skkn Chuyên đề Giải một số bài toán về hệ có tham số và chứng minh một số BĐT
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (188.11 KB, 19 trang )
Chuyên đề: Giải một số bài toán về hệ có tham số và chứng minh một số BĐT
KHẢO SÁT SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐƯỜNG TRÒN VÀ ĐƯỜNG THẲNG
ĐỂ GIẢI HỆ CÓ THAM SỐ.
Bài toán giải và biện luận hệ có tham số tương đối phức tạp đối với học sinh, đặc biệt là
hệ chứa bất phương trình. Tuy nhiên trong một số bài tập nếu ta sử dụng phương trình và
tính chất của đường tròn (hình tròn), của đường thẳng trong mp toạ độ để khảo sát sự
tương giao giữa các hình thì bài toán nói trên trở nên đơn giản rất nhiều. Sau đây xin
nêu một vài ví dụ.
Bài 1. Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất:
=+−
≤−+
0
22
22
myx
xyx
)2(
)1(
Lời giải
Ta có (1)
( )
31
2
2
≤+−⇔ yx
. Tập nghiệm của bất phương trình này biểu diễn hình tròn tâm
( )
0;1I
, bán kính
3=R
trên mp toạ độ Oxy. Pt (2) biểu diễn một đường thẳng. Để hệ có
nghiệm duy nhất thì đường thẳng
0: =+−∆ myx
tiếp xúc với đường tròn có pt:
( ) ( )
RIdyx =∆⇔=+− ;31
2
2
.
61
61
3
2
01
+−=
−−=
⇔
=
+−
⇔
m
m
m
Bài 2. Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất:
≤+
≥+++
1
12
yx
mxyyx
Lời giải
Hệ trên tương đương với:
( )
( )( )
≤+
+−≥+
⇔
≤+
+−≥+
1
12
1
12
2
yx
yxmxy
yx
yxmxy
( ) ( )
≤+
+≤−+−
⇔
1
111
22
yx
myx
)4(
)3(
- Với
101
−≤⇔≤+
mm
: hệ vô nghiệm
- Với
101
−>⇔>+
mm
: Nghiệm của bpt (3) được biểu diễn bởi hình tròn tâm
( )
1;1I
, bán kính
1+= mR
trên mp toạ độ Oxy.
Nghiệm bpt (4) được biểu diễn bởi nửa mp bờ là đường thẳng
01: =−+∆ yx
. Mặt
khác
( )
1;1I
không thuộc vào miền nghiệm của bpt (4). Do đó hệ có nghiệm duy nhất
khi và chỉ khi đường thẳng
∆
tiếp xúc với đường tròn:
( ) ( )
111
22
+=−+− myx
,
nghĩa là :
( )
2
1
1
2
1
; −=⇔+=⇔=∆ mmRId
.
Chuyên đề: Giải một số bài toán về hệ có tham số và chứng minh một số BĐT
Bài 3. Tìm m để hệ sau có nghiệm:
=+
≤+−
myx
yx
22
0234
.
Lời giải
-Nếu
0≤m
thì hệ vô nghiệm
- Nếu
0>m
thì số nghiệm của hệ (nếu có) là số giao điểm của nửa mp biểu diễn bởi
0234 ≤+− xy
và đường tròn tâm
( )
0;0O
, bán kính
mR =
. Hơn nửa
( )
0;0O
không thuộc
vào miền nghiệm của bpt
0234 ≤+− xy
.
Do đó hệ có nghiệm khi và chỉ khi
25
4
≥⇔≥ mOHm
( với H là chân đường vuông
góc hạ từ O xuống đường thẳng có pt:
0234 =+− xy
).
Bài 4. Cho hệ:
( ) ( )
=+−
≤−+−
0
211
22
myx
yx
( )
( )
6
5
Xác định m để hệ nghiệm đúng
[ ]
2;0∈∀x
.
Lời giải
Tập hợp các điểm
( )
yx;
thoả mãn (5) là các điểm nằm trong và trên đường tròn có pt:
( ) ( )
211
22
=−+− yx
, với tâm
( )
1;1I
và bán kính
2=R
. Tập hợp các điểm
( )
yx;
thoả (6) là
các điểm nằm trên đt
∆
có pt:
0=+− myx
.
Giả sử:
∆∈A
sao cho
0=
A
x
thì
( )
mA ;0
;
∆∈B
sao cho
2=
B
x
thì
( )
mB +2;2
.
Để hệ có nghiệm
[ ]
2;0∈∀x
thì đoạn thẳng AB nằm trong đường tròn
( )
RI;
. Lúc đó:
( ) ( )
( ) ( )
0
21212
2110
RIB
R
22
22
=⇔
≤−++−
≤−+−
⇔
≤
≤
m
m
mIA
.
Bài 5. Cho hệ phương trình:
=−+
=−+
0
0
22
mmyx
xyx
( )
( )
8
7
Tìm m để hệ có 2 nghiệm phân biệt.
