SKKN toán lớp 9 dùng ẩn phụ để giải phương trình

Sáng kiến kinh nghiệm Dùng ẩn phụ để giải phơng trình
PHN TH NHT
M U
I. C s khoa hc ca SKKN:
1. C s lý lun: Qua vic ging dy toỏn Ph thụng tụi nhn thy: Vic
gii phng trỡnh v h phng trỡnh l mt trong nhng vn rt trng tõm ca
chng trỡnh toỏn hc ph thụng. Cú nhng phng trỡnh v h phng trỡnh
ó cú ng li gii c bn.
2. C s thc tin:
Vớ d nh phng trỡnh bc nht 1 n s (hc Toỏn lp 8), phng trỡnh
bc 2 mt n s (hc Toỏn lp 9) thm chớ i vi phng trỡnh bc 3, bc 4
mt n s cng ó cú ng li gii c bn nh sỏch phỏt trin Toỏn 8 ó trỡnh
by v h phng trỡnh bc nht mt n s (Toỏn lp 9) Nhng trong khi dy
bi dng hc sinh gii toỏn lp 9 v dy ụn thi tuyn sinh vo lp 10 THPT
chuyờn ban A v lp 10 THPT nng khiu Toỏn - Lý - Hoỏ thỡ chỳng ta gp
khụng ớt nhng bi gii phng trỡnh, h phng trỡnh khụng cú ng li gii c
bn dn n vic gii rt khú khn cú khi khụng th gii c, vớ d nh trong cỏc
thi chn hc sinh gii cỏc cp, thi tuyn sinh vo lp 10 THPT trong
nhng nm gn õy u cú bi gii phng trỡnh v h phng trỡnh khụng cú
ng li gii c bn.
Nu dựng mt s thut gii thỡ vic gii cỏc phng trỡnh ú s d dng
hn. Mt trong nhng thut gii m tụi mun trỡnh by õy ú l: "Dựng n
ph gii phng trỡnh".
II. Mc ớch ca SKKN:
õy l nhng kin thc m tụi tng hp c qua vic dy bi dng hc
sinh gii toỏn, qua vic ụn thi tuyn sinh vo lp 10 PTTH chuyờn ban A v kim
nghim trong thc t dy chuyờn : "Dựng n ph gii phng trỡnh" ó
vit trc ú. Vic dựng n ph gii phng trỡnh cú th coi l mt trong cỏc
ng li ch yu giỳp giỏo viờn, hc sinh cú cỏch nhỡn sõu hn, rng hn khi
gii phng trỡnh, c bit trong bi dng hc sinh gii.
2

Sáng kiến kinh nghiệm Dùng ẩn phụ để giải phơng trình
Dựng n ph, ta a t mt phng trỡnh phc tp, nht l cỏc phng trỡnh
bc cao, phng trỡnh vụ t v nhng phng trỡnh bc thp hn, n gin hn v
nhng phng trỡnh ú ó bit cỏch gii.
Vớ d 1: Gii phng trỡnh: (x + 1)
4
+ (x + 3)
4
= 16
Nu ta hng dn hc sinh gii phng trỡnh ny bng cỏch khai trin
thụng thng cỏc kin thc lp 8 thỡ s dn n mt phng trỡnh bc 4 cha cú
ng li gii c th. Tuy nhiờn, nu ta t n ph: t = x + 2.
Thỡ ta a phng trỡnh trờn tr thnh:
(t - 1)
4
+ (t + 1)
4
= 16 <=> t
4
+ 6t
2
- 7 = 0
õy l phng trỡnh trựng phng m hc sinh ó bit cỏch gii bng
phng phỏp t n ph (i bin s) nh trang 54-57 sỏch giỏo khoa Toỏn lp 9
ó trỡnh by.
* Vớ d 2: Gii phng trỡnh: x
4
- 4x
3
+ 2x

2
+ 4x - 3 = 0
Rừ rng õy l phng trỡnh bc 4 y (lựi) m hc sinh cha cú cụng
thc, ng li gii. Nhng ch nh phng phỏp i bin s (t n ph) v mt
vi bc bin i tng ng thỡ hc sinh s bit cỏch gii ngay.
x
4
- 4x
3
+ 2x
2
+ 4x -3 = 0
<=> (x
4
- 4x
3
+ 4x
2
) - (2x
2
- 4x) - 3 = 0
<=> (x
2
- 2x)
2
- 2(x
2
- 2x) - 3 = 0
Khi ú ta t: t = x
2

- 2x.
Lỳc ú phng trỡnh c a v dng: t
2
- 2t - 3 = 0
n õy vic gii n gin i rt nhiu.
* Vớ d 3: Gii phng trỡnh: 19 + 10x
4
- 14x
2
= (5x
2
- 38)
2
2
x
Nu khụng dựng n s ph thỡ chc chn khi d thi chn hc sinh gii cp
tnh nm ú hc sinh s khụng th gii c bi toỏn ny. Nhng nu hc sinh
ó c dy chuyờn ny thỡ hc sinh s gii bi toỏn ny mt cỏch d dng v
c ỏo. iu kin: x
R
;

x
2
t: t =
2
2
x
; (t
R

; t
0

)
Khi ú phng trỡnh ó cho tr thnh:
3
Sáng kiến kinh nghiệm Dùng ẩn phụ để giải phơng trình
19 + 10(t
4
+ 4t
2
+ 4) - 14(t
2
+ 2) = [5(t
2
+ 2)- 38]t
Hay 10t
4
- 5t
3
+ 26t
2
+ 28t + 31 = 0
<=> 10t
2
(t-
4
1
)
2

