Khái niệm tích có hướng và một số ứng dụng

Khóa học: Hình học giải tích trong không gian

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Page 1

BÀI GIẢNG SỐ 01: TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
a) Cho hai vectơ




1 1 1 2 2 2
; ; , ; ; .
u x y z v x y z
 
 
Khi đó tích có hướng của
u

và
,
v

ký hiệu là
; ,
u v
 
 
 
và được xác định như sau:

 
1 1 1 1 1 1
1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1
2 2 2 2 2 2
; ; ; ; ; .
y z z x x y
u v y z y z z x z x x y x y
y z z x x y
 
 
    
 
 
 
 

b) Tính chất:
a. Vectơ
,
u v
 
 
 
vuông góc với hai vectơ
u

và
v

, tức là:

,
u v
 
 
 
u

=
,
u v
 
 
 
v

= 0
b.
, . .sin
u v u v

 

 
   
, trong đó

là góc giữa hai vec tơ
u

và

v


c.
,
u v
 
 
 
= 0 khi và chỉ khi hai vectơ
u

và
v

cùng phương.
d.


, . .sin ,
u v u v u v
 

 
     

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP:
Dạng 1: Tính tích có hướng của hai vectơ
Phương pháp: Tích có hướng của hai véctơ được cho bởi công thức:
 

1 1 1 1 1 1
1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1
2 2 2 2 2 2
; ; ; ; ; .
y z z x x y
u v y z y z z x z x x y x y
y z z x x y
 
 
    
 
 
 
 

Ví dụ 1:Tính tích có hướng của hai vectơ
a)
(0;1; 2), (3;0; 4).
a b
   
 

Giải:
Ta có:
;
a b
 

 
 

1
0



2
4


;
2
4



0
3
;
0
3

1
0





4; 6; 3
   

b)
4 , 2 .
x i k y i j
   
     

Giải:
Ta có:




4;0;1 , 2; 1;0
x y  
 


0
;
1
x y

 
 

 


 

1
0
;
1
0
4
2
;
4
2
0
1






1;2; 4
 


Khóa học: Hình học giải tích trong không gian

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Page 2


Ví dụ 2:Tính tích hỗn tạp
,

a b c
 
 
  
biết rằng
(4;2;5), (3;1;3), (2;0;1).
a b c  
  

Giải:
Ta có:
2
;
1
a b

 


 

 
5
3
;
5
3
4
3
;

4
3
2
1





1;3; 2
 


,
a b c
 
 
  


1;3; 2
 
.


2;0;1
1.2 3.0 2.1 0
   

Ví dụ 3: Cho Chứng minh rằng:

a) Hai vectơ a và b cùng phương.
b) Tích có hướng của hai vectơ a và b là
0
.


Giải:
a) Ta có:




2; 5;3 , 4;10; 6
a b
    
 
2
a b
  
 


a và b cùng phương
b) Có:
5
;
10
a b
 
 



 

 
3
6

;
3
6

2
4

;
2
4

5
10






0;0;0

0





Chú ý: Nếu
u

và
v

cùng phương thì
; 0.
u v
 

 
  

Dạng 2: Xét sự đồng phẳng của ba vectơ
Phương pháp: Ba vectơ
,
u v
 
và
w

đồng phẳng
; 0.
u v w
 

 
 
  

Ví dụ 1: Xét sự đồng phẳng của ba vectơ a , b và c trong các trường hợp sau đây:
a)
(1; 1;1), (0;1;2), (4;2;3).
a b c   
  

b)
(4;3;4), (2; 1;2), (1;2;1).
a b c   
  

Giải:
a) Ta có:
1
;
1
a b
 
 


 

 
1
2

;
1
2
1
0
;
1
0
1
1
 




3; 2;1
  



Vậy ba vectơ a , b và c không đồng phẳng
b) Tương tự:
   
; 10;0; 10 . 1;2;1 10 0 10 0
a b c
 
     
 
  





2 5 3 4 10 6
a ; ; ,b ; ; .
    