Lời giải.
PT (7)
4
1
2
1
2
2
=+
−⇔ yx
. Do đó tập nghiệm của pt (7) là toạ độ những điểm nằm trên
đường tròn tâm
0;
2
1
I
, bán kính
2
1
=R
. Tập nghiệm của pt (8) là tọa độ những điểm nằm
trên đt có pt:
0=−+ mmyx
. Họ các đường thẳng này luôn đi qua điểm cố định
( )
1;0A
.
Ta có
( )
1;0A
nằm ngoài đường tròn
( )
RI;
, từ A dựng 2 tiếp tuyến với đường tròn
( )
RI;
.
Phương trình 2 tiếp tuyến đó là:
0
=
x
và
0
3
4
3
4
=−+ yx
cũng luôn qua
( )
1;0A
.
Chuyên đề: Giải một số bài toán về hệ có tham số và chứng minh một số BĐT
Vì vậy để hệ có 2 nghiệm phân biệt thì đt có pt:
0=−+ mmyx
phải cắt đường tròn
( )
RI;
tại 2 điểm phân biệt, suy ra đt có pt:
0=−+ mmyx
phải nằm giữa 2 tiếp tuyến trên, khi đó
3
4
0 << m
. Vậy
3
4
0 << m
là ycbt.
Bài 6. Cho hệ phương trình:
=+
=+
m
yx
yx
22
122
22
.
Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm đó
Lời giải.
Đặt
=
=
y
x
v
u
3
2
, điều kiện
0,0 >> vu
.
Khi đó hệ đã cho trở thành:
=+
=+
mvu
vu 1
22
( )
( )
2
1
.
x
y
B
O
A
M
Ta có: (1) là PT đường tròn có tâm O(0;0) và bán kính R = 1. Vì đk
0,0 >> vu
nên ta
chỉ lấy cung AB (góc phần tư thứ nhất). PT (2) là PT của đường thẳng
∆
. Vậy hệ có
nghiệm duy nhất
⇔
∆
tiếp xúc với (C) tại điểm thuộc cung AB
( )
2
0
;
=⇔
>
=∆
⇔ m
m
ROd
.
Khi đó,
∆
tiếp xúc với (C) tại điểm
2
2
;
2
2
M
, suy ra:
=
−=
⇔
=
=
⇔==
2
2
log
2
1
2
2
3
2
2
2
2
2
3
y
x
vu
y
x
.
Nhận xét: Thông qua các ví dụ trên ta thấy rằng: Khi sử dụng phương trình và tính chất
của đường tròn (hình tròn) xét sự tương giao giữa các hình, ta đã đưa các bài toán biện
Chuyên đề: Giải một số bài toán về hệ có tham số và chứng minh một số BĐT
luận hệ về một dạng toán đơn giản và quen thuộc hơn với học sinh. Sau đây là một số bài
tập tương tự:
Bài 1. Tìm các số dương m để hệ sau có nghiệm:
>+
−=+
myx
myx
222
1
Bài 2. Tìm m để mỗi hệ sau có nghiệm:
a)
>+
−=+
myx
myx
222
1
b)
( )
=+
≥+
+
myx
yx
yx
2
1log
22
Bài 3. Giả sử
( )
11
; yx
và
( )
22
; yx
là hai nghiệm của hệ:
=−+
=−+
0
0
22
mmyx
xyx
Chứng minh rằng:
( ) ( )
1
2
12
2
12
≤−+− yyxx
.
Bài 4. Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất:
≤+++
≤+++
mxyx
myyx
12
12
22
22
.
Bài 5. Tìm m để hệ sau có nghiệm:
−=−+
=+
+
m
yxyx
yx
1242
242
2
22
.
HD: Đặt
=
=
y
x
v
u
4
2
, điều kiện
0,0 >> vu
.
Bài 6. Cho hệ phương trình:
( )
( )
.
4212
122
2
2
2
2
=++
=++
yx
yx
m
Tìm m để hệ có nghiệm. Khi đó khẳng định rằng hệ có nghiệm duy nhất.
Bài 7. Cho hệ phương trình:
=+
=+
m
yx
yx
22
822
22
.
a) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất,
b) Tìm m đê hệ có 2 cặp nghiệm phân biệt.
Bài 8. Cho hệ phương trình:
.
22)22.(22
1622
2122
22
=++++
=+
++
mm
yxyxyx
yx
a) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất,
b) Tìm m để hệ có 3 cặp nghiệm phân biệt.
Chuyên đề: Giải một số bài toán về hệ có tham số và chứng minh một số BĐT
MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC TRONG KHÔNG GIAN.
Các bài toán tổng quát được xét trong không gian với hệ trục toạ độ Descartes vuông
góc Oxy. Ở phần áp dụng, ngoài VD
1
, VD
2
được giải chi tiết, các VD khác tôi chỉ hướng
dẫn giải hoặc đưa ra kết quả để bạn đọc tự giải.
