Bài giảng số 1. Các phương pháp tính thể tích khối chóp ôn thi đại học

Khóa học thể tích khối đa diện

Bài giảng độc quyền bởi Page 1
Biên soạn: Thầy Bùi Xuân Hải

BÀI GIẢNG SỐ 1: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH THỂ TÍCH KHỐI CHÓP


I. Tóm tắt lý thuyết
i) Nếu khối chóp đã có chiều cao và đáy thì thể tích tính theo công thức :V=
3
1
S
đáy
. h
ii) Nếu khối chóp cần tính thể tích chưa bíết chiều cao thì ta phải xác định đựơc vị trí
chân đường cao trên đáy.
Ta có một số nhận xét sau:
 Nếu hình chóp có cạnh bên nghiêng đều trên đáy hoặc các cạnh bên bằng
nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.
 Nếu hình chóp có các mặt bên nghiêng đều trên đáy hoặc có các đường
cao của các mặt bên xuất phát từ một đỉnh bằng nhau thì chân đường cao
là tâm đường tròn nội tiếp đáy.
 Nếu hình chóp có mặt bên hoặc mặt mặt chéo vuông góc với đáy thì
đường cao của hình chóp là đường cao của mặt bên hoặc mặt chéo đó.
 Nếu có một đường thẳng vuông góc với mặt đáy của khối chóp thì đường
cao của khối chóp sẽ song song hoặc trùng với đường thẳng đó.
 Nếu một đường thẳng nằm trong đáy của khối chóp vuông góc vuông góc
với một mặt phẳng chứa đỉnh của khối chóp thì đường cao của khối chóp
là đường thẳng kẻ từ đỉnh vuông góc với giao tuyến của mặt đáy và mặt

phẳng chứa đỉnh đã nói ở trên.

II. Bài tập mẫu
1. Dạng 1: Khối chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy
Bài tập mẫu 1:
Hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a 2 ,
SA = a, SA  (ABCD). M, N lần lượt là trung điểm AD và SC. {I} = BM ∩ AC. Tính thể tích
hình chóp ANIB.
Giải:

Khóa học thể tích khối đa diện

Bài giảng độc quyền bởi Page 2
Biên soạn: Thầy Bùi Xuân Hải
SA

(ABCD)
Gọi {O} = AC ∩ BD
Trong ∆SAC có ON // SA ⇒ON  (ABCD)
⇒ NO  (AIB)
Ta có NO =
1
2 2
a
SA 

Tam giác ABD có I là trọng tâm
2
2 2 1 2
.

3 3 4 6
AIB ABO ABCD
a
S S S
 
  
2
3
1 1 2
. . .
3 3 2 6
2
( )
36
ANIB AIB
a a
V NO S
a
dvtt

  




Bài tập mẫu 2:
Cho hình chóp có ABCD là hình chữ nhật; AB = a.AD = 2a; SA  (ABCD); (SA, (ABCD) =
60
o
. Điểm M thuộc cạnh SA, AM =

3
3a
. (BCM) ∩ SD ={ N}. Tính thể tích hình chóp S.BCMN.
Giải:
Ta có:

0
60SAB 

∆SAB vuông tại A có AM =
3
3a
, AB = a ⇒

0
30ABM 
.
Kẻ SH⊥ BM thì SH là đương cao của hình chóp
S.BCMN
Ta có
0
.sin 30SH SB a 

/ /( ) / /
SM MN
BC SAD MN BC
SA AD
  

. 4

3
AD SM a
MN
SA
  

2
1 10
( ).
2
3 3
BCM N
a
S MN BC BM   


a
K
O
C
D
A
a 2
a
N
I
B
S
A
D

C
B
N
M
H

Khóa học thể tích khối đa diện

Bài giảng độc quyền bởi Page 3
Biên soạn: Thầy Bùi Xuân Hải
3
1 10 3
.
3 27
SBCMN BCMN
a
V SH S 



Bài tập mẫu 3:
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy
ABCD và SA=h.Điểm M thuộc cạnh CD.Đặt CM=x. Hạ SH vuông góc với BM.Tính thể tích khối
tứ diện SABH.Tìm x để thể tích khối này là lớn nhất.
Giải:
Ta có BM

