Phương pháp tích phân từng phần trong các bài toán ôn thi đại học

Khóa học: Tích phân ôn thi đại học 2013

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
BÀI GIẢNG SỐ 04: PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
A. PHƯƠNG PHÁP:
Ta có công thức tính tích phân từng phần:
b b
b
a
a a
udv uv vdu
 
 
. Dưới đây là phương pháp giải một số
dạng cụ thể:
Loại 1.

( )sin ( ) ( cos ) ( )cos x '( ).(cos )
b b b
b
a
a a a
u
dv
f x xdx f x d x f x f x x dx
   
  


Loại 2.


( )cos ( ) (sin ) ( )sinx '( ).(sin )
b b b
b
a
a a a
u
dv
f x xdx f x d x f x f x x dx
  
  


Loại 3.


( ) ( ) ( ) ( ) '( ).
b b b
b
x x x x
a
a a a
u dv
f x e dx f x d e f x e f x e dx
  
  

Loại 4.

2

1
( ) ( ) (tan) ( )tan '( ).tan
cos
b b b
b
a
a a a
u
dv
f x dx f x d f x f x dx
x
  
  


Loại 5.

2
1
( ) ( ) ( cot) ( )cot '( ).cot
sin
b b b
b
a
a a a
u
dv
f x dx f x d f x f x dx
x
    

  


Loại 6.

1
( )ln ln ( ( )) ( )ln ( ).
b b b
b
a
u
a a a
dv
f x xdx xd F x F x x F x dx
x
  
  


Loại 7:

1 1
cos cos ( ) cos sin
b b b
b
x x x x
a
u
a a a
dv

b
e bxdx bx d e e bx e bxdx
   
  
  
  


Loại 8:

1 1
sin sin ( ) sin os
b b b
b
x x x x
a
u
a a a
dv
b
e bxdx bxd e e bx e c bxdx
   
  
  
  


Ví dụ 1: Tính các tích phân sau:
a. I =
4

2
0
(2cos 1)
x x dx



b. I =
 
2
2
0
1 sin
x xdx




Khóa học: Tích phân ôn thi đại học 2013

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
c. I =
xdx3sin)x2(
6
0



=

9
5
d. I = dx
x
x

3
4
2
cos


e. I =
4
0
xdx
1 cos2x




Bài giải:
a. I =
4
0
cos2
x xdx



Đặt
1
cos2
sin 2
2
du dx
u x
dv xdx
v x






 






4
4
4
0
0
0
1 1 1 1 2
sin 2 sin 2 2 sin 2 cos2

2 4 2 4 8
I x x xd x x x x





 
     
 
 


b. I =
2
2
0
( 1)sin
x xdx




Đặt
2
2
1
cos
sin
du xdx

u x
v x
dv xdx


 


 
 




2 2
2
2
0
0 0
( 1)cos 2 cos 1 2 cos
I x x x xdx x xdx
 

      
 
(1)
Xét tích phân J =
2
0
cos

x xdx


, đặt
cos sin
u x du dx
dv xdx v x
 
 

 
 
 
2
2
2
0
0
0
sin sin cos 1
2 2
J x x xdx x



 
      

(2)
Thay (2) vào (1) ta được I = 1 + 2(

1
2


) =
1



c. I =
6
0
(2 )sin3
x xdx




Đặt
2
1
sin3
cos3
3
du dx
u x
dv xdx
v x
 


 



 

 




Khóa học: Tích phân ôn thi đại học 2013

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
6
6
6
0
0
0
1 1 1 1 5
(2 )cos3 cos3 (2 )cos3 sin3
3 3 3 9 9
I x x xdx x x x



 
         

 
 


d. I =
3
2
4
cos
x
dx
x




Đặt
2
1
tanx
cos
u x
du dx
v
dv dx
x







 






3 3 3
3 3 3
4 4 4
4 4 4
sinx (cos )
tan tanx tan tan
cos cos
d x
I x x dx x x dx x x
x x
  
  
  
  
      
  


 
3
4

3
tan ln cos ln 2
3 4
x x x


 
    

e. I =
4
0
1 cos2
xdx
x



4
2
0
2cos
xdx
x



4
2
0

1
2 cos
xdx
x




Đặt
2
tanx
os
u x
du dx
dx
v
dv
c x






 






Theo câu d.
 