+
8
203
.t
2
+ 28t + 31 = 0 (*)
Ta thy v trỏi ca (*) ln hn 0,

t
0

.
T ú suy ra phng trỡnh ó cho vụ nghim.
Qu tht, dựng n ph ó giỳp ta gii quyt c bi toỏn trờn mt cỏch
nhanh gn v chớnh xỏc. Chớnh vỡ th m phng phỏp i bin s (t n ph)
trong vic gii phng trỡnh l iu kin tt, rốn luyn kh nng sỏng to toỏn hc
cho hc sinh, vn dng linh hot cỏc kin thc ca mỡnh vo gii phng trỡnh
nh bin i ng nht Giỳp hc sinh gii cú th khỏi quỏt mt vn c th,
cỏch gii tng quỏt ca mt phng trỡnh, qua ú cũn gúp phn rốn luyn v nõng
cao t duy bin chng cho hc sinh. Ngoi ra, nú cũn to cho hc sinh bit nhỡn
nhn mt s vt hin tng theo quan im ng. Dựng n ph gii phng
trỡnh v h phng trỡnh l mt vớ d sng ng i vi ch phng trỡnh, h
phng trỡnh.
Trong chng trỡnh ph thụng hin nay thỡ phng phỏp i bin s cha
c cp v h thng hoỏ thnh mt cụng c quan trng trong cỏch gii
phng trỡnh, h phng trỡnh. Nú ch c gii thiu qua, khi hc sinh hc bi
gii h phng trỡnh bc nht hai n s trang 19-20 v bi gii phng trỡnh quy
v phng trỡnh bc hai trang 54-57 sỏch giỏo khoa Toỏn lp 9 v nú cng ch
c gii thiu v c ph bin khỏi quỏt cỏc lp nng khiu, lp bi dng
chuyờn cho hc sinh gii

Chớnh vỡ vy m tụi vit ti ny xin trõn trng gii thiu cựng ng
nghip v lng nghe nhng úng gúp ca Ban giỏm kho, ca c gi ti
c hon thin hn.
Tụi xin chõn thnh cm n./.
a ch gúp ý xin liờn h vi: V S Hip
Phú hiu trng trng THCS Hng Quang-n Thi-Hng Yờn
TCQ: 0321.3832216; NR: 03213832099; D: 01668859018
4
Sáng kiến kinh nghiệm Dùng ẩn phụ để giải phơng trình
III. i tng nghiờn cu, Phm vi nghiờn cu: L cỏc
phng trỡnh bc cao v cỏc phng trỡnh vụ t trong chng trỡnh THCS, cỏc
thi chn hc sinh gii v thi vo lp 10 THPT chuyờn cỏc nm gn õy khi gi
phi t n ph mi gi c; ti ch dy cho hc sinh gii cp trng v c
tp trung bi dng mi tun ba bui, mi bui ba tit ngay t u nm hc n
khi thi chn hc sinh gii cp huyn (cui thỏng 12) xong tip tc ụn luyn thi
chn hc sinh gii cp tnh (u thỏng 4) v thi vo lp 10 THPT chuyờn (u
thỏng 7).
IV. Phng phỏp nghiờn cu:
- Phng phỏp phõn tớch;
- Phng phỏp tng hp bng bn t duy;
- Phng phỏp phõn tớch v tng hp;
- Phng phỏp khỏi quỏt húa v tng hp húa;
- Phng phỏp c bit húa.
V. K hoch nghiờn cu: Tng hp kin thc vit thnh cng
hng dn chi tit, lp k hoch chi tit cho tng phn tng giai on. Chn i
tng hc sinh v tin hnh dy chuyờn song cựng vi vic tri nghm thc t
cỏc thi cú liờn quan n vn cn gii quyt.
PHN TH HAI
NI DUNG
A NI DUNG Lí LUN LIấN QUAN TRC TIP N VN

NGHIấN CU TNG KT KINH NGHIM (NHNG KIN THC C BN):
I. Hiu n ph nh th no cho y :
Trc ht n ph phi xem l khụng phi n ban u ó cho ca bi toỏn.
Vic thay n ph l mong rng: Bi toỏn vi n ph d gii hn bi toỏn ó cho.
Quy trỡnh thng nht ca vic gii bi toỏn trong trng hp ny bao gm
hai bc:
5
Sáng kiến kinh nghiệm Dùng ẩn phụ để giải phơng trình
+ Bc 1: Xut phỏt t bi toỏn ó cho, chn cỏc n ph thớch hp (cú th
l 1 hoc nhiu n ph) ri chuyn bi toỏn ó cho thnh bi toỏn i vi n ph.
+ Bc 2: Tỡm n ph ri tr v tỡm n s ban u.
II. Du hiu nhn bit cỏc bi toỏn t n ph gii:
- Ch cú nhng bi toỏn m gia cỏc i lng tham gia trong bi toỏn cú
mt mi liờn h no ú m chớnh nh mi liờn h ny, cỏc i lng ny biu din
c qua cỏc i lng kia mi cú kh nng t c n ph.
- Vi cỏc bi toỏn m n ph cú tỏc dng thay i dng bi toỏn thỡ cỏc du
hiu dựng c n ph thụng thng ó bit, ó c ỳc kt trong lý thuyt hoc
trong kinh nghim cú tớnh cht k vin, vớ d nh vic t n ph gii phng
trỡnh trựng phng - Toỏn lp 9.
III. V vic tỡm iu kin cho n ph:
Khi chuyn bi toỏn t n ban u sang bi toỏn i vi n ph, mt trong
cỏc cụng vic phi lm l: Chuyn iu kin ca n ban u sang iu kin cho n
ph ỳng, chớnh xỏc.
* Vớ d: Gii phng trỡnh:
5103
22
=++ xx
iu kin ban u
2
2

3 0
10 0
x
x
+




<=> x
2


10 <=>
10x
;
t n ph:
2
2
3
10
U x
V x

= +


=

3
0 10
U
V









Ta cú h phng trỡnh:



=+
=+
13
5
22
VU
VU
Vi iu kin ca n ph l:

100
3
V
U
B/ THC TRNG VN NGHIấN CU:
Trong khuụn kh ca chuyờn , tụi xin trỡnh by hai loi c bn m khi thi
tuyn sinh vo lp 10 THPT, THPT Chuyờn ban, THPT nng khiu v thi hc
sinh gii cỏc cp thng gp ú l: Gii phng trỡnh bc cao bng phng
phỏp t n ph v gii phng trỡnh vụ t bng phng phỏp t n ph.
6
Sáng kiến kinh nghiệm Dùng ẩn phụ để giải phơng trình
C/ Mễ T CC GII PHP MI M TC GI THC HIN LM
CHO VIC BI DNG HC SINH GII Cể CHT LNG V HIU QU.
I. GII PHNG TRèNH BC CAO BNG PHNG PHP T N PH:
Phng trỡnh bc cao l loi phng trỡnh m cỏch gii rt phc tp. Trong
chng trỡnh dy hc nh trng ph thụng vn ny cha c cp sõu.
Phng trỡnh bc cao mi ch cp n loi phng trỡnh bc hai, phng trỡnh
trựng phng. Cỏc phng trỡnh bc cao vi h s l cỏc s thc cha cú mt
cỏch gii tng quỏt, nhng phng trỡnh gii c ch l phng trỡnh c bit, ú
l nhng phng trỡnh c th (d). Cũn nhng phng trỡnh phc tp, nu khụng
cú phng phỏp gii c th, hc sinh s rt lỳng tỳng trong khi gii.
gii mt phng trỡnh bc ba, bc bn ta cú th dựng phộp th trc tip
tỡm ra mt nghim c bit, hoc nhúm cỏc s hng phõn tớch thnh tớch cỏc
a thc bc nht hoc bc hai.
Phng phỏp t n ph cng l mt phng phỏp c ỏp dng gii
mt s phng trỡnh loi ny. Ta dựng n ph a phng trỡnh v bc thp
hn d gii hn. Trong phn ny tụi trỡnh by cỏch gii mt s loi phng trỡnh

bc cao hay gp trong cỏc k thi chn hc sinh gii v thi tuyn sinh bng phng
phỏp t n ph (i bin s) nhm h tr cỏc em hc sinh mt s hiu bit v
phng trỡnh bc cao. Phng phỏp ny s to cho cỏc em cú nh hng tt khi
tip xỳc vi phng trỡnh bc cao, gúp phn rốn luyn kh nng sỏng to toỏn
hc.
1. PHNG TRèNH DNG:
a[f(x)]
4
+ b[f(x)]
2
+ c = 0 (1)
Trong ú: f(x) l biu thc cha n; a, b, c

R
Cỏch gii:
i vi phng trỡnh dng ny ta t n ph a v phng trỡnh bc
hai vi n ph ú, tc l ta ó a v phng trỡnh bc thp hn ó cú cỏch gii
hoc n gin hn. n õy ta thy d dng gii c phng trỡnh vỡ ta ó a
v dng phng trỡnh m sỏch giỏo khoa ó cp rừ rng cỏch gii (phng
trỡnh bc hai mt n s).
7
Sáng kiến kinh nghiệm Dùng ẩn phụ để giải phơng trình
Gii phng trỡnh: ax
2
+ bx + c = 0; (a

0)
C1: Nu a + b + c = 0 => x
1
= 1; x

2
=
a
c
C2: Nu a - b + c = 0 => x
1
= -1 ; x
2
= -
a
c
C3: Nu



0; (
0
'

) => x
1
+ x
2
= -
a
b
v x
1
. x
2

=
a
c
=>



=
=
nx
mx
2
1
C4: Nu b = 2b
'
=>
'

= b
'2
- ac
C5: Nu b

2b
'
=>

= b
2
- 4 ac

C6: Phõn tớch v trỏi thnh tớch 2 tha s bc nht (h bc) gii:
A.B = 0 <=>



=
=
0
0
B
A
Nh sỏch giỏo khoa Toỏn 9 ó trỡnh by t trang 40-53.
* Vớ d: Gii phng trỡnh:
(x
2
+ 2x)
4
- 15(x
2
+2x)
2
- 16 = 0; ( 1.1)
t: t = (x
2
+ 2x)
2
; iu kin t

0
Khi ú phng trỡnh ó cho tr thnh:

t
2
- 15t - 16 = 0
Gii ra ta c 2 giỏ tr: t = - 1 (loi)
t = 16 (nhn)
Vi t = 16, thay vo ta cú: (x
2
+

2x)
2
= 16
<=>




=+
=+
42
42
2
2
xx
xx
<=>
2
2
0
2 4 0

2 4 0 ( )
x x
x x Vn
+ =


+ + =

<=>




=
+=
51
51
1
1
x
x
Vy phng trỡnh ó cho cú 2 nghim: x
1
= -1 +
5
v x
2
= - 1 -
5
.

Qua cỏch gii trờn giỏo viờn cú th khỏi quỏt gii phng trỡnh dng tng quỏt.
a[f (x)]
2n
+ b[f(x)]
n
+ c = 0; ( 1)
Trong ú: f(x) l biu thc cha n; a,b,c

R
Cỏch gii:
t: t = [f(x)]
n
; iu kin t

0 nu n chn vi cỏch t n ph trờn ta ó
a phng trỡnh ó cho v dng:
at
2
+ bt + c = 0; (1
'
.1) ó bit cỏch gii.
8
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Dïng Èn phô ®Ó gi¶i ph¬ng tr×nh
2. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP ĐỐI VỚI CÁC BIỂU THỨC CHỨA ẨN:
Dạng tổng quát: ay
2ỏ
+ by
ỏ
z
ỏ

+ cz
2ỏ
= 0; (2)
Điều kiện: y = y(x); z = z(x); a, b, c
∈
R; a
2
+b
2
+ c
2
> 0
Cách giải:
Nếu z(x) = 0 hoặc y(x) = 0 không là nghiệm của (2)
Chia cả 2 vế của (2) cho z
2ỏ
(x) ta được:
a(
z
y
)
2ỏ
+ b(
z
y
)
ỏ
+ c = 0
Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ bằng cách đặt t = (
z

y
)
ỏ
đưa phương trình
về dạng: at
2
+ bt + c = 0 đã biết cách giải.
* Ví dụ 1: Giải phương trình:
3(x
2
- x + 1)
2
- 2(x+ 1)
2
= 5(x
3
+1); (2.1)
<=>3(x
2
- x + 1)
2
- 5(x + 1)(x
2
- x + 1) - 2(x+ 1)
2
= 0
Xét thấy x = - 1 không là nghiệm của phương trình, chia cả hai vế của
phương trình cho: (x + 1)
2