 
Khóa học: Hình học giải tích trong không gian

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Page 3

Vậy ba vectơ a , b và c đồng phẳng.
Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz cho bốn điểm








2;3;1 , 4;1; 2 , 6;3;7 , 5; 4;8
A B C D  

a. Chứng minh A, B, C không thẳng hàng
b. Chứng minh A, B, C, D không đồng phẳng
Giải:
Ta có:







2; 2; 3 , 4;0;6 , 7; 7;7
AB AC AD      
  

a. Ta có:
 
; 12; 24;8 0
AB AC
 
   
 
  

AB

và
AC

không cùng phương

ba điểm A, B, C không thẳng hàng
b. Ta có:
   
; . 12; 24;8 . 7; 7;7 87 168 56 311 0

AB AC AD
 
         
 
  

c. Vậy bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng
Dạng 3:
1. Tính diện tích tam giác
Phương pháp:
Cho tam giác ABC. Khi đó ta có:


1 1
, . sin ,
2 2
ABC
S AB AC AB AC AB AC
 
 
 
     

Ví dụ: Cho ba điểm







1;0;0 , 0;0;1 , 2;1;1 .
A B C

a) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.
b) Tính diện tích của tam giác ABC.
Giải:
a) Ta có:




1;0;1 , 1;1;1
AB AC  
 


0
;
1
AB AC

 


 

 
1
1
;

1
1
1
1

;
1
1

0
1





1;2; 1
  
0




hai vectơ
AB

và
AC

không cùng phương

Vậy A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác.

b) Diện tích tam giác ABC là:
Khóa học: Hình học giải tích trong không gian

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Page 4

1
; .
2
ABC
S AB AC

 

 
 
   
2 2
2
1 6
1 2 1
2 2
      (đvdt)
2. Diện tích hình bình hành:Diện tích của hình bình hành ABCD được cho bởi công thức:


, . sin ,
ABCD

S AB AD AB AD AB AD
 
 
 
     


Nhận xét: Như vậy để tính được diện tích hình bình hành ABCD chúng ta chỉ cần biết
tọa độ của ba trong bốn đỉnh của hình bình hành đó.
Dạng 4:
1. Thểtích hình hộp: Thể tích V của hình hộp ABCD.A’B’C’D’ được cho bởi công thức:
, .AA'
V AB AD
 

 
  

2. Thể tích tứ diện: Thể tích V của tứ diện ABCD được cho bởi công thức:
1
, .AD
6
V AB AC
 

 
  

Ví dụ 1: Cho hình hộp
ABCD.A'B'C'D'

biết








1;0;1 , 2;1;2 , 1; 1;1 , ' 4;5; 5 .
A B D C
 
Tính thể tích
của hình hộp.


Giải:
Gọi C (x; y; z); A’ (x’; y’; z’)
Vì
ABCD.A'B'C'D'
là hình hộp nên
AB


DC

và
AA' '
CC


 


Ta có:
D
D'
A'
B'
C'
A
B
C
Khóa học: Hình học giải tích trong không gian

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Page 5

AB


DC

 
1 1 2
1 1 0 2;0;2
1 1 2
x x
y y C
z z
  

 
 
     
 
 
  
 






' ' 1; '; ' 1 , ' 2;5; 7
AA x y z CC
    
 

AA' '
CC

 
 
' 1 2 ' 3
' 5 ' 5 ' 3;5; 6
' 1 7 ' 6
x x
y y A
z z
  

 
 
     
 
 
    
 







1;1;1 , 0; 1;0 ,AA' 2;5; 7
AB AD
     
  

   
; .AA' 1;0; 1 . 2;5; 7 2 0 7 9
AB AD
 
       
 
  

Thể tích V của hình hộp ABCD.A’B’C’D’ là:
, .AA'
V AB AD

 

 
  
=
9 9

(đvtt)
Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có A(2; -1; 1), B(3; 0; -1), C(2; -1; 3) và D thuộc trục Oy. Biết thể
tích của tứ diện bằng 5. Tìm toạ độ đỉnh D.
Giải:
Gọi


0; ;0
D y Oy


Ta có:






1;1; 2 , 0;0;2 ,AD 2; 1; 1
AB AC y
      
  


 
; 2; 2;0
AB AC
 
 
 
 


    
; 2; 2;0 2; 1; 1 4 2 1 0 2 6
AB AC AD y y y
 
            
 
  

Thể tích V của tứ diện ABCD được cho bởi công thức:
1
, .AD
6
V AB AC
 

 
  
=
2 6
1

2 6
6 6
y
y
 
  

Mặt khác thể tích của tứ diện bằng 5 nên
2 6
6
y
 
= 5
2 6 30 18
2 6 30
2 6 30 12
y y
y
y y
    
 
     
 
    
 

Vậy có 2 điểm D thỏa mãn D=(0; -18; 0) hoặc D= (0; 12; 0)
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Khóa học: Hình học giải tích trong không gian

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Page 6

Bài 1. Cho hai vectơ
( 2;5;3), ( 4;1; 2).
a b
    
 
Chứng minh rằng:
a) Tích có hướng của hai vectơ a và b vuông góc với từng vectơ thành phần.
b)
, . .sin( , )
a b a b a b
 

 
     
. Đs:
, ( 13; 16;18) , 749
a b a b
   
    
   
   

Bài 2. Cho hai vectơ
u

(1; 2; -3) và
v


( -1; 0; -2)
a. Tính
;
u v
 
 


b. Tìm vectơ
n

vuông góc với cả hai vectơ
u

và
v

và có độ dài bằng
6 5

Giải:
a. Ta có
,
u v
 
 
 
= (-4; 5; 2)
b.

