

b 2 −4ac >0 .

Ta có thể biến đổi giả thiết như sau


a ≠0


a 2009 ( a +b +c ) <0 ⇔
a (a +b +c) <0

Đồng thời việc chứng minh
minh phương trình bậc hai

b 2 −4ac >0

ax 2 +bx +c =0

(Vì

a≠
0

nên

a 2008 >0 ).

tương đương với việc chứng

có hai nghiệm thực phân biệt.

Từ đó việc giải bài tốn này quy về giải bài toán đơn giản hơn:
Bài toán 1.1.1.3. Cho các số thực a, b, c. Chứng minh rằng: Nếu
a ( a +b +c ) <0

thì phương trình bậc hai

ax 2 +bx +c =0

a≠
0

và

có hai nghiệm thực

phân biệt.
Phương pháp giải là khơng quá khó, tuy nhiên bằng sự che đậy quan hệ
bản chất bằng những phép biến đổi tương đương, nên nó gây cho học sinh
khó khăn trong việc phát hiện ra mối quan hệ bản chất ẩn chứa trong bài tốn.
Ngồi ra cịn có rất nhiều học sinh sẽ thấy bị “choáng” khi thấy số mũ 2009.
Nhân tố khác ảnh hưởng đến sự phát hiện ra quan hệ cần thiết để hành
động đó là tâm thế của con người. Trở lại với bài tốn 1.1.1.2 có chứa số mũ
2009 ở trên, tâm thế của nhiều học sinh sẽ rất khó chịu với phép tốn này và
có thể học sinh sẽ chỉ lưu ý tới số mũ 2009, để rồi không phát hiện được mối
quan hệ bản chất trong bài toán.
Nhân tố quan trọng để nhìn thấy mối quan hệ bản chất đối với bài tốn đó là thâu tóm được tồn bộ tình huống chứ khơng phải những yếu tố riêng
biệt của nó.
Để làm xuất hiện các thuộc tính bản chất của sự vật phù hợp với mục tiêu
hoạt động, các nhà Tâm lí học sư phạm đã đưa ra một số thủ thuật làm dễ
dàng cho sự suy xét, đó là:
+) Những nguyên tắc giải.
+) Tách ra một cách rõ rệt hay nhấn mạnh những cứ liệu và những quan
hệ bản chất đối với bài tốn.
+) Phân tích bài tốn.

1.1.2. Sự hình thành các kỹ năng
Theo các nhà Tâm lý học sự hình thành kỹ năng chịu ảnh hưởng của
các yếu tố sau:
+) Nội dung của bài toán đặt ra, được tách ra một cách rõ ràng hay che đậy
quan hệ bản chất của bài toán bởi các dữ liệu xuất phát, làm lệch hướng tư duy.
Việc lột bỏ hình thức bề ngồi của bài tốn, phát hiện ra mối quan hệ bản chất
ẩn chứa trong bài toán, giúp học sinh xác định đúng bản chất của bài toán.
+) Để phát hiện ra mối quan hệ bản chất chứa trong bài tốn, học sinh
chỉ nhìn thấy, phân tích những yếu tố riêng biệt của bài toán mà cần thâu tóm
tồn bộ những yếu tố có mặt trong bài tốn.
+) Khả năng khái quát, mở rộng ảnh hưởng không nhỏ đến việc hình
thành kỹ năng. Tâm lý và thói quen tâm lý cũng là một yếu tố ảnh hưởng đến
sự hình thành kỹ năng. Khi học sinh hăng say, hứng thú trong học tập sẽ giúp
họ dễ dàng hình thành kỹ năng, còn ngược lại sẽ cản trở việc học tập. Thói
quen tâm lý là một trở ngại thường gặp trong học tập. Ngun nhân chủ yếu
hình thành thói quen tâm lý đó là tư duy của con người có tính phương
hướng. Một loại kiến thức hoặc phương pháp cũ nào đó dùng nhiều lần, ấn
tượng sâu làm cho học sinh khơng bứt ra khỏi sự ràng buộc của thói quen tư
duy cũ để mở ra một hướng suy nghĩ mới.
+) Ngồi ra, một ngun nhân nữa hình thành thói quen tâm lý đó là
nhận thức chỉ dừng lại ở bề mặt, khơng quan sát phân tích đặc điểm của từng
bài tốn cụ thể.
Sự hình thành kỹ năng - đó là sự nắm vững cả một hệ thống phức tạp các
thao tác phát hiện và cải biến thông tin chứa đựng trong các tri thức và tiếp
thu được từ các đối tượng, đối chiếu và xác lập quan hệ của thông tin với các
hành động.


