SKKN Một số phương pháp giải toán cực trị

MỞ ĐẦU
I. Đặt vấn đề:
Trong thực tế chúng ta thường gặp những bài tốn là đi tìm cái "nhất" trong
những ràng buộc nào đó (nhiều nhất, ít nhất, nhanh nhất, chậm nhất, ngắn nhất, tốt
nhất, rẻ nhất, đẹp nhất...).
Vì vậy, các bài tốn tìn giá trị lớn nhất (cực đại) và giá trị nhỏ nhất (cực tiểu)
của một đại lượng gọi chung là bài tốn tìm cực trị thường xun có mặt trong các kì
thi tốt nghiệp THCS, thi vào lớp 10 THPT, hay thi vào các trường Cao đẳng, Đại học
cũng như các đề thi học sinh giỏi ở nhiều năm, các bài tốn này rất phong phú địi hỏi
phải vận dụng kiến thức một cách hợp lí, nhiều khi khá độc đáo và bất ngờ. ở bậc
THCS ( chủ yếu học sinh khá, giỏi) đã được làm quen với loại toán này với dạng
chuyên đề. Tuy nhiên khi tìm hiểu thêm một số đồng nghiệp thì thấy nó cũng không
dễ dàng với học sinh .
Căn cứ vào những lí do trên, đề tài được chọn là: "Một số phương pháp giải
toán cực trị ". Do nhiều điều kiện cũng như kinh nghiệm còn hạn chế, hơn nữa, đây
là vấn đề tương đối rộng nên không thể tránh khỏi sai sót. Rất mong sự chí bảo q
báu của các thầy cơ và sự đóng góp chân thành của các bạn đồng nghiệp.
Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc !

Người thực hiện: Nguyễn Tiến Đoàn – Trường THCS Hương Sơn – Huyện Mỹ Đức

1


KIẾN THỨC CƠ BẢN
I - Định nghĩa:
1- Định nghĩa 1:
Cho biểu thức f(x,y,...)xác định trên miền D, ta nói m là giá trị lớn nhất của
f(x,y,...) trên D nếu 2 điều kiện sau được thoả mãn:
i) Với mọi x,y,...thuộc D thì f (x,y,...) ≤ m với m là hằng số.
ii) Tồn tại xo, yo...thuộc D sao cho f (x,y,...) = m

2- Định nghĩa 2:
Cho biểu thức f(x,y,...) xác định trên miền D, ta nói m là giá trị nhỏ nhất của
f(x,y,...) trên D nếu 2 điều kiện sau được thoả mãn:
i) Với mọi x ,y,...thuộc D thì f(x,y,...) ≥ m với m là hằng số
ii) Tồn tại xo, yo,..thuộc D sao cho f(x,y,...) = m.
Chú ý: Để tránh sai lầm thường mắc phải khi làm loại toán này , ta cần nhấn mạnh
và khắc sâu 2 điều kiện của định nghĩa, rèn những phản xạ sau:
+ Chứng tỏ f(x,y,...) ≤ m (hoặc f (x,y,...) ≥ m )với mọi x,y,...thuộc D.
+ Chỉ ra sự tồn tại xo ,yo ,...thuộc D để f(x,y,...) đạt cực trị.
Chú ý: Đến miền giá trị của biển.
Ta kí hiệu MaxA là giá trị lớn nhất của A, MinA là giá trị nhỏ nhất của A.
II - Một số tính chất của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàn số:
1: Tính chất 1: Gỉa sử A ⊂ B khi đó ta có :
a) Max f(x) ≤ max f(x)A
x∈A

x∈B

b) Min f(x) ≥ min f(x)
x∈ A

x∈ B

2: Tính chất 2 :"Nguyên lý phân rã "
Giá sử D = D1∪ D2 ,khi đó ta có cơng thức sau:
Người thực hiện: Nguyễn Tiến Đoàn – Trường THCS Hương Sơn – Huyện Mỹ Đức

