Khóa luận tốt nghiệp toán học: Rèn luyện kỹ năng phân tích nhìn nhận bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau cho học sinh lớp 10 nội dung đường thẳng trong mặt phẳng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

VÌ THỊ DOANH

R N

Y N

N NG HÂN T CH NHÌN NH N BÀI

TOÁN DƯ I NHI
HỌC INH

G C ĐỘ

HÁC NHA CHO

NỘI D NG ĐƯỜNG TH NG
TRONG

H A

T H NG

N TỐT NGHI

ơn a, năm 2

ĐẠI HỌC

3


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

VÌ THỊ DOANH

R N

Y N

N NG HÂN T CH NHÌN NH N BÀI

TOÁN DƯ I NHI
HỌC INH

G C ĐỘ

HÁC NHA CHO

NỘI D NG ĐƯỜNG TH NG
TRONG

T H NG

Chuyên ngành: Phương pháp dạy học mơn Tốn

H A

N TỐT NGHI

ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn: T . Vũ Quốc

ơn a, năm 2

3

hánh


ỜI CẢ

ƠN

Em hồn thành được khóa luận này là nhờ có sự động viên giúp đỡ nhiệt
tình và tạo điều kiện của các thầy cơ trong khoa Tốn – Lý – Tin, các thầy cô
giáo trường THPT Mai Châu và các bận sinh viên lớp K50 ĐHSP Toán. Đồng
thời, việc hồn thành khóa luận này êm cũng nhận được sự giúp đỡ, tạo điều
kiện của Phòng Đào tạo, thư viện và một số Phòng, Ban, Khoa trực thuộc trường
Đại học Tây Bắc. Em xin được nói lời cảm ơn sâu sắc.
Đặc biệt em xin gửi lời cảm ơn tới thầy giáo chủ nhiệm – Tiến sĩ Vũ Quốc
Khánh là người đã trục tiếp tận tình, tỉ mỉ để giúp em hồn thành khóa luận này.
Đây à khóa luận đầu tay của em nên khơng thể tránh khỏi những thiếu sót.
Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của bạn đọc để khóa luận này trở
thành nguồn tài liệu hữu ích đối với những sinh viên học tốn và các giáo viên
dạy toán ở trường THPT.
ột lần nữa em xin trân thành cảm ơn!

Sơn La, tháng 5 năm 2013
Sinh viên

Vì Thị Doanh


ỤC ỤC
HẦN :
.

ĐẦ ........................................................................................... 1

do chọn

2.

c

2. .

tài .......................................................................................... 1

ch nghi n c u à nhi m
c

2.2. Nhi m

nghi n c u ........................................... 3

ch nghi n c u ................................................................................. 3

nghi n c u................................................................................. 3

3. Giả thi t hoa học ........................................................................................ 3
4. hương pháp nghi n c u ............................................................................. 3
. C u tr c h a lu n ....................................................................................... 3
HẦN 2: NỘI D NG ....................................................................................... 4
Chương . CƠ

Ý

N .......................................................................... 4

. . hương pháp chung ể giải một bài toán. ................................................ 4
.2.

ỹ năng phân t ch tìm lời giải của bài tốn ............................................. 5

.3.

ỹ năng phân t ch nhìn nh n bài tốn dưới nhi u g c ộ hác nhau .... 6

.4. Rèn luy n ỹ năng phân t ch nhìn nh n bài toán dưới nhi u g c ộ
hác nhau ể tìm hướng giải tốn. .................................................................. 7
. .

ột số ỹ năng hác gi p cho i c phân t ch c hi u quả. ..................... 7

t lu n chương .......................................................................................... 13
Chương 2. ỘT Ố BI N HÁ CƠ BẢN NHẰ R N
Y N

N NG HÂN T CH NHÌN NH N BÀI TOÁN DƯ I NHI
G C ĐỘ
HÁC NHA TRONG HẦN BÀI TOÁN V ĐƯỜNG TH NG CHO
HỌC INH
........................................................................................ 14
2. .

i n th c cần nhớ ................................................................................... 14

2.2. ột số bi n pháp ể rèn luy n ỹ năng nhìn nh n bài toán dưới nhi u
g c ộ hác nhau. ng d ng phần bài t p
ường th ng ........................ 18
2.2. . Bi n pháp : hân t ch giả thi t của bài toán gắn ới những i n th c
khác nhau........................................................................................................ 19
2.2.2. Bi n pháp 2: hân t ch t lu n của bài toán gắn ới những i n th c
khác nhau........................................................................................................ 21


2.2.3. Bi n pháp 3: hân t ch cả giả thi t à t lu n của bài toán gắn ới
những i n th c hác nhau ........................................................................... 24
2.3. Những sai lầm mà học sinh hay mắc phải trong quá trình phân t ch tìm
lời giải à cách hắc ph c .............................................................................. 26
2.3. . Những sai lầm trong phân t ch dữ i n của bài toán.......................... 26
2.3.2. Những sai lầm trong phân t ch

t lu n, y u cầu bài toán ................. 27

2.4. ột số bài toán gi p rèn luy n ỹ năng phân t ch nhìn nh n bài toán
dưới nhi u g c ộ hác nhau. ........................................................................ 29
t lu n chương 2 .......................................................................................... 35

Chương 3. THỰC NGHI
3. .

c

Ư HẠ

...................................................... 36

ch thực nghi m sư phạm ............................................................. 36

3.2. hương pháp thực nghi m sư phạm ...................................................... 36
3.3. Nội dung thực nghi m sư phạm .............................................................. 36
3.4. Đối tượng thực nghi m sư phạm ............................................................ 36
3. Ti n hành thực nghi m sư phạm ............................................................. 37
3.6 Đánh giá thực nghi m sư phạm ............................................................... 37
3.6. V phương pháp dạy ............................................................................. 37
3.6.2 V

hả năng lĩnh hội của học sinh ........................................................ 37

3.6.3 V

t quả iểm tra ............................................................................... 37

3.7.

t lu n thực nghi m .............................................................................. 39

t lu n chương 3 .......................................................................................... 39

HẦN 3:

ẾT

N..................................................................................... 40


HẦN 1:
.