Kỹ năng chỉ được hình thành thơng qua hoạt động trí tuệ, thơng qua q
trình tư duy để giải quyết các nhiệm vụ đặt ra. Khi tiến hành tư duy sự vật thì

chủ thể thường biến đổi, phân tích đối tượng để tách ra những khía cạnh,
những thuộc tính mới. Tất cả những điều này được ghi lại trong tri thức của
chủ thể tư duy và được biểu hiện bằng các từ. Quá trình tư duy diễn ra nhờ
các thao tác phân tích – tổng hợp, trừu tượng hóa – khái qt hóa cho tới khi
hình thành được mơ hình về một mặt nào đó của đối tượng có ý nghĩa bản
chất đối với việc giải bài toán đã cho. Ở đây mỗi bước, nhờ khám phá ra
những khía cạnh mới của đối tượng, thúc đẩy tư duy tiến lên, đồng thời quyết
định bước tiếp theo sau của tư duy. Vì các khía cạnh mới của đối tượng được
phản ánh trong các khái niệm mới, tư duy diễn ra như là một sự diễn đạt lại
bài toán nhiều lần. Chẳng hạn, xét bài toán:
Bài toán 1.1.2.1. Cho hai số thực x và y. Chứng minh rằng:
x 2 + y 2 + 1 ≥ xy + x + y .

Tiến hành phân tích đối tượng ta nhận thấy đối tượng tư duy liên quan là
một tam thức bậc hai ẩn x (y là tham số):
x 2 + y 2 + 1 ≥ xy + x + y
⇔ x 2 − ( y + 1) x + y 2 − y + 1 ≥ 0

Để chứng minh tam thức bậc hai ẩn x (y là tham số) ở vế trái luôn không
âm với mọi x, y ∈ R ta cần chứng minh:
∆ =

( y + 1) 2 − 4( y 2 − y + 1)

≤ 0 với mọi y ∈ R .

Đó chính là sự diễn đạt lại bài tốn 1.1.2.1 và tiếp theo chủ thể lại phải
diễn đạt bài toán theo khía cạnh mới.
Cũng khơng loại trừ có chủ thể diễn đạt lại bài toán 1.1.2.1 như sau:
x 2 + y 2 + 1 ≥ xy + x + y ⇔

[

]

