Bài giảng số 7. Ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng và thể tích tròn xoay

Khoá học tích phân ôn thi ĐH

Bài giảng độc quyền bởi Page 1
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà

BÀI GIẢNG SỐ 07: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
I. Ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng:
Dạng 1: Áp dụng trực tiếp công thức
Phương pháp: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
g(x) y f(x), y b, x a, x





với
a b

là
( ) ( )
b
a
S f x g x dx
 


Ví dụ 1: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

3 , 2 1
x
y y x

  

Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường đã cho là:

3 2 1
x
x
 
0
1
x
x







Diện tích hình phẳng cần tìm là:
1 1 1 1 1
0 0 0 0 0
3 2 1 ( 3 2 1) 3 2
x x x
S x dx x dx dx xdx dx
          
    

1
2
0
3 3 1 2
2 2
ln3 ln3 ln3 ln3
x
x x
 
         
 
 

Ví dụ 2: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

( 1) , (1 )
x
y e x y e x
   

Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường đã cho là:

( 1) (1 ) ( ) 0
x x
e x e x e e x
     


0

1
x
x







Diện tích hình phẳng cận tìm là:
1 1 1 1
0 0 0 0
ex ( ex) x ex
x x x
S xe dx xe d dx xe dx
      
   

Ta có:
1
1
2
0
0
ex
2 2
e
e xdx
 



1 1
1 1
0 0
0 0
1
x x x x
xe xe e dx e e
    
 

Khoá học tích phân ôn thi ĐH

Bài giảng độc quyền bởi Page 2
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
Vậy
1
2
e
S
 
(đvdt)
Bài 1: Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau
a)
2
2 4, 4
y x x y x
    

b)
2 2
2 2, 3
y x x y x x
      

c)
2
1
, , 1
x
x
y y e x
e


  

d)
ln , 0
y x y
 
và
x e


e) Parabol
2
6 8,
y x x
   
tiếp tuyến tại đỉnh của Parabol và trục tung.
ĐS: a)
9
2
b)
11
24
c)
2
1 1 3
2 2
e
e
 
d) 1 e) 9
Dạng 2: Dựa vào đồ thị để tính diện tích hình phẳng
Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

2
4 3 , 3
y x x y x
    

Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường đã cho là

2
4 3 3
x x x
   
(1)
TH1: 1 < x < 3


2
(1) 4 3 3
x x x
     

2
3 6 0
x x
   
( vô nghiệm )
TH2:
3
1
x
x






2 2

0
(1) 4 3 3 5
5
x
x x x x x
x


       




Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường trên, ta luôn có:
 
 
 
 
 
 
1 3 5
2 2 2
0 1 3
3 4 3 3 4 3 3 4 3
S x x x dx x x x dx x x x dx
     
              
     
  

=
1 3 5
2 2 2
0 1 3
( 5 ) ( 3 6) ( 5 )
x x dx x x dx x x dx
       
  

=
1 3 5
3 2 3 2 2 2
0 1 3
5 3 5
6
3 2 3 2 2 2
x x x x x x
x
     
 
     
     
     
=
257
6


Khoá học tích phân ôn thi ĐH

Bài giảng độc quyền bởi Page 3
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
Ví dụ 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

2
2
8
, ,
8
x
y x y y
x
  

Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm
+)
2
2 2 2
8 0
8
x
x x x x
    

+)
2 3
8
8 2
x x x

x
    

+)
2
8
4
8
x
x
x
  


Gọi S là diện tích giới hạn bởi 3 đồ thị
2 4
2 2
2
0 2
8
8 8
x x
S x dx dx
x
   
    
   
   
 
2 4

3 3 3
0 2
8ln 8ln2
3 24 24
x x x
x
   
    
   
   

Bài 2: Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau
a)
2
1 , 5
y x y x
   

b)
2
, 2
y x y x
  

c)
2
, 2 , 0
y x y x y
   

d)
2
2 2 , 2 2
y x y x x
     

e)
3
2
4 ,
3
x
y x y

   

f)
2
4
y x x
 
( C) và tiếp tuyến của đường cong (C) qua
5
;6
2
M
 
 
 

ĐS: a)

73
3
S 
b)
20
3
S  c)
5
6
d)
38
3
S  e)
3
2
2
0
2 4
3
x
S x dx
 

  
 
 


f) HD: Tiếp tuyến của (C) qua M là:
1 2
( ): 2 1, ( ) : 4 16
d y x d y x
   

vẽ đồ thị
9
4
S
 


Bài 3: Chứng minh rằng với mọi m thì đồ thị hàm số
2
1
y x
 
luôn cắt đường thẳng
2
y mx
 
tại hai điểm phân biệt. Tìm m để phần diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2
đường trên là nhỏ nhất ĐS: m = 0,
min
4
3
S


Khoá học tích phân ôn thi ĐH

Bài giảng độc quyền bởi Page 4
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
Bài 4: Xét hàm số
2
y x

trên đoạn


0;1
. Giả sử m là một giá trị bất kì thuộc


0;1
. Gọi
S
1
là diện tích giới hạn bởi các đường
0
x

,
2
y m

và
2
y x


, S
2
là diện tích giới hạn bởi
các đường
2 2
,
y x y m
 
và
1
x

. CMR với mọi giá trị của


0;1
m ta đều có
1 2
1 2
4 3
S S
  
.
Bài 5: Cho hàm số
4 2
4
y x x m
  
. Cho biết đồ thị cắt Ox tại 4 điểm phân biệt sao cho

diện tích hình phẳng ở phần trên Ox giới hạn bởi đồ thị bằng diện tích hình phẳng ở phần
dưới Ox ĐS:
20
9
m 

II. Thể tích tròn xoay
Dạng 1: Tính thể tích tròn xoay quanh trục Ox
Phương pháp: 1) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
f(x) y 0, y b, x a, x




với
.
a b

Khi hình phẳng này quay xung quanh Ox sẽ tạo ra một vật thể tròn xoay có thể
tích là
 
2
( )
b
a
V f x dx



.

