Về tính co và không giãn của ánh xạ nghiệm cho bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị

S
ố hóa bởi Trung tâm Học liệu
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC




VŨ THỊ THU




VỀ TÍNH CO VÀ KHÔNG GIÃN
CỦA ÁNH XẠ NGHIỆM CHO BÀI TOÁN
BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN ĐA TRỊ




Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số: 60. 46. 01. 12


Người hướng dẫn khoa học:
GS.TSKH. LÊ DŨNG MƯU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC




THÁI NGUYÊN - NĂM 2013

S
ố hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
VŨ THỊ THU
VỀ TÍNH CO VÀ KHƠNG GIÃN
CỦA ÁNH XẠ NGHIỆM
CHO BÀI TỐN BẤT ĐẲNG
THỨC BIẾN PHÂN ĐA TRỊ
Chun ngành: TỐN ỨNG DỤNG
Mã số: 60.46.01.12
LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
GS.TSKH. LÊ DŨNG MƯU
THÁI NGUN - NĂM 2013
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu />i
Mục lục
Mục lục i
Lời cảm ơn ii
Mở đầu 1
1 Bài tốn bất đẳng thức biến phân đa trị 4
1.1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1 Khơng gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Tập lồi, hàm lồi và dưới vi phân . . . . . . . . . . . 6
1.1.3 Ánh xạ đa trị Lipschitz trong khơng gian Hilbert . 8
1.2 Ánh xạ đa trị đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.1 Định nghĩa ánh xạ đa trị đơn điệu . . . . . . . . . . 13
1.2.2 Định nghĩa ánh xạ đơn điệu mạ nh . . . . . . . . . . 15
1.2.3 Định nghĩa ánh xạ đồng bức . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Bài tốn bấ t đẳng thức bi ến phân đa trị . . . . . . . . . . 17
1.3.1 Phát biểu bài t ốn và ví dụ. . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.2 Sự tồn tạ i nghiệm của bài t ốn (MVIP) . . . . . . 23
2 Phương pháp ánh xạ co và khơng giãn của ánh xạ nghiệm
cho bài tốn bất đẳng thức biến phân đa trị 26
2.1 Tính co và sự hội tụ của ánh xạ nghiệm . . . . . . . . . . 26
2.1.1 Tính co của ánh xạ nghiệm . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.2 Mơ tả thuật tốn và sự hội tụ . . . . . . . . . . . . 33
2.2 Tính khơng giãn và sự hội tụ của ánh xạ nghiệm . . . . . . 37
2.2.1 Tính khơng giãn của ánh xạ nghiệm . . . . . . . . 37
2.2.2 Mơ tả thuật tốn và sự hội tụ . . . . . . . . . . . . 42
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu />ii
Kết luận 45
Tài liệu tham khảo 46
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu />iii
Lời cảm ơn
Trong suốt q trình làm luận văn, tơi ln nhận được sự hướng dẫn,
chỉ bảo tận tình và giúp đỡ nghiêm túc của GS.TSKH. Lê Dũng Mưu (Viện
Tốn học, Viện Hàn lâm Khoa học và Cơ ng nghệ Việt Nam). Tơi xin chân
thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy, Thầy đã giành nhiều thời
gian hướng dẫn cũng như giải đáp thắc mắc của Tơi trong suốt q trình
làm luận văn. T hầy đã tạo điều kiện và giúp đỡ Tơi có thêm kiến thức,
khả năng nghiên cứu, chọn lọc và tổng hợp các tài liệu chính cũng như cơ