1
( x − y ) 2 + ( x − 1) 2 + ( y − 1) 2 ≥ 0 .
2


Tuy nhiên, chủ thể phải nhận thấy cách diễn đạt nào phù hợp với đối
tượng, để có thể tiến hành hoạt động giải tốn. Điều này khơng phải mọi học
sinh đều có thể thực hiện tốt.
Q trình tư duy của con người diễn ra một cách liên tục và có tính kế
thừa. Với mỗi cách diễn đạt mới là kết quả của sự phân tích và tổng hợp những
kết quả của giai đoạn trước, được thể hiện trong các khái niệm. Khi hồn thành
việc nghiên cứu đối tượng thì trong tri thức của chủ thể, tư duy sẽ ghi lại những
thuộc tính bản chất của đối tượng và nó ít nhiều sẽ giúp ích cho hoạt động sau
này. Chính quá trình này sẽ thúc đẩy tư duy tiến lên nhằm chinh phục đỉnh cao
mới và nó làm cho con người ln khơng tìm ra giới hạn của tri thức nhân loại.
Chẳng hạn, như S. L. Rubinstein đã chứng minh: Trong q trình tư duy nhờ
phân tích và tổng hợp, đối tượng tham gia vào những mối liên hệ ngày càng
mới và do đó, thể hiện qua các phẩm chất ngày càng mới, những phẩm chất
này được ghi lại trong những khái niệm mới. Như vậy, từ đối tượng dường như
khai thác được nội dung ngày càng mới, nó dường như mỗi lần quay lại một
khác và trong nó lại xuất hiện những thuộc tính mới [11, tr. 155].
Theo quan điểm này, sự hình thành các kỹ năng xuất hiện trước hết như
những sản phẩm của tri thức ngày càng được đào sâu. Các kỹ năng được hình
thành trên cơ sở lĩnh hội các tri thức về các mặt và các thuộc tính khác nhau
về đối tượng đang được nghiên cứu. Các con đường chính của sự hình thành

các kỹ năng - đó là học sinh phải tự nhìn nhận thấy những mặt khác nhau
trong đối tượng, vận dụng vào đối tượng. Những tri thức khác nhau diễn đạt
mối quan hệ đa dạng giữa đối tượng và tri thức.
Có thể dạy cho học sinh kỹ năng bằng những con đường khác nhau. Một
trong những con đường đó là truyền thụ cho học sinh những tri thức cần thiết,
rồi sau đó đề ra cho học sinh những bài toán về vận dụng tri thức đó. Và bản
thân học sinh tìm tịi cách giải, bằng con đường thử nghiệm và sai lầm (thử


các phương pháp và tìm ra phương pháp tối ưu), qua đó phát hiện ra các mốc
định hướng tương ứng, những phương thức cải biến thông tin, những thủ
thuật hoạt động. Đôi khi người ta gọi con đường dạy học này là dạy học nêu
vấn đề. Cũng có thể dạy học kĩ năng bằng con đường: dạy cho học sinh biết
những dấu hiệu mà theo đó có thể đốn nhận được một cách dứt khoát kiểu
bài toán và những thao tác cần thiết để giải bài tốn đó. Người ta gọi con
đường này là dạy học angorit hóa hay dạy học trên cơ sở định hướng đầy đủ.
Cuối cùng, con đường thứ ba là như sau: người ta dạy học sinh chính hoạt
động tâm lí cần thiết đối với việc vận dụng tri thức. Trong trường hợp này nhà
giáo dục khơng những chỉ cho học sinh tìm hiểu các mốc định hướng để chọn
lọc các dấu hiệu và các thao tác mà còn tổ chức hoạt động cho học sinh trong
việc cải biến, sử dụng thông tin đã thu được để giải các bài toán đặt ra. Con
đường này đã được các nhà Tâm lí học Xơ viết nghiên cứu, chẳng hạn như:
P.Ja. Galperin, N. F. Talyzyna và những người khác [11, tr. 156]. Họ cho
rằng, để dạy được những điều nêu trên giáo viên phải dẫn dắt học sinh một
cách có hệ thống trải qua tất cả những giai đoạn hoạt động đòi hỏi phải định
hướng vào các dấu hiệu đã được ghi lại trong khái niệm đang được nghiên
cứu.
Trong giai đoạn đầu, những mốc định hướng (những dấu hiệu bản chất)
của đối tượng được đưa ra trước học sinh dưới dạng có sẵn. Được vật chất
hóa dưới dạng sơ đồ, kí hiệu các đối tượng, cịn các thao tác tách ra các mốc

