Dùng ẩn phụ để giải PT

Tính u việt của ẩn phụ
trong việc giải phơng trình
Phần I:
Đặt vấn đề
Nói đến toán học, dù là Hình học hay Đại số thì việc giải đợc các phơng
trình là rất quan trọng và cần thiết.
Đối với học sinh nói chung, học sinh Trung học cơ sở nói riêng, đặc biệt là
học sinh lớp 9, thì việc hình thành và hoàn thiện kỹ năng giải phơng trình phải trở
thành mục tiêu có ý nghĩa và vai trò quyết định.
Trong khuôn khổ hạn hẹp của chuyên đề này, tôi chỉ xin đa ra một vài ý kiến
thảo luận về Tính u việt của ẩn phụ trong việc giải phơng trình đối với học sinh lớp 9
THCS.
-------***-------
Giáo viên: Lê Trần Kiên
THCS Ân Hoà
2
Tính u việt của ẩn phụ
trong việc giải phơng trình
Phần II:
Nội dung cụ thể
Bản thân học sinh khi tiếp xúc với khái niệm phơng trình ở lớp 8 và giải ph-
ơng trình bậc hai ở lớp 9 vẫn còn có cảm giác trừu tợng và tơng đối lạ lẫm. Vì thế,
để hình thành kỹ năng giải phơng trình cho học sinh thì không gì tốt hơn là thông
qua các bài toán, ví dụ cụ thể.
Bài viết này chủ yếu đa ra những ví dụ minh hoạ từ đơn giản đến phức tạp,
bên cạnh đó có một vài phân tích đánh giá nhằm hình thành kỹ năng đặt ẩn phụ
khi giải phơng trình đối với ngời học toán nói chung và học sinh nói riêng.
A/ Giải phơng trình trùng phơng:
Phơng trình trùng phơng là phơng trình có dạng:
ax
4

+ bx
2
+ c = 0 (a

0)
Cách giải: Đặt x
2
= t (ĐK: t

0)
Phơng trình trùng phơng trở thành phơng trình bậc hai với ẩn t:
at
2
+ bt + c = 0
Giải phơng trình này, ta tìm đợc t, từ đó suy ra x.
Bài toán 1: Giải phơng trình:
x
4
13x
2
+ 36 = 0 (1)
Giải:
Đặt x
2
= t (ĐK: t

0). Phơng trình (1) trở thành:
t
2
13t + 36 = 0 (1.1)

t
= (-13)
2
4.1.36 = 25 > 0 (
525
==
)
Giáo viên: Lê Trần Kiên
THCS Ân Hoà
3
Tính u việt của ẩn phụ
trong việc giải phơng trình
Phơng trình (1.1) có hai nghiệm t
1
= 4, t
2
= 9
+ Với t = 4 x
2
= 4 x
1
= 2, x
2
= -2
+ Với t = 9 x
2
= 9 x
3
= 3, x

4
= -3
Vậy phơng trình (1) có 4 nghiệm.
B/ giải phơng trình bậc cao:
Các phơng trình bậc cao thờng gây khó khăn cho học sinh khi giải, việc đặt
ẩn phụ sẽ giúp đơn giản hoá và đa các phơng trình đó về dạng quen thuộc.
Bài toán 2: Giải phơng trình:
3x
4
+ 6x
3
+ x
2
2x 1 = 0 (2)
Giải:
(2) 3(x
4
+ 2x
3
+ x
2
) 2x
2
2x 1 = 0
3(x
2
+ x)
2
2(x
2

+ x) 1 = 0
Đặt x
2
+ x = t. Phơng trình (2) trở thành:
3t
2
2t 1 = 0 (2.1)
Theo định lý Vi-ét, dễ thấy phơng trình (2.1) có hai nghiệm: t
1
= 1, t
2
=
3
1

Suy ra: x
2
+ x = 1 x
2
+ x 1 = 0 (2.2)
hoặc x
2
+ x =
3
1

3x
2
+ 3x + 1 = 0 (2.3)
+ Giải phơng trình (2.2) đợc nghiệm x

1
=
2
51
+
, x
2
=
2
51

+ Phơng trình (2.3) vô nghiệm
Vậy phơng trình (2) có hai nghiệm x
1
, x
2
nh ở trên.
Giáo viên: Lê Trần Kiên
THCS Ân Hoà
4
Tính u việt của ẩn phụ
trong việc giải phơng trình
C/ Giải phơng trình chứa ẩn ở mẫu:
Trên thực tế, có nhiều phơng trình chứa ẩn ở mẫu có thể giải bằng cách bình
thờng, nhng nếu chọn ẩn phụ hợp lý thì ta sẽ giải đợc phơng trình đó đơn giản hơn.
Bài toán 3: Giải phơng trình:
1
+
x
x

10.
x
x 1
+
= 3 (3)
Giải:
ĐKXĐ: x

0, x

-1
Đặt
1
+
x
x
= t (ĐK: t

0). Phơng trình (3) trở thành:
t 10.
t
1
= 3 t
2
3t 10 = 0 (3.1)
Giải phơng trình (3.1) đợc t
1
= 5, t
2
= -2

Suy ra:
1
+
x
x
= 5 hoặc
1
+
x
x
= -2
Từ đó giải đợc phơng trình (3) có hai nghiệm x
1
=
4
5