do chọn

ĐẦ

tài

Tốn học là một bộ mơn uan trọng trong nhà trường ph thơng. gười học
tốn khi đ ng trước một bài tốn ln muốn mình giải được hoặc đáp ng được
các yêu cầu bài toán đặt ra. Để giải một bài tốn thì người giải phải trải ua rất
nhiều khâu. T việc nắm vững các kiến th c cơ bản về nội dung lý thuyết đến
việc luyện tập thành thạo các uy trình và thao tác có tính chất k thuật. Điều
này địi hỏi ở người giải tốn tính nghiêm túc, tính kiên nh n và một phương
pháp làm việc khoa học.
Một bài tốn có liên uan đến một dãy kiến th c. Ở dãy các kiến th c có
thể sắp xếp theo th tự: "...  kiến th c 2 sinh ra kiến th c 1  kiến th c 1
sinh ra bài toán  kiến th c bài toán  kiến th c I bài toán sinh ra  kiến
th c II bài toán sinh ra  kiến th c III bài toán sinh ra  …". hư vậy sử dụng
các kiến th c khác nhau có thể nhìn nhận bài tốn dưới nhiều góc độ khác nhau.
Để có k năng nhìn nhận bài tốn dưới nhiều góc độ khác nhau thì phải thấy
được và hiểu rõ các uan hệ ẩn tàng có liên uan đến kiến th c bài tốn. Có thể

thấy rõ việc nhìn nhận bài tốn dưới nhiều góc độ khác nhau hay chính là phân
tích bài tốn rất uan trọng vì: Th nhất, k năng phân tích bài tốn giúp cho
học sinh có cách nhìn bài tốn tồn diện hơn; Th hai, nếu ta chỉ nắm vững kiến
th c lý thuyết, thành thạo các thao tác tính tốn nhưng khơng biết cách phân tích
nhìn nhận bài tốn dưới nhiều góc độ khác nhau thì chưa thể có lời giải hoặc có
nhưng lời giải chưa tốt. gồi ra việc phân tích nhìn nhận bài tốn ở nhiều góc
độ khác nhau s d n ta đến việc tìm ra nhiều hướng giải khác nhau cho m i bài
tốn, t đó ta có thể lựa ra cách giải hay, gọn gàng, rõ ràng, d hiểu; Th ba, khi
r n luyện được k năng phân tích nhìn nhận bài tốn đưới nhiều góc độ khác
nhau ta có thể phát huy khả năng làm việc độc lập, sáng tạo – một khả năng
không thể thiếu của người giải tốn.
Trong mơn tốn nói chung và bộ mơn hình học lớp 10 nói riêng, học sinh
thường gặp khó khăn khi giải các bài tốn. hiều học sinh cịn yếu ở khâu phân
tích nhìn nhận bài tốn ở nhiều góc độ khác nhau. Thơng thường khi giải bài
tốn học sinh có xem giả thiết mà bài tốn đã cho nhưng các em khơng phân tích
xem có thể khai thác được gì t những giả thiết đó hay với những giả thiết đã
cho ta cần liên hệ với những kiến th c liên uan nào để tìm ra kết luận của bài
tốn. Do đó khi giải tốn học sinh thường khơng tìm được hướng giải và cảm
thấy chán nản. Đây cũng là một nguyên nhân khiến nhiều học sinh khi học tốn
chỉ thích học đại số khơng thích học hình học. Đặc biệt là chương trình hình học
1


lớp 10 có nhiều nội dung mới đối với học sinh. ếu như ở lớp , học sinh
nghiên c u với những kiến th c về hình học t ng hợp, thì chương trình hình học
10 có b sung một số kiến th c về hình học trong mặt ph ng nhưng lại nghiên
c u trên phương diện hoàn toàn mới là phương pháp vectơ PPVT và phương
pháp tọa độ PPTĐ . Thực chất của việc nghiên c u PPTĐ ở trường ph thông
là nghiên c u một cách thể hiện khác của các hệ tiên đề hình học ph ng; việc
đưa vào trục tọa độ, hệ trục tọa độ, hệ tọa độ Đề các vng góc cho ph p đặt

tương ng với m i vectơ trên trục, vectơ trong mặt ph ng với một số thực, cặp
số thực  x, y  . T đó d n tới m i điểm trong mặt ph ng đặt tương ng với duy
nhất cặp số thực sắp th tự  p, q  . Khi đó đường th ng trong mặt ph ng được
hiểu là tập hợp các cặp số thỏa mãn: Ax + By + C = 0 với A2 + B2 ≠ 0 và A, B,
C là các số.
Việc sử dụng hệ trục tọa độ để nghiên c u hình học thực chất là sử dụng
công cụ đại số để nghiên c u hình học b ng cách sử dụng ngơn ngữ hình th c,
biểu th c đại số hình th c để di n tả các đối tượng, các uan hệ hình học. hờ
đó mà ta có thể giải uyết các bài tập hình học b ng việc tính toán thuần túy.
Trên các k năng suy luận toán học và con số học sinh lớp 10 s làm uen với
phương pháp tư duy mới, tư duy hình học ph ng b ng những con số đại số hóa
hình học , tìm hiểu các tính chất của đường th ng, đường trịn, đường elip thơng
ua phương trình và các biểu th c uy tắc đại số của chúng.
ếu như ở lớp học sinh mới biết đường th ng thông ua những hình ảnh
trực uan như hình của mọt sợi chỉ k o dài ra vô tận hay một vệt phấn trên bảng
dài vơ tận,… thì ở lớp 10 học sinh s có cách nhìn nhận mới về đường th ng
thơng ua những điểm thuộc đường th ng, vectơ chỉ phương VTCP và vectơ
pháp tuyến VTPT của đường th ng thể hiện t phương trình của nó mà khơng
cần v hình.
Các bài tập về phần đường th ng mang tính t ng hợp nên đòi hỏi học sinh
phải nắm vững kiến th c về tính chất hình học ph ng ở lớp , cách viết phương
trình đường th ng, cách tính khoảng cách t một điểm đến một đường th ng,
khoảng cách giữa hai đường th ng,… đã được học trước đó. Khi phân tích nhìn
nhận bài tốn dưới nhiều góc độ khác nhau trong phần bài tập ở nội dung này s
giúp học sinh có những k năng làm bài t ng hợp và hiểu sâu hơn về sự kết hợp
giữa hình học ph ng và PPTĐ để giải uyết bài tốn.
Vì những lý do trên mà tơi uyết định chọn đề tài “
10

.

2


2.
2.1.

c

ch nghi n c u à nhi m
c

nghi n c u

ch nghi n c u

R n luyện k năng phân tích trong giải tốn cho học sinh.
2.2. Nhi m

nghi n c u

* Nghiên c u lý luận: Hệ thống lại một số lý luận về giải toán, k năng giải tốn
và k năng phân tích nhìn bài tốn dưới nhiều góc độ khác nhau.
* Tìm hiểu thực ti n k năng phân tích trong giải tốn của học sinh lớp 10
* Đề xuất một số biện pháp nh m r n luyện k năng phân tích nhìn nhận bài
tốn dưới nhiều góc độ khác nhau, cụ thể trong các bài tập nội dung đường
th ng của hình học 10.
* Thực nghiệm sư phạm về tính khả thi và tính hiệu uả của biện pháp đưa ra.
3. Giả thi t hoa học
R n luyện và nâng cao k năng phân tích nhìn nhận bài tốn dưới nhiều
góc độ khác nhau giúp học sinh tìm lời giải và có thể tìm ra những cách giải

đúng, giải hay cho m i bài toán. T đó giúp học sinh giải tốn hiệu uả hơn.
4. hương pháp nghi n c u
- ghiên c u lý luận: Quan điểm, kết luận khoa học và k năng phân tích
nhìn nhận bài tốn dưới nhiều góc độ khác nhau của học sinh.
- Điều tra khảo sát thực ti n.
- Thực nghiệm sư phạm: Dạy thử cho học sinh lớp 10 và bước đầu kiểm tra
đánh giá tính khả thi, hiệu uả của biện pháp đưa ra.
5. C u tr c h a lu n
goài các phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, phụ lục khóa luận cịn
có 3 chương:
Chương 1. Cơ sở lý luận
Chương 2. Một số biện pháp r n luyện k năng phân tích nhìn nhận bài
tốn dưới nhiều góc độ khác nhau trong hệ thống bài tập về đường th ng cho
học sinh lớp 10.
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm

3


HẦN 2: NỘI D NG
Chương . CƠ

Ý

N

1.1. hương pháp chung ể giải một bài tốn.
Giải bài tốn là trình suy luận nh m khám phá làm rõ uan hệ logic
giữa giả thiết cái đã cho và kết luận cái phải tìm [19, tr.5].
Theo G.Polya để giải một bài tốn thông thường học sinh thực hiện 4 bước.

