SKKN Tìm tọa độ của điểm. Viết phương trình của đường thẳng trong không gian

" Tìm tọa độ của điểm. Viết phương trình của đường thẳng trong không gian. "

ĐẶT VẤN ĐỀ
Năm học 2009-2010 là năm học tiếp tục thực hiện các cuộc vận động “ Học
tập và làm theo tấm gương đạo đức Hồ Chí Minh”; “ Hai không”; “ Mỗi thầy, cô
giáo là một tấm gương đạo đức, tự học và sáng tạo” ; với chủ đề " Năm học đổi mới
quản lý và nâng cao chất lượng giáo dục " cùng với phong trào xây dựng " Trường
học thân thiện, học sinh tích cực ". Nghị quyết TW 2 khóa VIII đã khẳng định " Đổi
mới mạnh mẽ phương pháp giáo dục và đào tạo, khắc phục lối dạy học truyền thụ
một chiều, rèn luyện nếp tư duy cho người học, từng bước áp dụng phương pháp tiên
tiến, hiện đại vào quá trình dạy học ". Do đó trong quá trình dạy học đòi hỏi đội ngũ
các thầy cô giáo phải tích cực học tập; không ngừng nâng cao năng lực chuyên môn;
đổi mới phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động
sáng tạo của học sinh; bồi dưỡng khả năng tự học, sáng tạo; khả năng vận dụng kiến
thức vào thực tế; đem lại sự say mê, hứng thú học tập cho các em.
Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh còn gặp nhiều lúng túng
khi tìm tọa độ của điểm hoặc viết phương trình đường thẳng trong không gian thỏa
mãn tính chất nào đó; việc vận dụng các quan hệ vuông góc, song song của các em
vào các bài toán còn nhiều hạn chế. Hơn nữa, kể từ khi học sinh học sách giáo khoa
theo chương trình phân ban mới thì phương trình tổng quát của đường thẳng trong
không gian không được sử dụng nữa nên các bài toán dạng" Tìm tọa độ các điểm.
Viết phương trình các đường thẳng trong không gian" chủ yếu sử dụng phương trình
tham số của đường thẳng.
Với suy nghĩ trên tôi xin trình bày một số kinh nghiệm của mình vể việc
sử dụng phương trình tham số của đường thẳng vào giải các bài toán: " Tìm tọa độ
các điểm. Viết phương trình các đường thẳng trong không gian" nhằm trao đổi với
các thầy, cô giáo; đồng thời giúp các em học sinh 12 ôn tập nâng cao chất lượng
học tập.

Võ Thanh Lam - Trường THPT Thanh Khê Trang 1
" Tìm tọa độ của điểm. Viết phương trình của đường thẳng trong không gian. "

CƠ SỞ LÝ LUẬN
Trong phần phương pháp tọa độ trong không gian khi phải “Tìm tọa độ một
điểm. Viết phương trình một đường thẳng trong không gian ”. Ngoài việc sử dụng
các kiến thức ở sách giáo khoa ta nên chú ý đến tính các quan hệ vuông góc, song
song và tính đối xứng của: hai điểm, điểm và đường, đường và mặt rồi kết hợp
với tọa độ của điểm theo phương trình tham số của đường vào bài toán. Khi đó
bài toán hình học sẽ đơn giản và được “đại số hóa” nên học sinh tiếp cận nhanh hơn
và cách giải bài toán gọn gàng hơn.

CƠ SỞ THỰC TIỄN
Sau khi nghiên cứu và áp dụng vào các tiết dạy học cho học sinh. Tôi thấy
học sinh rất hứng thú khi gặp những dạng toán này và đa số học sinh biết cách vận
dụng để giải các bài toán đó, đồng thời qua cách giải đó các em còn có thể đưa ra
các bài toán tương tự, các bài toán mới. Qua đó bồi dưỡng cho các em niềm say mê
học tập; khả năng tự học; phát huy được tính tích cực học tập, khả năng sáng tạo của
học sinh.
NỘI DUNG NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI

Võ Thanh Lam - Trường THPT Thanh Khê Trang 2
" Tìm tọa độ của điểm. Viết phương trình của đường thẳng trong không gian. "

Trên cơ sở các kiến thức đã trình bày ở SGK Hình học 12 và vận dụng tính
chất: Trong không gian nếu một đường thẳng d có phương trình tham số:





+=

+=
+=
ctzz
btyy
atxx
0
0
thì bất kỳ điểm M
∈
d đều có tọa độ dạng
);;(
000
ctzbtyatxM +++
Tuy nhiên, với mỗi bài toán cụ thể đòi hỏi học sinh cần phải có một lượng kiến
thức nhất định rồi kết hợp để giải quyết bài toán.
A. Các bài toán về hình chiếu vuông góc:
Bài toán 1: Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M(6; -1; -5) trên
mp(P): 2x + y -2z - 3 = 0.
Nhận xét: Bài toán này ta viết phương trình đường thẳng d qua M và vuông
góc với mp(P) khi đó hình chiếu H là giao điểm của d và mp(P)
Hướng dẫn giải: Đường thẳng d qua M và vuông góc với mp(P) có phương
trình:





−−=
+−=
+=

tz
ty
tx
25
1
26

Gọi H = d
∩
(P). Ta có H
∈
d
⇒
H(6 + 2t; -1 +t; -5-2t)
Vì H
∈
(P)
⇔
2(6+2t) + (-1+t) - 2(-5-2t) - 3 = 0
⇔
t = -2
Vậy H(2; -3; -1)
Bài toán 2: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d:





+−=
−−=

+=
tz
ty
tx
35
21
46

)( Rt ∈
trên mp(P): 2x + y - 2z - 3 = 0.
Nhận xét: Ta có d // (P) nên ta lấy M
∈
d, tìm hình chiếu của M trên (P), khi đó
hình chiếu của đường thẳng d trên mp(P) là đường thẳng qua H và song song với d.