định hướng thì được thực hiện dưới hình thức những hành động có đối tượng
[24]. Chẳng hạn, đối với bài tốn:
Bài tốn 1.1.2.2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x2 – 2x + 3.
Phương pháp giải đầu tiên được giới thiệu là phân tích biểu thức này
thành ( x − 1) 2 + 2 , như vậy lời giải dựa trên các mốc định hướng có đối tượng.
Ở giai đoạn hai, các mốc định hướng và các thao tác có đối tượng được thay


thế bằng các kí hiệu và các hành động ngơn ngữ. Trong ví dụ trên người ta
khơng cịn sử dụng phép phân tích thành bình phương của một tổng cộng với
một hằng số để giải mà thay vào đó là lập bảng biến thiên của hàm số y= x 2 –
2x + 3, ở giai đoạn này tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x 2 – 2x + 3 bằng
ngơn ngữ và kí hiệu. Ở giai đoạn thứ ba, các hành động ngôn ngữ rơi rụng
dần đi và thay thế chúng là những thao tác diễn ra theo sơ đồ gọn hơn: “Hàm
số y= x2 – 2x + 3 có giá trị nhỏ nhất là 2 khi x=1”.
Người ta còn gọi ý đồ dạy học trên là phương pháp hình thành các hành
động trí tuệ qua từng giai đoạn.
Trong thực tế khi hình thành những tri thức mới (có nội dung chứ khơng
phải khái niệm từ ngữ thuần túy) ai cũng phải trải qua các giai đoạn này. Tuy
nhiên, trong dạy học thông thường những giai đoạn không được tổ chức một
cách có ý thức. Vì thế học sinh phải tự phát hiện những dấu hiệu cảm tính hay
những dấu hiệu lôgic, mà điều chủ yếu là các em phải tự lựa chọn những hành
động thích hợp để làm điều đó. Do vậy khơng thể tránh khỏi các sai lầm và
các tri thức không phải bao giờ cũng được hình thành đầy đủ và đúng đắn. Để
cho các khái niệm được hình thành đầy đủ và đúng đắn, hoạt động tương ứng
của học sinh phải được xây dựng trên một cơ sở định hướng đầy đủ. Nói một
cách khác, giáo viên phải truyền thụ cho học sinh tất cả những dấu hiệu bản
chất của các đối tượng dưới dạng có sẵn và dạy cho họ những thao tác cần
thiết để phát hiện hay tái tạo những dấu hiệu.
Những nguyên tắc kể trên cho phép cải tiến một cách căn bản việc dạy

các khái niệm, đặc biệt tăng nhanh tốc độ lĩnh hội các tri thức, đảm bảo được
tính mềm dẻo và đầy đủ của chúng, vận dụng chúng đúng đắn cịn cho phép
hình thành những tri thức trừu tượng phức tạp ở lứa tuổi sớm hơn nhiều.
1.2. Kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề.
1.2.1. Vấn đề


Để hiểu đúng thế nào là một vấn đề và đồng thời làm rõ một vài khái
niệm khác có liên quan, ta bắt đầu từ khái niệm hệ thống.
Hệ thống được hiểu là một tập hợp những phần tử cùng với những quan
hệ giữa những quan hệ giữa những tập hợp đó.
Một tình huống được hiểu là một hệ thống phức tạp gồm chủ thể và
khách thể, trong đó chủ thể có thể là người, cịn khách thể là một hệ thống nào
đó.
Nếu trong một tình huống, chủ thể cịn chưa biết ít nhất một phần tử của
khách thể thì tình huống này được gọi là một tình huống bài tốn đối với chủ
thể.
Trong một tình huống bài tốn, nếu trước chủ thể đặt ra mục tiêu tìm
phần tử chưa biết nào đó dựa vào một số những phần tử cho trước ở trong
khách thể thì ta có một bài toán.
Một bài toán được gọi là vấn đề nếu chủ thể chưa biết một thuật giải nào
đó có thể áp dụng để tìm ra phần tử chưa biết của bài toán.
1.2.2. Khái niệm kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề.
Từ những phân tích về vấn đề cũng như sự phân tích về kỹ năng và sự
hình thành kỹ năng, chúng tôi xác định rằng: “Kỹ năng phát hiện và giải
quyết vấn đề là năng lực sử dụng các dữ kiện, các kiến thức hay khái niệm đã
có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính bản chất của các
sự vật, hiện tượng nhằm phát hiện và giải quyết vấn đề”.
1.2.3. Một số kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề.
Trong luận văn này Chúng tôi chú trọng rèn luyện cho học sinh một số