Bài toán 1. Trong không gian với hệ toạ độ Descartes vuông góc Oxy cho mp
( )
α
có
phương trình:
0=+++ DCzByAx
và hai điểm
( )
111
;; zyxM
, N
( )
222
;; zyx
không thuộc
( )
α
.
Tìm điểm I trên mp
( )
α
sao cho:
a)
INIM +
là nhỏ nhất;
b)
INIM −
là lớn nhất.
Cách giải
a) Trước hết ta xác định vị trí tương đối giữa M và N so với mp
( )
α
bằng cách xét:
( )( )
DCzByAxDCzByAxT ++++++=
222111
.
- Nếu
0
>
T
thì M,N nằm cùng phía đối với mp
( )
α
. Khi đó ta làm như sau:
Xác định M’ đối xứng với M qua mp
( )
α
, lúc đó IM=IM’ . Ta có
NMINIMINIM ''
≥+=+
. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
NMI ,',
thẳng hàng. Do đó điểm I thoả a) là giao điểm
của M’N và mp
( )
α
.
- Nếu
0
<
T
thì M,N khác phía đối với mp
( )
α
. Khi đó điểm I cần tìm chính là giao
điểm của đường thẳng MN với mp
( )
α
.
b)- Nếu M và N nằm về cùng một phía đối với mp
( )
α
và
MN
không song song với
mp
( )
α
thì có
MNINIM ≤−
. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi I,M,N thẳng hàng. Điểm I
cần tìm chính là giao của MN với mp
( )
α
. Còn nếu MN//mp
( )
α
thì không xác định được
điểm I.
- Nếu M và N khác phía đối với mp
( )
α
thì lấy M’ đối xứng với M qua mp
( )
α
. Khi đó
NMINIMINIM '' ≤−=−
. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi I,M’,N thẳng hàng. Điểm I cần
tìm chính là giao của M’N với mp
( )
α
.
Ví dụ 1. Trong không gian với hệ toạ độ Descartes Oxyz cho hai điểm M(1;2;3) và
N(4;4;5). Tìm điểm I thuộc mp(xOy) sao cho IM+IN nhỏ nhất.
Lời giải.
PT mp(xOy) là
0
=
z
( )
1,0 ==== CDBA
. Ta có
0155.3
>==
T
, do đó M,N nằm về cùng
phía đối với mp (xOy). Ta xác định I như sau:
Chuyên đề: Giải một số bài toán về hệ có tham số và chứng minh một số BĐT
Gọi M’ là điểm đối xứng với M qua mp(xOy). Đường thẳng
( )
d
qua M và
( )
⊥d
mp(xOy) có vectơ chỉ phương
( )
1;0;0=u
nên PT tham số có dạng:
+=
=
=
tz
y
x
3
2
1
( )
Rt ∈
.
Giả sử
( )
xOympdH ∩=
thì
( )
tH +3;2;1
, lúc đó
( )
0;2;103 Ht ⇒=+
.
Do đó
( ) ( )
8;2;3'3;2;1' =⇒− NMM
. Ta có
NMINIMINIM ''
≥+=+
. Đẳng thức xảy ra khi và
chỉ khi
( )
xOympNMI ∩= '
. PT của dt M’N:
8
3
2
2
3
1 +
=
−
=
− zyx
.
Điểm
( )
mmmI 83;22;31 +−++
cần tìm thuộc M’N và mp(xOy) nên
8
3
083 =⇔=+− mm
.
Vậy
0;
4
11
;
8
17
I
.
Ví dụ 2. Trong không gian với hệ toạ độ Descartes Oxyz, cho mp
( )
α
có PT:
012 =++− zyx
và hai điểm
( )
0;1;3M
,
( )
9;4;9−N
. Tìm điểm
I
trên mp
( )
α
sao cho
INIM −
đạt giá trị lớn nhất.
Lời giải.
Ta có
( )
012.6 <−=T
nên
NM ,
nằm về hai phía của mp
( )
α
. Gọi M’ là điểm đối xứng với
M qua mp
( )
α
, khi đó đường thẳng MM’ qua
( )
0;1;3M
và vuông góc với mp
( )
α
có PT:
=
−=
+=
tz
ty
tx
1
23
( )
Rt ∈
,
Gọi
( )
α
mpMMH ∩= '
, suy ra
( )
';1;23 MMtttH ∈−+
.
Mặt khác
( ) ( ) ( ) ( )
1;2;11011232 −⇒−=⇔=++−−+⇒∈ HttttmpH
α
, suy ra
( )
2;3;1' −−M
.
Ta có
NMINIMINIM '' ≤−=−
. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
',, MNI
thẳng hàng.