Võ Thanh Lam - Trường THPT Thanh Khê Trang 3
d
P
M
H
" Tìm tọa độ của điểm. Viết phương trình của đường thẳng trong không gian. "

Hướng dẫn giải:
Ta có: d qua điểm M(6; -1; -5), có VTCP
u
= (4; -2; 3)
mp(P) có VTPT
n
= (2; 1; -2)

u
.
n
= 0 và M
∉
(P) nên: d // (P)
Gọi H là hình chiếu của M trên (P) suy ra: H(2; -3; -1) (Bài toán 1)
Hình chiếu của d trên (P) là đường thẳng qua H và song song với d nên có
phương trình :





+−=
−−=
+=
tz
ty
tx
31
23
42

Bài toán 3: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d:






+−=
+−=
−=
tz
ty
tx
55
21
56

)( Rt ∈
trên mp(P): 2x + y - 2z - 3 = 0.
Nhận xét: Ta có d cắt (P) nên tìm giao điểm A của d và (P) sau đó lấy M
∈
d,
tìm hình chiếu H của M trên (P), khi đó hình chiếu của đường thẳng d trên mp(P) là
đường thẳng qua H và có VTCP
AH
.
Hướng dẫn giải:
Gọi A là giao điểm của d và (P).
Ta có: A
∈
d suy ra: A(6-5t; -1+2t; -5+5t)
Vì A
∈
(P)
⇔
2(6-5t) + (-1+2t) - 2(-5+5t) - 3 = 0

⇔
t = 1
Do đó A(1; 1; 0)
Ta lại có: M(6; -1; -5)
∈
d
Gọi H là hình chiếu của M trên (P) suy ra: H(2; -3; -1). (bài toán 1)
Hình chiếu của d trên (P) là đường thẳng qua H và có VTCP
AH
= (1; -4; -1)

Võ Thanh Lam - Trường THPT Thanh Khê Trang 4
d
H
M
(P)
A
d
H
M
(P)
" Tìm tọa độ của điểm. Viết phương trình của đường thẳng trong không gian. "

nên có phương trình :





−−=

−−=
+=
tz
ty
tx
1
43
2

)( Rt ∈
Bài toán 4: Tìm tọa độ hình chiếu H của điểm M(-1; -2; 4) trên đường thẳng
d:





+=
−=
+−=
tz
ty
tx
1
22
32

Nhận xét: Bài toán này ta lấy H
∈
d, khi đó H là hình chiếu của M trên

đường thẳng d khi và chỉ khi
u
r
.
MH
uuuur
= 0 (
u
r
là VTCP của d)
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d có VTCP
u
r
= (3; -2; 1).
Gọi H
∈
d suy ra: H(-2+3t; 2-2t; 1+t) nên:

MH
uuuur
=(-1+3t; 4-2t; -3+t)
H là hình chiếu của M trên d
⇔

u
r
.
MH
uuuur

= 0

⇔
3(-1+3t) - 2(4-2t) + (-3+t) = 0
⇔
t = 1
Vậy H(1; 0; 2)
Kết luận: Từ 4 bài toán nêu ra ta thấy, với các bài toán dạng này, ta lấy điểm
cho trước hoặc chọn điểm trên đường thẳng cho trước sau đó dựa vào quan hệ vuông
góc giữa điểm với đường thẳng, đường thẳng với mặt phẳng để tìm hình chiếu vuông
góc của điểm đó trên đường thẳng hay mặt phẳng. Từ đó kết luận (nếu bài toán tìm
hình chiếu) hoặc viết phương trình hình chiếu dựa vào hình chiếu vừa tìm và vị trí
tương đối của đường và mặt.
Một số bài tập tham khảo:
Bài 1: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d:
1
3
3
2
2
1 −
=
+
=
− zyx
trên mỗi mặt phẳng tọa độ.

Võ Thanh Lam - Trường THPT Thanh Khê Trang 5
d
H

M
" Tìm tọa độ của điểm. Viết phương trình của đường thẳng trong không gian. "

Bài 2: Cho đường thẳng d :





+=
+=
=
tz
ty
tx
23
48
và mặt phẳng (P): x + y + z - 7 = 0. Viết
phương trình hình chiếu vuông góc của d trên mp(P).
Bài 3: Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M(1; -1; 2) trên
mặt phẳng (
α
) : 2x - y + 2z + 11 = 0.
Bài 4: Cho đường thẳng d và mặt phẳng (
α
) có phương trình:
d:
5
1
3

1
2
2 −
=
+
=
− zyx
; (
α
): 2x + y + z- 8= 0. Viết phương trình hình chiếu vuông góc
của d trên (
α
)
Bài 5: Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A(1; -1; 3) trên
đường thẳng d :
2
3
2
x
y t
z t
=


= −


=


B. Các bài toán về đối xứng:
Bài toán 5: Tìm tọa độ điểm M
'
đối xứng với điểm M(6; -1; -5) qua
mp(P): 2x + y - 2z - 3 = 0.
Nhận xét: Bài toán này ta viết phương trình đường thẳng d qua M và vuông
góc với mp(P), lấy M
'
∈
d (M
'
≠
M)

, khi đó M
'
đối xứng với M qua (P) khi và chỉ
khi d(M;(P))=d(M
'
;(P))
Hướng dẫn giải: Đường thẳng d qua M và vuông góc với mp(P) có phương
trình:





−−=
+−=
+=

tz
ty
tx
25
1
26
Gọi M
'
(6+2t; -1+t; -5-2t)
∈
d và M
'
≠
M
⇒

t
≠
0
M
'
đối xứng với M qua (P)
⇔
d(M;(P))=d(M
'
;(P))

Võ Thanh Lam - Trường THPT Thanh Khê Trang 6
M'
M

d
(P)
" Tìm tọa độ của điểm. Viết phương trình của đường thẳng trong không gian. "


⇔

3
189
3
18 +
=
t


⇔
t = - 4
∨
t = 0 (loại)
Vậy M
'
(-2; -5; 3)
Bài toán 6: Viết phương trình đường thẳng d
'
đối xứng với đường thẳng d:






+−=
−−=
+=
tz
ty
tx
35
21
46
qua mp(P): 2x + y - 2z - 3 = 0.
Nhận xét: Ta có d // (P) nên ta lấy M
∈
d, tìm M
'
đối xứng với điểm M qua
(P), khi đó đường thẳng d
'
qua M
'
và song song với d.
Hướng dẫn giải:
Ta có: d qua điểm M(6; -1; -5), có VTCP
u
= (4; -2; 3)
mp(P) có VTPT
n
= (2; 1; -2)

u
.

n
= 0 và M
∉
(P) nên: d //(P)
Gọi M
'
đối xứng với điểm M qua (P) suy ra: M
'
(-2; -5; 3).( bài toán5)
Đường thẳng d
'
qua M
'
và song song với d nên có phương trình:





+=
−−=
+−=
tz
ty
tx
33
25
42

Bài toán 7: Viết phương trình đường thẳng d

'
đối xứng với đường thẳng d:





+−=
+−=
−=
tz
ty
tx
55
21
56
qua mp(P): 2x + y - 2z - 3 = 0.
Nhận xét: Ta có d cắt (P) nên tìm giao điểm A của d và (P) sau đó lấy M
∈
d,
tìm M
'
đối xứng với điểm M qua (P), khi đó đường thẳng d
'
qua M
'
và có VTCP
'
AM
.

Hướng dẫn giải:

Võ Thanh Lam - Trường THPT Thanh Khê Trang 7
d'
M'
M
d
(P)
" Tìm tọa độ của điểm. Viết phương trình của đường thẳng trong không gian. "

Gọi A là giao điểm của d và (P).
Ta có: A
∈
d suy ra: A(6-5t; -1+2t; -5+5t)
A
∈
(P)
⇔
2(6-5t) + (-1+2t) - 2(-5+5t) - 3 = 0

⇔
t = 1
Do đó A(1; 1; 0)
Ta lại có: M(6; -1; -5)
∈
d
Gọi M
'
đối xứng với điểm M qua (P)
suy ra: M

'
(-2;-5;3) ( bài toán5)
Đường thẳng d
'
qua M
'
, có VTCP
'
AM
= (-3; -6; 3) = 3(-1; -2; 1) nên có phương
trình:





+=
−−=
−−=
tz
ty
tx
3
25
2

)( Rt ∈
Bài toán 8: Tìm tọa độ điểm A
/
đối xứng với A(1 ; -2 ; -5) qua đường thẳng d

có phương trình :





=
−−=
+=
tz
ty
tx
2
1
21
Nhận xét: Bài toán này ta lấy H
∈
d, H là hình chiếu của A lên đường thẳng
d khi và chỉ khi
u
r
.
AH
uuur
= 0 (
u
là VTCP của d), ta có H là trung điểm của AA
/
từ đó
suy ra tọa độ của A

/

Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d có VTCP
u
r
= (2; -1; 2).
Gọi H
∈
d suy ra: H(1+2t ; -1-t ; 2t)
nên:
AH
uuur
=(2t ; 1-t ; 2t-5)
H là hình chiếu của A trên d
⇔

u
r
.
AH
uuur
= 0

Võ Thanh Lam - Trường THPT Thanh Khê Trang 8
d
H
A '

A

A
M
'
d
M
d
'
(P)
" Tìm tọa độ của điểm. Viết phương trình của đường thẳng trong không gian. "


⇔
2(2t) - (1- t) + 2(2t + 5) = 0
⇔
t = -1
suy ra: H(-1;0;-2)
Ta có H là trung điểm của AA
/
nên:





=
=
−=
1
2
3

/
/
/
A
A
A
z
y
x
Vậy: A
/
(-3 ; 2 ; 1).
Kết luận: Từ 4 bài toán nêu ra ta thấy, với các bài toán dạng này, ta lấy điểm
cho trước hoặc chọn điểm trên đường thẳng cho trước sau đó tìm điểm đối xứng của
điểm đó qua đường thẳng hay mặt phẳng. Từ đó kết luận (nếu bài toán tìm điểm đối
xứng) hoặc viết phương trình đường thẳng đối xứng dựa vào điểm đối xứng vừa tìm
được và vị trí tương đối của đường và mặt, đường và đường.
Một số bài tập tham khảo:
Bài 1: Cho điểm A(1; 0; 0) và đường thẳng
∆
:





=
+=
+=
tz

ty
tx
21
2

a/ Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu của điểm A trên đường thẳng
∆
.
b/ Tìm tọa độ điểm A
/
đối xứng với A qua đường thẳng
∆
.
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1; 2; 3) và 2 đường
thẳng: d
1
:
1
3
1
2
2
2 −
=
−
+
=
− zyx
; d
2

:
1
1
2
1
1
1 +
=
−
=
−
− zyx
a/ Tìm tọa độ A
/
đối xứng với A qua đường thẳng d
1
.
b/Viết phương trình đường thẳng
∆
qua A vuông góc với đường thẳng d
1
và cắt đường thẳng d
2
. (Đề thi ĐHCĐ khối D năm 2006)
Bài 3: Cho điểm M(2; 1; 0) và mặt phẳng (
α
) : x + 3y - z - 27 = 0. Tìm tọa
độ điểm M
/
đối xứng với M qua mặt phẳng (

α
).

Võ Thanh Lam - Trường THPT Thanh Khê Trang 9
" Tìm tọa độ của điểm. Viết phương trình của đường thẳng trong không gian. "

Bài 4: Viết phương trình đường thẳng d
'
đối xứng với đường thẳng d:
1
4 5
2 2
x t
y t
z t
= +


= −


= −

qua mặt phẳng (
α
) : x + y + z - 1 = 0.
Bài 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng d
1
:
2 6

2 5
1 4
x t
y t
z t
= − +


= −


= +

và d
2
:
,
,
,
1
3 2
4 3
x t
y t
z t

= +

= −



= − +

a/ Tìm tọa độ giao điểm của d
1
và d
2
.
b/ Viết phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng d
1
qua d
2
.
C. Các bài toán về cắt nhau, vuông góc, song song:
Bài toán 9: Cho đường thẳng d và mp (P) có phương trình: d:
1
2 2
3 2
x t
y t
z t
= +


= +


= +

;