kỹ năng sau:
+) Kỹ năng dùng dự đoán để phát hiện và giải quyết vấn đề.
+) Kỹ năng dùng suy luận diễn dịch để phát hiện và giải quyết vấn đề.


+) Kỹ năng biến đổi bài toán về dạng thuận lợi cho việc tìm liên hệ với
kiến thức đã có của học sinh và điều kiện đã cho của bài tốn.
+) Kỹ năng nhìn nhận vấn đề dưới nhiều góc độ khác nhau từ đó tìm
nhiều cách giải quyết vấn đề đó.
1.2.3.1. Kỹ năng dùng dự đốn để phát hiện và giải quyết vấn đề.
Dự đoán theo đúng nghĩa của nó có vai trị cực kỳ quan trọng trong tất
cả các pha dạy học toán: dạy học khái niệm; dạy định lý; dạy học giải bài tập
toán, …
Polya đánh giá, trong số những hoạt động trí tuệ trong giải tốn, dự
đốn chiếm một vị trí trung tâm. Ngay sau khi đã đọc kỹ đề bài toán, người
giải cố gắng dự đốn phạm vi đi tìm lời giải, phạm vi này có thể cịn mơ hồ,
thậm chí có thể cịn phần nào khơng đúng. Trên cơ sở của sự dự đốn ấy ta có
được cái tồn thể ban đầu, cái tổng hợp, …Dự đoán được hiểu theo một nghĩa
rất rộng mà trong đó rất quan trọng đó là đốn ra phương hướng giải quyết bài
tốn. Chẳng hạn như quan sát hình thức bài toán ta thấy các con số, các ký
hiệu hơi phức tạp thì nhiều khi nếu đốn được rằng bài tốn ấy sẽ được giải
theo con đường khơng mẫu mực, tìm cách đánh giá chứ khơng phải là biến
đổi theo cách thơng thường; việc dự đốn đơi khi lại đóng vai trị then chốt
trong q trình tìm kiếm lời giải. Chẳng hạn, xét bài toán sau:
Bài toán 1.2.3.1.1. Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz=1. Chứng
minh rằng

x3
y3
z3

3
+
+
≥ .
( x + y )( x + z ) ( y + z )( x + y ) ( x + z )( y + z ) 4

Để giải bài toán này trước hết chúng ta dự đoán dấu bằng ở bất đẳng
thức trên xảy ra khi x=y=z=1.
Do đó ta áp dụng bất đẳng thức Cơ – si, như sau
x3
x+ y x+z
x3
x+ y x+z 3
+
+
≥ 33
.
.
= x.
( x + y )( x + z ) 8
( x + y )( x + z ) 8
8
8
4


(Để đảm bảo khi x=y=z=1 thì dấu bằng ở bất đẳng thức này xảy ra)
Tương tự:
y3
y+ z x+ y 3

z3
y+ z x+ z 3
+
+
≥ y ;
+
+
≥ z.
( y + z )( x + y ) 8
( x + z )( y + z ) 8
8
4
8
4

Từ đó suy ra
x3
y3
z3
x + y + z 33 xyz 3
+
+
≥
≥
= .
( x + y )( x + z ) ( y + z )( x + y ) ( x + z )( y + z )
4
4
4

Sau đây là sơ đồ tổng quát về hoạt động trí tuệ trong giải tốn:
Tách biệt
Nhận biết
Động viên