2

a) Max f(x) =Max  Max f(x) , Max f(x) 
x ∈D1

x∈D

x∈D2

b) Min f(x) =Min  Min f(x) ,Min f(x) 
x∈D

x∈D1

x∈D2

Chú ý : Từ tính chất trên cho phép chuyển việc tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của một
hàm số trên tập hợp D phức tạp về các giá trị tương ứng các tập D 1,D2 đơn giản
hơn .Chính vì vậy tính chất này được gọi là "Ngun lý phân rã".
3: Tính chất 3: Nếu f(x,y) ≥ 0 với mọi x thuộc D, ta có :
2
a) Max f(x) = Maxf ( x)

x∈ D

x∈ D

2
Max f(x) = Maxf ( x)

x∈ D

x∈ D

4: Tnh chất 4:
a) Max (f(x) +g(x) ) ≤ Maxf(x) + Max g(x) (1)
x∈ D

x∈ D1

x∈D2

b)Min (f(x) + g(x) ) ≤ Min f(x) + Min g(x) (2)
x∈ D

x∈ D1

x∈D2

Dấu bằng trong (1) xảy ra khi có ít nhất một điểm x 0 mà ta lại có f(x) và g(x) cũng đạt
giá trị lớn nhất.Tương tự nếu tồn tại x 0 thuộc D mà tại đó f, g cũng đạt giá trị nhỏ nhất
thì (2) cũng có dấu bằng
5: Tính chất 5:
Max f(x) = - ≤ Min (f(x))
x∈ D

x∈ D

Khi dạy phần này, giáo viên nên hướng dẫn học sinh chứng minh các tính chất (
dựa vào định nghĩa), tránh áp đặt để học sinh nắm vững kiến thức và tránh được sai
lầm khi vận dụng giải bài tập.
Chú ý: Khi nói đến giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của một hàm số, bao giờ cũng phải

tìm TXĐ. Cùng một hàm số f(x) nhưng xét trên hai TXĐ khác nhau thì nói chung giá
trị lớn nhất tương ứng khác nhau. Để cho phù hợp với chương trình các lớp phổ thơng
Người thực hiện: Nguyễn Tiến Đồn – Trường THCS Hương Sơn – Huyện Mỹ Đức

3


cơ sở, ta giả thiết là các bài toán đang xét đều tồn tại gái trị cực trị trên một tập hợp
nào đó.
II. Vận dụng BĐT Cơ-Si:
• Với hai số khơng âm : a ≥ 0; b ≥ 0 thì a + b ≥ 2 ab dấu “=” xảy ra ⇔ a = b.
• Với n số khơng âm: a1 + a2 + ... + an ≥ n a1a2 ...an dấu “=” xảy ra ⇔ a1 = a2 = ... = an
IV - Những sai lầm thường gặp khi gải toán cực trị.
1 - Sai lầm trong chứng minh điều kiện 1:
A=

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

3
4x − 4x + 5
2

Lời giải sai: Phân thức A có tử số là số khơng đổi nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu
nhỏ nhất.
Ta có:

4x2 - 4x + 5 = ( 2x - 1)2 + 4 ≥ 4 ,∀x
⇒ A=

3

3
≤ , ∀x
4x − 4x + 5 4

⇒ MaxA =

2

3
1
⇔ x=
4
2

Phân tích sai lầm : Tuy đáp số khơng sai nhưng khi khẳng định "A có tử số là số
khơng đổi nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu số giá trị nhỏ nhất" mà chưa đưa ra nhận
xét tử và mẫu là các số dương.
Ta đưa ra một ví dụ:

Xét biểu thức: B =

1
x −4
2

Với lập luận " phân thức B có tử khơng đổi nên có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ
nhất", do mẫu nhỏ nhất bằng - 4 khi x = 0, ta sẽ đi đến MaxB = −
giá trị lớn nhất của B, chẳng hạn với x = 3 thì

1

4

khơng phải là

1
1
>−
5
4

Người thực hiện: Nguyễn Tiến Đoàn – Trường THCS Hương Sơn – Huyện Mỹ Đức

4


Mắc sai lầm trên là do khơng nắm vững tính chất của bất đẳng thức đã máy móc áp
dụng quy tắc so sánh sai phân số có tử số, và mẫu số là số tự nhiên sang hai phân số
có tử và mẫu là số nguyên.
Lời giải đúng: Bổ sung thêm nhận xét: 4x 2 - 4x + 5 = ( 2x - 1) 2 + 4 ≥ 4 nên tử và mẫu
của A là các số dương. Hoặc từ nhận xét trên suy ra A > 0, do đó A lớn nhất khi và
chỉ khi mẫu số nhỏ nhất
⇔ 4x2 - 4x + 5 nhỏ nhất. Vậy giá trị lớn nhất của A là