Cụ thể gồm những bước sau:
Bước . Tìm hiểu bài tốn
- Phát biểu bài toán dưới dạng khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán;
- Phân biệt giả thiết và kết luận ;
- ếu bài tốn liên uan tới một hình v , thì phải v hình và chỉ ra cái chưa
biết và những cái đã biết. ếu cần phải gọi tên những yếu tố đó, thì cần phải đưa
vào những kí hiệu thích hợp chú ý là s có những yếu tố đặc biệt và ta phải có
những kí hiệu riêng .
Bước 2. Tìm cách giải
- Tìm tịi phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính tìm đốn: biến đ i
cái đã cho, biến đ i cái phải tìm hay phải ch ng minh, liên hệ bài toán cần giải
với một bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán t ng uát hơn
hay một bài tốn nào đó có liên uan; sử dụng những phương pháp đặc thù với
t ng dạng toán như: ch ng minh phản ch ng, uy nạp toán học, toán dụng hình,
u tích,…;
- Kiểm tra lời giải b ng cách xem x t kĩ t ng bước thực hiện hoặc đặc biệt
hóa kết uả tìm được. Đối chiếu kết uả với một số tri th c có liên uan;
- Tìm tịi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn được cách giải hợp
lí nhất.
Bước 3. Trình bày lời giải
- T cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một trình
tự thích hợp và trình bày một cách logic.
Bước 4. Nghi n c u sâu lời giải
- ghiên c u khả năng ng dụng kết uả của lời giải;
- ghiên c u giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề.

4


1.2.

ỹ năng phân t ch tìm lời giải của bài tốn

Trong trình giải tốn phân tích là k năng chia một chỉnh thể ra thành
nhiều phần riêng lẻ để đi sâu vào nghiên c u chi tiết t ng phần. K năng là một
thao tác tư duy uan trọng để giải uyết bài toán nên học sinh cần được r n
luyện thường xun trong trình học tốn.
Khi giải tốn k năng phân tích các dữ kiện, số liệu của bài tốn nh m tìm
lời giải cho bài tốn. K năng phân tích bài tốn là phân chia bài toán đã cho
thành nhiều bài toán nhỏ hơn hay những bài tốn cơ bản .
Q trình phân tích tìm lời giải của bài tốn cần phải có một định hướng cụ
thể. Trước hết ta phải hiểu bài toán một cách t ng thể. Khi bài tốn đã được hiểu
trên tồn bộ, khi ta đã tìm được mục đích, ý chủ đạo thì phải đi vào chi tiết.
Trong hầu hết các trường hợp, nên bắt đầu b ng cách xem x t các yếu tố chính:
ẩn số, các dữ kiện và điều kiện. Sau đó ta s đi sâu vào chi tiết, thường thường
thì ta nên x t bản thân m i dữ kiện, phân biệt các yếu tố khác nhau của điều kiện
và xem x t t ng yếu tố một. Tiếp đó:
- Đối với bài tốn tìm tịi ta có thể áp dụng phương pháp: chỉ giữ lại một
phần giả thiết, bỏ ua phần kia. Làm như vậy là ta đã giảm nhẹ điều kiện của bài
toán và số ẩn cần tìm. Khi đó ẩn được xác định trong một ch ng mực nào đó và
đặt ra một bài toán mới. ếu ẩn là một điểm trong mặt ph ng thì cách giải bài
tốn mới này là xác định u tích của điểm đó. ếu ẩn là một đối tượng tốn
học khác thì ta phải mơ tả đúng đắn, biết đặc trưng một cách chính xác một
nhóm đối tượng. gay cả khi nếu ẩn không phải là một đối tượng tốn học thì
cũng nên nghiên c u, đặc trưng, mô tả hay liệt kê ra danh sách các điều kiện có
thể thỏa mãn một phần các điều kiện của ẩn.
- Đối với bài toán ch ng minh việc phân tích giúp tạo ra một bài tốn mới
b ng một số cách như sau:
Cách 1: Giữ kết luận và thay đ i giả thiết. Trước hết ta thử nhớ lại một bài
tốn ch ng minh tương tự. ếu khơng nhớ được thì ta có thể thử đặt ra một bài

tốn như vậy: có thể tìm được một giả thiết khác, t đó rút ra được kết luận trên.
Ta có thể thay đ i giả thiết b ng cách bỏ ua một yếu tố của nó: chỉ giữ một
phần giả thiết, bỏ ua phần kia và đặt ra câu hỏi "làm như thế kết luận cịn có giá
trị hay khơng?".
Cách 2: Giữ giả thiết và thay đ i kết luận. T giả thiết có thể rút ra được
một điều gì có ích?

5


Cách 3: Thay đ i giả thiết l n kết luận. ếu chỉ thay đ i một cái mà khơng
có kết uả thì càng nên thử thay đ i cả hai: có thể hay khơng thể thay đ i giả
thiết hay kết luận, hay cả hai nếu cần thiết? Phân tích đó thể đưa ra giả thiết mới
và kết luận mới lại gần nhau hơn khơng?
Việc phân tích một bài tốn có hiệu uả phụ thuộc vào kết uả r n luyện k
năng trong việc phân tích. Cần tiến hành r n luyện k năng theo các cấp độ:
+ Bắt chước: Quan sát và cố gắng lặp lại một thao thác hay k năng nào đó;
+ Thao tác: Hồn thành một k năng nào đó theo chỉ d n khơng cịn là bắt
chước máy móc;
+ Chuẩn hóa: Lặp lại một k năng nào đó một cách nhịp nhàng, đúng đắn,
thường thực hiện một cách độc lập, không phải hướng d n
+ Phối hợp: Kết hợp được nhiều k năng theo th tự xác định, nhịp nhàng
và n định;
+ Tự động hóa: Hồn thành một hay nhiều k năng một cách d dàng và trở
thành tự nhiên khơng địi hỏi một sự gắng s c về thể lực hay trí tuệ.
Khi phân tích một bài tốn cụ thể các cấp độ k năng trên phải được tiến
hành một cách nhanh chóng và hiệu uả nhất.
1.3.