Nhóm lại
DỰ ĐỐN

Nhớ lại

Tổ chức
Bổ sung

Kết hợp
Để có năng lực dự đốn vấn đề học sinh cần được rèn luyện các kỹ
năng xem xét các đối tượng toán học, các quan hệ toán học trong mối quan hệ
giữa cái chung và cái riêng, trong mối quan hệ nhân quả; phát hiện những
bước chuyển hóa về lượng sẽ dẫn đến sự thay đổi về chất; Xem xét đối tượng
toán học trong sự mâu thuẫn và thống nhất giữa các mặt đối lập; xem xét một
đối tượng toán học đồng thời xem xét phủ định của đối tượng đó; kỹ năng
thực hiện các thao tác tư duy phân tích- tổng hợp; đặc biệt hóa – khái quát
hóa; năng lực liên tưởng các đối tượng.


Theo Hoàng Chúng: “phải dạy cho học sinh biết các suy luận có lý để
có thể tự tìm tịi, dự đoán các quy luật của thế giới khách quan, tự mình phát
hiện và phát biểu vấn đề. Nhằm mục đích ấy, cần tập cho học sinh biết thu
thập các số liệu, đúc kết, lập bảng, vẽ đồ thị… quan sát các kết quả, rút ra các
kết luận khái quát có tính chất dự đốn…”.
Những hình thức dự đốn tương đối phổ biến trong mơn tốn là:

- Dự đốn bằng đặc biệt hóa.
- Dự đốn bằng tương tự hóa.
- Dự đốn bằng tổng qt hóa.
- Dự đốn bằng nhận xét trực quan và thực nghiệm.
Thực tế dạy học cho thấy, rất nhiều giáo viên vì sợ thiếu thời gian nên
thường áp đặt cho học sinh trước những thao tác như kẻ đường phụ; biến đổi
thêm, bớt biểu thức; phân chia trường hợp riêng; ... mà bỏ qua giai đoạn tìm
tịi dự đốn. Thực ra, cho học sinh mị mẫm, tìm tịi dự đốn đúng là có tốn thời
gian gian thật, nhưng "sẽ được đền bù nhanh chóng khi tư duy độc lập của học
sinh đã được phát triển".
Trong quá trình học sinh dự đốn, dù rằng học sinh thành cơng hay thất
bại, thì học sinh cũng đã tự giác nỗ lực tư duy và giáo viên cần phải trân trọng
điều đó. Rất có thể học sinh đưa ra câu trả lời về một vấn đề nào đó là khơng
đúng. Khi đó, giáo viên khơng nên bác bỏ một cách độc đốn, không nên đưa
ra những lời bác bỏ như "Em đã đốn sai!", mà thay vào đó, giáo viên hãy đưa
ra những phản ví dụ để giúp học sinh điều chỉnh lại hướng dự đốn của bản
thân họ. "Chỉ có những hoạt động được giáo viên thường xuyên khích lệ,
nhưng vẫn ln ln tự do trong việc mị mẫm và ngay cả trong những sai
lầm, mới có thể đưa đến sự độc lập về mặt trí tuệ" [14]. Nhưng mặt khác, nếu
thầy giáo biết rằng học sinh đã dự đoán đúng, thì cũng khơng nên nói ngay là
"Em đã dự đốn đúng!" thay vào đó, thầy có thể nói: "Em có thể kiểm tra lại


dự đốn của mình thêm một lần nữa khơng? bằng việc tiếp tục thử thêm một
trường hợp nữa chẳng hạn!"
Trong q trình khám phá, khơng phải lúc nào chúng ta cũng đi đúng
hướng, cũng đưa ra được những phán đoán đúng. Tính đúng, sai của các phán
đốn cịn cần phải được kiểm nghiệm bằng chứng minh rồi mới khẳng định
được. Nhưng dù thế nào đi nữa thì dự đốn cũng có vai trị thúc đẩy sự phát
triển của Tốn học. Trong q trình phát triển mấy ngàn năm của Tốn học,