1
1
khi x =
4
2

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = x2 + y2 biết x + y = 4

Lời giải sai:

Theo BĐT Cô-Si ta có: A = x2 + y2 ≥ 2xy

Do đó A nhỏ nhất ⇔ x2 + y2 = 2xy ⇔ x = y = 2
Khi đó Min A = 22 + 22 = 8
Phân tích sai lầm: Đáp số tuy không sai nhưng lập luận mắc sai lầm. Ta mới chứng
minh được f(x,y) ≥ g(x,y) chữ chưa chứng minh được f(x,y) ≥ m với m là hằng số.
Ta đưa ra một ví dụ với lập luận như trên từ bất đẳng thức đúng x 2 ≥ 4x - 4 sẽ
suy ra x2 nhỏ nhất ⇔ x2 = 4x - 4 ⇔ (x - 2)2 = 0 ⇔ x = 2
Dẫn đến x2 = 4 ⇔ x = 2
Dễ thấy kết quả đúng phải là: min x2 = 0 ⇔ x = 0
Cách giải đúng: Ta có

x + y = 4 ⇔ x2 + 2xy + y2 = 16 (1)

Ta lại có ( x - y)2 ≥ 0 ⇒ x2 - 2xy + y2 ≥ 0
Từ (1) và (2):

(2)

2(x2 + y2) ≥ 16 ⇒ x2 + y2 ≥ 8

Người thực hiện: Nguyễn Tiến Đoàn – Trường THCS Hương Sơn – Huyện Mỹ Đức

5


Vậy min A = 8 ⇔ x = y = 2
2 - Sai lầm trong chứng minh điều kiện 2:

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x + x
1
2

1
4

1
4

1
2

Lời giả sai: A = x + x = ( x + 2. x . + ) − = ( x + ) 2 −
vậy min A = −

1
4

1
4

Phân tích sai lầm: Sau khi chứng minh f(x)≥ −
dấu đẳng thức f(x) ≥ −

1
4

chưa chỉ ra trường hợp

1
xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi
4

1
x = − (Vô lý)
2

Giái đúng: Để tồn tại x phải có x ≥ 0
Do đó A = x + x ≥ 0
min A= 0 ⇔ x = 0
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của
A = xyz( x + y)( y + x)( z + x)
Với x,y,z ≥ 0 và x + y + z = 1
Lời giải sai: áp dụng bất đẳng thức: 4ab ≤ ( a + b)2
4( x + y)z ≤ ( x + y + z)2 = 1
4( y + z)x ≤ ( y + z + x)2 = 1
4( z + x)y ≤ ( z + x + y)2 = 1
Nhân từng vế ( do hai vế đều không âm):
64xyz( x + y)( y + x)( z + x) ≤ 1
Max A =

1
64

Phân tích sai lầm: Sai lầm cũng ở chổ chưa chỉ ra được trường hợp xẩy ra dấu
đẳng thức.
Người thực hiện: Nguyễn Tiến Đoàn – Trường THCS Hương Sơn – Huyện Mỹ Đức

6

Điều kiện để A =

1
64

x + y = z
y + z = x


⇔
z + x = y
x + y + z = 1

 x, y , z ≥ 0


là

x = y = z = 0

x + y + z = 1
 x, y , z ≥ 0


mâu thuẫn

Cách gải đúng: áp dụng bất đẳng thức côsin cho 3 số không âm
1 = x + y + z ≥ 3 . 3 xyz (1)

2 = ( x + y) + ( y + x) + ( z + x) ≥ 3 . 3 ( x + y)( y + z )( z + x)
Nhân

từng

vế

(1)

với

(2)(

do

hai

vế

(2)
đều

không

âm):

2 ≥ 9 3 xyz ( x + y )( y + z )( z + x) = 9. 3 A
3

⇒

vậy MaxA=

3

2
8
2
A ≤ ⇔ A≤ ÷ ⇔ A=
9
729
9

8
2
Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y = z =
729
3

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ
A - Phương pháp tam thức bậc hai:
1- Nội dung:
Sử dụng trức tiếp định nghĩa cực trị thông qua việc biến đổi tam thức bậc hai
về dạng bình phương một biểu thức chứa biến và một số hạng tự do.
2 - Các ví dụ: Dạng 1: Tìm cực trị của tam thức bậc hai.
1. Tìm gia strị nhỏ nhất của A =x2 - 8x + 1
2. Tìm giảtị nhỏ nhất của B = 2x2 - 4x + 1
3. Tìm cực trị nếu có của C = - 3x2 - 4x + 1
Người thực hiện: Nguyễn Tiến Đoàn – Trường THCS Hương Sơn – Huyện Mỹ Đức