1
( 8;10;4)
n 

,
2
(8; 10; 4)
n
 


Bài 3. Đối với hệ tọa độ


; , ,
O i j k
  
cho các vectơ


2 ; 3 5 ;w 2 3
u i j v i j k i k j
       
          

a. Tìm tọa độ các vectơ ĐS:
(1; 2;0), (3;5; 5),w(2;3; 1)
u v
  
  

b. Tìm côsin của các góc






; ; ; ; w;
u i v j k
     

ĐS:
 
5
os ;
5
c u i 
 
,
 
5
os ;
59
c v j 
 
,
 
1
os w;

14
c k


 


c. Tính các tích vô hướng
.
u v
 
,
.w
u
 
,
.w
v
 

ĐS:
 
; 10;5;11
u v
 

 
 
,
 

;w 2;1;7
u
 

 
 
,
 
;w 10; 7; 1
v
 
  
 
 

Bài 4.Trong không gian Oxyz cho các vectơ





1;2;3 , 2;3; 1
a b

 
và


3; 1;2
c 








5; 5;1 , 9; 3;7
u v 
 
và


w 1;8;8


a. Chứng minh ba vectơ
, ,
a b c
  
không đồng phẳng ĐS:
; . 0
a b c
 

 
  

b. Chứng minh ba vecto
, ,w

u v
  
đồng phẳng. ĐS:
; .w 0
u v
 

 
  

Bài 5.Tìm m để ba vectơ
a,b,c
  
đồng phẳng?
Khóa học: Hình học giải tích trong không gian

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Page 7

a)
(2; 1;1), (1;2;1), ( ;3; 1)
a b c m
 
  
Đs:
8
m
3
 

b)
(1;2;3), (2;1; ), (2; ;1).
a b m c m
  
Đs:
m 1, m 9
 

Bài 6.Cho ba vectơ
u

(4; 2; 5),
v

(3; 1; 3),
w

(2; 0; 1)
a. Tính độ dài vectơ
,
u v
 
 
 

b. Chứng tỏ rằng ba vectơ
u

,
v


và
w

đồng phẳng.
c. Biểu diễn vectơ
w

theo hai vectơ
u

và
v


d. Tìm vectơ
n

vuông góc với cả hai vectơ
v

và
w

và có độ dài bằng
2 14

ĐS:
a. Ta có:
,

u v
 
 
 
= (1; 3; -2)
, 14
u v
 
 
 
 

b.
,
u v
 
 
 
.
w

= 0
c.
w 2
v u
 
  

d.
1

( 2; 6;4)
n   

,
2
(2;6; 4)
n
 


Bài 7. Tính chiều cao DH của tứ diện ABCD kẻ từ đỉnh D, biết rằng




2;3;1 , 4;1; 2 ,
A B





6;3;7 , 5; 4;8 .
C D   ĐS:
11.
DH


Bài 8: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho bốn điểm







1;0;1 , 1;1;2 , 1;1;0 ,
A B C 
D(2; 1; 2)
 
.
a) Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện. Đs:
, 0.
AB AC AD
 

 
  

Hướng dẫn: Chứng minh ba vectơ , ,
AB AC AD
  
không đồng phẳng.
b) Tính diện tích tam giác BCD. Đs:
S(BCD) 13

c) Tính đường cao của tam giác BCD hạ từ đỉnh D. Đs:
DK 13

d) Tính cosin góc
.