2) Nếu D là miền giới hạn bởi 2 đường
( )
( )
y f x
y g x
a x b






 


1 2
V V V
  

2
1 1
( )
( ) ( ): 0
b
a
y f x
V f x dx D y
a x b





 


 



2
2 2
( )
( ) ( ) : 0
b
a
y g x
V g x dx D y
a x b




 


 



Nhận xét: Nếu bài toán không cho a, b thì ta xét phương trình hoành độ giao điểm

Ví dụ 5: Tính thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi các đường sau khi quay quanh trục Ox
(D):
2 2
( 2) 1.
x y
  

Giải:
Hoành độ giao điểm của (D) và Ox là nghiệm của hệ:
Khoá học tích phân ôn thi ĐH

Bài giảng độc quyền bởi Page 5
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
 
2
2
2 1
1
0
x y
x
y

  

  





Ta có:
 


2
1
2
2
1 2
1
2 1
: 0 2 1
1 1
y x
D y V x dx
x



  


    


  




 


2
1
2
2
2 2
1
2 1
: 0 2 1
1 1
y x
D y V x dx
x



  


    


  




1
2
1 2
1
8 1
V V V x dx

    


Đặt
cos sin
x t dx tdt
   

Đổi cận: 1x t

   


1 0
x t
  

 
0
2 2
0 0 0
1 os2
8 1 os sin 8 sin 8 4 1 os2

2
c t
V c t tdt tdt dt c t dt
  


       
   


0 0
0
1
4 os2 4 sin 2 4
2
dt c tdt t t

 

 
 
    
 
 
 
 
 

Ví dụ 6: Tính thể tích tròn xoay sinh bởi các đường sau khi quay quanh Ox:


y x
, y = x và x = 5

Giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm

0
x x x x
   


0
1
x
x







Ta có:
 
1
1
2
1 1
0
0

: 0
2 2
0 1
y x
x
D y V xdx
x
 




    


 



 
1
1
3
2
2 2
0
0
: 0
3 3
0 1

y x
x
D y V x dx
x
 




    


 



Khoá học tích phân ôn thi ĐH

Bài giảng độc quyền bởi Page 6
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
Vậy
 
5
2
1 2
1
88 59
2 3 3 2
V V V x x dx
   


       


Bài 6: Tính thể tích tròn xoay giới hạn bởi các đường sau khi quay quanh 0x
a)
y x

ln
x
,
0, 1,
y x x e
  

b)
y x

sin
x
,
0, 0,
2
y x x

  

c)
4 4
sin os , 0, ,

2
y x c x y x x


    

d)


3
ln 1 , 1, 0
y x x x y
   

e).
2 2
6 ; 4 8
y x x y x x
     

ĐS: a)
3
(5 2)
27
e
V


 b)
4 2

6
48
V
 

 c)
 
2
4 4
2
3
sin os
8
V x c x dx




  


d)
2
ln 2
3 3
V
 
 

e)

4
2 2
1
1
978
( 6 )
5
V x x dx


   

,
4
2 2
2
1
393
( 4 8)
5
V x x dx


   


1 2
117
V V V


   

Bài 7: Cho parabol (P): y = x
2
. Gọi (d) là tiếp tuyến của (P) tại điểm có hoành độ x = 2.
Gọi (H) là hình giới hạn bởi (P), (d) và trục hoành. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra
bởi hình (H) khi quay quanh trục Ox.
ĐS: (d): y = 4x – 4

2
4
1
0
32
5
V x dx


 

,
1
2
2
0
32
(4 4)
3
V x dx



  


1 2
32 32
3 5
V V V
 
    
Dạng 2: Tính thể tích tròn xoay quanh trục Oy
Phương pháp: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = a, y = b, x = 0, x = g(y) với
.
a b

Khi hình phẳng này quay xung quanh Oy sẽ tạo ra một vật thể tròn xoay có thể
tích là
 
2
( )
b
a
V g y dy




Ví dụ 7: Tính thể tích tròn xoay giới hạn bởi các đường
2
2 , 0

y x x y
   
khi quay
quanh Oy
Giải:
Ta có:
2 2
2 2 1 1
y x x x x y
       




2
1 1
x y
   
đk :
1 0 1
y y
   
)
Khoá học tích phân ôn thi ĐH

Bài giảng độc quyền bởi Page 7
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà

1 1 1 1
1 1 1 1

x y x y
x y x y
 
     
 
 
 
      
 

Gọi (D
1
) là miền giới hạn bởi các đường
1
2
1
0
1 1
0 (1 1 )
0 1
x y
x V y dy
y


  

    



 



Gọi (D
2
) là miền giới hạn bởi các đường
1
2
2
0
1 1
0 (1 1 )
0 1
x y
x V y dy
y


  

    


 



1
1 2

0
2 1
V V V ydy

    


Đặt
2
1 1 2
y t y t dy tdt
       

Đổi cận: Với
0 1
y t
  
,
1 0
y t
  

1
1
3
2
0
0
4
2 2 4

3 3
t
V t dt

 
   


Bài 8: Tính thể tích tròn xoay của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau khi quay
quanh 0y
a)
2 2
;
y x x y
 
;
b)
; 2 ; 0
y x y x y
   
;
c)
 
2
2
2 1
x y
  

ĐS: a)

3
10
V


b)
18
V



c) HD:
2
1
2 1
0
1 1
x y
x V
y

  


 


  



,
2
2
2 1
0
1 1
x y
x V
y

  


 


  




4
V

