Bài giảng số 4. Dạng lượng giác của số phức và một vài ứng dụng

Khóa học số phức ôn thi đại học


Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà

BÀI GIẢNG SỐ 04: DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Số phức dưới dạng lượng giác
Acgumen của số phức
0
z

: Cho số phức
0
z

. Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số z.
Số đo ( radian ) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là một acgumen của z
Chú ý:
1. Nếu

là một acgumen của z thì mọi acgumen của z có dạng 2 ,
k k Z
 
 

2. Hai số phức z và
l
z (

0
z

và
l
là số thực dương ) có cùng acgumen.
Dạng lượng giác của số phức: Dạng


cos is
z r in
 
  , trong đó r > 0 được gọi là dạng lượng giác
của số phức
0
z

. Còn dạng


,
z a bi a b R
   được gọi là dạng đại số của số phức z
Nhận xét: Để tìm dạng lượng giác


cos is
r in
 
 của số phức



,
z a bi a b R
   khác 0 cho trước, ta
thực hiện theo các bước:
Bước 1: Tìm r: đó là môđun của z,
2 2
r a b
 
; số r đó cũng là khoảng cách từ gốc O đến điểm M biểu
diễn số z trong mặt phẳng phức
Bước 2: Tìm

: đó là acgumen của z,

là số thực sao cho cos ,s
a b
in
r r
 
 
; số

đó cũng là số đo
một góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM
Chú ý:
1.



1 cos is
z z in R
  
    
2. Khi z = 0 thì
0
z r
 
, nhưng acgumen của z không xác định ( đôi khi coi acgumen của 0 là số
thực tùy ý và vẫn viết


0 0 cos is
in
 
  )
3. Cần để ý đồi hỏi r > 0 trong dạng lượng giác


cos is
r in
 
 của số phức
0
z


2. Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác
Nếu



cos is
z r in
 
  và


' ' cos ' is '
z r in
 
  với
, ' 0
r r

thì:



' ' cos( + ') is ( ')
zz rr in
   
  

   
cos ' +isin '
' '
z r
z r
   
  

 
 
, r’ > 0
Chú ý: Nếu các điểm M. M’ biểu diễn theo thứ tự các số phức z, z’ khác 0 thì acgumen của
'
z
z
là số đo
lượng giác tia đầu OM’, tia cuối OM
3. Công thức Moivre và ứng dụng
Khóa học số phức ôn thi đại học


Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà

a. Công thức Moivre: Với mọi số nguyên dương n, ta có:



 
r(cos is ) cosn isin
n
n
in r n
   
  
Khi r = 1, ta được:
(cos is ) cosn isin
n

in n
   
  
b. Ứng dụng vào lượng giác:
Ta có:
3
(cos is ) cos3 isin3
in
   
  

Mặt khác, sử dụng khai triển lũy thừa bậc ba ta được:
   
2
3 3 2 3
(cos is ) cos 3cos sin 3cos isin sin
in i
       
    
Từ đó, suy ra:

3 2 3
2 3 3
cos3 cos 3cos sin 4cos 3cos
sin3 3cos sin sin 3sin 4sin
     
     
   
   

c. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác:
Số phức


cos is
z r in
 
  , r > 0 có hai căn bậc hai là:
cos sin
2 2
r i
 
 

 
 
và
cos sin cos sin
2 2 2 2
r i r i
   
 
 
     
     
     
 
     
 

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP
1. Dạng 1: Agumen của số phức
Phương pháp: Sử dụng định nghĩa về acgumen của số phức
Ví dụ: Tìm acgumen của số phức z, biết:
a. z = - 1 + i
b.
cos is
z in
 
 
c.
sin icos
z
 
  

Bài giải:
a. Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Ta biến đổi:

2 2 3 3
1 2 2 cos sin
2 2 4 4
i i i
 
 
 
      
 

 
 
 
 


3
4


  
acgumen của z bằng
3
2 ,
4
k k Z


 

Cách 2: Ta có:
 
2
2
1 1 2
r     nên:
Khóa học số phức ôn thi đại học


Bài giảng độc quyền bởi

Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà


1
cos =
3
2
1
4
sin
2








 






acgumen của -1 + i bằng
3
2 ,
4

k k Z


 

b. Ta biến đổi:
cos is
z in
 
 
cos(- ) is ( )
in
 
  



acgumen của z bằng 2 ,
k k Z
 
  

c. Ta biến đổi:
sin icos
z
 
  
cos - - is
2 2
in

 
 
   
   
   
   



acgumen của z bằng
2


2 ,
k k Z
 
  