4
0
1 1 2
tan ln cos ln
2 8 2 2
I x x x


    

Chú ý: Với tích phân dạng
( )sin
b
a
I P x xdx



( hoặc
( )cos
b
a
I P x xdx



), trong đó P là một đa thức



,
R x R


 
. Khi sử dụng tích phân từng phần ta đặt:

( )
sin
u P x
dv xdx






( hoặc
( )
cos
u P x
dv xdx







)
Ví dụ 2: Tính các tích phân sau:
a. I =
1
0
x
xe dx

c. I =
 
1
2 x
0
x 2x e dx




Khóa học: Tích phân ôn thi đại học 2013

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
b. I =
 
1
2
2
0
1
x

x e dx


d. I =
dxe)1x(
1
0
x22



Bài giải:
a. I =
1
0
x
xe dx


Đặt
x x
u x du dx
dv e dx v e
 
 

 
 
 

1
1
1
0
0
0
( 1) 1
x x x
I xe e dx e x
     


b. I =
 
1
2
2
0
1
x
x e dx



Đặt
2
2
2
2( 1)
( 1)

1
2
x
x
du x dx
u x
v e
dv e dx
 


 
 

 







1
1 1
2 2 2 2 2
0
0 0
1 1
( 1) ( 1) 2 ( 1)
2 2

x x x
I e x x e dx e x e dx
        
 
(1)
Xét tich phân J =
1
2
0
( 1)
x
x e dx



Đặt
2
2
1
1
2
x
x
du dx
u x
v e
dv e dx


 




 






1
1
1
2
2 2 2 2
0
0
0
1 1 1 1 3 1
( 1) ( 1)
2 2 2 4 4
x x x x
e
J e x e dx e x e

 
       
 
 


(2)
Thay (2) vào (1) được I =
2
5 1
4
e


c. I =
1
2
0
( 2 )
x
x x e dx




Đặt
2
2( 1)
2
x
x
du x dx
u x x
v e
dv e dx



 

 



 
 






Khóa học: Tích phân ôn thi đại học 2013

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
1 1
1
2
0
0 0
3
( 2 ) 2 ( 1) 2 ( 1)
x x x
I x x e x e dx x e dx
e
  

         
 

Xét J =
1
0
( 1)
x
x e dx




Đặt
1
x x
u x du dx
dv e dx v e
 
  
 

 
  
 

1
1 1
0 0
0

2
( 1) ( 2 ) 1
x x x
J x e e dx x e
e
  
         


7
2I
e
  

d. I =
1
2 2
0
( 1)
x
x e dx



Đặt
2
2
2
2
1

1
2
x
x
du xdx
u x
v e
dv e dx



 
 

 







1 1
1
2 2 2 2 2
0
0 0
1 1
( 1)
2 2

x x x
I x e xe dx e xe dx
      
 

Xét J =
1
2
0
x
xe dx


Đặt
2
2
1
2
x
x
du dx
u x
v e
dv e dx







 






1
2
1 1
2 2 2 2
0 0
0
1 1 1
( ) 1
2 2 2 2
x x x x
e
J xe e dx xe e
      


2
3 3
2
e
I

 

Chú ý: Với tích phân dạng
( )
b
x
a
I P x e dx



, trong đó P là một đa thức


,
R x R


 
. Khi sử dụng tích
phân từng phần ta đặt:
( )
x
u P x
dv e dx







Ví dụ 3: Tính các tích phân sau:
Khóa học: Tích phân ôn thi đại học 2013

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
a.
xdxcose
2
0
x


=
2
1e
2


b. I =
2 2
0
sin
x
e xdx


c. I =
2
2
0

sin3
x
e xdx



Bài giải:
a. I =
2
0
cos
x
e xdx



Đặt
cos sinx
x x
u x du dx
dv e dx v e
  
 

 
 
 

1 1
2

0
0 0
cos sin 1 sin
x x x
I e x e xdx e xdx

     
 
(1)
Xét J =
1
0
sin
x
e xdx


Đặt
sin cos
x x
u x du xdx
dv e dx v e
 
 

 
 
 
1
2

2
0
0
sin cos
x x
J e x e xdx e I


    

(2)
Thay (2) vào (1) được I = -1 +
2
e I


2
1
2
e
I

 
 
b. I =
2 2 2 2 2
0 0 0 0
1 1
sin (1 cos2 ) cos2
2 2

x x x x
e xdx e x dx e dx e xdx
   
 
   