ỹ năng phân t ch nhìn nh n bài toán dưới nhi u g c ộ hác nhau

K năng nhìn nhận bài tốn dưới nhiều góc độ khác nhau là k năng khám
phá phát hiện và chuyển hóa bài tốn dưới nhiều góc độ sử dụng các kiến th c
khác nhau nh m tìm thấy được t bài tốn hay các vấn đề có tính thực ti n, bản
chất các uan hệ tốn học t đó xác định được nhiều hướng giải và tìm được
nhiều cách giải bài toán hay vấn đề thực ti n đã được mơ hình hóa tốn học.
M i bài tốn đều được sinh ra trực tiếp t một số kiến th c nhất định, m i
kiến th c trong bài tốn có liên uan tới kiến th c sinh ra nó và các kiến th c
mà nó sinh ra. Khi xem xét phân tích một bài tốn ta có thể xem x t theo các góc
độ khác nhau tùy theo sử dụng những kiến th c sinh ra bài toán hay các kiến
th c có liên uan gián tiếp tới bài tốn. Sử dụng các kiến th c khác nhau qua
quá trình phân tích ta có thể tạo nên những mơ hình khác nhau về bài tốn đó.
M i kiến th c uy định các k năng k xảo giải toán tương ng, điều đó cho
thấy việc phân tích bài tốn trên các mơ hình khác nhau có thể tìm thấy nhiều
hướng giải với nhiều cách giải khác nhau. Khi biết xem x t phân tích bài tốn
dưới các góc độ khác nhau học sinh có thể r n luyện tính mềm dẻo linh hoạt của

6


năng lực giải tốn ua đó nâng cao khả năng nhanh nhạy trong sử lí các tình
huống phù hợp với u cầu giải tốn nói riêng và trong cuộc sống nói chung.
Khi phân tích bài tốn học sinh khơng thể chỉ nhìn bài tốn t một góc độ
mà phải xem x t t nhiều phía, khơng chấp nhận một cách giải uen thuộc và
duy nhất.
1.4. Rèn luy n ỹ năng phân t ch nhìn nh n bài tốn dưới nhi u g c ộ
hác nhau ể tìm hướng giải tốn.
Khi phân tích bài tốn cần r n luyện cho học sinh cách nhìn nhận bài tốn
theo nhiều góc độ khác nhau để xem x t các khả năng về lời giải trước khi giải
tốn cụ thể.

Việc phân tích nhìn nhận bài tốn theo nhiều góc độ khác nhau giúp cho
học sinh xác định được hướng giải cụ thể t đó giúp cho lời giải được thể hiện
rõ hơn. hờ đó mà có thể giải được bài tốn b ng nhiều cách khác nhau.
Việc phân tích nhìn nhận bài tốn duới nhiều góc độ khác nhau là dựa trên
việc phân tích tìm hiểu nội dung bài tốn để tìm ra các hướng giải đúng cho bài
toán. Muốn vậy học sinh cần nghiên c u phân tích k các dữ kiện dữ liệu có
trong bài tốn. Việc phân tích căn c vào u cầu mà bài tốn đó địi hỏi t đó
huy động khả năng tái hiện kiến th c để xác định đúng thể loại bài tốn. Việc
phân tích cần thực hiện các thao tác: cách li, liên kết, phân nhóm lại và b sung
kiến th c để t ch c sắp xếp lại kiến th c theo một hệ thống hồn thiện, giúp
cho việc hiểu rõ bài tốn và tìm hướng giải bài tốn có hiệu uả. Qua phân tích
học sinh phải xác định được nội dung tri th c cần thiết và có thể áp dụng để giải
bài tốn đó. Điều đó địi hỏi cần có một k năng dự đốn, phân tích và t ng hợp
các kiến th c và tư duy logic tốt. Phải biết cách kết nối các yếu tố của bài tốn
và một trí nhớ tốt.
gồi việc nắm các hướng giải chung thì việc phân tích đầy đủ giúp tìm ra
những cái riêng, cái độc đáo của t ng bài toán cụ thể, lựa chọn được phương án
thích hợp nhất và tối ưu nhất cũng rất uan trọng.
1.5.
1.5.1.

ột số ỹ năng hác gi p cho i c phân t ch c hi u quả.
ò mẫm à dự oán.

Trong toán học cũng như những nghành khoa học khác đều cần có thí
nghiệm, có mị m m để dự đoán các kết uả, uy luật trước khi ch ng minh
chúng. Đối với các loại tốn tìm kiếm, toan tìm u tích một điểm hay một hình
có tính chất nào đó, tìm biểu th c t ng t của một đại lượng nào đó,… thì cái
khó khăn đầu tiên và cũng là khó khăn chủ yếu là: dự đốn được hình phải tìm,
7

dự đoán được uả phải ch ng minh. Trong trường hợp này phải biết mị m m.
Thơng thường là cách x t một số trường hợp đặc biệt của bài tốn, so sánh để
tìm thấy sự tương tự của các trường hợp đó rồi t ng uát hóa lên để tìm ra dự
đốn. Sau đó nếu cần lại đặc biệt hóa để kiểm tra lại dự đốn.
Mị m m phải hướng vào mục đích rõ ràng có ý chủ đạo của nó. Trong
trình mị m m phải biết nhận x t, phân tích, vận dụng và phát huy sáng kiến.
Ch ng hạn:
*) Trong khi giải bài tốn u tích thì tr những trường hợp đơn giản thì cơng
việc đầu tiên phải làm là tìm cách dự đốn hình dạng, vị trí của u tích. Sau đó
mới ch ng minh hình đó đúng là u tích phải tìm.
ói riêng về bài tốn u tích trong mặt ph ng thì trong tình mị m m
cần chú ý r ng ở đây u tích chỉ có thể là một trong những hình sau: đường
th ng, đoạn th ng, đường trịn, cung trịn... ếu ba điểm của u tích khơng
th ng hàng thì có thể dự đốn u tích là đường trịn hoặc cung trịn. ếu một
điểm của u tích có thể chạy ra xa mãi mãi thì u tích có thể là đường th ng.
V

ụ 1. Tìm u tích điểm M thỏa mãn: AM  BM , biết A(1;2) và B(5;6).

Phân tích dấu hiệu AM  BM với A, B đã cho ta thấy tập hợp điểm M chính
là tập hợp những điểm cách đều hai điểm cố định A, B nên ta dự đoán M thuộc
đường trung trực của đoạn th ng AB.
Đường trung trực của đoạn th ng AB phải ua trung điểm H của AB và ta
ln tìm được H vì biết A và B.
MH ln vng góc AB nên nMH và AB ln cùng phương. Vì A và B đã
biết nên ta có thể tìm được tọa độ của AB , t đó suy ra nMH . T đây, ta có thể đi
theo một trong các hướng sau:
Hướng 1: Viết ptt của MH vì biết điểm đi ua và VTPT.