Dạng 2: Dạng lượng giác của số phúc
Phương pháp: Sử dụng kiến thức được trình bày trong nhận xét của phần 1
Tuy nhiên, trong thực tế để tìm dạng lượng giác của số phức
z a bi
 
chúng ta sử dụng phép biến đổi:
 
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1
cos s
a b
z i i in

a b a b a b a b
 
 
   
 
   
 

Ví dụ 1:
a. Giả sử số phức
0
z

có dạng lượng giác


cos is
z r in
 
  . Hãy tìm dạng lượng giác của các số
phức
 
1
; ; ;
z z kz k R
z

 
b. Xét riêng trường hợp
1 3

z i
 
Bài giải:
a. Ta lần lượt có:
 Số phức
z
có môdun r và acgumen bằng


nên có dạng:



cos(- ) is ( ) cos is
z r in r in
   
    
 Số phức –z có môdun r và acgumen bằng
 

nên có dạng:





(cos( ) is ( ) cos isin
z r in r
     
       

 Số phức
1 1
.
z
z zz
 có môdun
2
1 1
.r
r r

và acgumen bằng

nên có dạng:

 
1 1
cos is
in
r
z
 
 
Khóa học số phức ôn thi đại học


Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà

 Số phức kz có môdun

kz k r
 và acgumen bằng

(k > 0) và là
 

(k < 0) nên có dạng:


   
cos is , 0
cos sin , 0
kr in k
kz
kz i k
 
   
 



    
 

 


b. Với
1 3
z i

  , ta có:
Môdun
1 3 2
r
  

Acgumen

thỏa mãn
1 3
cos = ,sin
2 2

 
chọn
3




2 cos is
3 3
z in
 
 
  
 
 

Lưu ý: Ta có thể sử dụng ngay phép biến đổi:

1 3
1 3 2 2 cos is
2 2 3 3
z i i in
 
 
 
     
 
 
 
 
 

Ví dụ 2: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác
a.


2 3
i i

b.
1
2 2
i

c.
s cos
z in i
 

 

Bài giải:
a. Ta có:
 
1 3
2 3 2 2 3 4 4 cos is
2 2 3 3
i i i i in
 
 
 
      
 
 
 
 
 

b. Ta có:
 
1 2 2 1 2 2 2 2
1 cos sin
2 2 4 2 2 2 2 2 4 4
i
i i i
i
 
 
  

   
        
 
   
 
 

   
 
 

c. Ta có: s cos cos sin
2 2
z in i i
 
   
   
     
   
   

Ví dụ 3: Cho số phức
4 4
3(cos sin )
3 3
z i
 
  . Tìm số phức x sao cho x
3
= z.

Bài giải:
Đặt
(cos isin )
x r
 
 
khi đó ta có

3 3
4 4
(cos3 sin3 ) 3(cos sin )
3 3
x z r i i
 
 
    
3
3
3
3
4
4 2
3 2
( 0;1;2)
3
9 3
r
r
k
k

k

 
 





 
 
 
 
  
 



Khóa học số phức ôn thi đại học


Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà


3
4 4
) 0 3(cos sin )
9 9
k x i

 
    
3
10 10
) 1 3(cos sin )
9 9
k x i
 
    
3
16 16
) 1 3(cos sin )
9 9
k x i
 
    
Dạng 3: Các ứng dụng
Ví dụ 1: Tính
sin 4

và
cos4

theo các lũy thừa của
s
in

và
cos


Bài giải:
Ta có:
4
(cos is ) cos4 isin 4
in
   
  
Mặt khác, sử dụng khai triển lũy thừa bậc bốn ta được:
   
2
4 4 3 2 3 4
(cos is ) cos 4cos sin 6cos isin 4cos ( sin ) sin
in i i
         
     
Từ đó, suy ra:

4 2 2 4
3 3
cos4 cos 6cos sin sin
sin 4 4cos sin 4 os sinc
    
    
  
 

Ví dụ 2: Tính
a.



6
3
i

b.
2004
1
i
i
 
 

 
c.
21
5 3 3
1 2 3
i
i
 

 
 

 

Bài giải:
a.
3 1

3 2 2 cos isin
2 2 6 6
i i
 
 
 
   
      
 
   
 
 
   
 
 

 
   
6
6
6 6
3 2 cos isin 2 cos sin 2
6 6
i i
 
 
 
 
   
           

 
 
   
   
   
 
 

b.


1
1 2 2 2 2
cos sin
1 2 2 2 2 2 2 4 4
i i
i i
i i
i
 
 


 
     
 
 
 

 

 

 
2004 2004
2004
1002
2 2 1
cos sin cos501 sin 501
1 2 4 4 2 2
i
i i
i
 
 
   
   
      
 
 
   
 

   
   

c.