 
 
   
(1)
Xét
2
1
0
x
I e dx



=
2
2
0
1 1
2 2 2
x
e
e


 

(2)
Xét
2
2
0
cos2
x
I e xdx




Đặt
2
2
2sin 2
cos2
1
2
x
x
du xdx
u x
v e
dv e dx
 






 






2
2 2 2
2
0
0 0
1 1
cos2 sin 2 sin 2
2 2 2
x x x
e
I e x e xdx e xdx

 

     
 
(3)
Xét J =
2
0
sin 2
x

e xdx



Khóa học: Tích phân ôn thi đại học 2013

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
Đặt
2
2
2cos2
sin 2
1
2
x
x
du xdx
u x
v e
dv e dx






 






2 2
2
0
0
1
sin 2 cos2
2
x x
J e x e xdx I


    

(4)
Thay (4) vào (3)
2
2
1
4
e
I


 
(5)
Thay (2) và (5) vào (1)
 

2
1
1
8
I e

  

c. I =
2
2
0
sin3
x
e xdx



Đặt
2
2
3cos3
sin3
1
2
x
x
du xdx
u x
v e

dv e dx






 






2 2
2
2 2 2
0
0 0
1 3 1 3
sin3 cos3 cos3
2 2 2 2
x x x
I e x e xdx e e xdx
 


     
 
(1)

Xét J =
2
2
0
cos3
x
e xdx



Đặt
2
2
3sin3
cos3
1
2
x
x
du xdx
u x
v e
dv e dx
 





 







2
2
2 2
0
0
1 3 1 3
cos3 cos3
2 2 2 2
x x
J e x e xdx I


     

(2)
Thay (2) vào (1) được I =
3 2
13
e



Chú ý: 1) Với tích phân dạng I =
x

cos
b
a
e bxdx


( hoặc I =
x
sin
b
a
e bxdx


), trong đó
, 0
a b

. Khi sử dụng
tích phân từng phần ta đặt:
cos
x
u bx
dv e dx







( hoăc
sin
x
u bx
dv e dx






)
2) Phương pháp trên cũng được áp dụng cho các tích phân dạng
2
sin
b
x
a
J e xdx



hoặc (
2
cos
b
x
a
J e xdx




)
Khóa học: Tích phân ôn thi đại học 2013

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
Ví dụ 4: Tính các tích phân sau:
a. I =
 
1
2
0
ln 1
x x dx


c. I =
2
1
( .ln )
e
x x dx


b. I =
2
0
cos .ln(1 cos )
x x dx




d. dx
x
x

3
6
2
cos
)ln(sin



Bài giải:
a. I =
1
2
0
ln( 1)
x x dx



Đặt
2
2
2
2

ln( 1)
1
1
2
x
du dx
u x
x
dv xdx
v x




 



 







1
1 1
2 3
2

2 2
0 0
0
1
ln( 1) ln2 ( )
2 1 2 1
x x x
I x dx x dx
x x
      
 
 

=
1
2 2
0
1 1 1 1
ln2 ln(1 ) ln 2
2 2 2 2
x x
 
    
 
 

b. I =
2
0
cos ln(1 cos )

x x dx




Đặt
sin
ln(1 cos )
1 cos
cos
sinx
x
u x
du dx
x
dv xdx
v


 





 







2
2 2
2 2
0 0
0 0
sin
sinx ln(1 cos ) (1 cos ) ( sinx) 1
1 cos 2
x
I x dx x x
x
 
 

         

 

c. I =
2
1
( ln )
e
x x dx


Đặt
2

2
3
ln
ln
1
3
x
du dx
u x
x
dv x dx
v x





 

 








Khóa học: Tích phân ôn thi đại học 2013

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
3 3
2 2 2
1 1
1
1 1
ln ln ln
3 3 3 3
e
e e
x e
I x x xdx x xdx
    
 
(1)
Xét J =
2
1
ln
e
x xdx


Đặt
2
3
1
ln
1

3
du dx
u x
x
dv x dx
v x







 







3 3 3 3
2
1
1
1
1 2 1
ln ln
3 3 3 9 9
e

e
e
x x x e
I x x dx x
 

     
 
 

