giải các bài toán đại số bằng hình học

Khai thác những kiến thức hình học vào giải một số bài tập đại số
Phần I: Lời nói đầu
Trong một tiết ôn tập cho học sinh lớp 9, tôi đã ra bài toán sau:
Cho phơng trình : x
2
2 (m 1)x + 2m 7 = 0.
Tìm m để 2 nghiệm phơng trình trên là các kích thớc của một hình chữ nhật.
(trích câu c bài 2 trong đề thi KSCL lớp 9 năm học 2004 2005 của huyện Yên
Thành).
Khi gặp bài toán này, nhiều em rất lúng túng, bối rối và không định hớng đợc cho
mình phải giải bài toán trên bắt đầu từ hớng suy nghĩ nh thế nào, dẫn đến các em không
giải đợc bài toán trên, có phải học sinh khi gặp bài toán đại số này đã nghĩ ngay đến
những kiến thức, những công cụ trong môn đại số hay không? Nhng ta hãy thử đơn giản
nghĩ lại rằng, kích thớc của hình chữ nhật là những số dơng nên câu hỏi của bài toán có
thể hiểu là: Tìm m để phơng trình trên có 2 nghiệm dơng. Với câu hỏi này thì chắc chắn
bài toán trên sẽ trở thành rất quen thuộc đối với học sinh . Nh vậy chỉ cần lu tâm đến
những kiến thức nhỏ của hình học trong bài toán này thì mọi việc sẽ nhẹ nhàng hơn.
Không những bài toán trên mà thực tế nhiều bài toán khác, học sinh gặp cũng rất bỡ
ngỡ. Nhng nếu các em nhớ đến vận dụng những kiến thức nhỏ trong hình học thì bài
toán sẽ trở nên dễ dàng hơn. Vì lý do đó cho nên qua một thời gian công tác giảng dạy
,tôi đã đúc rút kinh nghiệm về Khai thác những kiến thức hình học vào giải một số bài
tập đại số.
Lê Văn Tuấn trờng THCS Bạch Liêu-Yên Thành 1
Khai thác những kiến thức hình học vào giải một số bài tập đại số
Phần II: Nội dung
I.Nhận thức cũ và thực trạng trong dạy học môn đại số trong nhà tr ờng :
- Nhận thức cũ:
Đa số học sinh khi giải một bài tập đại số thông thờng hay dùng các kiến thức đại
số làm công cụ.Trong khi đó một số bài tập đại số cần lu ý đến các kiến thức hình học
mới giải đợc.
- Việc làm cũ:

Khi gặp một bài toán đại số học sinh thờng sử dụng các kiến thức đại số làm công
cụ, nên dẫn tới nhiều bài toán học sinh sẽ gặp rất nhiều khó khăn, thậm chí không giải
đợc.
- Giải pháp mới:
Để giải quyết dễ dàng hơn khi gặp những dạng bài toán này thì học sinh cần biết
khai thác, vận dụng các kiến của hình học , và sau đây xin giới thiệu một số ví dụ.
II. Các giải pháp:
1. Sử dụng điều kiện một điểm nằm giữa 2 điểm còn lại.
- Ta biết rằng điểm M nằm giữa hai điểm A và B khi và chỉ khi MA + MB = AB (tức là
A, B, M thẳng hàng)
- Điểm M không nằm giữa A và B khi và chỉ khi MA+ MB

AB (tức là A, B, M không
thẳng hàng).
Ví dụ1:
Trên mặt phẳng toạ độ cho ba điểm A(2;3), B(-1; -3), C(3;5). Chứng minh ba điểm A, B,
C thẳng hàng.
Lời giải:
Ta có AB =
22
)33()21(
+
=
45
= 3
5
AC =
22
)35()23(
+

=
5
BC =
22
)35()13(
+++
=
80
= 4
5
Ta có : AB + AC = 3
5
+
5
=4
5
=BC. Vậy A, B, C thẳng hàng.
Lê Văn Tuấn trờng THCS Bạch Liêu-Yên Thành 2
Khai thác những kiến thức hình học vào giải một số bài tập đại số
Nhận xét: Nhiều em học sinh khi gặp ví dụ này sẽ rất bỡ ngỡ, lúng túng không biết
chứng minh theo cách nào. Nhng ở trong hình học học ta biết 3 điểm A, B, C thẳng
hàng khi xảy ra một trong ba trờng hợp:
AC = AB + BC
AB = AC + BC
BC = AB+ AC
Từ kiến thức hình học này dẫn ta suy nghĩ theo hớng là đi tính độ lớn các
đoạn thẳng trên và so sánh tổng 2 đoạn thẳng với đoạn còn lại. Nh vậy ta có lời giải bài
trên thật là ngắn gọn.
Từ ví dụ trên ta có thể chứng minh 3 điểm không thẳng hàng nh ví dụ sau:
Ví dụ 2:

Trên mặt phẳng toạ độ cho 3 điểm M(2;5) , N(1;2) , P(0;1) .Chứng minh ba điểm trên
không thẳng hàng.