bản để hồn thành luận văn. Tơi xin kính chúc Thầy và gia đình ln ln
mạnh khỏe, hạnh phúc.
Qua đây Tơi xin cảm ơn các q Thầy, Cơ tham gia giảng dạy khóa cao
học 2 011 - 2013 tại Đại học Thái Ngun và tại Viện Tốn Học lời cảm ơn
sâu sắc nhất đối với cơng lao dậy dỗ trong suốt q trình đào tạo giáo dục
tại nhà trường, đã mang đến cho tơi nhiều kiến thức bổ ích khơng chỉ về
mặt chun mơn mà còn cả trong cuộc sống.
Tơi cũng xin chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp, đồng mơn đã
giúp đỡ tơi trong thời gian họ c tập tại Đại học Thái Ngun và trong q
trình hồn thành luận văn này.
Cuối cùng, Tơi xi n giành lời cảm ơn sâu sắc đến Gia đình và ngườ i bên
cạnh Tơi. Nhờ có sự chăm sóc, lo lắng, động viên và tạo mọi điều kiện tốt
nhất để Tơi có được thành quả ngày hơm nay. Xin kính tặng bản luận văn
này tới Gia đình.
Thái Ngun, tháng 8 - 2013
Người viết Luận văn
VŨ THỊ THU
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu />1
Mở đầu
Bài tốn Bất đẳng thức biến phân đa trị được giới thiệu lần đầu tiên
vào năm 196 6 b ởi Ha rtman và Stampachia. Những nghiên cứu đầu tiên về
bài tốn bất đẳng thức biến phân đa trị liên quan tới việc giải bà i tốn biến
phân, bài tốn điều khiển tối ưu và các bà i tốn có dạng của phương trình
đạo hàm riêng. Bài tốn bất đẳng thức biến phân trong khơng gian hữu
hạn chiều và các ứng dụng thực tiễn của nó thì được giới thiệu trong cuốn
sách ” An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications”
của Kinderlehrer D. và Stampachia G., xuất bản năm 1980 và trong cuốn
sách ” Variational and Quasivariat ional Inequalities: Appli cations to Free
Boundary Problems ” của Baiocci C. và Capelo A., xuất bản năm 198 4.
Năm 1979 Michael J. Smith đưa ra bài tốn cân bằng mạng giao thơng

và đến năm 1980 Defermos đã chỉ ra rằng điểm cân bằng của bài tốn này
là nghiệm của bài tốn bất đẳng thức biến phân. Từ đó bài tốn bất đẳng
thức biến phân được phát tr iển trở thành một cơng cụ hữu hiệu để nghiên
cứu và giải các bài tốn cân bằng trong kinh tế tài chính, vận tải, lý thuyết
trò chơi và nhiều bài tốn khác. Bài tốn bất đẳng thức biến phân đa trị
có quan hệ mật thiết với nhiều bài tốn khác như: bài tốn bù phi tuyến,
bài tốn quy hoạch lồi, bài tốn xác định phương án sản xuất, các bài
tốn đó là một trong những trường hợp riêng của bài to án bất đẳng thức
biến phân đa trị. Gần đây bài tốn bất đẳng thức biến phân đa trị cũng là
một đề tài thu hút được nhiều sự q uan tâm của các nhà nghiên cứu khoa
học vì nó có nhiều vai trò và ứng dụng trong lý thuyết tốn học và các ứng
dụng trong thực tế. Một trong các hướng nghiên cứu quan trọ ng của bài
tốn bất đẳng thức biến phân đa trị là xây dựng phương pháp giải. Thơng
thường các phương pháp giải được chia thành các lo ại sau:
Loại thứ nhất là các phương pháp chuyển bài tốn về hệ phương trình
và dùng các phương pháp thơng dụng như phương pháp Newton, phương
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu />2
pháp điểm trong hệ phương trình.
Loại t hứ hai l à phương pháp có tính chất kiểu đơn điệu điển hình của
phương pháp này là các phương pháp gradient sau này được tổng qt
bởi Cohen thành lý thuyết bài tốn phụ, phương pháp điểm gần kề của
Rockafellar, phương pháp hiệu chỉnh của Tikhonov, Các phương pháp này
khá là hiệu q uả, dễ thực hiện trên máy tính nhưng các điều kiện hội tụ chỉ
được đảm bảo dưới các giả thiết khác nha u về tính chất đơn điệu.
Loại t hứ ba là các phương pháp dựa trên kỹ thuật hàm đánh giá. Nội
dung chính của phương pháp này là chuyển bài tốn bất đẳng thức biến
phân đa trị về cực tiểu của hàm chắn và sau đó sử dụng k ỹ thuật tối ưu
trơn hoặc khơng trơn để t ìm cực tiểu của hàm chắn, phương pháp này có
thể giải được bà i tốn với giả thiết rất nhẹ. Tuy nhiên, tốc độ hội tụ của
thuật tốn được đề xuất là chậm và thường chỉ hội tụ với các giả thiết về