(2)
Thay (2) vào (1) được I =
3
7 1
27
e


d. I =
 
3
2
6
ln sinx
cos
dx
x




Đặt
2
ln(sin )
cot
1
t anx
cos
u x
du dx
v
dv dx
x






 






 
3
3 3
6 6

6
tanln(sin ) tan ln(sinx)-x
I x dx

 
 

   



3 1 1
3ln ln
2 3 2 6
3
 
    
6
4
3
ln3
3



Ví dụ 5: Tính các tích phân sau
a. I =
2
2
1

ln(1 )
x
dx
x


b. I =
1
9
3
2
5
0
1
5
sin (2 1)
4 1
x
x
dx
x
x
 
 
 


 


Bài giải:
Khóa học: Tích phân ôn thi đại học 2013

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
a. Đặt
2
1
ln(1 )
1
1
1
u x
du dx
x
dv dx
v
x
x

 



 


 

 

 




2 2
2
1
1 1
1 1 1 1 1
ln(1 ) ln3 ln 2
( 1) 2 1
I x dx dx
x x x x x
 
         
 
 
 
 


 
2
1
1 3
ln3 ln 2 ln ln 1 ln3 3ln2
2 2
x x        
b. I =

1 1 1
9 9 9
3
2
5
0 0 0
5
sin (2 1)
4 1
x
xdx dx
dx
x
x
 


  

Xét
1
9
3
1
0
5
x
I dx



1
1
3
3
9
0
5 5 1
3ln5 3ln5
x

 
Xét
1
9
2
2
0
sin (2 1)
xdx
I
x




Đặt
2
1
1
cot(2 1)

sin (2 1)
2
u x
du dx
dv dx
v x
x




 

 

  
 




1
1
9
9
2
0
0
1
cot(2 1) cot(2 1)

2 2
x
I x x dx

    

=
1
9
0
1
cot(2 1) ln sin(2 1)
2 4
x
x x

 
  
 
 


11
sin
1 11 1
9
cot ln
18 9 4 sin1
  

Xét
1 1
1
1 4
9 9
9
5 5
3
5
0 0
0
5 5
(4 1) (4 1)
16 36
4 1
dx
I x dx x
x

     

 

Vậy
1 2 3
I I I I
   
1
3
5 1

3ln5

11
sin
1 11 1 5
9
cot ln
18 9 4 sin1 36
  

Chú ý: Với những dạng không mẫu mực. Khi đó để sử dụng tích phân từng phần, ta cần tuân theo 2
nguyên tắc:
Khóa học: Tích phân ôn thi đại học 2013

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
1) Lựa chọn phép đặt dv sao cho v được xác định một cách dễ dàng
2) Tích phân
b
a
vdu

được xác định một cách dễ dàng hơn so với I
B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Tính các tích phân sau:
a.
dxxx

2
0

sin

d)

e
1
xdxlnx
c)
xdxcos)1x(
2
0



d)
dxxe
1
0
x3


e)
dx)1xln(x
5
2


f)
3
2

4
xdx
sin x



g)
dxex
1
0
x2


h)
dx
x
xln
2
e
1


i)
dxxln
e
1
2

k)
dx)x1ln(x

2
1
2



ĐS: a) 1 b)
4
1e
2

c)
2
4


d)
9
1e2
3

e)
4
27
2ln24 

f)


1 3

9 4 3 ln
36 2 2

  g)
e
5e2

h) 4 i) e – 2
k)
2
32ln25ln5



Bài 2: Tính các tích phân sau
a)
xdxxx


2
0
2
sin)32(

b)
dxxln)1x2(
2
1



c)
dxxe
x

2
0
2
3cos


d)


0
2x
3
1
x e x 1 dx

 

e)
2
2
1
x 1
ln xdx
x



f)
2
x
0
e sinxdx



ĐS: a) 1


b)
2
1
4ln  c)
13
2e3 

d)
2
3 4
4e 7

e)
3
e 3
4

f)



2
1
1 e
2



Bài 3:* Tính các tích phân sau
a)
1
2
0
x 1dx


b) dxxsin
4
0
2



Khóa học: Tích phân ôn thi đại học 2013

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
c)
dx)xx1ln(
2

0
2


d)
dx)xcos(ln
2
1


ĐS: a)




1
2 ln 2 1
2
 
b) 2 c) 15)25ln(2  d)
2
1
)2cos(ln)2sin(ln 