các nhà Tốn học đã khơng ngừng đưa ra những phán đốn và minh chứng.
Có những phán đốn cho đến hàng trăm năm sau mới khẳng định được, chẳng
hạn như Định lý Fermat lớn, … nhưng sự cố gắng để đi đến chân lý của các
nhà khoa học đã làm nảy sinh ra nhiều cái mới trong phương pháp, trong lĩnh
vực lý thuyết.
Tóm lại, dự đốn, suy luận có lý đóng vai trị quan trọng trong khoa
học Tốn học. Nó không những đi đến phát hiện và sáng tạo mà cịn dẫn đến
thành cơng. Vậy phải làm thế nào để học được dự đốn suy luận có lý?
"Ai cũng biết rằng Tốn học có khả năng tuyệt diệu dạy ta cách suy
luận chứng minh, nhưng tôi cũng khẳng định rằng, trong các chương trình học
tập thơng thường của các trường học, khơng có mơn học nào có khả năng như
vậy để dạy chúng ta cách suy luận có lý".
Cũng theo G. Polia thì khơng có một phương pháp bảo đảm tuyệt đối
việc học thơng thạo cách dự đốn. Cho nên "áp dụng một cách có hiệu quả
các suy luận có lý là một kỹ năng thực hành, và kỹ năng đó cũng như mọi kỹ
năng thực hành khác đều học được bằng con đường bắt chước và thực hành".
Vì khơng nêu thành phương pháp áp dụng cho đại đa số các bài tốn, nên
trong q trình dạy học, giáo viên rèn luyện cho học sinh kỹ năng dự đoán,
suy luận có lý thơng qua thực hành giải tốn.


Tất nhiên, đây cũng chỉ là dự đoán. Dự đoán ấy được khẳng định hay
bác bỏ tùy thuộc vào người giải tốn có đi tiếp được đến "đích" hay khơng.
Đến đây hướng giải quyết bài toán đã được mở ra. Vấn đề cịn lại là
trình bày lời giải. Và tất nhiên, những dự đốn ấy khơng nhất thiết phải trình
bày trong bài giải, nhưng nếu thiếu những thao tác tư duy ấy, liệu chúng ta có
tìm ra được lời giải Bài tốn hay khơng?
Giáo viên cần phải giải thích rõ, khơng thể lấy những điều dự đốn thay
thế cho chứng minh tốn học được. Tính chính xác là một trong những đặc
điểm cơ bản của mơn Tốn. Để khẳng định một điều gì đó, các em phải sử

dụng suy luận chứng minh.
Chẳng hạn, xét ví dụ sau:
Bài tốn 1.2.3.1.2. Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi thỏa mãn
xy+yz+zx=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 10x2 + 10y2 + z2 .
Để giải được bài tốn này, chúng ta dự đốn: “Vì vai trị của x và y
trong bài tốn bình đẳng nên khi P đạt giá trị nhỏ nhất thì x=y”; đưa vào tham
số thực dương m và áp dụng bất đẳng thức Cơ – si, ta có

(

)

P = (10 − m ) x 2 + y 2 + mx 2 +
≥ 2(10 − m ) xy + 2

z2
z2
+ my 2 +
2
2

m
m
yz + 2
xz
2
2

(với 0 < 10 < m).

Để sử dụng giả thiết xy+yz+zx=1, ta cần chọn m sao cho
 0 < m < 10

10 − m = m ⇔ m = 8 .

2


Do đó , ta có thể giải bài tốn như sau:
Áp dụng bất đẳng thức Cơ – si, ta có


2 x 2 + 2 y 2 ≥ 4 xy
z2
≥ 4 xz
2
z2
8y2 +
≥ 4 yz
2
8x 2 +

Từ đó suy ra
P ≥ 4( xy + yz + zx ) = 4 .