Ta lại có
( )
11;1;8' −=NM
, do đó M’N có PT tham số:
+−
+=
−−=
t
ty
tx
112
3
81
( )
Rt ∈
.
Điểm I cần tìm là giao của M’N với mp
( )
α
và
( ) ( ) ( )
13;2;7112;3;81 −⇒∈+−+−− ImptttI
α
.
Vậy
( )
13;2;7 −I
.
Bài toán 2. Trong không gian với hệ toạ độ Descartes Oxyz cho đường thẳng d và các
điểm M(x
1
;y
1
;z
1
) và N(x
2
;y
2
;z
2
) không thuộc d. Tìm điểm I trên đt d sao cho
INIM +
bé
nhất.
Lời giải.
Trường hợp 1: M,N và d nằm trong một mp. Khi đó ta thực hiện bài toán trong mp: Nếu
đoạn MN cắt d thì giao điểm đó chính là điểm I cần tìm. Nếu đoạn MN không cắt d thì
Chuyên đề: Giải một số bài toán về hệ có tham số và chứng minh một số BĐT
lấy M’ đối xứng với M qua d khi đó IM=IM’. Ta có
NMINIMINIM '' ≥+=+
. Đẳng thức
xảy ra khi và chỉ khi
NMI ,',
thẳng hàng. Do đó điểm I là giao điểm của M’N và d.
Hình 1.
x
N
M
J
I
Trường hợp 2: MN và d chéo nhau. Có hai khả năng:
- Nếu
dMN
⊥
(hình 1) thì ta làm như sau: Gọi (P) là mp qua MN và vuông góc với d tại
J, khi đó
dNJdMJ ⊥⊥ ;
và
kNJMJ
=+
(không đổi). Với mọi
JNINJM;: ≥≥∈ IMdI
.
Suy ra
JNJM
+≥+
INIM
. Đẳng thưc xảy ra khi và chỉ khi
J
≡
I
, từ đó tìm được tọa điểm
I là giao của (P) và d.
d
J
K
H
N
M
I
Hình 2.
- Nếu MN không vuông góc với d ta chuyển về mp để giải như sau (hình 2):
+) Xác định hình chiếu vuông góc H của N xuống d.
+) Gọi (R) là mp (N;d); (P) là mp qua H vuông góc d; (Q) là mp (M;d);
( ) ( )
dQP ⊥∆⇒∩=∆
tại H. Trên
∆
lấy K sao cho
NHKH
=
. Khi đó
dJ
∈∀
thì
MKJKJMJNJMJNJKKJHNJH ≥+=+⇒=⇒∆=∆
.
Đẳng thức xảy ra khi J,M,K thẳng hàng từ đó tìm được tọa độ điểm
J≡I
là giao của MK
và d là điểm cần tìm .
Ví dụ 1. Trong không gian với hệ toạ độ Descartes vuông góc Oxyz, cho M(1;2;-1),
N(7;-2;3) và đường thẳng d có PT:
2
2
2
2
3
1 −
=
−
−
=
+ zyx
.
Tìm điểm I thuộc d sao cho IM+IN nhỏ nhất.
Chuyên đề: Giải một số bài toán về hệ có tham số và chứng minh một số BĐT
Lời giải.
Đường thẳng d có VTCP
( )
2;2;3 −=u
, mặt khác
( )
4;4;6 −=MN
, suy ra
uMN 2=
.
Ta có
dMNdM //⇒∉
, do đó trên mp (d, MN) gọi M’ là điểm đối xứng của M qua đt d
thì mp
( )
α
qua M(1;2;-1) với VTPT
( )
2;2;3 −=u
có phương trình :
03223 =++− zyx
.
Gọi
( ) ( ) ( )
5;2;3'2;2;1 −⇒−⇒∩= MHdH
α
IMNHINMdI ⇒⇒∩= //'
là trung điểm của M’N nên I(2;0;4) là điểm cần tìm.
Ví dụ 2. Trong không gian với hệ toạ độ Descartes vuông góc Oxyz, cho M(3;1;1),
N(4;3;4) và đường thẳng d có PT:
1
9
2
3
1
7 −
=
−
−
=
− zyx
.
Tìm điểm I thuộc d sao cho IM+IN nhỏ nhất.
Hướng dẫn.
Ta có
( )
3;2;1=MN
, d có VTCP
( )
1;2;1 −=u
nên
dMNuMN ⊥⇒=+−+= 01.3)2.(21.1.
.
Mặt phẳng (P) qua MN vuông góc với d tại I có PT:
022 =−+− zyx
.
Điểm
( )
dPI ∩=
nên
3
23
;
3
17
;
3
17
I
.
Bài tập tự luyện.
Bài 1. Trong không gian với hệ toạ độ Descartes vuông góc Oxyz, cho mp
( )
α
có PT:
2x-y+z+1=0 và hai điểm M(3;1;0); N(-9;4;9).
a) Tìm điểm I thuộc mp
( )
α
sao cho
INIM +
đạt giá trị nhỏ nhất.
b) Tìm điểm I’ thuộc mp
( )
α
sao cho
NIMI '' −
đạt giá trị lớn nhất.