≠
0, ta được:
(ở đây y(x) = x
2
- x + 1; z(x) = x + 1)
3.(
1
1
2
+
+−
x
xx
)
2
– 5.
1
1
2
+
+−
x
xx
– 2 = 0
Đặt: t =
1
1
2
+
+−

x
xx
Phương trình (2.1) trở thành: 3t
2
- 5t - 2 = 0
Giải ra ta được: t
1
= 2; t
2
= -
3
1
Thay vào ta có:
x
1
=
2
133 +
và x
2
=
2
133 −
Là nghiệm của phương trình đã cho.
* Ví dụ 2: Giải phương trình:
(x + 3)
4
- (x
2
+ x - 6)

2
= 2(x - 2)
4
; ( 2.2)
Ta đi biến đổi phương trình để đưa về dạng tổng quát (2)
vì x
2
+ x - 6 = (x + 3)(x - 2) nên:
9
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Dïng Èn phô ®Ó gi¶i ph¬ng tr×nh
(2.2) <=> (x + 3)
4
- (x + 3)
2
(x - 2)
2
- 2(x-2)
4
= 0
Nhận xét: x = 2 không là nghiệm của phương trình, chia cả hai vế của
phương trình cho: (x - 2)
4
≠
0, ta được:
(
2
3
−
+
x

x
)
4
- (
2
3
−
+
x
x
)
2
- 2 = 0
(ở đây ta thấy với y(x) =
2
3
−
+
x
x
; z(x) = x - 2)
Do đó dùng phương pháp đặt ẩn phụ như sau:
Đặt t = (
2
3
−
+
x
x
)

2
; Điều kiện t
0≥
. Ta có phương trình mới là: t
2
- t - 2 = 0.
Đến đây học sinh dễ dàng giải được tiếp.
3. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG:
(x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = m
Hoặc [f(x) + a][f(x) + b][f(x) + c][f(x) + d] = m; (3)
Thoả mãn điều kiện: a + b = c + d; v a + c = b + d; v a + d = b + c
Cách giải:
Biến đổi phương trình đã cho tương đương với:
[(f(x))
2
+ (a + b).f(x) + ab][(f(x))
2
+ (c + d).f(x) + cd] = m
Do: a + b = c + d nên ta đặt :
t = (f(x))
2
+ (a + b).f(x) + ab
Khi đó phương trình trở thành:
t(t - ab + cd) = m
<=> t
2
+ (cd - ab)t - m = 0
Đến đây việc giải tiếp dễ dàng. Qua đây ta cũng thấy được ưu điểm của
phương pháp đặt ẩn phụ khi giải phương trình bậc cao bằng cách hạ bậc phương
trình ban đầu để đưa về dạng phương trình bậc thấp hơn đã có cách giải.

* Ví dụ: Giải phương trình:
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) = 3; (3.1)
a = 1, b = 2, c = 3, d = 4
Ta thấy: a + d = b + c. Do đó:
(3.1) <=> (x+1)(x+4)(x+2)(x+3) = 3
10
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Dïng Èn phô ®Ó gi¶i ph¬ng tr×nh
<=> (x
2
+ 5x + 4)(x
2
+ 5x + 6) = 3
Đặt: t = x
2
+ 5x + 4; Khi đó (3.1) trở thành
t(t + 2) = 3 <=> t
2
+ 2t - 3 = 0
Giải ra ta được: t
1
= 1 và t
2
= -3
Cuối cùng ta được nghiệm của phương trình là:
x
1
=
2
135 +−
; x

2
=
2
135 −−
4. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG:
(ax + b
1
)(ax + b
2
)(ax + b
3
)(ax + b
4
) =
α
x
2
; (4)
Thoả mãn điều kiện: b
1
b
2
= b
3
b
4
.
Cách giải:
Nếu x = 0 không là nghiệm của phương trình, chia cả hai vế của phương
trình cho x

2
≠
0. Ta được phương trình mới:
[(ax
2
) + a (b
1
+ b
2
) x + b
1
b
2
][(ax)
2
+ a (b
3
+ b
4
)x + b
3
b
4
] =
α
x
2
=> [a
2
x +

x
bb
21
+ a(b
1
+ b
2
)][a
2
x +
x
bb
43
+ a(b
3
+ b
4
)] =
α
Đặt: t = a
2
x +
x
bb
21
+ a(b
21
b+
)
Khi đó phương trình trở thành:

t
2
+ a(b
3
+ b
4
- b
1
- b
2
)t -
α
= 0
Đến đây ta đã có cách giải phương trình này.
* Ví dụ: Giải phương trình:
(x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 6) = 2x
2
; (4.1)
Nhận xét: 2.6 =3.4
Và x = 0 không là nghiệm của phương trình
Chia cả 2 vế cho x
2
≠
0, ta được
(4.1) => (x +
x
12
+ 8)( x +
x
12

+ 7) =2
Đặt: t = x +
x
12
+ 8 Ta có phương trình:
t(t - 1) = 2
11
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Dïng Èn phô ®Ó gi¶i ph¬ng tr×nh
<=> t
2
- t - 2 = 0
<=> t
1
= - 1; t
2
= 2
Giải lần lượt 2 phương trình: x +
x
12
+ 8 = - 1
và x +
x
12
+ 8 = 2. Ta có nghiệm của phương trình đã cho
5. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG:
[f(x) + a]
4
+ [f(x) + b]
4
= c; (5)

Trong đó: f(x) là biểu thức chứa x; a,b,c
R
∈
Cách giải:
Đặt: p =
2
ba +
; q =
2
ba −
=> a = p + q ; b = p - q
Khi đó phương trình trở thành:
(f(x) + p + q)
4
+ (f(x) + p - q)
4
= c
Và đặt: t = f(x) +p
Lúc này ta được phương trình tương đương sau:
(t + q)
4
+ (t - q)
4
= c
Hay: 2t
4
+ 12q
2
t
2

+ 2q
4
= c.
Như vậy, ta đã đưa phương trình chưa có hướng giải về phương trình đã có
cách giải là phương trình với ẩn số mới là t.
Mấu chốt ở đây là ta áp dụng phương pháp đặt ẩn phụ: t = t(x) + p.
* Ví dụ: Giải phương trình:
(x + 3)
4
+ (x +5)
4
= 16; (5.1)
Đặt: t = x + 4
Ta có: (t -1)
4
+ (t+ 1)
4
= 16
Hay: 2t
4
+ 12t
2
+ 2 = 16
<=> t
4
+ 6t
2
- 7 = 0
Đặt y = t
2