CBD

Đs:
4
cos CBD
29
 

e) Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AB và CD. Đs:
 
10
cos , .
102
AB CD 

g) Tính thể tích tứ diện ABCD. Đs:
ABCD
1
V
3


Khóa học: Hình học giải tích trong không gian

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Page 8

h) Tính độ dài đường cao của tứ diện qua đỉnh A. Đs:
1
AH

13


D. BÀI TẬP NÂNG CAO:
Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho các vectơ




1; ;2 , 1;2;1 , (0; 2;2)
a t b t c t 
  

Xác định t để
, ,
a b c
  
đồng phẳng ĐS:
2
5
t


Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho các vectơ







2;3;1 , 5; 7;0 , 3; 2;4
a b c  
  
,
(1;7;0)
d


a. Chứng tỏ
, ,
a b c
  
không đồng phẳng ĐS:
; 0
a b c
 

 
  

b. Phân tích
d

theo ba vectơ
, ,
a b c
  
ĐS:
24 13 6
d a b c

   
   

Bài 3: Cho ba điểm A(1; 2; 3), B(3; 5; 4), C(3; 0; 5)
a. Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. ĐS:
; 0
AB AC
 

 
  

b. Tính chu vi, diện tích của tam giác ABC
ĐS:
14 12 26
ABC
C    ,
42
ABC
S 
c. Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành và tính côsin góc giữa hai vectơ
AC

và
BD


ĐS:
(1; 3;4)
D


,
51
os( , )
17
c AC BD 
 

d. Tính độ dài đường cao
a
h
của
ABC

kẻ từ A ĐS:
2 273
13
a
h 
e. Tính các góc của
ABC


ĐS:
90
o
A  ,
51
cos
13

B  ,
118
cos
13
C 
f. Xác định tọa độ trực tâm H của
ABC

ĐS: H (1; 2; 3)
g. Xác định tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp
ABC

ĐS:
5 9
3; ;
2 2
I
 
 
 

Bài 4: Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1) và D(-2; 1; -2).
a. Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình tứ diện
ĐS:
, . 0
AB AC AD
 

 
   

b. Tính góc tạo bởi các cạnh đối của tứ diện đó.
Khóa học: Hình học giải tích trong không gian

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Page 9

ĐS:
 
3 7
os ,
14
c AB CD  ,


0
, 90
AC BD  ,
 
3 7
os ,
14
c AD BC  
c. Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh A
2
3
V

,
2 3

3
A
h 
Bài 5: Cho hình chóp S.ABC với đáy ABC là tam giác đều cạnh a. SA = SB = SC. Khoảng cách
từ S đến mp (ABC) là h. Tính h theo a để hai mp (SAB) và (SAC) vuông góc nhau
.
ĐS:
6
6
a
h 
Bài 6: cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a, cạnh SA
vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SC. Chứng minh
MAB

cân và tính diện
tích
MAB

theo a.
HD:+ Dựng hệ trục tọa độ vuông góc Axyz với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc
và A( 0; 0; 0), C (0;
5
a
;0),
2
; ;0
5 5
a a
B

 
 
 

Tọa độ trung điểm M của SC là
5
0; ;
2
a
M a
 
 
 
 
3
2
a
MA MB  
MAB


cân tại M
+
2
2
2
MAB
a
S 
Bài 7:

a) Cho hai véc tơ
(2; 3;1)
a

và
(sin5 ; cos3 ; sin 3 ).
b t t t

Tìm t để
a b

 
.
ĐS:
24 4
k
t
 

 
,
2
3
t k


 

b) Tìm véc tơ
u


biết rằng
u

có độ dài bằng 2, tạo với
(1;1;1)
a

góc 30
0
và tạo với
(1;1; 0)
b

góc 45
0
.
ĐS:
2 2 2 2 2 2 2 2
( ; ; 1), ( ; ; 1)
2 2 2 2
u u
   
 




Khóa học: Hình học giải tích trong không gian

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Page 10

c) Tìm véc tơ
u

biết rằng
u

có độ dài bằng 3, vuông góc với
(1;1;1)
a

và
(1; 1; 3)
b 

và tạo với Oz một góc tù.
ĐS:
3 3 3
(2 ; ; )
2 2 2
u  


Bài 8: Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có các đỉnh A(1; 2; -1), B(2; -1; 3) và C(-4; 7;
5).
a) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A. ĐS:
555
26

b) Tính độ dài đường phân giác hạ từ B. ĐS:
2 74
3

Bài 9: Cho tứ diện ABCD có A(2; -1; 1), B(3; 0; -1), C(2; -1; 3) và D thuộc trục Oy. Biết thể tích
của tứ diện bằng 5. Tìm toạ độ đỉnh D. ĐS: (0; -7; 0) và (0; 8; 0)
Bài 10: Cho tam giác ABC có A(2; -1; 6), B(-3; -1; -4) và C(5; -1; 0). Chứng tỏ tam giác vuông
và tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác. ĐS:
5
r 
















Khóa học: Hình học giải tích trong không gian

Bài giảng độc quyền bởi

Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Page 11