Bài 2. Trong không gian với hệ toạ độ Descartes vuông góc Oxyz, cho M(1;1;0),
N(3;-1;4) và đường thẳng d có PT:
2
2
1
1
1
1 +
=
−
−
=
+ zyx
.
Tìm điểm I trên d sao cho IM+IN nhỏ nhất.
Bài 3. Trong không gian với hệ toạ độ Descartes vuông góc Oxyz cho M(-1;3;-2) và
N(-9;4;9) và mp(P) có PT: 2x-y+z+1=0. Tìm điểm I trên mp(P) sao cho IM+IN bé nhất.
Chuyên đề: Giải một số bài toán về hệ có tham số và chứng minh một số BĐT
BÀI TOÁN ĐỊNH TÍNH VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ.
Bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số kha đa
dạng, phong phú và có thể nói là khó không những đối với học sinh mà còn đối với giáo
viên, đặc biệt là các hàm có chứa tham số. Rất nhiều trường hợp, việc tìm GTLN và
GTNN của hàm gặp khó khăn, thậm chí không tìm được. Tuy nhiên chúng ta mong muốn
biết được một số tính chất nào đó của GTLN, GTNN.
Với mong muốn đóng góp một ý tưởng nhỏ cho việc khảo sát GTLN, GTNN của hàm số,
bài viết này trình bày một phương pháp đánh giá GTLN, GTNN của hàm số mang định
tính thông qua các giá trị của hàm số tại một số điểm đặc biệt của hàm số, từ đó đạt
được kết quả mong muốn.
Trước hết xin nhắc lại khái niệm GTLN, GTNN của hàm số:
Cho hàm số
)(xf
xác định trên miền
)( RDD ⊂
. Giả sử
mM,
lần lượt là GTLN, GTNN
của hàm
)(xf
trên miền
D
.
( )
( )
( )
=∈∃
∈∀≤
⇔=
∈
MxfDx
DxMxf
xfM
Dx
00
:
,
max
.
( )
( )
( )
=∈∃
∈∀≥
⇔=
∈
mxfDx
Dxmxf
xfm
Dx
00
:
,
min
.
Sau đây là một số bài toán minh họa.
Bài toán 1. Cho hàm số:
( ) ( )
bxabxaxxf −−++= 3124
23
,
Trong đó
ba,
là các số thực tuỳ ý. Gọi
[ ]
( )
xfM
x 1;1
max
−∈
=
. Chứng minh rằng
2
3
≥M
.
Lời giải.
Trước hết ta có các kết quả sau:
{ } ( )
{ } ( )
βαβα
βαβα
βαβα
−≥+
+≤
+≥
2
1
,min
2
1
,max
)3(
)2(
)1(
Do
2
3
và
2
3
−
thuộc đoạn
[ ]
1;1−
nên ta có :
( )
.
22
3
2
3
31
2
3
2
2
3
4
2
3
23
b
babafM +=−−+
+
=
≥
Chuyên đề: Giải một số bài toán về hệ có tham số và chứng minh một số BĐT
( )
.
22
3
2
3
31
2
3
2
2
3
4
2
3
23
b
babafM +−=−
−−+
−+
−=
−≥
Từ đó suy ra
+−+=
−
≥
22
3
,
22
3
max
2
3
,
2
3
max
bb
ffM
+−++≥
22
3
22
3
2
1 bb
(theo kết quả (1))
2
3
22
3
22
3
2
1
=
+−−
+≥
bb
(theo kết quả (2))
Vậy
2
3
≥M
.
Bài toán 2. Cho hàm số:
( )
22
1200712 xaxxxf −−+−=
,
Trong đó
a
là số thực tuỳ ý. Gọi
[ ]
( )
xfM
x 1;1
max
−∈
=
;
[ ]
( )
xfm
x 1;1
min
−∈
=
.
Chứng minh rằng:
−≤
≥
2
2007
1
m
M
.
Lời giải.
Ta có:
( )
1)1()1(
2
1
1)1(
1)1(
=−+≥⇒
−=−≥
+=≥
ffM
afM
afM
(đpcm)
Tương tự ta có:
2
2007
2
1
2
1
2
1
2
2007
22
1
2
2007
22
1
−=
−+
≤⇒
−−=
−≤
−=
≤
ffm
a
fm
a
fm
(theo kết quả (2)).
Vậy
2
2007
−≤m
.
Bài toán 3. Giả sử
M
là giá trị lớn nhất của
b
sao cho
( )
134
3
≤−+ xbabx
, với mọi giá
trị của
[ ]
1;1−∈x
và với mọi số thực
a
. Chứng minh rằng
1≤M
.
Lời giải.