, x
2
=
3
2

D/ Giải phơng trình có hệ số đối xứng:
Phơng trình có hệ số đối xứng (PT HSĐX) là phơng trình có dạng:
a
n
x
n
+ a

n-1
x
n-1
+ ... + a
1
x + a
0
= 0
với a
i
= a
n-i
(i =
0,n
)
*Một số tính chất của phơng trình có hệ số đối xứng:
1) PT HSĐX nếu có nghiệm x
O
thì x
O
0 và
O
1
x
cũng là nghiệm.
2) PT HSĐX bậc lẻ n = 2k + 1 nhận x = -1 làm nghiệm.
Suy ra: Nếu đa thức f(x) bậc lẻ có HSĐX thì f(x) = (x + 1).g(x), trong đó g(x) là đa
thức bậc chẵn có HSĐX.
Giáo viên: Lê Trần Kiên
THCS Ân Hoà

5
Tính u việt của ẩn phụ
trong việc giải phơng trình
Vậy PT HSĐX bậc lẻ có nghiệm x
O
= -1 và việc giải nó chuyển về giải PT
HSĐX bậc n 1 chẵn.
1) Phơng trình bậc 4 có HSĐX tỷ lệ:
ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ kbx + k
2
a = 0
Cách giải: Trớc hết thấy x = 0 không là nghiệm của phơng trình.
Với x

0, chia cả hai vế của phơng trình cho x
2
, ta đợc:
ax
2
+ bx + c + b.
x
k
+ a.
2

2
x
k
= 0
a(x
2
+ 2k +
2
2
x
k
) + b(x +
x
k
) + c 2ka = 0
a(x +
x
k
)
2
+ b(x +
x
k
) + c 2ka = 0
Đặt: x +
x
k
= t. Phơng trình đã cho trở thành phơng trình bậc hai ẩn t:
at
2

+ bt + (c 2ka) = 0
Giải phơng trình trên đợc t, từ đó suy ra x.
Bài toán 4: Giải phơng trình:
x
4
3x
3
14x
2
6x + 4 = 0 (4)
Giải:
+ Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phơng trình (4)
+ Với x

0, chia cả hai vế của phơng trình (4) cho x
2
, ta đợc:
x
2
3x 14
x
6
+
2
4
x
= 0 (4.1)
(x +
x
2

)
2
3(x +
x
2
) 10 = 0
Đặt: x +
x
2
= t. Phơng trình (4.1) trở thành:
t
2
3t 10 = 0 (4.2)
Giáo viên: Lê Trần Kiên
THCS Ân Hoà
6
Tính u việt của ẩn phụ
trong việc giải phơng trình
Phơng trình (4.2) chính là phơng trình (3.1), có hai nghiệm t
1
= 5, t
2
= -2
Suy ra: x +
x
2
= 5 x
2
5x + 2 = 0 (4.3)
x +

x
2
= -2 x
2
+ 2x + 2 = 0 (4.4)
+ Giải phơng trình (4.3) đợc nghiệm x
1
=
2
175
+
, x
2
=
2
175

+ Phơng trình (4.4) vô nghiệm
Vậy phơng trình (4) có hai nghiệm.
2) Giải phơng trình bậc 4 có HSĐX lệch:
ax
4
+ bx
3
+ cx
2
bx + a = 0
Cách giải: Trớc hết thấy x = 0 không là nghiệm của phơng trình.
Với x

0, chia cả hai vế của phơng trình cho x
2
, ta đợc:
a
2
2
1
x
x

+
ữ

+ b
1
x
x


ữ

+ c = 0
Đặt ẩn phụ: t =
1
x
x

suy ra: t
2
= x

2
+
2
1
x
2
Khi đó phơng trình đã cho trở thành:
at
2
+ bt + c + 2a = 0
Giải phơng trình trên đợc t, từ đó suy ra x.
Bài toán 5: Giải phơng trình:
3x
4
4x
3
5x
2
+ 4x + 3 = 0 (5)
+ Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phơng trình (4)
+ Với x

0, chia cả hai vế của phơng trình (4) cho x
2
, ta đợc:
3
2
2
1
x

x

+
ữ


1
x
x


ữ

5 = 0 (5.1)
Giáo viên: Lê Trần Kiên
THCS Ân Hoà
7
Tính u việt của ẩn phụ
trong việc giải phơng trình
Đặt t =
1
x
x

suy ra: t
2
= x
2
+
2

1
x
2
Khi đó phơng trình (5.1) trở thành:
3t
2
4t + 1 = 0 (5.2)
Phơng trình (5.2) có hai nghiệm t
1
= 1; t
2
=
1
3
+ Với t = 1 x
2
x 1 = 0 x
1
=
1 5
2
+
; x
2
=
1 5
2

+ Với t =
1

3
3x
2
x 3 = 0 x
3
=
1 37
2
+
; x
4
=
1 37
2

Vậy phơng trình (5) có 4 nghiệm.
E/ Vận dụng ẩn phụ để giải hệ phơng trình đối xứng loại II bằng cách
giải phơng trình bậc hai:
Dựa theo định lý đảo của định lý Vi-ét, ta có thể giải đợc hệ phơng trình đối
xứng loại II thông qua giải phơng trình bậc hai.
Bài toán 6: Giải hệ phơng trình:



=++
=+
0
4
22
xyyx

yxyx
(I)
Giải:
(I)



=++
=+
0)(
43)(
2
xyyx
xyyx
Đặt: x + y = S, xy = P (ĐK: S
2
4P). Hệ phơng trình (I) trở thành:
Giáo viên: Lê Trần Kiên
THCS Ân Hoà
8