7

4. Cho tam thức bậc hai P = ax2 + bx + c
Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu a > 0
Tìm giá trị lớn nhất của P nếu a < 0
Hướng dẫn giải: Nhận xét các biểu thức đều ở dạng tam thức bậc hại.
1. A = x2

9x + 1 = ( x - 4)2 - 15 ≥ - 15

⇒ min A = - 15 ⇔ x = 4

2. B = 2x2 - 4x + 1 = 2( x -1)2 - 1 ≥ -1

⇒ min B = - 1

2

7

7
≤3

3. C = - 3x2 - 4x + 1 = -3 ( x - 3 )2 + 3

7

⇒c= 3

⇔ x= 1

2

⇔x= 3

b 2
b
2
b
4. P = ax2 + bx + c = a( x2 + a x + a ) =a( x - 2a )2 - b - 4ac
4a

+ Nếu a > 0: min P = -

b2 - 4ac
4a

2
4ac
+ Nếu a < 0: max P = - b -4a

⇔x=

b
2a

⇔ x=

b
2a

Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của đa thức bậc cao:
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của

A = ( x2 + x + 1)2

Hướng hdẫn giải: Min A ⇔ Min (x2 + x + 1)
Bài toán trên là dạng đặc biệt của một bài toán sau: B = [f(x)]2 (k ∈N)
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của C = x( x - 3)(x - 4)(x - 7)
Hướng dẫn giải: Dùng phương pháp đổi biến.
Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của phân thức mà có tử là hằng số, có mẫu là
tam thức bậc hai.
Ví dụ:

3

Tìm giá trị lớn nhất của M = 4x2 - 4x + 5
Dạng này phải chú ý đến dấu của tử thức.

Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của phân thức có mẫu là bình phương nhị thức:
x2 + x + 1
Ví dụ: Tìm giả trị nhỏ nhất của P = ( x + 1)2
Người thực hiện: Nguyễn Tiến Đoàn – Trường THCS Hương Sơn – Huyện Mỹ Đức

8


1
x+1

Hướng dẫn giải: P = 1 1

Đặt y = x + 1

1

3

có P = y2 + y - 1 - ( y - 2 )2 + 4

,

1

3
4

Min P =

1+
(x + 1)2

⇔y= 2

≥

3
4

⇔x=1

Cách 2: Viết N dưới dạng tổng của một số với mọi biểu thức không âm.
4x2 + 4x + 4
P = 4(x + 1)2

=

Min P =

x-1
2(x - 1)

+
3
4

2

≥

3
4

⇔x=1

Dạng 5: Tìm giá trị nỏ nhất, lớn nhất của một biếu thức biết quan hệ giữa các biến.
Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất củabiểu thức:

A = 3xy - x2 - y2

Biết x, y là nghiệm của phương trình: 5x + 2y = 10

10 - 5
2

Ta có 5x + 2y = 10 ⇔ y =
59

=-

59

⇔

- x-

4

= -

160
59

- x2 -

= 4

59
4

x-

125

59
A=
x59
4

(- 59x2 + 160x - 100)

- 25
80
+
59

2

6400
- 25
3481

80
+
59

2

1600
- 25
59

80
≤
59

2

x=
125
Vậy Max A = 59

1

⇒A= 4

⇔
y=

125
59
80
59
95
59

một số bài tập tự giải
1 - Tìm giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) của biểu thức sau:
a) A = 4x2 - 20x + 35

b) B = - 2x2 + 3x + 1

Người thực hiện: Nguyễn Tiến Đoàn – Trường THCS Hương Sơn – Huyện Mỹ Đức

9


2 - Tìm giá trị nhỏ nhất của biuể thức sau:
a) A = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 5)

b) B = x2 - 2x + y2 + 4y + 5

3 - Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
P = 2x2 + 5y2

với

4x - 3y = 7

Q = a3 + b3 + ab

với

a+b=1

* Tiểu kết: Loại tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất bằng phương pháp tam thức bậc
hai là cơ bản nhất, hiúp học sinh dễ làm quen với toán cực trị. Rèn kĩ năng giải toán,
đổi biến một cách linh hoạt phù hợp với từng loại toán để biến đổi các bài toán dạng
khác về dạng tam thức bậc hai.
2 - Phương pháp miền giá trị của hàm số:
a) Nội dung phương pháp:
Xét bài tốn sau: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f(x) với x ∈ D.