; Điều kiện t
0≥
=> y
2
+ 6y - 7 = 0
=> y = 1 (nhận); y = -7 (loại)
=> t
2
= 1 <=> t =
1±
12
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Dïng Èn phô ®Ó gi¶i ph¬ng tr×nh
Thay vào ta có:
4 1
4 1
x
x
+ =


+ = −

<=>
3
5
x
x
= −



= −

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x
1
= -3; x
2
= -5.
6. PHƯƠNG TRÌNH LÙI BẬC 4:
ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + k = 0; (6)
Hoặc: ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ b
2
λλ
ax +
= 0 ( 6)
* Ví dụ: Giải phương trình:
x
4
- x

3
- 10x
2
+ 2x + 4 = 0; (6)
Nhận thấy:
2−=
λ
; x = 0 không phải là nghiệm của phương trình.
Chia cả hai vế của phương trình cho x
2
≠
0, ta được phương trình mới:
=> x
2
+ (
x
2
)
2
- (x -
x
2
) - 10 =0
Đặt: t = x -
x
2
Phương trình trên trở thành: t
2
- t - 6 = 0
Giải ra ta được: t

1 2
2; 3t
= = −
Với t = 2; x -
x
2
= 2 <=> x
2
- 2x - 2 =0
=> x
1
= 1 +
3
; x
31
2
−=
Với t = - 3; x -
x
2
= - 3
<=> x
2
+ 3x - 2 = 0
=> x
2
173
1
+−
=

và x
2
173
2
−−
=
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là:
x
31;31
21
−=+= x
; x
2
173
3
+−
=
; x
4
3 17
2
− −
=
7. PHƯƠNG TRÌNH LÙI BẬC 5:
a
0
5
0
3
1

2
2
3
2
4
1
5
0
=+++++
λλλ
axaxaxaxax
; (7)
Trong đó: a
0;0
0
≠≠
λ
13
Sáng kiến kinh nghiệm Dùng ẩn phụ để giải phơng trình
Nu phng trỡnh cú dng trờn, ta thy x = -

l mt nghim.
Ta chia VT
'
cho x +

v c:
(x +
0))(
43

2
2
3
1
4
0
=++++
bxbxbxbxb

Trong ú:
0)(
43
2
2
3
1
4
0
=++++
bxbxbxbxb
l phng trỡnh lựi bc 4.
* Vớ d: Gii phng trỡnh:
x
5
+ x
4
+ x
3

+ 2x

2
+ 8x + 32 = 0; ( 7.1)
Nhn thy:
2=

(7.1) <=> (x - 2)(x
4
- x
3
+ 3x
2
- 4 x + 16) = 0
Hoc: x - 2 = 0 <=> x = 2
Hoc: x
4
- x
3
+ 3x
2
- 4x + 16 = 0
Nhn xột: x = 0 khụng phi l nghim . Chia c hai v cho x
2

0 ta c:
x
2
+ (
x
4
)

2
- (
03)
4
=++
x
x
t: t = x +
x
4
ta c phng trỡnh mi:
t
2
- t - 5 = 0 => t
1
1 21 1 21
;
2
2 2
t
+
= =
Thay vo c hai phng trỡnh bc hai vi n ban u x v d dng gii tip.

=+
+
=+
2
2114
2
2114
x
x
x
x
<=>




=+
=++
08)211(2
08)211(2
2
2
xx
xx
II. GII PHNG TRèNH Vễ T BNG PHNG PHP T N PH:
Phng trỡnh vụ t l mt b phn quan trng trong chng trỡnh toỏn hc
ph thụng. Ngay t u lp 9 hc sinh ó lm quen dng n gin (nh ngha
cn bc hai s hc) c bit l chng trỡnh ụn thi chn hc sinh gii v thi tuyn
sinh vo THPT, THPT chuyờn ban v THPT nng khiu. Vn ny qu tht l
khỏ nng so vi trỡnh hc sinh cui cp THCS. Song nh cú chuyờn ny

m hc nhiu nm gn õy chỳng ta cú nhiu hc sinh thi hc sinh gii cp
tnh v thi vo THPT chuyờn ban, nng khiu nh cỏc em Nguyn Trung Hiu
(HQ); Nguyn ỡnh Tựng (HQ); Nguyn Hu Thnh (HQ); Mai Vn Nguyờn
14
Sáng kiến kinh nghiệm Dùng ẩn phụ để giải phơng trình
(HQ); Nguyn Anh Tun; V Khỏnh Chi; Nguyn Th Hng (HV); Nguyn
Hng Hnh (HV)
Phng trỡnh vụ t c hiu l phng trỡnh cú n s nm trong du cn.
Khi xột phng trỡnh vụ t cú rt nhiu phng phỏp gii, mt phng phỏp khỏ
ph bin thng dựng l bin i phng trỡnh ó cho thnh chng trỡnh tng
ng, bng cỏch lu tha c hai v gim bt cn thc (phng phỏp hu t
hoỏ - /n cn bc hai s hc), hoc dựng mt s phng phỏp c bit khỏc.
Mt phng phỏp m khụng th khụng cp ti l: Phng phỏp i bin
s (hay t n ph). Trong phn ny tụi s trỡnh by ng dng ca phng phỏp
t n ph vo gii phng trỡnh vụ t ph bin hay gp trong cỏc thi gn õy,
nhm nõng cao hiu bit v c bit rốn luyn kh nng sỏng to, khỏm phỏ cỏi
mi ca hc sinh gii toỏn. Trc khi i vo c th, ta cn lu ý mt s kin thc
c bn sau:
a
,0
0
2 2
( )
x
a x
x a a



= <=>

= =


a
cú ngha <=> a
0

AAA ==
2
nu A
0
hoc = - A nu A < 0
ABABA ( =
0

;B
0

)
=
B
A
)0;0( > BA
B
A
BA
2
=
BA

; (B
0

)
1A
AB
B B
=
; (
0;0 BAB
)
BA
1
=
A B
A B
m
; (A
);0;0 BAB
.
xa
=
3
<=> a = x
3
15
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Dïng Èn phô ®Ó gi¶i ph¬ng tr×nh
3
3
1