Đặt
( ) ( )
xbabxxf 34
3
−+=
. Từ giả thiết ta có:
( )
( ) ( )
≤−−=−−−=−
≤+=−+=
1341
1341
bababf
bababf
Suy ra
11 ≤+≤− ba
(4)
Hoàn toàn tương tự ta có:
Chuyên đề: Giải một số bài toán về hệ có tham số và chứng minh một số BĐT
( )
( )
≤+−=−−−=
−
≤−=−+=
1
22
1
.3
22
1
1
22
1
.3
22
1
b
a
ba
b
f
b
a
ba
b
f
Suy ra
1
2
1 ≤+−≤− b
a
(5)
Từ (4) và (5), ta thu được:
1333
222
11
≤⇒≤≤−⇒
≤+−≤−
≤+≤−
bb
ba
ba
.
Suy ra
1max ≤b
. Vậy
1≤M
.
Bài tập tự luyện.
Bài toán 1. Cho hàm số
( )
cbxaxxf ++=
2
, trong đó a,b,c là các tham số thực thoả điều
kiện:
≤
≥+−
≤++
1
0
1
c
cba
cba
. Gọi
[ ]
( )
xfM
x 1;0
max
∈
=
. Chứng minh rằng
8
9
≤M
.
Bài toán 2. Cho hàm số
( ) ( )
α
++= xaxxf cos2cos
, trong đó
α
,a
là các tham số thực tuỳ
ý. Giả sử
( ) ( )
xfmxfM min;max ==
. Chứng minh rằng:
.2
22
≥+ mM
Chuyên đề: Giải một số bài toán về hệ có tham số và chứng minh một số BĐT
ỨNG DỤNG CỦA MỘT BẤT ĐẲNG THỨC ĐƠN GIẢN.
Chứng minh các bất đẳng thức (BĐT) luôn là những bài toán hấp dẫn. Với bài viết này
tôi muốn giới thiệu với các bạn đọc một số BĐT được chứng minh nhờ một BĐT đon
giản.
Bài toán xuất phát: Cho
ba,
là hai số thực bất kỳ và
yx,
là hai số thực dương. Chứng
minh rằng:
( )
yx
ba
y
b
x
a
+
+
≥+
2
22
(1),
Chứng minh. BĐT cần chứng minh tương đương với:
( ) ( ) ( )
xybayxxbyxya
2
22
+≥+++
( )
.0
2
2
2222
≥−⇔
≥+⇔
bxay
abxyxbya
BĐT sau cùng hiển nhiên đúng. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
y
b
x
a
=
.
Sử dụng BĐT (1) hai lần ta nhận được:
( )
zyx
cba
z
c
y
b
x
a
++
++
≥++
2
222
(2)
Với a,b,c là ba số bất kỳ và x,y,z là ba số dương. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
z
c
y
b
x
a
==
.
Bài toán 1. Cho hai số a, b bất kỳ. Chứng minh rằng:
( )
8
4
44
ba
ba
+
≥+
.
Chứng minh. Sử dụng BĐT (1) hai lần ta có:
( )
( ) ( )
.
822
1
112
1
211
4
2
2
2
22
2
2244
44
bababababa
ba
+
=
+
≥
+=
+
≥+=+
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Bài toán 2. Cho các số dương x, y, z thỏa mãn
4
111
=++
zyx
. Chứng minh rằng:
1
2
1
2
1
2
1
≤
++
+
++
+
++ zyxzyxzyx
.
( Đề thi ĐH khối A 2005).
Chứng minh. Sử dụng BĐT (1) hai lần ta có:
Chuyên đề: Giải một số bài toán về hệ có tham số và chứng minh một số BĐT
.
112
16
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2222
22222
++=
+
+
+
≤
+
+
+
+
+
=
+
+
+
≤
++
+
=
++
zyxzxyx
zxyxzxyxzyxzyx
Tương tự ta có:
++≤
++
++≤
++
zyxzyx
zyxzyx
211
16
1
2
1
121
16
1
2
1
Cộng từng vế ba BĐT trên và chú ý giả thiết ta có:
14.
4
1111
4
1
2
1
2
1
2
1
==
++≤
++
+
++
+
++ zyxzyxzyxzyx
(đpcm),
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
4
3
=== zyx
.
Bài toán 3. Cho ba số dương a, b, c . Chứng minh rằng:
2
3
≥
+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
cb
a
.
( BĐT Nasơbit)
Chứng minh. Sử dụng BĐT (2) ta có:
( )
( )
cabcab
cba
cbca
c
babc
b
acab
a
ba
c
ac
b
cb
a
++
++
≥
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+ 2
2
222
.
Ta cần chứng minh BĐT:
( )
( )
2
3
2
2
≥
++
++
cabcab
cba
.
Nhưng BĐT này tương đương với:
( )
( )
cabcabcba ++≥++ 22
222
( ) ( ) ( )
0
222
≥−+−+−⇔ accbba
(luôn đúng).