Hướng 2: T VTPT suy ra VTCP của MH nên ta viết được ptts của MH vì
biết điểm đi ua và VTCP.
Hướng 3: T VTPT suy ra VTCP của MH nên ta viết được ptct của MH vì
biết điểm đi ua và VTCP.
*) Đối với những bài toán tìm tịi khơng thuộc bài tốn u tích thì khâu quan
trọng nhất trong việc giải tốn là mị m m kết uả.
V

ụ 2. Viết phương trình đường th ng d đi ua điểm A  3;0 , và song song với

đường th ng ∆: x  2 y  6  0 .
8


Phân tích dữ kiện d // ∆, ta có:
(i) nd  n và ta ln tìm được n vì ∆ đã cho phương trình;
(2i) nd .u  0 và ta ln tìm được u vì ∆ đã cho phương trình;
(3i) ud  u và ta ln tìm được u vì ∆ đã cho phương trình;
(4i) ud .n  0 và ta ln tìm được n vì ∆ đã cho phương trình;
Khi đó:
+T

i hoặc 2i ta tìm được nd . T đây ta viết được ptt của đường th ng

d vì biết điểm đi ua và VTPT.
+T

3i hoặc 4i ta tìm được ud . Ta có thể viết ptts của đường th ng d vì

biết điểm đi ua và VTCP.

+T

3i hoặc 4i ta tìm được ud và nhận thấy hồnh độ và tung độ của

VTCP ln khác khơng. Ta có thể viết ptts của đường th ng d vì biết điểm đi
qua và VTCP.
V

ụ 3. Cho hai điểm A3;1 , B  2;4 . Viết phương trình đường th ng ∆ đi ua A

và cách điểm B một khoảng b ng 2.
T dữ kiện ∆ đi ua A  3;1  Phương trình của ∆ có dạng:
 ( x  3)   ( y  1)  0 với  2   2  0
  x   y  3    0 với  2   2  0 (1)

Khi đó, khoảng cách t điểm B  2;4 đến đường th ng ∆ xác định bởi
công th c:
d  B,   

 .2   .4  3  
 
2

2



3  

 

2

2

với  2   2  0

T dữ kiện d  B,    2 ta suy ra:
2

3  

 
2

2

 3    2  2   2 với  2   2  0 (2)

Giải phương trình (2) ta được:

   ,   0
  7 ,   0

+ Với    ,   0 , ta được phương trình của ∆ có dạng:
 x   y  3    0,   0  x  y  4  0

9


+ Với   7 ,   0 , ta được phương trình của ∆ có dạng:

 7  x   y  3. 7     0,   0  7 x  y  20  0
Ta có thể mị m m, dự đốn b ng các câu hỏi: Bài tốn có hợp lý khơng?
Giả thiết có thể được thỏa mãn khơng? Giả thiết có đủ điều kiện để xác định ẩn
hay khơng? Thiếu hay th a, v a hay đủ? T đó rút ra các cách tìm ẩn thỏa mãn
đề bài.
Như vậy mục đích của tìm tịi là tìm ra được một số đối tượng nhất định.
Tìm ra những ẩn của bài toán thỏa mãn điều kiện ràng buộc với các dữ kiện của
bài tốn đó. Ẩn có thể là những phạm trù hết s c khác nhau. Ch ng hạn, trong
các bài tốn về ch ng minh thì ẩn là điều phải ch ng minh; cịn trong các bài
tốn giải phương trình đại số thi ẩn là một số nghiệm của phương trình đó . Ta
s gọi ẩn, điều kiện, dữ kiện là những phần chính của bài tốn tìm tịi. Vì vậy
trong q trình giải một bài tốn học sinh cần chú ý tới những điều đó.
1.5.2. Tương tự h a gi p phân t ch các trường hợp, các bài tốn c
giống nhau.

iểm

Tương tự hóa là trình suy nghĩ phát hiện ra sự giống nhau giữa hai đối
tượng để t những sự kiện đã biết đối với đối tượng này dự đoán những sự
tương ng đối với đối tượng kia. Ở đây trong hai đối tượng đem ra so sánh có
một đối tượng mà ta biết tường tận, cịn đối tượng kia ta đang đặt vấn đề tìm
hiểu nó.
Để tiến hành tương tự hóa bao giờ ta cũng phải bắt đầu t sự phân tích và
so sánh để tìm ra ch giống nhau, ch khác nhau của hai đối tượng mang ra so
sánh. T đó d n đến những dự đoán về những sự kiện s xảy ra đối với đối
tượng mà ta đang nghiên c u.
V ụ 4: So sánh hình chữ nhật và hình hộp chữ nhật ta thấy những uan hệ giữa
các cạnh của hình chữ nhật giống như những uan hệ giữa các mặt của hình hộp
chữ nhật. Cụ thể:

M i cạnh của hình chữ nhật chỉ song song và b ng cạnh đối diện, vng
góc với những cạnh cịn lại.
hư vậy, so sánh là điểm bắt đầu của tương tự hóa và tương tự hóa là mục
đích của sự so sánh.
Tương tự hóa giúp ta dự đoán những sự kiện chưa biết t những sự kiện đã
biết tương ng với nó trong ph p tương tự này. Trong tốn học có nhiều sự kiện
tương tự và sự tương tự đạt đến m c chính xác tốn học là sự đ ng cấu. Trong
10


trình dạy học tốn học có thể tận dụng những cơ hội thích hợp để cho học
sinh tập dự đốn b ng tương tự hóa.
hờ so sánh các đối tượng với nhau mà ta nhận th c được các đối tượng đó
một cách sâu sắc. Trong giải tốn t sự so sánh các bài tốn ta có thể tìm ra lời
giải của các bài toán cần giải b ng cách lợi dụng kết uả, phương pháp, hay kinh
nghiệm giải những bài tốn đã giải.
Đặc biệt trong việc tìm lời giải cho một bài toán sử dụng phương pháp
tương tự có thể giúp ta giải được bài tốn một cách nhanh chóng nếu học sinh
biết cách liên hệ giữa bài toán cần giải với bài toán đã giải.
Khi gặp những bài tốn có các phần tương tự nhau để tránh việc trình bày
dài dịng, người ta thường sử dụng những cụm t như: "Ch ng minh tương tự ta
có…" hay "Tương tự ta có kết uả…". Cách trình bày này cho học sinh hiểu
người ta hay đối tượng này b ng đối tượng kia mà việc ch ng minh hay tìm kết
uả khơng có gì mới và khác.
Bài tốn 1. Cho đường th ng ∆: 2 x  y  7  0 . Ch ng minh r ng điểm A(0;7)
thuộc đường th ng ∆.
Bài toán 2. Cho họ đường th ng  m;n : 2mx   3m  n  y  8m  4n  0,  m 2  n 2  0  .
Ch ng minh r ng điểm B 10; 4 là điểm cố định mà họ đường th ng m;n đi ua.
So sánh hai bài toán trên ta thấy chúng thuộc cùng một dạng, các câu hỏi
tương tự nhau. Ở bài toán 1 học sinh d dàng giải uyết dựa vào điều kiện cần

và đủ để một điểm thuộc đường th ng. hưng để giải bài toán 2 là một bài toán
t ng uát hơn thì học sinh cần biết cách giải bài tốn 1 t trước thì đến bài tốn
2 s giải uyết d dàng hơn.
- Ở bài toán 1, để ch ng minh A ta ch ng minh tọa độ của điểm A thỏa
mãn phương trình đường th ng ∆. Thật vậy, thay tọa độ của điểm A vào phương
trình đường th ng ∆ ta được: 2.0  7  7  0  0  0 đpcm
- Ở bài toán 2, để ch ng minh điểm B 10; 4 là điểm cố định mà các đường
th ng trong họ đường th ng m;n đã cho đi ua, t c là B thuộc tất cả các đường
th ng của hay tọa độ của điểm B thỏa mãn phương trình của  m;n ,   m, n  .Thật
vậy, thay tọa độ của điểm B vào phương trình của ta được:
2m.10   3m  n  4  8m  4n  0  0.m  0.n  0 , đúng với   m, n 

