Chuyên đề. Phương pháp cân bằng hệ số trong giải các bài toán đại số

Phương pháp cân bằng hệ số trong giải toán

Rèn luyện kĩ năng giải toán sơ cấp cho học sinh THPT bằng
pháp cân bằng hệ số
ThS. Đỗ Viết Tuân
Bộ môn: Toán - tin
I. Đặt vấn đề:
Quá trình học tập ở phổ thông đã có nhiều phương pháp tổng quát cho một
lớp các bài toán sơ cấp như phương pháp qui nạp, phương pháp toạ độ, phương
pháp véc tơ, phương pháp lượng giác hoá…
Trong bài viết này tôi xin trình bày một lớp các bài toán có thể giải bằng phương
pháp cân bằng hệ số.
II. Mục đích:
-Cung cấp cho học sinh phương pháp giải một lớp các bài toán sơ cấp
-Rèn luyện kĩ năng giải toán sơ cấp thông qua phương pháp này.
III. Nội dung
Chúng ta sẽ áp dụng phương pháp cân bằng hệ số trong một số bài toán tích phân,
bất đẳng thức, giá trị lớn nhất nhỏ nhất, phương trình vô tỷ, hệ thức lượng trong
tam giác, nhị thức Newton…
1. Trong các bài toán tích phân, nhị thức Newton
Trước hết chúng ta có bổ đề sau:
Bổ đề 1: Cho hai đa thức
1 1
( ) , ( )
n n
i i
i i
i i
P x a x Q x b x
 
 

 
, ta nói rằng
( ) ( )
P x Q x


khi và chỉ khi
( 1, 2 , )
i i
a b i n
 

.
a. Trong các tích phân dạng phân thức
( )
( )
b
a
P x
dx
Q x


Ví dụ 1: Tính tích phân sau: I =
1
3
0
3
1
dx

x


Giải: Phân tích:

3 2
2
3
1 1 1
3 ( ) ( ) 1
A Bx C
x x x x
A B x B C A x A C x

 
   
          

Phương pháp cân bằng hệ số trong giải toán

Từ đó suy ra:
0 1
0 1
3 2
A B A
B C A B
A C C
  
 
 

     
 
 
  
 

Vậy tích phân viết lại dưới dạng
1 1 1 1
1
0
3 2 2
0 0 0 0
3 1 2 2
ln( 1)|
1 1 1 1
x x
dx dx dx x dx
x x x x x x
 
    
     
   

Lại đặt
2 '
2 (1 )
x M x x N
    
, ta viết được tích phân
1 1

2 1 1
0 0
2 2
0 0
1
2 1 5 2 2
2
ln(1 )| arctan( ) |
1 2 2 1
3 3 3 3
2
x
x dx
dx x x
x x x x



     
   
 

Vậy
2
ln2
3 3
I

 
.

b. Trong bài toán nhị thức Newton
Trong một số bài toán nhị thức Newton chúng ta cũng sử dụng phương pháp cân
bằng hệ số Chẳng hạn:
Ví dụ 2: Chứng minh đẳng thức sau đây:

0 2 1 2 2
2
( ) ( ) ( ) .
n n
n n n n
C C C C
   


Giải
Trước hết ta khai triển hệ thức
2
(1 )
n
x
 theo hai cách sau

2 0 1 2 2
2 2 2 2
(1 ) (1)
n n n n n
n n n n
x C C x C x C x      
 

Và

2
0 1 0 1 1
0 0 2 1 2 2 0 2
(1 ) (1 ) ( 1)
( )( )
( ) ( ) ( ) (2)
n n n
n n n n n
n n n n n n
n n n n n
n n n n n n n
x x x
C C x C x C x C x C
C C C C C x C C x

   
      
 
       
 
 
  

Từ (1) và (2), suy ra:
0 2 1 2 2
2
( ) ( ) ( ) .
n n

n n n n
C C C C
   


2. Trong các bài toán bất đằng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
Trong bài toán chứng minh bất đẳng thức hoặc tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất, nhiều
khi việc áp dụng bất đẳng thức Côsi chúng ta thường quan tâm đến việc dấu bằng
Phương pháp cân bằng hệ số trong giải toán

xảy ra khi nào? Việc cần bằng hệ số giúp chúng ta áp dụng bất đẳng thức Côsi dễ
dàng hơn nhiều.
Ví dụ 3: Cho 3 số thực x, y, z thoả mãn đẳng thức sau: xy + yz + zx = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = a(x
2
+ y
2
) + z
2
( a > 0)
Giải:
Xét số thực k > 0, ta có các bất đằng thức sau:

2 2
2 2
2 2
2
2
( ) 2
kx z kxz

ky z k yz
k x y kxy
 
 
 

cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên lại ta có:

2 2 2
2 2 2
( )( ) 2 2
( )
( )
2
k k x y z k
k k
x y z k
   

   

Cho
( )
2 0
2
k k
a k k a

    
, ta tìm được

1 1 8
2
a
k
  
 và suy ra
Giá trị nhỏ nhất của F là
1 1 8
2
a
  
. Dấu bằng xảy ra khi
1
1 8
1
1 8
1
1 1 8
2 1 8
x
a
z kx
y x y
a
xy yz zx
a
z
a










  
 

 
  


  




.
Ví dụ 4: Cho


0;1
x . Chứng minh rằng
3 2
6 15
(1 )
125
x x  .

Giải:
Phương pháp cân bằng hệ số trong giải toán

Trước hết ta viết
3 2
1
(1 ) . . ( )( )
x x x x x x x
   

   
. Và chúng ta tìm
, 0
 


sao cho
3
3 0
1
( )
x x x
x x
x
 
 

 

   

   
 

  


 
   
 

 
  

  


.
(Việc cân bằng hệ số như trên giúp chúng ta khi áp dụng bất đẳng thức Côsi sẽ triệt
tiêu ẩn x).
Từ đó ta suy ra:
2
3 15
2
2 6 3 0
3 15
2

 







   

 





Vậy áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 5 số không âm số ta có :
5
3 2
1 1 6 15
(1 ) . . ( )( )
5 125
x x x x x x x
 
   
 

 
     
 
 
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
3 15 3 15

.
5
5 15 5
x

  


3. Trong các bài toán hệ thức lượng trong tam giác
Bổ đề 2: Nếu cho biểu thức
ma nb pc
 
thì ta có thể phân tích thành
( ) ( ) ( )
x a b y b c z c a
    
, trong đó:
2
2
2
m n p
x
n p m
y
p m n
z
 





 




 





Từ bổ đề trên chúng ta có thể áp dụng trong chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức,
nhận dạng trong tam giác khá hiệu quả.
Ví dụ 5: Trong tam giác ABC cho đẳng thức

2001cot 2003cot 2004cot .
2 2 2
A B C
  (1)
Phương pháp cân bằng hệ số trong giải toán

Tìm hệ thức liên hệ giữa các cạnh của tam giác ABC.
Giải:
Chúng ta viết (1) về dạng

2001cot 2003cot 2004cot 0
2 2 2
A B C
  

. (2)
Theo bổ đề trên đẳng thức (2) tương với

3004(cot cot ) 1001(cot cot ) 1003(cot cot ) 0
2 2 2 2 2 2
cos cos cos
2 2 2
3004 1001 1003 0
sin sin sin sin sin sin
2 2 2 2 2 2
A B B C C A
C A B
A B B C C A
     
   


4cos cos cos 4cos cos cos 4cos cos cos
2 2 2 2 2 2 2 2 2
3004 1001 1003 0
sin sin sin sin sin sin
sin sin sin sin sin sin sin sin sin
3004. 1001 1003 0
sin sin sin sin sin sin
3004 1001 1003
0
300
A B C A B C A B C
A B B C C A
A B C A B C A B C

A B B C C A
ab bc ca
   
     
   
   

4 1001 1003 0
c a b
  

Ví dụ 6: Tam giác ABC có các góc thoả mãn điều kiện

2sin 3sin 4sin 5cos 3cos cos
2 2 2
A B C
A B C    
Chứng minh rằng tam giác ABC đều.
Giải:
Theo bổ đề, vế trái của đẳng thức được viết dưới dạng:

1 5 3
(sin sin ) (sin sin ) (sin sin )
2 2 2
VT A B B C C A
     
Vì

sin sin 2sin cos 2sin sin sin 2cos .
2 2 2 2

A B A B A B C
A B A B
  
     
Phương pháp cân bằng hệ số trong giải toán

Tương tự ta có:
sin sin 2cos
2
A
B C  và
Vậy
5cos 3cos cos .
2 2 2
A B C
VT VP
    Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
cos cos cos 1
2 2 2
A B B C C A
A B C
  