Từ đó suy ra BĐT cần chứng minh. Dấu (=) xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Bài toán 4. Cho ba số dương a, b, c thỏa abc=1. Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( )
2
3111
333
≥
+
+
+
+
+ bacacbcba
.
Chứng minh. Sử dụng BĐT (2) với chú ya rằng
1
222
=cba
ta có:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
cabcab
cabcab
cabcab
bac
ba
acb
ac
cba
cb
bacacbcba
++=
++
++
≥
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
2
1
2
111
2
222222
333
Chuyên đề: Giải một số bài toán về hệ có tham số và chứng minh một số BĐT
Ta cần chứng minh:
3≥++ cabcab
, nhưng BĐT này được suy ra từ BĐT Cauchy và lưu
ý rằng abc = 1.
Dấu (=) xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
Bài toán 5. Cho các số dương a, b, c, p, q. Chứng minh rằng :
.
3
qpqbpa
c
qapc
b
qcpb
a
+
≥
+
+
+
+
+
(Với p = q = 1 ta trở về bài toán 3.)
Chứng minh. Sử dụng BĐT (2) ta có:
( )
( )( )
.
2
222
cabcabqp
cba
qbcpac
c
qabpcb
b
qcapba
a
qbpa
c
qapc
b
qcpb
a
+++
++
≥
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
Vì thế ta cần chứng minh:
( )
3
2
≥
++
++
cabcab
cba
, nhưng BĐT này đã được chứng minh trong
lời giải bài toán 3.
Dấu (=) xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Bài toán 6. Cho ba số dương x, y, z. Chứng minh rằng:
.
9222
zyxxzzyyx ++
≥
+
+
+
+
+
Chứng minh. Sử dụng BĐT (2) ta có:
( ) ( ) ( )
( )
( )
zyxzyx
xzzyyxxzzyyx
++
=
++
≥
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
9
2
23
222222
2
222
Dấu bằng xảy khi và chỉ khi x = y = z.
Bài tập tự luyện.
Bài 1. Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng:
.
222222
cba
ac
ac
cb
cb
ba
ba
++≥
+
+
+
+
+
+
+
+
Bài 2. Cho các số dương x, y, z. Chứng minh rằng:
a)
.
2
1
323232
≥
++
+
++
+
++ yxz
z
xzy
y
zyx
x
b)
( )( ) ( )( ) ( )( )
.
4
3
222
≥
++
+
++
+
++ yzxz
z
xyzy
y
zxyx
x
Chuyên đề: Giải một số bài toán về hệ có tham số và chứng minh một số BĐT
Bài 3. Cho các số dương a, b, c, d, e. Chứng minh rằng:
.
2
5
≥
+
+
+
+
+
+
+
+
+ ba
e
ae
d
ed
c
dc
b
cb
a
Bài 4. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn:
( )
13 =++ cabcab
.
Chứng minh rằng:
.
1
111
222
cba
abc
c
cab
b
bca
a
++
≥
+−
+
+−
+
+−
Chuyên đề: Giải một số bài toán về hệ có tham số và chứng minh một số BĐT
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC NHỜ KỸ THUẬT
CÔSI NGƯỢC DẤU.
Bài toán 1. Cho các số dương a, b, c thỏa điều kiện a+b+c = 3. Chứng minh rằng:
2
3
111
222
≥
+
+
+
+
+ a
c
c
b
b
a
.
Lời giải. Ta không thể dùng trực tiếp BĐT Côsi với mẫu số vì BĐT sau đó sẽ đổi chiều
Tuy nhiên, ta có thể dùng BĐT Côsi theo cách khác:
22
11
2
2
2
2
ab
a
b
ab
a
b
ab
a
b
a
−=−≥
+
−=
+
Tương tự, ta có:
2
1
2
1
2
2
ca
c
a
c
bc
b
c
b
−≥
+
−≥
+
Cộng vế theo vế ba BĐT trên ta có:
( )
.
2
3
2
111
222
≥
++
−++≥
+
+
+
+
+
cabcab
cba
a
c
c
b
b
a
Vì a+b+c = 3 (gt) và
3
≤++
cabcab
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
Bài toán 2. Cho a, b, c, d là các số thực dương có tổng bằng 4. Chứng minh rằng:
2
1111
2222
≥
+
+
+
+
+
+
+ a
d
d
c
c
b
b
a
.
Chứng minh. Theo giả thiết ta có: a + b + c + d = 4.