tính đơn điệu.
Loại thứ tư là các phương pháp dựa trên điểm bất động, nội dung chính
của phương pháp này là chuyển bài tốn bất đẳng thức biến phân đa trị
về tìm điểm bất động của ánh xạ nghiệm.
Trong luận văn này, ta xây dựng phương pháp giải bằng loại thứ tư.
Luận văn trình bày phương pháp giải bấ t đẳng thức biến phân thơng
qua việc tìm điểm bất độ ng của ánh xạ nghiệm với ánh xạ giá là phù
hợp, nội dung chính của phương pháp này được viết trong bài báo ” P.
N. Anh, L. D. Mưu, V. H. Nguyen and J. J Strodio t (2005), Using the
Banach Contracti on Principle to Implement the Proximal Point Method
for Multivalued Monotone Variational Inequaliti es, J. Oplim. Theory Appl,
124, pp. 285 - 306”.
Luận vă n được chia thành hai chương:
Chương I gồ m hai phần: Phần một nhắc lại một số kiến thức cơ
bản của khơng gian Hilbert , giải tích lồi, ánh xạ đa trị, ánh xạ đơn điệu
mạnh, ánh xạ đồng bức (ánh xạ đơn điệu m ạnh ngược). Phần hai trình
bày về bài tốn bất đẳng thức biến phâ n đa trị (vi ết tắt là MVIP), nêu
ra một số trường hợp riêng của bài tốn và các ví dụ điển hình, sự tồn tại
nghiệm cũng như t ính chất của tập nghiệm.
Chương II trình bày phương pháp lặp Banach giải bài tốn bất
đẳng thức biến phân đa trị (MVIP) trong hai trườ ng hợp hàm giá là đơn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu />3
điệu mạnh và hàm giá là đồng bức.
Luận văn được hồn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học T hái
Ngun dưới sự hướng dẫn trực tiếp của GS. TSKH. Lê Dũng Mưu. Do
vấn đề đề cập trong luận văn là tương đối mới và phức tạp, thời gian cũng
như khả năng còn hạn chế nên luận văn khơng thể tránh khỏi những thiếu
xót. Tác giả mong muốn nhận được những ý kiến đóng góp q báu của
các Thầy, Cơ giáo, các bạn đồng nghiệp, đồng mơn và những ng ười quan
tâm để đề tài được hồn thiện hơn.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu />4
Chương 1
Bài tốn bất đẳng thức biến phân đa
trị
Trong tồn bộ luận văn này, chúng ta sẽ làm việc trên khơng gian Hilbert
thực H. Ta có một số tính chất và định nghĩa cơ bản về khơng gian Hilbert.
Các kiến thức trong chương này được lấy trong tài liệu [1], [2], [3], [4], [5].
1.1 Một số khái n iệm và tính chất cơ bản
1.1.1 Khơng gian Hilbert
Định n ghĩa 1.1. Cho H là m ột khơng gian tuyến tính. Tích vơ hướng xác
định trên H là một ánh xạ được xác định:
., . :H ×H → R
(x, y) → x, y
thỏa mãn các điều k i ện sau:
i. x, y = y, x với mọi x, y ∈ H
ii. x + y, z = x, z + y, z với mọi x, y, z ∈ H
iii. λx, y = λx, y với mọi x, y ∈ H và λ ∈ R
iv. x, x ≥ 0 với m ọi x ∈ H, x, x = 0 ⇔ x = 0
x, y được gọi là t í ch vơ hướng của hai véctơ x và y
Cặp (H, ., .) đư ợc gọi là khơng gian tiề n Hilbert (hay còn gọi l à khơng
gian Unita). Từ định nghĩa trên ta thấy rằng tích vơ hướng là một dạng
song tuyến t ính trên H.
Ví dụ 1.1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu />5
1) Lấy H = R
n
với x = (x
1
, x
2

, . . . , x
n
) , y = (y
1
, y
2
, . . . , y
n
) ∈ H và biểu
thức
x, y =
n

i=1
x
i
y
i
xác định như một tích vơ hướng trên R
n
.
2) Lấy H = C
[0,1]
khơng gian gồm các hàm liên tục trên [0, 1] nhận giá trị
thực với x, y ∈ H biểu thức
x, y =
1