Ta có thể cho học sinh làm những bài tốn có dạng tương tự như trên dựa
trên cơ sở học sinh đã biết cách giải.
11


V

ụ 5 : Cho họ đường th ng (m ) :  m  2 x  my  2m  5  0 . Tìm điểm cố định

M mà họ đường th ng đi ua.
Phân tích:
Hướng 1: Giả sử M  x0 ; y0  .
T dấu hiệu M là điểm cố định của một họ đường th ng   M  ta được M là
điểm mà mọi đường th ng trong họ đường th ng   M  đi ua.
M là điểm mà mọi đường th ng trong họ đường th ng   M  đi ua nếu tọa
độ của điểm M thỏa mãn phương trình của mọi đường th ng n m trong họ
đường th ng   M  , t c là:

 m  2  x0  my0  2m  5  0, m  mx0  2 x0  my0  2m  5  0, m
 x0  y0  2  0
 m  x0  y0  2   2 x0  5  0, m  
 *
2 x0  5  0

Khi đó giải hệ phương trình * ta tìm được tọa độ của điểm M.
Hướng 2: T dấu hiệu M là điểm cố định của một họ đường th ng   M  ta được
M là giao điểm của hai đường th ng bất kì n m trong họ đường th ng   M  .
Ta lấy được hai đường th ng bất kì n m trong họ đường th ng   M  vì
phương trình của họ đường th ng   M  đã cho và khi đó ta tìm giao điểm của
chúng. Tọa độ giao điểm của hai đường th ng bất kì đó chính là tọa độ của điểm
M cần tìm vì hai đường th ng đó là hai đường th ng bất kì.
Trong khi giải bài tập nếu giáo viên sử dụng lớp các bài tốn tương tự thì s
giúp cho học sinh hình thành k năng thành thạo trong giải bài tập và tạo cho
học sinh thói uen hay phản ng khi đ ng trước những đề tốn mà mình đã biết
cách giải.
1.5.3. Đặc bi t h a.
Theo G.Polya: "Đặc biệt hóa là chuyển t việc nghiên c u một tập hợp đối
tượng đã cho sang việc nghiên c u một tập nhỏ hơn ch a trong tập hợp đã cho".
Đặc biệt hóa trong giải toán là thu gọn việc nghiên c u bài tốn về những
bộ phận có phạm vi nhỏ hơn và có đặc điểm riêng n i bật của bài tốn ban đầu.
Học sinh thường tiến hành đặc biệt hóa khi chuyển việc nghiên c u cả một
lớp đối tượng sang một đối tượng cụ thể riêng biệt của lớp đó. Đặc biệt hóa

12


thường sử dụng trong chỉ ra ví dụ phản ví dụ về khái niệm, các kết uả riêng của
đinh lý, cách giải các bài tập đặc biệt hay đơn giản.

Đặc biệt hóa trong tốn học thường xun được khai thác sử dụng theo hai
con đường khác nhau. Con đường th nhất: Đặc biệt hóa t cái t ng uát tói cái
riêng lẻ sau đó đặc biệt hóa tới cái riêng lẻ đã biết hoặc chưa biết. Con đường
th hai: Đặc biệt hóa t cái riêng tới cái riêng hơn sau đó đặc biệt hóa tới cái
riêng lẻ đã biết hoặc chưa biết.
1.5.4. uy lu n lôgic
Giải bài tập là uá trình suy luận nh m khám phá ra uan hệ logic giữa cái
đã cho và cái phải tìm. Thơng thường dể giải một bài toán học sinh phải lập
được một lược đồ xác định và mạch lạc những thao tác logic toán học hay thực
ti n. Bắt đầu b ng giả thiết và kết thúc b ng kết luận.
D n dắt t các đối tượng đến ẩn: Phân tích các đối tượng của đề bài cho
dưới nhiều khía cạnh và góc độ khác nhau. Vận dụng chúng một cách linh hoạt
vào việc tính tốn hay ch ng minh để có cái cần tìm.
Tuy nhiên, nhiều khi trong việc tìm lời giải địi hỏi học sinh phải sử dụng
các cơng cụ toán học mà học sinh đã biết, đã ch ng minh để giải mà khơng phải
là hồn tồn dựa vào những dữ kiện đề bài đã cho. ó có thể là các công th c,
các định lý, các đ ng th c… mà học sinh được uyền áp dụng để ch ng minh
hay giải toán.
Trong việc suy luận học sinh có thể dung phương pháp suy xi hoặc suy
ngược. Khi đúng trước một bài tốn ta có thể đi t cái mà bài toán đã cho để đến
cái mà bài tốn u cầu. ếu việc suy luận xi khơng hiểu uả thì ta có thể
dùng suy ngược, đi t cái phải tìm và phân tích đi lên dữ kiện bài tốn đã cho.
Sauk hi đã tìm được cách giải ta trình bày ngược lại.
t lu n chương
Chương 1 nghiên c u 5 vấn đề chính: 1) Phương pháp chung để giải một
bài tốn; 2) K năng phân tích tìm lời giải của bài tốn; 3 K năng phân tích
nhìn nhận bài tốn dưới nhiều góc độ khác nhau; 4 R n luyện k năng phân tích
nhìn nhận bài tốn dưới nhiều góc độ khác nhau để tìm hướng giải tốn; 5 Một
số k năng khác giúp cho việc phân tích có hiệu uả. T đó định hướng cho các
vấn đề s nghiên c u ở chương 2.

13


Chương 2. ỘT Ố BI N HÁ CƠ BẢN NHẰ R N
Y N
N NG HÂN T CH NHÌN NH N BÀI TOÁN DƯ I NHI
G C ĐỘ
KHÁC NHAU TRONG HẦN BÀI TOÁN V ĐƯỜNG TH NG CHO
HỌC INH
T kết uả nghiên c u của chương 1, chương 2 tập trung là rõ kiến th c
cần nhớ về đường th ng. Tiến hành nghiên c u: một số biện pháp để r n luyện
k năng nhìn nhận bài tốn dưới nhiều góc độ khác nhau; một số sai lầm mà học
sinh hay mắc phải trong ua trình phân tích tìm lời giải và hướng khắc phục.
2. .

i n th c cần nhớ

2. . . H tr c tọa ộ
.H
Trong mặt ph ng cho điểm O cố định và hai vectơ không cùng phương
e1 và e2 . Khi đó bộ {O; e1 , e2 } được gọi là hệ tọa độ aphin hay hệ tọa độ xiên .
Hệ tọa độ aphin thường dùng để giải các bài toán aphin, t c là các bài tốn
có liên uan đến tính chất khơng đ i ua ph p biến đ i aphin như tính chất song
song, đồng uy của các đường th ng, tính th ng hàng của 3 điểm.
.H