Gọi y0 là một giá trị tuỳ ý của hàm số xét trên miền đã cho, tức là hệ phương
trình ẩn (x) sau có nghiệm:
f(x) = y0

(1)

x∈D

(2)

Tuỳ dạng của hệ (1),(2) mà ta có các điều kiện có nghiệm thích hợp. Trong
nhiều trường hợp, điều kiện ấy sẽ đưa về dạng a ≤ y0 ≤ 3 (3)
Vì y0 là một giá trị bất kì của f(x) nên từ (3) ta tìm được Min f(x) = 3 và Max
f(x) = b trong đó x ∈ D.
Như vậy thực chất của phương pháp này là đưa về phương trình bậc hai và sử
dụng dạng điều kiện ∆ ≥ 0
b) Các ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của:
x2 - x + 1
A = x2 + x + 1
Người thực hiện: Nguyễn Tiến Đoàn – Trường THCS Hương Sơn – Huyện Mỹ Đức

10


Giải: Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phương trình ẩn x sau đây có nghiệm:
x2 - x + 1
x2 - x + 1 (1)
x2 + x + 1
x2 + x + 1

a=

Do x2 + x + 1 ≠ 0 nên (1) ⇔ ax2 + ax + a = x2 - x + 1
⇔ (a - 1)x2 + (a + 1)x + (a - 1) = 0

(2)

TH1: Nếu a = 1 thì (2) có nghiệm x = 0
TH2: Nếu a ≠ 1 thì để (2) có nghiệm, cần và đủ là ∆ ≥ 0, tức là:
(a + 1)2 - 4(a - 1)2 ≥ 0
⇔ (a + 1 + 2a - 2)(a + 1 - 2a + 2) ≥ 0
⇔ (3a - 1)(a -3) ≤ 0
⇔
1

Với a = 3
1

≤a≤3

(a ≠ 1)

hoặc a = 3 thì nghiệm của (2) là:
x=

Với a = 3

1
3

-(a + 1)
2(a - 1)

a+1

= 2(a - 1)

thì x = 1, với a = 3 thì x = -1

Gộp cả hai trường hợp (1) và (2) ta có:
1

Min A = 3

⇔x=1

Max A = 3 ⇔ x = -1

Bài tập tự giải: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau:
a)

y=

x2 + x + 1
x2 + 1

b)

x2 + 3x + 1
x2 + 1

* Tiểu kết: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một hàm số hoặc những biểu thức có
thể đưa về hàm số bằng phương pháp miền giá trị thường được đưa về phương trình
và tìm điều kiện để phương trình có nghiệm. phương pháp này có ưu điểm là tìm cực
trị thơng qua việc tìm điều kiện để phương trình có nghiệm, thơng qua việc này giúp
cho học sinh rèn kĩ năng giải phương trình.
Người thực hiện: Nguyễn Tiến Đoàn – Trường THCS Hương Sơn – Huyện Mỹ Đức

11


3 - Phương pháp sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc:
a) Nội dung phương pháp:
Dựa trực tiếp vào định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
f(x) ≤ M, ∀x ∈ D

M = Max f(x) ⇔ ∃ x0 ∈ D: f(x0) = M
m = Min f(x) ⇔ f(x) ≥ m, ∀x ∈ D

∃ x0 ∈ D: f(x0) = M

Như vậy, khi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên miền D nào đó,
ta tiến hành theo hai bước:
+ Chứng minh một bất đẳng thức.
+ Tìm x0 ∈ D sao cho ứng với gía trị ấy, bất đẳng thức tìm được trở thành đẳngt
thức.
Nếu sử dụng các bất đẳng thức cơ bản như cơsi, trêbưsop, Bunhia cơpski thì
các điểm như vậy thường được tìm thấy nhờ phần 2 trong cách pháp hiện ra dấu đẳng
thức ấy, cần có một nhận xét thích hợp.
b) Các bất đẳng thức thường dùng:

1. a2 ≥ 0 tổng quát a2k ≥ 0, k nguyên dương.
xẩy ra dấu đẳng thức ⇔ a = 0.
2. - a2 ≥ 0 tổng quát a2k ≥ 0, k nguyên dương.
xẩy ra dấu đẳng thức ⇔ a = 0.
3 . a ≥ 0 xẩy ra dấu đẳng thức ⇔ a = 0
4. - a ≤ a ≤ a xẩy ra dấu đẳng thức ⇔ a = 0
5. a + b≤ a+b xẩy ra dấu đẳng thức ⇔ ab ≥ 0 (a, b cùng dấu).
a -b≤ a-b xẩy ra dấu đẳng thức ⇔ ab ≥ 0 (a, b cùng dấu).
a + b + c ≤a+b+c.
Người thực hiện: Nguyễn Tiến Đoàn – Trường THCS Hương Sơn – Huyện Mỹ Đức

12


xẩy ra dấu đẳng thức ⇔ ab ≥ 0; bc ≥ 0; ac≥ 0
1

6. a ≥ b ; ab ≥ 0 ⇒ a ≤ b
7.

a
b

b

Xảy ra dấu đắng thức ⇔ a = b

≥ 2 với a, b cùng dấu

+ a

Xảy ra dấu đẳng thức ⇔ a = b
8. Bất đẳng thức Côsi:
a-b
2

≥ √ ab ( hoặc a2 + b2 ≥ 2ab)

Xảy ra dấu đẳng thức ⇔ a = b
+ Đối với ∀ a ≥ 0; i = 1 , ..., n
a1 + a2 + an
n

≥

n

√a1, a2,...an

9.Bất đẳng thức Bunhia côxki:
Nếu (a1, a2,...an) và ( b1, b2 ... bn) là những số tuỳ ý , ta có :
Dấu bằng xảy ra ⇔

a1
b1

aj

= bj

( Với quy ước rằng nếu a1 = 0 thì b1 = 0)

10. Bất đẳng thức Trêbusep
a1 ≥ a2 ≥... ≥ an
b1≥ b2 ≥ ...≥ bn

Nếu

thì

n( a1b1 + a2b2 ....+ anbn)≤ ( a1 + a2 +...+an) .( b1 + b2 + ...+ bn)
Dấu bằng xảy ra ⇔ ai = ajhoặc bi = bj; ai, bj tuỳ ý.

c)các ví dụ:
Ví dụ 1: cho biểu thức xy + yz + zx = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x4 +y4 + z4
Giải:
áp dụng bất đẳng thức Bunha côpxki đối với ( x, y, z) và ( y ,z, x)
Người thực hiện: Nguyễn Tiến Đoàn – Trường THCS Hương Sơn – Huyện Mỹ Đức

13


1= ( xy + yz + zx )2 ≤( x2 + y2 + z2 ) ( y2 + z2 + x2)
⇒ 1≤ ( x2 + y2 + z2 )2

(1)

Mặt khác , đối với ( 1,1 1) và ( x2 , y2 , z2 ), ta có :
1. (1. x2 +1. y2 + 1. z2 ) ≤ ( 12 + 12 + 12 ).( y4 + z4 + x4)

(2)
1

Từ (1) và (2) suy ra : 1≤ 3 (y4 + z4 + x4) = 3P ⇒ P ≥ 1
3
x
y

⇔

y
= x =

1
12
y
2

Vậy Min P =

1
3

= 1x2

1

2

y
y

3

z
x

= 1 2=
z

⇒x=y=z

2

Ví dụ 2 : Tìm giá trị lớn nhất của :
a, A = √ x-1 + √ y - 2 biết x + y = 4
b. B =

√x - 1
√x x

+

√y - 1
y

Giải:
a . Điều kiện x≥ 1 ; y≥ 2
Bất đẳng thức Côsi cho phép làm giảm một tổng

a+ b
2

≥ √ab

ở đây lại muốn tăng một tổng . Ta dùng bất đẳng thức
a + b ≤ √2( a2 + b2)
A = √x-1 + √y - 2 ≤ √2( x-1 + y -2) = √2
Max A = √2 ⇔

x- 1 = y-2
x + y =4

⇔

x= 1,5
y = 2, 5

Cách khác : Xét A2 rồi dùng bất đẳng thức Côsi
b . Điều kiện : x≥ 1 ; y ≥ 2
Bất đẳng thức Côsi cho phép làm giảm một tổng

Người thực hiện: Nguyễn Tiến Đoàn – Trường THCS Hương Sơn – Huyện Mỹ Đức

14