(P): 2x + z - 5 = 0
a/ Xác định tọa độ giao điểm A của d và (P).
b/ Viết phương trình đường thẳng d
'
đi qua A, nằm trong (P) và vuông
góc với d.
Nhận xét: Bài toán này ta tìm tọa độ của A, khi đó đường thẳng d
'
qua A và có
véctơ chỉ phương
,v u n
 
=
 
r r r
; trong đó
u
r
là VTCP của d,
n
r
là VTPT của mp(P).
Hướng dẫn giải:
a/ A = d
∩
(P). Ta có A
∈
d
⇒
A(1 + t; 2 + 2t; 3 + 2t)

Vì A
∈
(P)
⇔
2(1 + t) + (3 + 2t) - 5 = 0
⇔
t = 0
Vậy: A(1; 2; 3)
b/ d có VTCP
u
r
= (1; 2; 1); mp(P) có VTPT
n
r
= (2; 0; 1)

Võ Thanh Lam - Trường THPT Thanh Khê Trang 10
(P)
d
A
d
'
" Tìm tọa độ của điểm. Viết phương trình của đường thẳng trong không gian. "

Đường thẳng d
'
⊂
(P) và d
'
⊥

d nên d
'
có véctơ chỉ phương
,v u n
 
=
 
r r r
= (2; 1; -4).
Đường thẳng d
'
qua A có VTCP
v
r
nên có phương trình :





−=
+=
+=
tz
ty
tx
43
2
21
Bài toán 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d :

1
3
2
3
1
1 −
=
+
=
−
− zyx
và mặt phẳng (P) : 2x + y - 2z + 9 = 0
a/ Tìm tọa độ điểm I
∈
d sao cho khoảng cách từ I đến mp(P) bằng 2.
b/ Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P).Viết
phương trình đường thẳng
∆
nằm trong mp(P),biết
∆
đi qua A và vuông góc với d.
(Đề thi ĐHCĐ khối A năm 2005)
Nhận xét: Đây là đề thi ĐHCĐ, câu a ta lấy I
∈
d và sử dụng công thức khoảng
cách, câu b cùng cách làm của bài toán 9.
Hướng dẫn giải:
a/ Đường thẳng d có phương trình tham số:






+=
+−=
−=
tz
ty
tx
3
23
1
I
∈
d suy ra: I(1-t; -3 + 2t; 3+t)
Khoảng cách từ I đến mp(P) bằng 2 nên:
2
3
9)3(2)23()1(2
=
++−+−+− ttt

⇔

622 =− t


⇔





−=
=
2
4
t
t
Vậy có 2 điểm I
1
(-3; 5; 7), I
2
(3; -7; 1)
b/ Vì A
∈
d suy ra: A(1-t; -3 + 2t; 3+t).
Ta có A
∈
(P)
⇔
2(1-t) + (-3 + 2t) - 2(3 + t) + 9 = 0

⇔
t = 1

Võ Thanh Lam - Trường THPT Thanh Khê Trang 11
∆
I
2
I

1
(P)
d
A
" Tìm tọa độ của điểm. Viết phương trình của đường thẳng trong không gian. "

Do đó A(0; -1; 4)
Đường thẳng d có VTCP
u
r
= (-1; 2; 1), mp(P) có VTPT
n
r
=(2; 1; -2)
Đường thẳng
∆
⊂
(P) và
∆
⊥
d nên
∆
có véctơ chỉ phương
,v u n
 
=
 
r r r
=(-5; 0; -5)
Phương trình của đường thẳng

∆
:





+=
−=
=
tz
y
tx
4
1
Bài toán 11: Viết phương trình đường thẳng
∆
qua I(-1; -2; 4) vuông góc và
cắt đường thẳng d:





+=
−=
+−=
tz
ty
tx

1
22
32

)( Rt ∈
Nhận xét: Bài toán này ta lấy H
∈
d, khi đó H
∈
∆
khi và chỉ khi
u
r
.
IH
uuur
= 0 (
u
r
là VTCP của d); đường thẳng
∆
qua I và có VTCP
IH
uuur
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d có VTCP
u
r
= (3; -2; 1).
Gọi H

∈
d suy ra: H(-2 + 3t; 2 - 2t; 1 + t) nên:
IH
uuur
=(-1 + 3t; 4 - 2t; -3 + t)
H
∈
∆

⇔

u
r
.
IH
uuur
= 0
⇔
3(-1 + 3t) - 2(4 - 2t) + (-3 + t) = 0
⇔
t = 1
suy ra H(1; 0; 2)
Đường thẳng
∆
qua I và có VTCP
IH
uuur
=(2; 2; -2) nên có phương trình :






−=
+−=
+−=
tz
ty
tx
4
2
1

Bài toán 12: Viết phương trình đường thẳng
∆
qua A(2; 1; -3) cắt đường
thẳng d
1
:





+=
−−=
+=
tz
ty
tx

4
21
3

)( Rt ∈
và vuông góc với đường thẳng d
2
:





+−=
+=
+=
tz
ty
tx
5
3
41

)( Rt ∈


Võ Thanh Lam - Trường THPT Thanh Khê Trang 12
d
∆
H

I
" Tìm tọa độ của điểm. Viết phương trình của đường thẳng trong không gian. "

Nhận xét: Bài toán này ta lấy H
∈
d
1
, khi đó H
∈
∆
khi và chỉ khi
u
r
.
AH
uuur
= 0 (
u
r
là VTCP của d
2
); đường thẳng
∆
qua I và có VTCP
AH
uuur
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d
2
có VTCP

u
r
= (4; 1; 1).
Gọi H
∈
d
1
suy ra: H(3+t; -1-2t; 4+t) nên:

AH
uuur
=(1+t; -2-2t; 7+t)
H
∈
∆

⇔

u
r
.
AH
uuur
= 0

⇔
4(1+t) + (-2-2t) + (7+t) = 0

⇔
t = -3 suy ra H(0; 5; 1)

Đường thẳng
∆
qua A và có VTCP
AH
uuur
=(2; -4; -4) = 2(1; -2; -2) nên có
phương trình :





−−=
−=
+=
tz
ty
tx
23
21
2

)( Rt ∈
Bài toán 13: Viết phương trình đường thẳng
∆
cắt 2 đường thẳng d
1
:






+=
−−=
=
tz
ty
tx
1
32
; d
2
:





−=
+−=
+=
/
/
/
4
31
21
tz
ty

tx
và song song với đường thẳng d:
1
4
23
1 +
==
− zyx
Nhận xét: Bài toán này ta lấy A
∈
d
1
, B
∈
d
2
khi đó A, B
∈
∆
khi và chỉ khi hai
vectơ
u
r
,
AB
uuur
cùng phương (
u
r
là VTCP của d), đường thẳng

∆
qua A và có VTCP
u
r

Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d có VTCP
u
r
= (3; 2; 1).
Gọi A
∈
d
1
suy ra: A(t; -2-3t; 1+t)
B
∈
d
2
suy ra: B(1+2t
/
; -1+3t
/
; 4-t
/
)
nên:
AB
uuur
= (2t

/
- t + 1; 3t
/
+ 3t + 1; -t
/
- t + 3)

Võ Thanh Lam - Trường THPT Thanh Khê Trang 13
d
2
d
1
H
A
∆
d
B
d
2
d
1
A
∆
" Tìm tọa độ của điểm. Viết phương trình của đường thẳng trong không gian. "

A, B
∈
∆

⇔

u
r
và
AB
uuur
cùng phương

⇔

1
3
2
133
3
12
///
+−−
=
++
=
+− tttttt

⇔



=+
=+
1

825
/
/
tt
tt

⇔




=
−=
2
1
/
t
t
suy ra A(-1;1;0) .
Đường thẳng
∆
qua A và có VTCP
u
r
= (3;2;1) nên có phương trình :






=
+=
+−=
tz
ty
tx
21
31

Bài toán 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng d
1
:
1
2
1
1
2
+
=
−
−
=
zyx
và d
2
:






=
+=
+−=
3
1
21
z
ty
tx

Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 7x + y - 4z = 0
và cắt 2 đường thẳng d
1
, d
2
(Đề thi ĐHCĐ khối A năm 2007)
Nhận xét: Đây là đề thi ĐHCĐ, ngoài cách giải của đáp án, tôi thấy tương tự
bài toán 13, ta có thể giải nhanh hơn bằng cách lấy A
∈
d
1
, B
∈
d
2
khi đó A, B
∈
d khi
và chỉ khi

u
r
,
AB
uuur
cùng phương (
u
r
là VTCP của d); đường thẳng d qua A và có
VTCP
u
r
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d
⊥
(P) nên d có VTCP
u
r
= (7; 1; -4).
Đường thẳng d
1
có phương trình tham số:





+−=
−=
=

/
/
/
2
1
2
tz
ty
tx
Gọi A
∈
d
1
suy ra: A(2t
/
; 1- t
/
; -2+ t
/
)
B
∈
d
2
suy ra: B(-1+ 2t ; 1+ t ; 3)

Võ Thanh Lam - Trường THPT Thanh Khê Trang 14
d
B
d

2
d
1
A
(P)
" Tìm tọa độ của điểm. Viết phương trình của đường thẳng trong không gian. "

nên:
AB
uuur
= (2t - 2t
/
- 1; t + t
/
; 5 - t
/
)
A, B
∈
∆

⇔

u
r
,
AB
uuur
cùng phương

⇔

4
5
17
122
///
−
−
=
+
=
−− ttttt

⇔



−=+
−=+
195
534
/
/
tt
tt

⇔





=
−=
1
2
/
t
t
suy ra A(2; 0; -1).
Đường thẳng d qua A và có VTCP
u
r
= (7; 1; -4) nên có phương trình :





−−=
=
+=
tz
ty
tx
41
72

Bài toán 15: Viết phương trình đường vuông góc chung của 2 đường thẳng
chéo nhau d:






=
+=
+=
tz
ty
tx
2
35

)( Rt ∈
và d
/
:





−=
+−=
+−=
/
/
/
4

37
2
tz
ty
tx

)(
/
Rt ∈
Nhận xét: Bài toán này học sinh lấy A
∈
d
1
, B
∈
d
2
; AB là đường vuông góc
chung của d và d
/
khi và chỉ khi
. 0
. 0
u AB
v AB

=


=



r uuur
r uuur
; đường vuông góc chung qua A và có
VTCP
AB
uuur
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d có VTCP
u
r
= (3; 1; 1).
Đường thẳng d
/
có VTCP
v
r
= (1; 3; -1).
Gọi A
∈
d suy ra: A(5+3t; 2+t; t)
B
∈
d
/
suy ra: B(-2+t
/
; -7+3t
/

; 4-t
/
)
nên:
AB
uuur
=(t
/
- 3t - 7; 3t
/
- t - 9; -t
/
- t + 4)

Võ Thanh Lam - Trường THPT Thanh Khê Trang 15
d
'
d
A
B
" Tìm tọa độ của điểm. Viết phương trình của đường thẳng trong không gian. "

AB là đường vuông góc chung của d và d
/

⇔

. 0
. 0
u AB

v AB

=


=


r uuur
r uuur


⇔



=+−−−−−+−−
=+−−+−−+−−
0)4()93(3)73(
0)4()93()73(3
///
///
tttttt
tttttt

⇔



=−

=−
38511
26115
/
/
tt
tt

⇔




=
−=
3
1
/
t
t

suy ra: A(2; 1; -1);
AB
uuur
=(-1; 1; 2)
Đường vuông góc chung qua A và có VTCP
AB
uuur
=(-1; 1; 2) nên có phương
trình :






+−=
+=
−=
tz
ty
tx
21
1
2

)( Rt ∈
Kết luận: Từ các bài toán nêu ra ta thấy các bài toán dạng này có độ " khó"
hơn. Tuy nhiên, ta thấy được phương pháp chung để giải là: Chọn điểm hoặc các
điểm (có chứa tham số) trên đường thẳng hoặc các đường thẳng bị cắt (cho trước),
sau đó dựa vào các yếu tố song song, vuông góc để tìm tham số. Từ đó viết phương
trình đường thẳng theo yêu cầu bài toán.
Một số bài tập tham khảo:
Bài 1: Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d
1
và cắt
cả hai đường thẳng d
2
và d
3
, biết phương trình d