1

x = y = 3
P= 4⇔ 
4 .

 z=
3


Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P bằng 4.
1.2.3.2. Kỹ năng dùng suy luận diễn dịch để phát hiện và giải quyết vấn đề.
Theo tác giả Hoàng Chúng: “Suy luận là rút ra mệnh đề mới từ một hay
nhiều mệnh đề đã có”
Suy luận diễn dịch hay cịn gọi là suy luận suy diễn là suy luận theo
những quy tắc, xác định rằng nếu các tiên đề đúng thì kết luận rút ra cũng
đúng.
Phương pháp dạy học hiện nay đang nặng về lối “Thầy giảng – trò
nghe”; giáo viên thường bao biện những bước suy luận mà học sinh có thể tự
mình giải quyết, giáo viên chưa sử dụng được hệ thống câu hỏi và bài tập hợp
lý, linh hoạt với từng đối tượng học sinh, nhiều bài trùng nhau về dạng, chỉ
địi hỏi áp dụng cơng thức, thiếu bài tập suy luận diễn dịch, chưa khai thác
triệt để những tình huống có thể rèn luyện kỹ năng suy diễn; chưa khai thác
tốt giữa những chủ đề kiến thức với nhau thông qua những bước suy diễn
không đến mức phức tạp.
Theo lý thuyết tình huống để dạy cho học sinh một tri thức nào đó cách
làm tốt nhất là cài đặt tri thức nào đó vào tình huống nào đó thích hợp với học
sinh để học sinh lĩnh hội nó thơng qua dạy học tích cực và sáng tạo, do dó
muốn phát triển khả năng suy diễn khơng thể nào đơn thuần thầy giáo suy


diễn học sinh dõi theo, không thể không quan tâm đến những bài tập tương
thích với mục tiêu suy diễn. Chẳng hạn, khi gặp bài toán:
a 2 + b 2 = 1
.
 c+d =3

Bài toán 1.2.3.2.1. Cho các số thực a, b, c, d thỏa mãn 
Chứng minh rằng ac + bd + cd ≤

9+6 2
(1).
4

Ta có thể dùng các suy luận sau để giải bài tốn này: “Vì vai trị của a
và b trong bài tốn bình đẳng; đồng thời vai trị của c và d trong bài tốn bình
đẳng nên ta dự đốn dấu bằng ở (1) xảy ra khi

a =b =

2
2

;

c=d =

3
2

.

Do đó ta biến đổi vế trái của (1) như sau:
2 3 2
2 3 2
.2.

a.c +
.2.
b.d + cd
6
2
6
2
2
2

 3 2
2  3 2 
3 2
2  3 2 
3 2
2


=−
a  − 2.
a.c + c  −
b  − 2.
b.d + d 2  +
a2 + b2 +
 2 
 2 
6 
2
2
4

 6 







ac + bd + cd =

(

2

2

)


 3 2
2 2
2 3 2
2 3 2
2 2


c + d 2 + cd = −
a − c −
b−d +
+

c + d 2 + cd .
 2

 2

6
6 
6 
4
6



(

)

(

)

(Vì a 2 + b 2 = 1 )
Suy ra ac + bd + cd ≤

(

)

3 2
2 2

+
c + d 2 + cd (2)
4
6

Lại tiếp tục biến đổi vế phải của (2):


3 2
2 2
3 2
2 2
2
cd
+
c + d 2 + cd =
+
c + 2cd + d 2 + 1 −

4
6
4
6
3 



(

=

)

(

)

3 2
2
(c + d ) 2 − 3 − 2 (c − d ) 2 + 3 − 2 (c + d ) 2 = 9 + 6 2 − 3 − 2 (c − d ) 2.
+
4
6
12
12
4
12

(Vì c+d=3)
Từ đó ta có điều phải chứng minh.