5 3 3 1 2 3
5 3 3 1 3
1 3 2
13 2 2
1 2 3
i i
i
i i
i
 
 

      
 
 

 
=
2 cos sin
3 3
i
 
 
   
   
   
 
   
 

Khóa học số phức ôn thi đại học


Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà

     
21
21
21
21
5 3 3
2 cos sin 2 cos 7 sin 7 2
3 3
1 2 3
i
i i
i
 
 
 
 
  
   
           
 
 
   
   
 


   
 
 
 

Ví dụ 3: a. Tìm phần thực, phần ảo của
 
2010
1 i
b. Khai triển
 
2010
1 i theo nhị thức Newton
c. Tính
2 4 2010
2010 2010 2010 2010

o
C C C C
   
Bài giải:
a.
2 2
1 2 2 cos sin
2 2 4 4
i i i
 
 
 

    
 
 
 
 
 

 
2010
1005 1005
1005 1005 1005
1 2 cos sin 2 0 sin
2 2 2
i i i
  
   
     
   
   

Phần thực: 0
Phần ảo:
1005
1005
2 sin
2


b.
 

2010
1 2 3 4 2010
2 3 4
2010 2010 2010 2010 2010 2010
1
o
i i i i i
C C C C C C
       
1 2 3 4 2010
2010 2010 2010 2010 2010 2010

o
i i
C C C C C C
      




2 4 2010 1 3 5 2009
2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010

o
i
C C C C C C C C
         
c. So sánh phần thực và phần ảo của
 
2010

1 i , ta có:
2 4 2010
2010 2010 2010 2010

o
C C C C
    = 0

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Tìm acgumen của mỗi số phức sau:
a.
2 2 3
i
  b.
cos sin
4 4
i
 
 c.
sin cos
8 8
i
 
 
ĐS: a.
2
2 ,
3
k k Z



 
b. 2 ,
4
k k Z


  
c.
5
2 ,
8
k k Z


  

Bài 2: Hãy tìm dạng lượng giác của các số phức
1
; ; ;
z z z
z
 , biết:
a.
1
z i
 
c.
3
z i

 

b.
1
z i
 
d.
1 3
z i
 
Khóa học số phức ôn thi đại học


Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà

ĐS: a. 2 cos is
4 4
z in
 
 
 
 
 
, 2 cos - is
4 4
z in
 
 


 
 
, 2 cos - is
4 4
z in
 
 
  
 
 


1 1
cos + is
4 4
2
in
z
 
 

 
 

b. 2 cos is
6 6
z in
 
 
 

 
 
, 2 cos - is
6 6
z in
 
 

 
 
, 2 cos - is
6 6
z in
 
 
  
 
 


1 1
cos + is
2 6 6
in
z
 
 

 
 

Bài 3: Gọi z
1
và z
2
là hai nghiệm phức của phương trình
2
2 3 4 0
z iz
  
. Viết dạng lượng giác của z
1

và z
2
ĐS:
1
2 cos is
3 3
z in
 
 

 
 


2
2 2
2 cos is

3 3
z in
 
 

 
 

Bài 4: Viết các số sau dưới dạng lượng giác
3 ;
i


1 3;
i





3 1 3 ;
i i 

3
;
1 3
i
i



1 3
3
i
i



ĐS:
2 cos is
6 6
z in
 
 
   
   
   
 
   
 
,
5 5
2 cos is
6 6
z in
 
 
 
 
 

2 2
4 cos is
3 3
z in
 
 
 
 
 
,




cos isz in
 
   
 
 
,
cos is
z in
 
 

Bài 5: Cho





6 2 6 2
z i   

a. Viết z
2
dưới dạng đại số và dưới dạng lượng giác
b. Từ câu a. hãy suy ra dạng lượng giác của z
ĐS: a.
2
8 3 8
z i
 
,
2
16 cos is
6 6
z in
 
 
 
 
 

b. 4 cos is
12 12
z in
 
 
 

 
 

Bài 6: Dùng công thức khai triển nhị thức Niutơn
 
19
1
i
 và công thức Moivre để tính
2 4 16 18
19 19 19 19 19

o
C C C C C
     ĐS:
16
2


Bài 7: Tính
Khóa học số phức ôn thi đại học


Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà

a.


6

3
i

b.
2000
1
i
i
 
 

 
c.
3
5 3 3
1 2 3
i
i
 

 
 

 

ĐS: a.
6
2

, b.

2000
1
2
 
 
 
c. 8