1,
d
2
và d
3
là:
d
1





−=
+−=
=
tz
ty
x
1
42
1
;
d
2
:
3
2
4
2

1
1 −
=
=
=
− zyx
; d
3
:





=
+−=
+−=
'
'97
'54
tz
ty
tx


Võ Thanh Lam - Trường THPT Thanh Khê Trang 16
" Tìm tọa độ của điểm. Viết phương trình của đường thẳng trong không gian. "

Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(-4;-2;4) và đường
thẳng d:






+−=
−=
+−=
tz
ty
tx
41
1
23
,
Viết phương trình đường thẳng
∆
đi qua A, cắt và vuông góc với
đường thẳng d.
(Đề thi ĐHCĐ khối B năm 2004)
Bài 3: Cho hai đường thẳng: d
1:





−=
+=
+=

tz
ty
tx
8
25
8
và d
2
:
3
1
2
1
7
3 −
=
−
=
− zyx
. Viết
phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
Bài 4: Cho hai đường thẳng: d:
3
6
2
1
1
−
=
−

=
zyx
và d
'
:





−=
+−=
+=
tz
ty
tx
3
2
1

a.Viết phương trình đường vuông góc chung của d và d
'
.
b. Viết phương trình đường thẳng song song với Oz, cắt cả d và d
'
.
Bài 5: Viết phương trình đường thẳng
∆
vuông góc với mặt phẳng tọa độ
(Oxz) và cắt 2 đường thẳng d :






−=
+−=
=
tz
ty
tx
3
4
; d
/
:





−=
+−=
−=
/
/
/
54
3
21

tz
ty
tx

Bài 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng
∆
:
11
2
1
2
−
=
−
=
+ zyx
và mặt phẳng (P) : x + 2y - 3z + 4 = 0. Viết phương trình đường
thẳng d nằm trong (P) sao cho d cắt và vuông góc với đường thẳng
∆
(Đề thi ĐHCĐ khối D năm 2009)
D. Các bài toán về cực trị tọa độ không gian:

Võ Thanh Lam - Trường THPT Thanh Khê Trang 17
" Tìm tọa độ của điểm. Viết phương trình của đường thẳng trong không gian. "

Bài toán 16: Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz cho
điểm M(1; 3; -2) và đường thẳng d:
5 3
2
2

x t
y t
z t
= +


= +


= − −


Tìm tọa độ điểm H
∈
d sao cho đoạn
thẳng MH có độ dài nhỏ nhất.

Nhận xét: Bài toán này ta lấy H
∈
d, khi đó độ dài MH nhỏ nhất khi và chỉ khi
MH
⊥
d
⇔

u
r
.
MH
uuuur

= 0 (
u
r
là VTCP của d)
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d có VTCP
u
r
= (3; 1; -1).
Gọi H
∈
d suy ra: H(5 + 3t; 2+ t; -2 - t) nên:

MH
uuuur
=(4 + 3t; -1 + t; - t)
MH nhỏ nhất
⇔
MH
⊥
d

⇔

u
r
.
MH
uuuur
= 0

⇔
3(4+3t) + (-1 + t) - (- t) = 0
⇔
t = - 1
Vậy H(2; 1; -1)
Bài toán 17: Trong không gian Oxyz cho M (1; 2; 3), và N ( 4; 4; 5). Tìm điểm
I
∈
mp(Oxy) sao cho IM + IN nhỏ nhất.
Nhận xét: Bài toán này ta kiểm tra M, N nằm về một hay hai phía của mặt
phẳng. Nếu M, N nằm về hai phía của mặt phẳng thì I là giao điểm của MN và mặt
phẳng, nếu M, N nằm về một phía của mặt phẳng thì I là giao điểm của M
'
N và mặt
phẳng trong đó M
'
là điểm đối xứng của M qua mặt phẳng đó.
Hướng dẫn giải:
Mặt phẳng (Oxy) có phương trình z = 0. Trước hết ta xét xem M và N có ở
một trong hai phía với mp (Oxy) hay không? Dể thấy z
M
. z
N
= 3 . 5 = 15>0
⇒
M, N
ở về một phía với mp (Oxy).

Võ Thanh Lam - Trường THPT Thanh Khê Trang 18

d
H
M
" Tìm tọa độ của điểm. Viết phương trình của đường thẳng trong không gian. "

Đường thẳng d qua M và vuông góc mp(Oxy) có pt:
1
2
3
x
y
z t
=


=


= +


Gọi H là giao điểm của d với mp(Oxy).
Ta có H
∈
d
⇒
H (1; 2; 3 + t)
Vì H
∈
(Oxy)

⇒
3 + t = 0
⇒
t = -3
⇒
H( 1; 2; 0)
Gọi M' đối xứng với M qua mp(Oxy).
H là trung điểm của MM' nên M' (1; 2; -3) và
'M N
uuuuur
= (3; 2; 8)
Ta có IM + IN = IM' + IN
≥
M'N
⇒
Min ( IM + IN) = M'N
⇔
I là giao điểm của
M'N và mp(Oxy)
M'N qua M
'
có VTCP
'M N
uuuuur
= (3; 2; 8) nên có phương trình:
,
,
,
1 3
2 2

3 8
x t
y t
z t

= +

= +


= − +


Điểm I ( 1 + 3t', 2 + 2t', -3 + 8t')
∈
d vì I
∈
(Oxy)
⇒
-3 + 8t' = 0
⇒
t' =
3
8

Vậy I
17 11
; ;0
8 4
 

 ÷
 
Bài toán 18: Trong k/gian Oxyz cho: M (3; 1; 1), N ( 4; 3; 4) và đường thẳng d
có phương trình:
7
3 2
9
x t
y t
z t
= +


= −


= +

. Tìm điểm I
∈
d sao cho: IM + IN nhỏ nhất.
Nhận xét: Ta có MN
⊥
d nên IM + IN nhỏ nhất khi và chỉ khi I = d
∩
(P) trong
đó (P) là mặt phẳng qua MN và vuông góc với d
Hướng dẫn giải:
Ta có:
MN

uuuur
= (1; 2; 3), d có VTCP
u
r
= ( 1; -2; 1), vì
MN
uuuur
.
u
r
=0
⇒
MN
⊥
d
Mặt phẳng( P) qua MN và vuông góc với d có phương trình là: x - 2y +z - 2 = 0