BA ±
=
3
3
3
2 2
A AB B
A B
+
±
m
; (A
B≠
)
* Ví dụ: Giải phương trình:
10
8
3
+x
= 3(x
2
- x + 6); (1)
Điều kiện x
≥
- 2
Để phát hiện ẩn phụ, ta hãy tìm các mối liên hệ giữa các biểu thức chứa ẩn
tham gia trong phương trình đó là:
x+ 2; x
2
- x + 6 và x

2
- 2x + 4
Dễ thấy rằng: (x+2) ( x
2
- 2x + 4) = x
3
+ 8
Chắc cũng ít ai nghĩ đến mối liên hệ thể hiện bởi hệ thức sau:
(x+2)(x
2
- 2x + 4) = x
2
- x + 6.
Khi đó phương trình (1) được biến đổi về dạng:
10
2+x
-
42
2
+−
xx
= 3[(x+2) +(x
2
- 2x + 4)]
Ẩn phụ sẽ xuất hiện nếu ta chia cả hai vế cho x
2
- 2x + 4
0≠
,
Rx ∈∀

Phương trình biến đổi về dạng:
10
42
2
2
+−
+
xx
x
= 3[
42
2
2
+−
+
xx
x
+1]
Đặt U =
42
2
2
+−
+
xx
x
; Điều kiện U
0≥
Thì phương trình với ẩn phụ u có dạng:

3U
2
- 10U + 3 = 0 <=>




=
=
3
1
3
U
U
Trở về tìm x, bằng cách giải hai phương trình:
42
2
2
+−
+
xx
x
= 3 <=> 9x
2
- 19x + 34 = 0 (Phương trình vô nghiệm)
42
2
2
+−
+

xx
x
=
3
1
<=> x
2
- 11x - 14 = 0 <=> x =
2
17711±
(nhận)
Vậy phương trình có 2 nghiệm : x
1
=
2
17711+
; x
2
=
2
17711−
16
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Dïng Èn phô ®Ó gi¶i ph¬ng tr×nh
* Ví dụ2: Giải phương trình:
2 2
1 1x x x x− − + + −
= 2; (2)
Nhận xét :
1.1
22

−+−− xxxx
= 1; Với
1≥x
Đặt t =
1
2
−− xx
; Điều kiện: t
0
≥
Ta đưa được (2) về phương trình:
t +
t
1
= 2
Hay: t
2
- 2t + 1= 0 <=> (t -1)
2
= 0
<=> t = 1
Với t = 1 thay vào ta có:
1
2
−− xx
=1
<=> x -
2
1x
−

= 1
<=>
2
1x
−
= x-1 <=>
1 0
2 2
1 ( 1)
x
x x
− ≥



− = −


<=> x = 1 (nhận).
Vậy nghiệm của phương trình là x = 1.
* Ví dụ 3 : Giải phương trình:
113 =−+ xx
; (3)
Điều kiện:
0
13 0
x
x
≥



− ≥

<=>
0 13x≤ ≤
Ta sử dụng phương pháp đổi biến số:
Đặt
13
U x
V x

=


= −


; Điều kiện U
0; 0V≥ ≥
Ta có :
2
2
13
U x
V x
=


= −


<=> U
2
+ V
2
= 13
Giải phương trình (3) tương đương với việc giải hệ phương trình sau:
17
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Dïng Èn phô ®Ó gi¶i ph¬ng tr×nh
2 2
13
1
U V
U V
+ =


+ =

<=>
2
( ) 2 13
1
U V UV
U V
+ − =


+ =

6

1
UV
U V
= −


+ =

<=>
2; 3
3; 2
U V
U V
= − =


= = −

(loại)
Vậy phương trình vô nghiệm.
* Ví dụ 4: Giải phương trình:
(4x- 1)
1
2
+x
=2x
2
+ 2x + 1; (4)
Để khử tính vô tỉ, ta chọn u =
11

2
≥+x
và để làm xuất hiện u
2
= x
2
+ 1, phương trình đã cho biến đổi về dạng.
(4x - 1)
2 2
1 2( 1) (2 1)x x x
+ = + + −
<=> (4x - 1)u = 2u
2
+ (2x-1)
<=> 2u
2
- (4x-1)u - (2x+1) = 0
Đây rõ ràng là phương trình đối với ẩn u mà hệ số còn chữa x
Có:
∆
= (4x - 1)
2
- 8(2x+1)
= (4x - 3)
Rx ∈∀≥ ;0
2
Phương trình đối với ẩn phụ u có các nghiệm là:
u =
4
)34(15

−±−
xx
=
2 1
1
( )
2
x
loai
−




Trở về tìm x, ta giải phương trình:
2
1 2 1x x+ = −
2 2
2 1 0
2 1 (2 1)
x
x x
− ≥


+ = −

<=>
2
1

2
3 4 0
x
x x

≥



− =

<=> x =
3
4
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm là:
4 1
1
3 3
x
= =
* Ví dụ 5: Giải phương trình: x
2
+
5+x
=5; (5)
Điều kiện: x
5−≥
, ta chọn u =
5+x
; u

0≥
18
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Dïng Èn phô ®Ó gi¶i ph¬ng tr×nh
Ta có hệ phương trình:
2
2
5
5
u x
x u
= +


= −

(Là hệ hai phương trình hai ẩn, ẩn x và ẩn u)
Ta có hệ phương trình tương đương sau:
2
2 2
5u x
u x u x
= +


− = +

<=>
2
5
( )( 1) 0

u x
u x u x
= +


+ − − =

<=>
2
2
0
5
1 0
5
u x
u x
u x
u x
+ =




= +



− − =




= +



<=>
2
2
( )
5
1
( )
5
u x
a
u x
u x
b
u x
= −




= +



= +




= +



Từ hệ (a) ta thu được phương trình:
x
2
- x - 5 = 0
x =
1 21
2
+
(loại vì u
0≥
)
x =
2
211
−
(nhận)
Từ hệ (b) ta có phương trình: x
2
+ x - 4 = 0
x =
2
171
+−
(nhận)

x =
1 17
2
− −
(loại vì u
0≥
)
Vậy thoả mãn điều kiện x
5
−≥
, phương trình chỉ có hai nghiệm là:
x
2
211
1
−
=
và x
2
171
2
+−
=
III - HỆ THỐNG BÀI TẬP VẬN DỤNG:
19
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Dïng Èn phô ®Ó gi¶i ph¬ng tr×nh
Trong phần này tôi xin trình bày thêm một số bài tập tương tự được sưu tập
từ các tài liệu tham khảo nhằm cho học sinh giỏi có nhiều bài bài tập áp dụng
ngay. Hỗ trợ tích cực cho các ví dụ của từng dạng bài giúp học sinh tập dượt
nghiêm cứu tìm tòi sáng tạo lời giải mới.