     
. (đpcm).
Chúng ta cũng có thể dựa vào định nghĩa hai số phức bằng nhau để giải quyết một
số bài toán lượng giác khác.
Bổ đề 3: Cho hai số phức
1 1 1 2 2 2
,
z a bi z a b i

   
, khi đó
1 2
1 2
1 2
a a
z z
b b


 




Ví dụ 7:
Chứng minh rằng:
3 5 7 9 1
cos cos cos cos cos
11 11 11 11 11 2
    
    
.
Giải:
Vì
cos sin
i
e i

 

 
, nên chúng ta có thể coi tổng ở vế trái là phần thực của
số phức sau:
4
(2 1)
11
0
i
k
k
T e





. Ta viết số phức T dưới dạng:

10
2
4
11
11 11 11
2
0
11
1
1
i
i ki i

i
k
e
T e e e
e

  



 


.
Vì:
2
1 ( ) 2 sin
ia ia ia ia ia
e e e e ie a
 
    . Áp dụng vào số phức T ta có

5
2
11
5
11 11
11
5 5 5 5 5
2 sin sin sin cos sin

11 11 11 11 11
sin sin sin
2 sin
11 11 11
11
i
i
i
i
ie
T e e i
ie

 

    
  

   
Từ đó suy ra:
5 5 10
sin cos sin
1 1
11 11 11
Re
2 2
sin sin
11 11
T
  

 
  
(đpcm).
Phương pháp cân bằng hệ số trong giải toán

Nhận xét. Chúng ta có thể tính được tổng

2
5
sin
3 5 7 9
11
sin sin sin sin sin
11 11 11 11 11
sin
11
S

    

      .
4. Trong các bài toán phương trình, bất phương trình và hệ phương trình
Trong một số bài toán giải phương trình chúng ta có thể đưa về hệ phương trình đối
xứng kiểu một hoặc hai, nhưng không phải lúc nào chúng ta cũng đặt để đưa ngay
về các hệ đối xứng. Việc đưa về hệ đối xứng sẽ dễ dàng hơn nếu chúng ta dùng
phương pháp cân bằng hệ số.
Ví dụ 8: Giải phương trình sau:

2
2 6 1 4 5

x x x
   

Giải :
Trước hết chúng ta sẽ đặt 4 5
x at b
  
. Khi đó ta có hệ phương trình sau:

2
2 2 2
2 6 1
2 4 5
x x at b
a t abt b x

   


   



Chúng ta sẽ tìm điều kiện của a và b để hệ trên là hệ đối xứng kiểu II bằng cách
viêt lại hệ dưới dạng:
2
2 2 2
2 6 1
2 4 5
x x at b

a t abt x b

   


   


.
Khi đó a, b phải thoả mãn điều kiện sau:
2 2
2 6 1
2 4 5
a b
a ab b
  
  
 
.
Từ việc cân bằng hệ số trên ta suy ra:
2, 3
a b
  
. Vậy hệ phương trình có dạng:

2
2
2 6 2 2
2 6 2 2
x x t

t t x

   


   



Trừ theo vế hai phương trình ta có :
2 3 4 5 2 3
( )( 1) 0
1
2 1 4 5 1 2
t x x x x
x t x t
t x
x x x
 
     

      
 

 
     

 
 
.

IV. Kết Luận
Phương pháp cân bằng hệ số trong giải toán

Mục đích của người viết đơn giản chỉ là giới thiệu một phương pháp giải
toán sơ cấp trong hệ thống các phương pháp đã biết. Một lớp các bài toán sơ cấp đã
được giải bằng phương pháp này. Nhưng do trong khuôn khổ bài viết, chúng tôi chỉ
điểm qua một vài ví dụ minh hoạ. Nếu được viết kỹ lưỡng thì phương pháp này có
thể là một công cụ hữu ích cho học sinh THPT trong việc giải các bài toán đại số sơ
cấp.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Tuyển tập các bài toán sơ cấp tập 1, 2, 3. NXB ĐHQG Hà nội
2. Tạp chí toán học tuổi trẻ.