Võ Thanh Lam - Trường THPT Thanh Khê Trang 19
M
N
M
'
y
x
O
d
H
I
M
N

d
H
I
(P)
" Tìm tọa độ của điểm. Viết phương trình của đường thẳng trong không gian. "

Gọi H = d
∩
(P), H
∈
d
⇒
H(7 + t; 3 - 2t; 9 + t)
Vì H
∈
(P) nên: (7 + t) - 2(3 - 2t) +(9 + t) - 2 = 0
⇔
t =
4
3
−
⇒
H
17 17 23
; ;
3 3 3
 
 ÷
 

Với I
∈
d, ta có: IM + IN
≥
HM + HN
⇒
IM + IN nhỏ nhất
⇔
IM + IN = HM + HN
⇔
I
≡
H
Vậy: I
17 17 23
; ;
3 3 3
 
 ÷
 
Bài toán 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 2 điểm A(-3; 0; 1),
B(1; -1; 3) và mặt phẳng (P): x - 2y + 2z - 5 = 0. Trong các đường thẳng qua A và
song song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến
đường thẳng đó là nhỏ nhất. (Đề thi ĐHCĐ khối B năm 2009)
Nhận xét: Ta gọi d là đường thẳng cần tìm; d chứa trong mp(Q) qua A và song
song với (P), khoảng cách từ B đến đường thẳng d là nhỏ nhất khi và chỉ khi d đi qua
H (H là hình chiếu của B trên (Q)).
Hướng dẫn giải:
Gọi d là đường thẳng cần tìm; d chứa trong mp(Q) qua A và song song với (P).
Ta có phương trình (Q): x - 2y + 2z + 1 = 0.

Gọi I, H là hình chiếu của B trên d, (Q).
Ta có d(B;d) = BI
≥
BH
nên d(B;d) nhỏ nhất khi d đi qua H.
Đường thẳng d
'
qua B và vuông góc (Q)
có phương trình:
1
1 2
3 2
x t
y t
z t
= +


= − −


= +

H = d
'

∩
(Q), H
∈
d

'
nên H(1+ t; -1 - 2t; 3 + 2t).
Vì H
∈
(Q) nên: (1+ t) -2(-1 - 2t) + 2(3 + 2t) + 1 = 0
⇔
t =
10
9
−
⇒
H
1 11 7
; ;
9 9 9
 
−
 ÷
 

Võ Thanh Lam - Trường THPT Thanh Khê Trang 20
d
d
'
H
I
B
A
(Q)
(P)

" Tìm tọa độ của điểm. Viết phương trình của đường thẳng trong không gian. "

Đường thẳng d qua A có VTCP
26 11 2
( ; ; )
9 9 9
AH = −
uuur
có phương trình:
3 26
11
1 2
x t
y t
z t
= − +


=


= −

Bài toán 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 2 điểm A(1;4;2),
B(-1;2;4) và đường thẳng d có phương trình:
1
2
2
x t
y t

z t
= −


= − +


=


a/ Tìm tọa độ điểm M
∈
d sao cho
MA MB+
uuur uuur
nhỏ nhất.
b/ Tìm tọa độ điểm I
∈
d sao cho diện tích
∆
AIB nhỏ nhất.
c/ Viết phương trình đường thẳng qua A và cắt d sao cho khoảng cách từ B đến
đường thẳng đó đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Nhận xét: Ta lấy M
∈
d; câu a, ta tìm
MA
uuur
+
MB

uuur
⇒
MA MB+
uuur uuur
suy ra M; câu b, c
ta tìm diện tích
∆
AIB, khoảng cách rồi vận dụng bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ
nhất, từ đó suy ra kết quả.
Hướng dẫn giải:
a/ M
∈
d
⇒
M ( 1-t; -2+t; 2t)
⇒

MA
uuur
=(t; 6-t; 2-2t),
MB
uuur
=(-2+ t; 4 -t; 4 -2t).
Do đó:
MA
uuur
+
MB
uuur
= (-2 + 2t; 10 - 2t; 6 - 4t)

⇒
MA MB+
uuur uuur
=
2 2 2
( 2 2 ) (10 2 ) (6 4 )t t t− + + − + −
=
2
24( 2) 44 2 11t − + ≥

Suy ra: Min
MA MB+
uuur uuur
=
2 11
⇔
t-2 = 0
⇔
t = 2. Vậy: M(-1; 0; 4)
b/ I
∈
d
⇒
I(1-t; -2+t; 2t) ta có:
AI
uur
= (- t; - 6 + t; - 2 + 2t) và
AB
uuur
= ( -2; -2; 2)

⇒
,AI AB
 
 
uur uuur
= ( 6t - 16; -2t + 4; 4t - 12)
Diện tích
∆
AMB:
AIB
S
∆
=
1
,
2
AI AB
 
 
uur uuur
=
1
2

2 2 2
(6 16) ( 2 4) (4 12)t t t− + − + + −
=
1
2
2

56 304 416t t− +
=
2
14 76 104t t− +
( t
∈
R)
Xét hàm f (t) = 56t
2
- 304t + 416
⇒
f
/
(t) = 112t - 304;

Võ Thanh Lam - Trường THPT Thanh Khê Trang 21
" Tìm tọa độ của điểm. Viết phương trình của đường thẳng trong không gian. "

f
/
(t) = 0
⇔
t =
304
112
=
19
7
BBT:
Từ đó suy ra:

AIB
S
∆
đạt GTNN khi t =
19
7
.
Vậy: I
12 5 38
; ;
7 7 7
 
−
 ÷
 

c/ Gọi đường thẳng d
1
đi qua A và cắt d tại M ( 1- t; -2 + t; 2t)
Khi đó d
( )
1
;B d
=
,AM AB
AM
 
 
uuuur uuur
uuuur

=
2
2
56 304 416
6 20 40
t t
t t
− +
− +
=
2
2
28 152 208
3 10 20
t t
t t
− +
− +
Xét hàm g(t) =
2
2
28 152 208
3 10 20
t t
t t
− +
− +
g
/
(t) =