SH (gt)
BM  SA (Vì SA ( ABCD)
⇒

BM  AH
2
1 1 1
.
2 2 2
ABM ABCD
S S a AH BM  

2 2
2 2
a a
AH
BM
a x
  


Trong ∆SAH có SH =
22
2
222
xa
a
hAHSA



Trong ∆BAH có
BH=
22

22
4
222
xa
ax
xa
a
aAHAB





3
2 2
1 1 . .
.
2 2
ABH
a x h
S AH BH
a x

 


3 3
2
2 2
1 1 . 1 . . 1

. . . .
3 6 6 2 . 12
SABH ABH
a x h a x h
V S SA a h
a x
a x

   


Vậy
SABH
V lớn nhất khi và chỉ khi x a

2. Dạng 2: Khối chóp đều
Bài tập mẫu 4:
Cho hình chóp đều SABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Chứng minh rằng chân
đường cao kẻ từ S của hình chóp là tâm của tam giác đều ABC. Tính thể tích khối chóp đều
SABC
Giải:
C
A
S
M
D
B
H

Khóa học thể tích khối đa diện

Bài giảng độc quyền bởi Page 4
Biên soạn: Thầy Bùi Xuân Hải
Dựng
( )SO ABC

. Ta có: SA = SB = SC.
Suy ra: OA = OB = OC. Vậy O là tâm của
tam giác đều ABC.
Ta có tam giác ABC đều nên:
2 2 3 3
.
3 3 2 3
a a
AO AH  
Trong tam giác SAO có:
2
2 2 2
11 11
3 3
a a
SO SA OA SO    
Vậy:
3
1 11
.
3 12
SABC ABC
a
V S SO 

Bài tập mẫu 5: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a, M là trung điểm của DC.
a) Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD.
b) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng ABC. Tính thể tích khối chóp MABC
Giải:
a. Gọi O là tâm của
( )
ABC DO ABC
  

Ta có:
2
3
4
ABC
a
S


2 2
6
3
a
DO DC OC  
2 3
1 1 3 6 2
. . .
3 3 4 3 12
ABC

a a a
V S DO

   
b. Kẻ
/ /MH DO
. Khoảng cách từ M đến
mp(ABC) là:
1 6
2 6
a
MH DO 

2 3
1 1 3 6 2
. . .
3 3 4 6 24
ABC
a a a
V S MH

   


3. Dạng 3: Khối chóp có một mặt bên vuông góc với mặt đáy
Bài tập mẫu 6:
Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a 3 ,
(SAB)  (ABCD). M, N lần lượt là trung điểm AB, BC. Tính VSBMDN
Giải:
Trong ∆SAB h¹

SH AB

a

A
C
B
D
M
O
M
H
a
l

2a
A
B
C
S
H
O

Khóa học thể tích khối đa diện

Bài giảng độc quyền bởi Page 5
Biên soạn: Thầy Bùi Xuân Hải
( ) ( )SAB ABCD
⇒ ( ) ( )SH ABCD SH BMDN  
2

1 1 1
.2 .2 2
4 2 2
CDN MDA ABCD BMDN ABCD
S S S S S a a a
 
     
Trong tam giác SAB có:
2 2 2 2
4 SAB SA SB a AB    
vuông tại S
⇒
222222
3
4
3
11111
aaaSBSASH



⇒ SH =
2
3a

⇒VSBMDN =
3
1
S⋄BMDN.SH =
2

3
2
3
2
3
1
3
.2
aa
a 

Bài tập mẫu 7:
Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, (SAD)  (ABCD), ∆SAD
đều. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm SB, BC, CD. Tính thể tích hình chóp CMNP
Giải:
S
A
D
C
H
B
M
N

Khóa học thể tích khối đa diện

Bài giảng độc quyền bởi Page 6
Biên soạn: Thầy Bùi Xuân Hải
- Gọi E là trung điểm AD
⇒

SE

AD
Ta có: (SAD)  (ABCD)
⇒

SE  (ABCD)
- Gọi F là hình chiếu của M lên (ABCD)
⇒ MF // SE. Dễ thấy F ∈ EB và F là trung
điểm EB
Ta có MF =
2
1
SE =
4
3
2
3
2
1
.
aa


2
1 1 1
4 8 8
CNP CBD ABCD
S S S a
 

  