0
x(t)y(t)d t,

xác định một tích vơ hướng t rên C
[0,1]
. Khi đó khơng gian này là mộ t khơng
gian tiền Hilbert và thường kí hiệu là C
L
[0,1]
.
Định lí 1.1. Cho H là khơng gian tiền Hil bert, với mọi x, y ∈ H ta ln
có bất đẳng thức sau:
|x, y|
2
≤ x, xy, y
bấ t đẳng th ức này g ọi là bất đẳng thức Schwarz.
Định lí 1.2. Cho H là khơng tiền Hilbert. Khi đó ||x|| = x, x
1/2
, x ∈ H
xác định một chu ẩn t rên H.
Định nghĩa 1.2. Cho H là khơng tiền Hilbert. Khi đó ||x|| = x, x
1/2
, x ∈
H xác định một chuẩn trên H thì H là một khơng gian tuyến tính định
chuẩn. Nếu H là khơng gian đầy đủ thì ta gọ i H là khơng gian H i l bert.
Ví dụ 1.2
1) Nếu H = C
n
với tích vơ hướng xác định bở i hệ thức x, y =
n

i=1
x

i
¯y
i
trong đó x = (x
1
, x
2
, . . . , x
n
); y = (y
1
, y
2
, . . . , y
n
) ∈ C
n
. Khi đó H là khơng
gian Hilbert.
2) Cho (Ω, β, µ) l à khơng gian độ đo kí hiệu
L
2
(Ω) = f : Ω −→ H :

Ω
|f(x)|
2
dµ < ∞
với tích vơ hướng f, g =


Ω
f(x)g( x)dµ , L
2
(Ω) là một khơng g ian hilbert
H.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu />6
Định lí 1.3. Ch o H là khơ ng gian Hilbe rt, khi đó
,  : H × H → R, là một hàm liên tục.
Định lí 1.4. (Đẳng thức hình bình hành)
Với m ọi x, y trong khơn g gi an tiền Hilbe rt H, ta có
||x + y||
2
+ ||x − y||
2
= 2(||x||
2
+ ||y||
2
).
Định lí 1.5. (T í ch vơ hướng sinh bởi chuẩn)
Cho (X, ||||) là một khơng gian tuyến tính định chuẩn trên khơng gian
Hilbert thự c H. Giả sử với mọi x, y ∈ X thỏa mãn
||x + y||
2
+ ||x − y||
2
= 2(||x||
2
+ ||y||
2

).
Khi đó t rên X có một tích vơ hướng thỏa mãn x, x = ||x||
2
Định lí 1.6. Cho M là một tậ p lồi, đóng và khác rỗng trong khơng gian
Hilbert H khi đó với mỗi x ∈ H tồn tại duy nhất một phần tử y ∈ M sao
cho ||x −y|| = d(x, M), trong đó d(x, M) là khoảng cách từ điểm x tới tập
M.
1.1.2 Tập lồi, hàm lồi và dưới vi phân
Định nghĩa 1.3. Một tập C ⊆ H được gọi l à tập lồi nếu
∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] =⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C.
Định nghĩa 1.4. Một tập C ⊆ H được gọi l à nón nếu
∀x ∈ C, ∀λ > 0 =⇒ λx ∈ C.
Một nón được gọi là nón lồi nếu nó đồng thời là một tậ p lồi. Như vậy, một
tập lồi C là nón lồi khi và chỉ khi nó có các tính chất sau:
i) λC ⊆ C, ∀λ > 0.
ii) C + C ⊆ C.
Tập C ⊆ H dưới đây ta ln giả thiết C là tập lồi (nếu k hơng giải thích
gì thêm).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu />7
Định nghĩa 1.5. Cho x ∈ C, nón pháp tuyế n ngồi của C tại x, kí hi ệ u
là
N
C
(x) := {w ∈ H : w, y −x ≤ 0, ∀y ∈ C}.
Cho C ⊆ H và f : H −→ 2
H
ta kí hiệu
epif := {(x, µ) ∈ H × H | f(x) ≤ µ}
domf := {x ∈ H | f(x) < +∞}
Tập epif được gọi là trên đồ thị củ a hàm f .