1. x
4
- 7x
3
+ 8x
2
+ 7x + 1 = 0.
ĐS:
1 2 3 4
5 29 5 29
1 2; 1 2; ;
2 2
x x x x
− +
= − = + = =
2. x
4
- x
3
- 10x
2
+ 2x + 4 = 0;
ĐS: x
1 2 3,4
3 17
1 3; 1 3;
2
x x
±
= − + = − − =

3.
2
48 4
10( )
2
3 3
x x
x
x
+ = +
; ĐS: x
1,2
6 2 6= ±
4. (2x -1)(2x+3)(x+2)(x+4) + 9 = 0;
ĐS:
1,2
7 73
4
x
− ±
=
; x
3 4
5
1;
2
x
= − = −
5.
2

1 1 7
( 1) ( 2) 12x x x
+ =
+ +
; ĐS : Vô nghiệm
6.
3
8
)1(
2
14
3
22
=
++
−
++
xx
x
xx
x
; ĐS: Vô nghiệm
7. (x - 1) (x - 3)(x + 5)(x + 7) = 297; ĐS:
1 2
4; 8x x
= = −
8. (x
2
+ x)
2

+ 4(x
2
+ x) = 12; ĐS:
1 2
1; 2x x= =−
9. x(x+1)(x+2)(x+3) = 3; ĐS:
1,2
3 13
2
x
− ±
=
10. x(x + 1)(x -1)(x + 2) = 24; ĐS:
1 2
3; 2x x
= − =
11. (x -4)(x - 5)(x - 6)(x - 7) = 1680; ĐS: x
1 2
1; 12x
= − =
12. (2x + 1)( x + 1)
2
(2x + 3) = 18; ĐS:
1 2
1 5
;
2 2
x x
= = −
13. (x

2
- 6x + 9)
2
- 15(x
2
- 6x + 10) = 1; ĐS: x
7;1
21
=−= x
14. (x
2
+ x - 2)(x
2
+ x - 3) = 12; ĐS: x
3;2
21
−== x
20
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Dïng Èn phô ®Ó gi¶i ph¬ng tr×nh
15. 3(x
2
+
4
19
)
1
(4)
1
2
+−=

x
x
x
;
ĐS:
1 2 3 4
3 2 1 17 1 17
; ; ;
2 3 4 4
x x x x
− − +
= = = =
16. (
06
1
2
5)
1
2
2
=+
−
+
−
−
+
x
x
x
x

; ĐS: x
5,2;4
21
==
x
17. 6x
4
+ 7x
3
- 36x
2
- 7x + 6 = 0;
ĐS: x
3
1
;3;
2
1
;2
4321
=−=−==
xxx
18. x
4
+ (x-1)
4
= 97; ĐS:
1 2
3; 2x x= = −
19. (x + 1)

4
+ (x - 3)
4
= 82; ĐS: x
2;1
21
==
x
20. (x - 1)
4
+ (x -2)
4
= 1; ĐS: x
2;1
21
==
x
21. (x - 7)
4
+ (x - 8)
4
= 82; ĐS:
1 2
7; 8x x= =
22.
2001
2000
20012001
2244
=

+++
xxxx
;
ĐS: x
1 2
1 8001 1 8001
;
2 2
x
− + − +
= = −
23. 3x
2
+ x
xxxx 15215
22
−=++
ĐS: Vô nghiệm
24. x
2
- 2x + 2(x+1)
)1)(3(
+−
xx
= 6 ĐS: Vô nghiệm
25.
10)625()625(
=++−
xx
; ĐS: x

2;2
21
=−=
x
26.
5−x
-
53
14
−+
−
x
x
= 3; ĐS: x
5≥
27. 1 -
4
4
133
13
14
++
+
x
x
= 0; ĐS: x = 5
PHẦN THỨ BA. KẾT LUẬN
21
Sáng kiến kinh nghiệm Dùng ẩn phụ để giải phơng trình
1. Nhng kt lun, ỏnh giỏ c bn v ni dung, ý ngha,

hiu qu ca SKKN:
Nhiu nm hc qua, tụi thng xuyờn c Ban giỏm hiu nh trng giao
trng trỏch tuyn chn v bi dng hc sinh gii cỏc mụn Toỏn v Vt lý ca
nh trng. Nm hc no trng tụi cng cú hc sinh gii cp huyn, c cp
trờn tuyờn dng ng viờn khớch l. Nim vui ni tip nim vui, trong cỏc nm
hc t nm 1991-2008, tụi ó gúp phn nh bộ vo thnh tớch mi nhn ca nh
trng núi riờng v huyn nh núi chung, cựng vi ng nghip o to c
nhiu em hc sinh gii cp huyn cú em c d thi chn hc sinh gii cp tnh,
nh cỏc em hc sinh: Trn Th Võn T6 (HV); TRn Th Hi Minh T9 (HL);
Th Minh T9 (HL); Nguyn Th Thm T7 (HL); Nguyn Thnh Trung T7,8,9
(HL); Nguyn Duy Hiu T6 (HL); Nguyn Th Hnh T7 (HL); Nguyn Xuõn
Hip T9 (HQ); V ỡnh t L8 (HQ); Nguyn Th Toỏn T9 (HV); Mai Vn
Nguyờn L9 (HQ); Mai Duy Thnh T9 (HQ); Nguyn Hng Hnh L9 (HV);
Nguyn Th Hng T9 (HV); Nguyn Trung Hiu T6,7,8,9 (HQ); Nguyn Hu
Thnh L9 (HQ); Nguyn Anh Tun T6,9 (HQ); V Khỏnh Chi T8,9. Cú c
thnh tớch nh vy, phi nh n s ch o ca Phũng Giỏo dc v o to
huyn n Thi, ca Ban giỏm hiu, ca chớnh quyn a phng v ca bn bố
ng nghip ó nh hng, to iu kin tt nht cho tụi c xõy dng v bi
dng o to mi nhn hc sinh gii trong nhiu nm qua. Chớnh vỡ th m tụi
cú nhiu chuyờn nh, sỏng kin kinh nghim cỏ nhõn c th hin v kim
nghim qua thc t dy v hc liờn tc. Mt trong nhng chuyờn thnh cụng
nht ca tụi ú l chuyờn : "Dựng n ph gii phng trỡnh" ti liu dựng bi
dng hc sinh gii toỏn v l trang tham kho rt b ớch cho hc sinh ụn thi
tuyn sinh vo lp 10 THPT chuyờn ban A v lp 10 THPT Nng khiu lp
Toỏn-Lý-Hoỏ.
Cú i tng hc sinh hiu hc, cú s nh hng ca cỏc cp lónh o, cú
s ng tỡnh ng h ca ph huynh hc sinh v cú i ng giỏo viờn tt, t s cú
hc sinh gii. "s cú" l cú th cú ngay sau khi bi dng nm u tiờn m cng
cú th phi n nhng nm tip theo min l, khụng s chờ bai, khụng du dt.
22