Đ - các vng góc
Hệ tọa độ aphin {O; e1 , e2 } có e1  e2  1 và e1  e2 được gọi là hệ tọa độ

Đề-các vng góc hay hệ tọa độ trực chuẩn .
Hệ tọa độ Đề - các vng góc thường được dùng để giải các bài toán liên
uan đến tính độ dài của đoạn th ng hoặc độ lớn của một góc.
2. .2. Tọa ộ của iểm, của ectơ ối ới một h tọa ộ cho trước.
Trong mặt ph ng cho hệ tọa độ . Khi đó:
+ u  ( x; y)  u  xe1  ye2
+ M  xM ; yM   OM   xM ; yM 
+ ếu u   x; y  , v   x '; y ' thì u  v   x  x '; y  y ' , ku   kx; ky  .
2.1.3. Phương trình của ường th ng
a. Ph ơ

ố

*) Vectơ chỉ phương VTCP
Định nghĩa: Vectơ u được gọi là VTCP của đường th ng ∆ nếu u  0 và có giá
song song hoặc trùng với ∆.
14


Nhận xét:
+ ếu u là VTCP của đường th ng ∆ thì mọi vectơ ku với k  0 cũng là
VTCP của ∆.
+ Một đường th ng hoàn toàn xác định khi biết VTCP và một điểm của nó.
* Phương trình tham số của đường th ng ∆ đi ua điểm M  xM ; y
 x  xM  at
u   a; b  là: 
 y  yM  bt

ếu a  0, b  0 thì t

t  

M

 và có VTCP

(1)

1 ta suy ra

x  xM y  yM

a
b

(2)

Phương trình (2) với điều kiện a  0, b  0 gọi là phương trình chính tắc của
đường th ng ∆.
*) Phương trình đường th ng ∆ đi ua điểm M  xM ; y

M

 và có hệ số góc k là:

y  yM  k  x  xM 
b
a

ếu ∆ có VTCP u   a; b  với a  0 thì hệ số góc của ∆ là k  .

ếu ∆ có hệ số góc k thì ∆ có VTCP u  1; k  .
Lưu ý: Đường th ng có hệ số góc k ln có dạng: y  kx  m
b. Ph ơ

ổ

q

*) Vectơ pháp tuyến VTPT
Định nghĩa: Vectơ n là VTPT của đường th ng ∆ nếu n  0 và vng góc với
VTCP của đường th ng ∆.
Nhận xét:
+ ếu n là VTPT của ∆ thì mọi vectơ k n với k  0 cũng là VTPT của ∆.
+ Một đường th ng hoàn toàn xác định khi biết VTPT và một điểm của nó.
* Phương trình pháp dạng của đường th ng ∆ đi ua điểm M  xM ; yM  và có
VTPT n   A; B  là: A x  xM   B  y  yM   0
* Phương trình t ng
A2  B 2  0 Ta có:

uát của đường th ng có dạng Ax  By  C  0

+ VTPT n   A; B  .
15

với


+ VTCP u   B;  A hoặc u '    B; A
+ Hệ số góc k  

A
với B  0 .
B

* Phương trình đoạn chắn: Cho đường th ng ∆ đi ua điểm M  a;0 và N  0; b 
thì ∆ có phương trình đoạn chắn dạng:

x y
 1
a b

Lưu ý:
+ Phương trình đường th ng đi ua điểm M  xM ; yM  ln có dạng:
  x  xM     y  yM   0 với  2   2  0

+ Phương tình đường th ng có VTCP u   a; b  ln có dạng: bx  ay  c  0
2. .4

hoảng cách à g c

.K

ả

ữ

ể

Khoảng cách giữa hai điểm M  x; y  và N  x '; y ' được xác định bởi công
th c:

.K

MN 

 x ' x    y ' y 

ả

2

ừ

2

ể

* Khoảng cách t điểm M  xM ; yM  đến đường th ng  : Ax  By  C  0 được xác
định bởi công th c: d  M ,   

AxM  ByM  C
A2  B 2

* Khoảng cách đại số t M  xM ; yM  và đường th ng  : Ax  By  C  0 được định
nghĩa: tM : HM 

AxM  ByM  C
A2  B 2

với H là hình chiếu của M lên đường th ng  .

* ếu đường th ng  : Ax  By  C  0 chia mặt ph ng Oxy thành hai nửa mặt
ph ng có bờ là ∆, ta ln có :
+ Một nửa mặt ph ng ch a các điểm M1   x1; y1  thỏa mãn
  M1   Ax1  By1  C  0

+ ửa mặt ph ng còn lại ch a các điểm M 2   x2 ; y2  thỏa mãn
  M 2   Ax2  By2  C  0

* Cho hai đường th ng cắt nhau 1 và  2 có phương trình:
1 : A1 x  B1 y  C1  0 và 2 : A2 x  B2 y  C2  0

16


Gọi d và d' là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường th ng .
Khi đó:
M  x; y   d  d '  d  M , 1   d  M ,  2  

A1 x  B1 y  C1
A12  B12



A2 x  B2 y  C2
2
2
A2  B2

Vậy phương trình của hai đường phân giác của các góc hợp bởi hai đường
th ng cắt nhau 1 và  2 là:

A1 x  B1 y  C1
A B
2
1

.G

2
1



A2 x  B2 y  C2
2
2
A2  B2

ữ
Cho hai đường th ng 1 : A1 x  B1 y  C1  0 và 2 : A2 x  B2 y  C2  0 .
Kí hiệu α là góc giữa ∆1 và ∆2, khi đó 0    900 và
cos 

A1. A2  B1.B2
2
2
A12  B12 . A2  B2

2. . . Vị tr tương ối của hai ường th ng
X t hai đường th ng 1 : A1 x  B1 y  C1  0 và 2 : A2 x  B2 y  C2  0
Khi đó, tọa độ giao điểm của ∆1 và ∆2 là nghiệm của hệ phương trình:

 A1 x  B1 y  C1  0
(I)

 A2 x  B2 y  C2  0

Ta có các trường hợp sau:
+ Hệ I có một nghiệm  x0 ; y0  , khi đó ∆1 cắt ∆2 tại M  x0 ; y0  .
+ Hệ I có vơ số nghiệm, khi đó ∆1 và ∆2 có vơ số điểm chung, hay ∆1
trùng với ∆2.
+ Hệ I vơ nghiệm, khi đó ∆1 và ∆2 khơng có điểm chung, hay ∆1 song
song với ∆2.
Nhận xét: T việc x t số nghiệm của phương trình I để suy ra vị trí tương đối
của của hai đường th ng ∆1 và ∆2 ta có kết uả sau:
Đặt: D 