Tập domf được gọi là miền hữ u hiệu của f.
Hàm f được gọi là chí nh t hường nếu domf = ∅ v à f(x) > −∞, ∀x ∈ C.
Định nghĩa 1.6. Cho hàm f : H −→ R ∪ {+∞}, C ⊆ H. Khi đ ó hàm f
được gọi là
i) lồi trên C nếu
f(λx + (1 − λ)y) ≤ λf(x) + (1 − λ)f(y), ∀x, y ∈ C, λ ∈ [0, 1].
ii) lồi chặt trên C nếu
f(λx + (1 − λ)y) < λf(x) + (1 − λ)f(y), ∀x , y ∈ C, x = y, λ ∈ (0, 1).
iii) lồi mạn h với hệ số β > 0 trên C n ếu với mọi x, y ∈ C, λ ∈ (0, 1), ta có
f(λx + (1 − λ)y) ≤ λf(x) + (1 − λ)f(y) − λ(1 −λ)β||x − y||
2
.
Định nghĩa 1.7. Giả sử f : H −→ R ∪{+∞} là hàm lồi trên tập C ⊆ H
ta định nghĩa dưới vi phân của hàm lồi như s au:
Véc tơ w ∈ H được gọi là dưới đạo hàm (gradient) của f tại x
◦
∈ C ⊆ H
nếu
w, x −x
◦
 + f(x
◦
) ≤ f(x), ∀x ∈ C.
Tập tất cả các dưới đạo hàm (gradient) của hàm f tại x
◦
được gọi là dưới
vi phân của f tại x
◦
, kí hiệu là ∂f (x
◦

), tức là
∂f(x
◦
) := {w ∈ H : w, x −x
◦
 + f(x
◦
) ≤ f(x), ∀x ∈ C}.
Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại x
◦
nếu ∂f(x
◦
) = ∅.
Ví dụ 1.7
Cho ∅ = C ⊆ H là một tập lồi, xét hàm chỉ của tập C.
δ
C
(x) :=

0 nếu x ∈ C
+∞ nếu x /∈ C
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu />8
Nếu x
◦
∈ C thì
∂δ
C
(x
◦
) = {x

∗
| x
∗
, x −x
◦
 ≤ δ
C
(x), ∀x ∈ H}.
Nếu x /∈ C, thì δ
C
(x) = +∞ nên bất đẳng thức
x
∗
, x −x
◦
 ≤ δ
C
(x), ∀x ∈ H ln đúng.
Do đó
∂δ
C
(x
◦
) = {x
∗
| x
∗
, x − x
◦
 ≤ 0, ∀x ∈ C}

= N
C
(x
◦
).
Vậy dưới vi phân của hàm chỉ của C tại một đi ểm x
◦
∈ C là nón pháp
tuyến ngồi của C tại x
◦
.
1.1.3 Ánh xạ đa trị Lipschitz trong khơng gian Hilbert
Trong mục này, ta nhắc lại một số khái niệm cơ bản của ánh xạ đa trị
và đưa ra một số ví dụ minh họa.
Định nghĩa 1.8. Cho X, Y là hai khơng gi an bất kì, F : X ⇉ Y là ánh
xạ từ X vào các tập con của Y (được kí hiệu là 2
Y
). Ta nói F l à ánh xạ
đa t rị từ X vào Y . Như vậ y, vớ i mỗi x ∈ X, F (x ) là một tậ p hợp con của
Y , (F (x) có thể là tậ p ∅).
Kí hiệu F : X ⇉ Y để chỉ F là ánh xạ đa trị từ X vào Y .
Nếu với mỗi x ∈ X tập F (x) chỉ gồm đúng một phần tử của Y thì ta
nói F là ánh xạ đơn trị từ X vào Y lúc này ta thay kí hiệu F : X ⇉ Y bởi
kí hiệu F : X → Y .
Định nghĩa 1.9. Đồ thị gphF , m i ền hữu hiệu domF và m iền ảnh rgeF
của ánh xạ đa trị F : X ⇉ Y tư ơng ứng được xác định bằng cơng thức:
gphF = {(x, y) ∈ X × Y : y ∈ F (x)}.
domF = {x ∈ X : F (x) = ∅}.
và rgeF = {y ∈ Y : ∃x ∈ X sao cho y ∈ F (x)}.
Ánh xạ ng ược F