3
1
3
2
3 3
1 1
3 8 4 96
.
.
CMNP CNP
a a
V S MF
a

 
 

Nhận xét: có thể dùng phương pháp toạ độ
để giải với gốc toạ độ O.
0x ≡ EN, oy ≡ ED, oz ≡ ES

4. Dạng 4: Tỷ số thể tích tứ diện
Bài tập mẫu 8:
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân ở B, 2AC a , SA vuông góc với đáy
ABC,
SA a

a) Tính thể tích khối chóp S.ABC

b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng ( )

qua AG và song song với BC cắt SB,
SC lần lượt tại M, N. Tính thể tích của khối chóp S.AMN

Giải:
A
C
N

a
D
P
B
M
F
E
S
y

x

z

Khóa học thể tích khối đa diện

Bài giảng độc quyền bởi Page 7
Biên soạn: Thầy Bùi Xuân Hải
a) Ta có:
.

1
.
3
S ABC ABC
V S SA và
SA a

ABC
cân có: 2AC a AB a  
2
1
2
ABC
S a  . Vậy
3
2
.
1 1
. . .
3 2 6
S ABC
a
V a a 

b) Gọi I là trung điểm của BC
G là trọng tâm, ta có:
2
3
SG
SI


2
/ / / /
3
SM SN SG
BC MN BC
SB SC SI

    
4
.
9
SAMN
SABC
V SM SN
V SB SC
  

Vậy:
3
4 2
9 27
SAMN SABC
a
V V 



Bài tập mẫu 9:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy 2SA a .

Gọi B’, D’ lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
b) Chứng minh ( ' ')SC AB D
c) Tính thể tích khối chóp SA’B’C’D’
Giải:
p
G
A
C
B
S
M
N
I

Khóa học thể tích khối đa diện

Bài giảng độc quyền bởi Page 8
Biên soạn: Thầy Bùi Xuân Hải
a) Ta có:
3
.
1 2
.
3 3
S ABCD ABCD
a
V S SA 
b) Ta có: ( ) 'BC SAB BC AB   và
' ' ( )SB AB AB SBC   nên

'
SC AB


Tương tự:
'SC AD
. Vậy ( ' ')SC AB D
c) Ta có:
' '
' '
. (*)
SAB C
SABC
V SB SC
V SB SC


Tam giác SAC vuông cân nên:
' 1
2
SC
SC

Ta có:
2 2 2
2 2 2 2
' 2 2 2
3 3
SB SA a a
SB SB SA SB a

   


Từ (*) ta có:

3 3
' '
' '
1 1 2 2
.
3 3 3 9
SAB C
SAB C
SABC
V
a a
V
V
   

Vậy:
3
' ' ' ' '
2 2
2
9
SAB C D SAB C
a
V V 

Bài tập mẫu 10:
Cho khối chóp tứ giác đều SABCD. Một mặt phẳng ( )

qua A, B và trung điểm M của
SC. Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó
Giải:

I
O
A
B
C
S
D'
B'
C'

Khóa học thể tích khối đa diện

Bài giảng độc quyền bởi Page 9
Biên soạn: Thầy Bùi Xuân Hải
Kẻ / / ( )MN CD N SD thì hình thang
ABMN là thiết diện của khối chóp khi bị cắt
bởi mặt phẳng (ABM).
Ta có:
1 1 1
2 2 4
SAND
SANB SADB SABCD

SADB
V SN
V V V
V SD
    

1 1 1
. .
2 2 4
1 1
4 8
SBMN
SBCD
SBMN SBCD SABCD
V
SM SN
V SC SD
V V V
  
  

Mà:
3
8
SABMN SANB SBMN SABCD
V V V V  
Suy ra:
.
5
8

ABMN ABCD SABCD
V V
Vậy:
.
3
5
SABMN
ABMN ABCD
V
V


5. Dạng 5: ứng dụng thể tích để tính khoảng cách
Bài tập mẫu 11: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh
3a , SA  (ABC), SA
=2a. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Giải:

2 2
1 3 3 3 3
3. 3.sin60
2 2 2 4
o
ABC
a a
S a a

  
3
1 3

.
3 2
SABC ABC
a
V SA S

 
Gọi M là trung điểm BC
AM  BC
BC SA ⇒BC  (SAM) ⇒ BC  SM
AM =
2
3
2
3.3
a
a


∆SAM vuông tại A có
O
D
A
C
B
S
N
M
B
A

S
C
M
a 3
2a

Khóa học thể tích khối đa diện

Bài giảng độc quyền bởi Page 10
Biên soạn: Thầy Bùi Xuân Hải
SM
2
= SA
2
+ AM
2
= 4a
2
+
4
9
a
2
=
4
25
a
2

⇒ SM =

2
5
a
S
∆SBC
=
2
1
SM.BC =
2
35
a
2

d(A, (SBC)) =
5
3
.
3
3
2
2
35
3
2
3


a
a

S
V
SBC
SABC
a
Bài tập mẫu 12:
Cho tứ diện ABCD có AB = a; CD = b, các cạnh còn lại bằng c. Tính khoảng cách từ A đến mặt
phẳng (BCD).
Giải:
∆ACD = ∆BCD. Gọi M là trung điểm CD
⇒
AM = BM, DC  (ABM)
Gọi N là trung điểm AB ⇒ MN  AB
MN
2
= BM
2
- BN
2
= c
2
+
4
4
44
22222
abcab 


S

∆AMN
=
222
42
4
2
4.
222
abc
aabca



V
ABCD
= 2V
BCMA
= 2.
3
1
CM.S
∆ABM

=
222
12
222
423
2
44 abcabc

abab

S
∆BCD
= BM.CD =
4
2
2
1
2
b
c 
.b =
4
b
22
4 bc 
Ta có:
d(A,(BCD))=
22
222
22
4
222
4
4
4
4.
4
3

bc
abc
bc
abc
S
V
a
b
ab
BCD
ABCB









III. Bài tập vận dụng
Bài 1: Cho hình chóp SABC có SA⊥ (ABC), ∆ABC cân tại A, D là trung điểm BC, AD = a,
(SB, (ABC)) =

; (SB, (SAD)) =

. Tính V
SABC
.
Gợi ý:

2 3
.
2 2 2 2 2 2
1 1 sin sin sin cos
. .
3 3
cos sin cos sin 3 cos sin
S ABC ABC
a a a
V SA S
   
     

  
  


Bài 2: Hình chóp SABCD có ∆ABC vuông tại B, SA b (ABC). ACB =60
o
, BC = a, SA = a 3 ,
A
N
B
C
D
M
a

Khóa học thể tích khối đa diện

Bài giảng độc quyền bởi Page 11
Biên soạn: Thầy Bùi Xuân Hải
M là trung điểm SB. Tính thể tích khối chóp MABC
Gợi ý:
3
2
3
1 1 1
.
3 3 2 2 4
. . 3.
a
a
M ABC ABC
V S MH a

  


Bài 3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với đáy ABC và
SA=a.Điểm M thuộc cạnh AB. Đặt góc ACM bằng

.Hạ SH vuông góc với CM
a)Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện SAHC
b)Hạ AI vuông góc với SC,AK vuông góc với SH Tính thể tích khối tứ diện SAKI.

Gợi ý: a)
3
max
12

a
V 
b)
3
.
2
sin 2
24(1 sin )
S AKI
a
V






Bài 4: Cho khối chóp ABCD có ABC là tam giác đều, BCD là tam giác vuông cân tại D, mặt
phẳng ABC vuông góc với mặt phẳng BCD, AD hợp với mặt phẳng BCD một góc 60
0
. Tính thể
tích khối chóp ABCD.
Gợi ý:
3
1 1 1 3
. . . . .
3 3 2 9
BCD
a
V S AH BC HD AH  

Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều ABC cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với
mặt phẳng đáy và 3SA a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Tính thể tích
khối chóp S.AMN
Gợi ý:
3
,
1
.
3 4
S AMN AMN
a
V S SA 


Bài 6: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = x các cạnh còn lại bằng 1.
a) Tính thể tích tứ diện ABCD theo x
b)Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng BCD
Gợi ý: VABCD =
6
2
x

d(A, (BCD)) = x
2
2
4
2
4
4
x

x
x




Bài 7: Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a, SA  (ABC), ∆ABC có AB = BC = 2a, ABC =120
o

Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC.
Gợi ý: d(A, (SBC)) =
2
3
32
33
3
2
3


a
a
S
V
SBC
SABC
a