A1
A2

B1
B
 A1 B2  A2 B1 , Dx  1
B2
B2

C1
C
 B1C2  B2C1 , Dy  1
C2
C2

Khi đó:
+ 1 cắt  2  D  0
17

A1
 C1 A2  C2 A1
A2


D  0

+ ∆1 //∆2   Dx  0
 D  0
 y

+ ∆1  ∆2  D  Dx  Dy  0
Đặc biệt, nếu A2 B2C2  0 thì
+ 1 cắt  2 

A1 B1

A2 B2

+ ∆1 // ∆2 

A1 B1 C1


A2 B2 C2

+ ∆ 1  ∆2 

A1 B1 C1


A2 B2 C2

Chú ý: Ta cũng có thể x t vị trí tương đối của hai đường th ng dựa vào VTCP
hoặc VTPT của chúng. Cụ thể:
i ếu VTCP hoặc VTPT của chúng cùng phương thì hai đường th ng
đó cắt nhau.
(ii ếu VTCP hoặc VTPT của chúng khơng cùng phương thì chúng song
song hoặc trùng nhau. Đến đây ta cần x t thêm một bước nữa, cụ thể ta lấy một
điểm bất kì thuộc đường th ng này và x t xem điểm đó có thuộc đường th ng
kia khơng? ếu khơng thuộc thì hai đường th ng đó song song, ngược lại thì
chúng trùng nhau.
2.2. ột số bi n pháp ể rèn luy n ỹ năng nhìn nh n bài tốn dưới nhi u
g c ộ hác nhau. ng d ng phần bài t p
ường th ng
Trong giải tốn thực ra khơng có một thuật toán cụ thể nào để giải được
mọi bài toán, mà chỉ có thể đưa ra những gợi ý, những lời khuyên, những kinh
nghiệm. Chúng giúp cho việc tìm lời giải được đúng đắn hơn, nhanh hơn, thuận
lợi hơn và nhiều khả năng d n tới thành công hơn. Tùy t ng trường hợp cụ thể
mà vận dụng những kinh nghiệm đó càng linh hoạt, càng nhuần nhuy n thì càng
d d n tới thành công, càng nhiều thành công, càng giải được nhiều bài tốn thì
học sinh càng có nhiều kinh nghiệm và h ng thú giải toán.
M i bài tốn đều gồm có hai phần chính là giải thiết và kết luận. Có nhiều
bài tốn giả thiết và kết luận ở rất gần nhau, nhưng có bài tốn giải thiết và kết
luận lại ở xa nhau và cũng có thể rất xa nhau. Thường thường khi đưa ra một bài
tốn nào đó để gây trở ngại cho học sinh, tác giải đã làm cho giả thiết và kết

luận ở xa nhau. Vì vậy nhiệm vụ của học sinh là phải tìm cách biến đ i bài tốn
18


sao cho giả thiết và kết luận của bài toán tiến lại gần nhau hơn. Để làm được
điều đó trước hết học sinh phải phân tích và nhìn nhận bài tốn dưới nhiều góc
độ khác nhau để t đó tìm ra hướng đi đúng đắn và khoa học nhất.
2.2.1. Bi n pháp : hân t ch giả thi t của bài toán gắn ới những i n th c
khác nhau.
a) Cơ sở l lu n của bi n pháp:
Phân tích giả thiết giúp ta hiểu rõ bài toán, dữ liệu của bài tốn. ắm chắc
giả thiết ta có được các cơ sở để phân tích bài tốn thành các bài cơ bản đã biết.
Giả thiết của bài toán là cơ sở để ta tìm các định hướng lời giải. Quá trình biến
đ i giả thiết s d n đến chi tiết hóa cách giải, phân tích biến đ i t giả thiết đến
kết luận phải ua một loạt các cầu, việc phân tích càng tốt thì cái cầu đó càng rõ.
Các bước phân tích giả thiết càng tốt thì định hướng được các nhịp nối hay là cái
cầu liên uan đến giả thiết và kết luận càng tốt, điều đó giúp ta giải uyết được
bài tốn. Phân tích giả thiết r n luyện khả năng phân tích thuận cho học sinh
b) Ý nghĩa, m c

ch của bi n pháp

* Ý nghĩa của biện pháp:
- Phân tích giả thiết gắn với những kiến th c khác nhau là yêu cầu bắt buộc có
tác dụng trực tiếp giúp hoạt động giải tốn đi đến kết uả.
- Giúp học sinh hiểu đúng bài tốn, nhìn nhận bài tốn dưới nhiều góc độ khác
nhau;
- Giúp học sinh xác định cơ sở suy luận của bài tốn, t đó uyết định chất
lượng định hướng giải.
- Việc phân tích giả thiết giúp học sinh định ra nhiều hướng giải và thực hiện

nhiều cách giải có hiệu uả
* Mục đích của biện pháp:
- R n luyện k năng phân tích bài tốn nhìn nhận bài tốn dưới nhiều góc độ
khác nhau thơng ua các giải thiết để giải bài toán theo nhiều cách khác nhau.
- R n luyện nâng cao k năng phân tích trong học và giải toán.
c) Tổ ch c thực hi n
Bước 1: Sắp xếp giả thiết theo trình tự kiến th c.
Bước 2: Xem x t tất cả các trường hợp kiến th c liên quan đến giả thiết.

19


Bước 3: Chọn các trường hợp cần dùng và biến đ i giả thiết để tiến dần đến
kết luận của bài tốn.
d) V d minh hoạ
V

ụ 6: Lập phương trình tham số của đường th ng d, biết:
a) d đi ua điểm M  2;1 và có VTCP u  (3; 4) ;
b) d đi ua điểm M (2;3) và có VTPT n   5;1 .
Phân tích:

a) Ta viết được ln ptts của đường th ng d vì đã biết điểm đi ua và VTCP;
b) Hướng 1: Vì đã biết điểm mà đường th ng d đi ua và VTPT của d nên ta có
thể viết được ptt của d.
T ptt của d ta sử dụng tham số trung gian t b ng cách đặt x  kt hoặc
y  kt t đó suy ra y theo t hoặc x theo t).
Hướng 2: T ud .nd  0 ta có thể chọn ra một giá trị của ud vì nd đã biết. Ta
có thể viết ptts của d vì đã biết điểm đi ua và VTCP.
V

ụ 7: Cho tam giác ABC, biết A 1;4 , B 3; 1 , C  6;2 . Lập phương trình t ng

uát của đường cao AH và trung tuyến AM.
Phân tích:
* Lập phương trình t ng uát của đường cao AH:
Hướng 1: Phân tích dữ kiện AH là đường cao của tam giác ABC ta được:
AH  BC , suy ra nAH  k BC  k  0  và ta luôn tìm được BC vì B, C đã biết. Do đó
ta có thể chọn ra một giá trị của nAH .
Mặt khác, AH luôn đi ua A là điểm đã biết.Ta có thể viết ptt của đường
cao AH vì đã biết điểm đi ua và một VTPT.
Hướng 2: Phân tích dữ kiện AH là đường cao của tam giác ABC ta được:
AH  BC , suy ra nAH  kCB  k  0  và ta ln tìm được CB vì B, C đã biết. Do đó
ta có thể chọn ra một giá trị của nAH .
Mặt khác, AH luôn đi ua A là điểm đã biết.
Ta có thể viết ptt của đường cao AH vì đã biết điểm đi ua và một VTPT.

20