−1
: Y ⇉ X của ánh xạ đa trị F : X ⇉ Y được xác định
bở i cơng thức:
F
−1
(y) = {x ∈ X : y ∈ F ( x)}, y ∈ Y.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu />9
Nếu M ⊂ X là tập con cho trước thì hạn chế của ánh xạ F trên M (kí hiệu
F |
M
) là ánh xạ đa trị F |
M
: M ⇉ Y được cho bởi: F |
M
= F (x), ∀x ∈ M.
Ví dụ 1.9
1) Xét phương trình đa thức x
n
+ a
1
x
n−1
+ . . . + a
n−1
x + a
n
= 0
Trong đó n ∈ N là số ngun dương và a
i
∈ R, (i = 1, n) là các hệ số thực

Quy tắc cho tương ứng với mỗi véctơ a = (a
1
, . . . , a
n
) ∈ R
n
với tập nghiệm
kí hiệu là F (a) cho ta một ánh xạ đa trị F : R
n
⇉ C.
gphF = {(a, x) ∈ R
n
× C : x
n
+ a
1
x
n−1
+ . . . + a
n−1
x + a
n
= 0}
domF = R
n
rgeF = C
2) Cho X ⊆ H, X = {(x, 0) | x ∈ H}. Xét ánh xạ F : X → 2
H
thỏa mãn:
F (x , 0) :=




(x, y) ∈ H | y =
1
|x|
, nếu x = 0
0 ×(0, +∞), nếu x = 0
là một ánh xạ đa trị từ X vào H.
Với ánh xạ đa trị F : X ⇉ Y , ta xác định đồ thị và m iền hữu hiệu của
ánh xạ F tương ứng bằng các cơng t hức
graphF := {(x, y) ∈ X ×Y | y ∈ F(x)},
domF := {x ∈ X | F (x) = ∅}
Định nghĩa 1.10. (Tí nh liên t ục)
Ánh xạ đa trị F : H → 2
H
được gọi là:
i) Nửa liên tục trên tại ¯x ∈ domF nếu với mọi tập mở V ⊂ 2
H
thỏa mãn
F (¯x) ⊂ V , tồn tại lân cận mở U của ¯x sao cho F(x) ⊂ V, ∀x ∈ U.
ii) Nửa liên tục dưới tại ¯x ∈ domF nếu với mọi tập mở V ⊂ 2
H
thỏa mãn
F (¯x) ∩ V = ∅ tồn tại lân cận mở U của ¯x sao cho F (x) ∩ V = ∅ , ∀x ∈
U ∩ domF.
iii) Đóng trên W , nếu với mỗi cặp điểm của dãy u
k
→ u, q
k

→ q sao cho
u
k
∈ W và q
k
∈ Q(u
k
), ta có q ∈ Q(u).
Ánh xạ F được gọi là nửa liên tục trên (nửa liên tục dưới) nếu nó nửa
liên tục trên (nửa liên tục dưới) tại mọi điểm thuộc domF .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu />10
F được gọi là liên tục tại ¯x ∈ domF nếu F đồng thờ i là nử a liên tục
trên và nửa liên tục dưới t ại ¯x. Nế u F liên tục tại mọi điể m t huộc d omF ,
thì F được gọi là liê n tục.
Ví dụ 1.10
1) Cho ánh xạ đa trị F : H → 2
H
thỏa mãn:
F (x ) =



0, nếu x < 0,
[−1, 1] , nếu x = 0,
1, nếux > 0.
Khi đó, ánh xạ F là nửa liên tục trên trên H.
Thật vậy, ta thấy ánh xạ F là nửa liên tục trên tại mọi điểm x = 0. Mặt
khác, F nửa liên tục dưới tại ¯x = 0 vì với mọi tập mở (a, b) ⊃ [−1, 1] = F (0)
tồn tại lân cận của 0, chẳng hạn (−1, 1), ta có:
F (x ) =