Mặt khác:
( )( )
4
2
2
=
+++
≤++=+++
dbca
dbcadacdbcab
(BĐT Côsi)
Theo kết quả bài 1, ta có:
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
da
d
a
d
cd
c
d
c
bc
b
c
b
ab
a
b
a
−≥
+
−≥
+
−≥
+
−≥
+
Cộng các BĐT trên vế theo vế ta có:
Chuyên đề: Giải một số bài toán về hệ có tham số và chứng minh một số BĐT
( )
( )
.2
2
4
4
2
1111
2222
=−≥
+++
−+++≥
+
+
+
+
+
+
+
dacdbcab
dcba
a
d
d
c
c
b
b
a
(đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d = 1
Bài toán 3. Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c, d thỏa mãn điều kiện
a+b+c+d=4 ta có:
.2
1111
2222
≥
+
+
+
+
+
+
+ ba
d
ad
c
dc
b
cb
a
Chứng minh. Theo BĐT Côsi ta có:
( )
( )
.
4
1
1
42
.
2
2
11
2
2
2
2
2
abcaba
cb
a
acab
a
acab
a
cab
a
cb
cab
a
cb
cab
a
cb
a
+−≥
+
⇒
+
−≥−=−=−≥
+
−=
+
Hoàn toàn tương tự ta có:
( )
( )
( )
dabdad
ba
d
cdacdc
ad
c
bcdbcb
dc
b
+−≥
+
+−≥
+
+−≥
+
4
1
1
4
1
1
4
1
1
2
2
2
Cộng vế theo vế 4 BĐT trên ta được:
( ) ( )
.
4
1
1111
2222
dabcdabcdabcdacdbcabdcba
ba
d
ad
c
dc
b
cb
a
+++++++−+++≥
+
+
+
+
+
+
+
Theo BĐT Côsi ta có:
( )
4
16
1
3
=+++≤+++ dcbadabcdabcdabc
.
Do đó:
( ) ( )
.22444
4
1
1111
2222
=−=+−+++≥
+
+
+
+
+
+
+
dcba
ba
d
ad
c
dc
b
cb
a
(đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d = 1.
Bài toán 4. Cho
0,, >cba
và
3=++ cba
. Chứng minh:
.1
222
2
2
2
2
2
2
≥
+
+
+
+
+ ac
c
cb
b
ba
a
Lời giải. Sử dụng biến đổi và BĐT Côsi ta có:
( )
3
2
3
2
2
2
2
3
2
3 4
2
2
2
2
2
ab
a
ab
ab
a
ba
ab
a
ba
a
−=−≥
+
−=
+
Tương tự ta có:
Chuyên đề: Giải một số bài toán về hệ có tham số và chứng minh một số BĐT
( )
( )
3
2
2
3
2
2
3
2
2
2
3
2
2
2
ca
c
ac
c
bc
b
cb
b
−≥
+
−≥
+
Cộng vế theo vế 3 BĐT trên ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
++−++≥
+
+
+
+
+
3
2
3
2
3
2
2
2
2
2
2
2
3
2
222
cabcabcba
ac
c
cb
b
ba
a
( ) ( ) ( )
.
3
2
3
3
2
3
2
3
2
++−= cabcab
Do đó ta chỉ cần chứng minh:
( ) ( ) ( )
3
3
2
3
2
3
2
≤
++ cabcab
.
BĐT trên hiển nhiên đúng vì theo Côsi ta có:
( ) ( ) ( )
3
2
3
2
3
2
3;3;3 caacacbccbcbabbaba ≥++≥++≥++
.
Ngoài ra
3≤++ cabcab
nên ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
Kết quả của bài toán 4 vẫn đúng khi thay giả thiết a + b + c = 3 bởi ab + bc + ca = 3
hoặc
3=++ cba
.
Nhận xét: Các BĐT trong các bài toán trên nếu không sử dụng phương pháp BĐT Côsi
ngược thì việc chứng minh các BĐT trên sẽ rất khó và dài. Phương pháp này thực sự
hiệu quả đối với các bài toán BĐT hoán vị.
Bài tập tự luyện.
Bài 1. Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c, d ta luôn có:
2
22
3
22
3
22
3
22
3
dcba
ad
d
dc
c
cb
b
ba
a +++
≥
+
+
+
+
+
+
+
.
Bài 2. Cho
0,, >cba
và
3=++ cba
. Chứng minh:
.1
222
3
2
3
2
3
2
≥
+
+
+
+
+ ac
c
cb
b
ba
a
Bài 3. Cho
0,, >cba
và
3=++ cba
. Chứng minh:
.3
1
1
1
1
1
1
222
≥
+
+
+
+
+
+
+
+
a
c
c
b
b
a
Bài 4. Cho a, b, c, d > 0 và a + b + c + d = 4. Chứng minh rằng:
.4
1
1
1
1
1
1
1
1
2222
≥
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
a
d
d
c
c
b
b
a
Bài 5. Cho a, b, c, d > 0 và a + b + c + d = 4. Chứng minh rằng:
.2
1
1
1
1
1
1
1
1
2222
≥
+
+
+
+
+
+
+ dcba
Chuyên đề: Giải một số bài toán về hệ có tham số và chứng minh một số BĐT