Lời giải:
MN =
22
)25()12(
+
=
10
NP =
22
)12()01(
+
=
2
MP =
22
)15()02(
+
=
20
Từ đó ta có MN + NP

MP , NP + MP

MN , MN + MP

NP

không có điểm
nào nằm giữa hai điểm còn lại nên M, N, P không thẳng hàng.
Và ta chỉ cần thay đổi một chút là có bài toán mới nh ví dụ sau:
Ví dụ 3: Trên mặt phẳng cho 3 điểm A(1;-4) , B(7;8) , M(4;2). Chứng minh M là trung
điểm của AB.
Lê Văn Tuấn trờng THCS Bạch Liêu-Yên Thành 3
Khai thác những kiến thức hình học vào giải một số bài tập đại số
Lời giải.
Ta có: MA =
2 2
(1 4) ( 4 2) +
=
45
= 3
5
MB =
2 2
(7 4) (8 2) +
=
45
= 3
5
AB =
2 2
(1 7) ( 4 8) +
=
180
= 6
5
Ta có: 3

5
+ 3
5
= 6
5
hay MA + MB = AB . Vậy điểm M nằm giữa A và B.
Ta lại có: MA = MB = 3
5
nên M là trung điểm của AB.
Nh vậy chỉ cần tính độ dài của các đoạn thẳng và sử dụng điều kiện một điểm nằm giữa
hai điểm còn lại ta đã giải quyết đợc rất nhiều bài toán.
2. Sử dụng bất đẳng thức về cạnh trong tam giác.
- Cho tam giác ABC ta có: AB < AC + BC.
- Nếu cho 3 điểm A, B, C bất kỳ trên mặt phẳng toạ độ thì ta luôn có AB

AC + BC.
Bây giờ ta sẽ áp dụng kiến thức hình học này để giải quyết một số bài toán.
Ví dụ 4: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh một tam giác. Chứng minh:
(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)

abc
(Đề thi chọn hsg toán 9 thành phố HCM năm học 1999-2000)
Lời giải:
Đặt x = a + b - c
y = b + c - a
z = c + a - b
Vì a, b, c là 3 cạnh của một tam giác nên x, y, z > 0
Ta có: b =
2
yx

+
, c =
2
zy
+
, a =
2
xz
+
Bất đẳng thức trên tơng đơng với: xyz

(
2
yx
+
)(
2
zy
+
)(
2
xz
+
)
Mà (
2
yx
+
)(
2

zy
+
)(
2
xz
+
)

(
2
2 xy
)(
2
2 yz
)(
2
2 zx
) = xyz (áp dụng bất đẳng thức Côsi)
Vậy: xyz

(
2
yx
+
)(
2
zy
+
)(
2

xz
+
) hay (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)

abc (đpcm)
ở bài này để áp dụng đợc bất đẳng thức Côsi thì phải lý luận để x, y , z > 0 mà điều này
có đợc do a, b, c là 3 cạnh của một tam giác.
Lê Văn Tuấn trờng THCS Bạch Liêu-Yên Thành 4
Khai thác những kiến thức hình học vào giải một số bài tập đại số
Ví dụ 5: Cho phơng trình: x
2
+ (a + b + c)x + ab + ac + bc = 0
Với a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh phơng trình trên vô nghiệm.
(Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội năm học 2002-2003)
Lời giải:

= (a + b + c)
2
4(ab + ac + bc) = a
2
+ b
2
+ c
2
- 2ab 2bc 2ca
= a[a (b + c)] + b[b (a + c)] + c[c (a + b)]
Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác, nên: a (b + c) < 0
b (a + c) < 0
c (a + b) < 0
Vì vậy:

= a[a (b + c)] + b[b (a + c)] + c[c (a + b)] < 0 nên phơng trình trên
vô nghiệm.
Nhận xét : Bài này cũng sử dụng bất đẳng thức về cạnh trong tam giác mới chứng minh
đợc

< 0 .
Ví dụ 6: Với a, b, c, d là những số dơng , chứng minh:
22
ba
+
+
22
dc
+

22
)()( dbca
+++
Lời giải: y
chọn hệ trục tọa độ xOy. Trên trục Ox ở chiều dơng, Q B
lấy ON = a, MN = c trên trục Oy ở chiều dơng lấy d
OP = b, PQ = d. Ta có: P A
OA =
22
ba
+
b
AB =
22

dc
+

OB =
22
)()( dbca
+++
o a N c M x
Ta có: OA + AB

OB
Nên
22
ba
+
+
22
dc
+

22
)()( dbca
+++
(Điều phải chứng minh)
Nhận xét: ở ví dụ này thì ta biết với 3 điểm A, B, C bất kỳ thì AB

AC + BC nên vận
dụng kiến thức hình học này ta dễ dàng chứng minh bất đẳng thức trên.
Lê Văn Tuấn trờng THCS Bạch Liêu-Yên Thành 5