Sáng kiến kinh nghiệm Dùng ẩn phụ để giải phơng trình
Phi kiờn trỡ, cn c, nhn li cú lũng tin. cú kt qu ca lp 9 ta phi
nh hng bi dng o to ngay t lp 6 v thm chớ trc lp 6 (hc sinh
ang Tiu hc). hc sinh tip thu v "tiờu hoỏ" c ti ny qu tht l
hc sinh ú phi kh nng, bn lnh toỏn hc cn thit t trc (ó c trang
b).
Tuy nhiờn vi kh nng cú hn v kinh nghim cha nhiu, nờn khi vit
chuyờn ny khụng th trỏnh khi nhng thiu sút hn ch, nhng vi ý thc
phn u vn lờn, tụi mnh dn th hin trc c gi v rt mong nhn c
nhiu ý kin úng gúp phờ bỡnh ca Ban giỏm kho, ca bn bố ng nghip
ln sau tụi vit tt hn.
2. Nhng xut, khuyn ngh:
ti sỏng kin kinh nghim ca giỏo c vit v ỏp dng cú hiu qu
thit thc hn na, tụi ngh cỏc cp chm sỏng kin kinh nghim cp giy
chng nhn cho cỏc sỏng kin kinh nghim ot gii; V phớa cỏc nh trng,
ngh to mi iu kin thun li nht cho giỏo viờn v hc sinh c tri
nghim thc t kim nghim cỏc sỏng kin kinh nghim ot gii cao ca cỏc nm
trc lm bi hc kinh nghim tt hn.
Tụi xin chõn thnh cm n./.
PHN TH 4. TI LIU THAM KHO
- Sỏch giỏo khoa v sỏch bi tp toỏn lp 8, 9 ca NXB B GD&T.
- Bi tp: Nõng cao v mt s chuyờn toỏn 8 ca Bựi Vn Tuyờn.
- Nõng cao v phỏt trin toỏn 8 tp 1,2 ca V Hu Bỡnh.
- Nõng cao v phỏt trin toỏn 9 tp 1,2 ca V Hu Bỡnh.
- Mt s vn phỏt trin i s 9 ca V Hu Bỡnh.
23
Sáng kiến kinh nghiệm Dùng ẩn phụ để giải phơng trình
- 23 chuyờn gii 1001 bi toỏn s cp ca Nguyn Vn Vnh.
- Cỏc thi chn hc sinh gii cỏc cp v cỏc thi tuyn sinh vo lp 10
THPT chuyờn ca tnh Hng Yờn cỏc nm gn õy.

NHN XẫT CA HI NG CHM SNG KIN KINH NGHIM
TRNG THCS HNG QUANG-N THI-HNG YấN:













NHN XẫT CA HI NG CHM SNG KIN KINH NGHIM
PHềNG GIO DC V O TO HUYN N THI:




24
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Dïng Èn phô ®Ó gi¶i ph¬ng tr×nh
…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG CHẤM SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH HƯNG YÊN:
…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
MỤC LỤC
Phần thứ nhất. Lời mở đầu …………………………… trang
03
I. Cở sở khoa học của SKKN
1. Cơ sở lý luận…………………………………… trang 03
2. Cơ sở thực tiễn……………………………… … trang 03
II. Mục đích của SKKN……………………………………. trang 03
III. Đối tượng của SKKN; Phạm vi nghiên cứu……… trang
06
25
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Dïng Èn phô ®Ó gi¶i ph¬ng tr×nh
IV. Phương pháp nghiên cứu……………………………trang 06
V. Kế hoạch nghiên cứu……………………………… trang 06
Phần thứ hai. Nội dung từ trang 05 đến trang 21.
Trong đó:
A/ Nội dung lý luận liên quan trực tiếp đến vấn đề nghiên
cứu tổng kết kinh nghiệm - Những kiến thức cơ bản ….…
trang 06

B/ Thực trạng vấn đề nghiên cứu……………………… trang 07
C/ Mô tả các giải pháp mới mà tác giả đã thực hiện làm cho
việc bồi dưỡng học sinh giỏi có chất lượng và hiệu quả trang
08
I/ Giải phương trình bậc cao bằng phương pháp đặt ẩn phụ
……………………………………………………………………… trang 08
II/ Giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp đặt ẩn phụ
………………………………………………………………………. trang 16
III/ Hệ thống bài tập vận dụng …………………………trang 21
Phần thứ ba. Kết luận …………………………………….trang
23
1. Những kết luận, đánh giá cơ bản về nội dung, ý nghĩa,
hiệu quả của SKKN………………………………………………
trang 24
2. Những đề xuất, khuyến nghị………………………… trang 24
Phần thứ tư. Tài liệu tham khảo…………………………
trang 25
Phần thứ năm: Kết quả chấm của SKKN
trang 26
26