2
2 2
16(11 8 60)
(3 10 20)
t t
t t
− −
− +
; g
/
(t) = 0
⇔
11t
2
- 8t - 60 = 0
⇔
2
30
11
t
t
= −



=


Ta có
28

lim ( )
3
x
g t
→±∞
=

BBT:
Max d
( )
1
;B d
=
2 3
Khi t = -2
⇒
Đường thẳng d
1
:
1
4 4
2 3
x t
y t
z t
= +


= −



= −


Võ Thanh Lam - Trường THPT Thanh Khê Trang 22
t
f(19/7)
19/7
-
∞
+
∞
+
∞
+
∞
-
+
0
f( t )
f ' ( t )
4/35
28/3
28/3
12
+
-2
0
f ' ( t )
f( t )

0
+
-
+
∞
-
∞
30/11
t
" Tìm tọa độ của điểm. Viết phương trình của đường thẳng trong không gian. "

Min d
( )
1
;B d
=
2 35
35
Khi t =
30
11

⇒
Đường thẳng d
2
:
1 15
4 18
2 19
x t

y t
z t
= +


= +


= −

Vậy có 2 đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
d
1
:
1
4 4
2 3
x t
y t
z t
= +


= −


= −

và d
2

:
1 15
4 18
2 19
x t
y t
z t
= +


= +


= −

Kết luận: Đây là các bài toán khó, để giải nó cần phải vận dụng các dạng
toán. Tuy nhiên, ta thấy được phương pháp chung để giải là: Chọn điểm (có chứa
tham số) trên đường thẳng (cho trước), sau đó dựa vào các yếu tố hình chiếu vuông
góc hoặc đưa về các hàm số sau đó tìm tham số. Từ đó tìm điểm hoặc viết phương
trình đường thẳng theo yêu cầu bài toán.
Một số bài tập tham khảo:
Bài 1: Cho A (1; 2; -1), B (7; -2; 3) và đường thẳng d có pt:
1 2 2
3 2 2
x y z+ − −
= =
−
.
Tìm điểm I
∈

d sao cho IA + IB nhỏ nhất.
Bài 2: Cho mp(
α
): 2x - y + z + 1 = 0 và hai điểm A( 3; 1; 0), B( -9; 4; 9 )
a/ Tìm điểm I
( )
α
∈
sao cho
IA IB+
uur uur
đạt GTNN
b/ Tìm điểm M
( )
α
∈
sao cho:
MA MB−
đạt GTLN
Bài 3: Cho: A (1; 1; 0) và B ( 3; -1; 4) và đ/t d:
1 1 2
1 1 2
x y z+ − +
= =
. Tìm trên d
điểm I sao cho: IA + IB bé nhất.
Bài 4: Cho A (5; -1; 3), B (7; -1; 1) và mặt phẳng (P) có phương trình:
x - y + z - 1 = 0. Tìm điểm I
∈
(P) sao cho IA + IB nhỏ nhất.

Bài 5: Cho hai đường thẳng d
1
:
1 1 1
2 1 1
x y z− + −
= =
; d
2
:
1 2
1 1 2
x y z− +
= =
và điểm
A ( 1; 4; 2). Viết phương trình đường thẳng d đi qua A cắt d
1
sao cho khoảng cách
giữa d và d
2
lớn nhất.

Võ Thanh Lam - Trường THPT Thanh Khê Trang 23
" Tìm tọa độ của điểm. Viết phương trình của đường thẳng trong không gian. "

KẾT QUẢ
Sau khi hình thành và đưa ra cách giải, tôi đã vận dụng phương pháp này ở 2
dạng A, B vào các bài dạy và kết quả bài kiểm tra 15' các lớp giảng dạy như sau:
Lớp sử dụng phương pháp khác(3 lớp với 144 em)
Lớp sử dụng phương pháp này(2 lớp với 92 em)

Từ 2 bảng kết quả trên ta thấy ở lớp sử dụng phương pháp này tỉ lệ điểm
dưới 5 giảm gần một nữa, tỉ lệ điểm từ 5
→
< 8 tăng không nhiều nhưng tỉ lệ điểm từ
8
→
10 tăng gần gấp 2 lần.



Võ Thanh Lam - Trường THPT Thanh Khê Trang 24
Điểm dưới 5 Điểm từ 5
→
< 8 Điểm từ 8
→
10
45 78 21
31,3% 54,1% 14,6%
Điểm dưới 5 Điểm từ 5
→
< 8 Điểm từ 8
→
10
18 50 24
19,6% 54,3% 26,1%
" Tìm tọa độ của điểm. Viết phương trình của đường thẳng trong không gian. "

PHẦN KẾT LUẬN

Từ các bài toán nêu trên và cách giải chúng, ta thấy nếu vận dụng tốt các quan hệ

vuông góc, song song , các tính chất đối xứng của điểm cùng với tọa độ của điểm
theo tham số ta giải nhiều dạng bài toán, hơn nữa chúng ta đã đơn giản được bài
toán, hạn chế việc " sợ " các bài toán hình học không gian ở học sinh, tạo được sự
hứng thú cho các em, góp phần chung vào việc nâng cao chất lượng dạy và học và
phát huy được tính tích cực của học sinh, khơi nguồn cho các em sự tìm tòi, sáng tạo
trong quá trình giải một bài toán .
Trên đây là những kinh nghiệm thực tiễn của bản thân qua nhiều năm giảng
dạy môn toán phần phương trình đường thẳng trong không gian, với đề tài này tôi hy
vọng sẽ giúp cho các em học sinh biết cách vận dụng các quan hệ vuông góc, song
song, các tính chất đối xứng vào giải toán và cải tiến phương pháp học tập.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn các thầy cô trong tổ toán đã đọc, góp ý và giúp đỡ
tôi hoàn thành đề tài này.

Võ Thanh Lam - Trường THPT Thanh Khê Trang 25