0, nếu − 1 < x < 0 ,
[−1, 1] , nếu x = 0,
1, nếu 0 < x < 1.
Do đó F (x) ⊆ (a, b) với mọi x ∈ (−1, 1).
Như vậy, F là ánh xạ nửa l iên tục trên trên H = R.
2) Ánh xạ đa trị F : H → 2
H
thỏa mãn:
F (x ) =

[0, 1], nếux = 0,
0, nếux = 0.
Khi đó F nửa liên tục dưới tại ¯x = 0.
Thật vậy, với mọi tập mở (a, b) thỏa mãn (a, b) ∩F (0) = 0 = ∅, tồ n t ại
lân cận của 0, chẳng hạn U = (
−1
2
,
1
2
). Ta có
F (x ) =

[0, 1], nếu x /∈ (
−1
2
,

1
2
) \{0},
0, nếu x = 0.
Do đó (a, b) ∩F (x) = ∅, ∀x ∈ (
−1
2
,
1
2
). Vậy F nửa liên tục dưới t ại ¯x = 0.
3) Ánh xạ đa trị
F (x ) =

[0, 1], nếu x là số hữu tỷ ,
[−1, 0] , nếu x là số vơ tỷ .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu />11
khơng phải là á nh xạ liên tục ở trên H = R. Hơn thế F khơng là nửa l iên
tục trên và cũng khơng là nửa liên tục dưới tại bất cứ điểm ¯x ∈ H nào.
Như đã bi ết, khái niệm liên tục Lipschitz là khái niệm có vai trò quan
trọng trong tốn học. Ta sẽ định nghĩa liên tục Lipschitz của mộ t ánh xạ
đa trị dựa trên khoảng cách Hausdorff.
Định nghĩa 1.11. (Khoảng cách Hausdorff)
Cho A, B là hai tập con đóng và khác rỗng bất kì của H. Khoảng cách
Hausdorff của A và B được xác định như sau:
ρ(A, B) = max{d(A, B); d(B, A)}.
trong đó:
d(A, B) = sup
a∈A
d(a, B) = sup

a∈A
inf
b∈B
||a −b||
d(B, A) = sup
b∈B
d(b, A) = sup
b∈B
inf
a∈A
||a −b||
Định nghĩa 1.12. (Định nghĩa á nh xạ đa trị liên tụ c Lipschitz)
Cho ∅ = C ⊆ H, ánh xạ đa trị F : R
2
→ 2
R
2
được gọi là li ên tục
Lipschitz trên C ⊆ H với hệ số L > 0 (Được viết tắt là L- Lip s chitz) nếu
ρ(F (x), F (y) ) ≤ L||x − y||, ∀x, y ∈ C.
Khi
L < 1 thì F được gọi là á nh xạ co trên C.
L = 1 thì F được gọi là á nh xạ kh ơng giãn trên C.
Ví dụ 1.12
Cho C := {(x, 0) | x ≥ 0} ⊆ H và ánh xạ F : R
2
→ 2
R
2
xác đị nh bởi

F (x , 0) := {(x, y) | 0 ≤ y ≤ x}.
Khi đó ánh xạ F là liên tục Lipschitz với hệ số L =
√
2.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu />12
Thật vậy, m ọi (x, 0), (x
′
, 0) ∈ C(x, x
′
) thì
d(F (x, 0); F (x
′
, 0)) = max
(x,y)∈F (x,0)
min
(x
′
,y
′
)∈F (x
′
,0)
||(x, y) − (x
′
, y
′
)||
= max
(x,y)∈F (x,0)
min

(x
′
,y
′
)∈F (x
′
,0)

(x −x
′
)
2
+ (y −y
′
)
2
= max
(x,y)∈F (x,0)
|x −x
′
|
= ||(x, 0) − (x
′
, 0)||
d(F (x
′
, 0); F (x, 0)) = max
(x
′
,y

′
)∈F (x
′
,0)
min
(x,y)∈F (x,0)
||(x, y) − (x
′
, y
′
)||
= max
(x
′
,y
′
)∈F (x
′
,0)
min
(x,y)∈F (x,0)

(x −x
′
)
2
+ (y −y
′
)
2

≤
√
2 max
(x
′
,y
′
)∈F (x
′
,0)
|x −x
′
|
=
√
2|x − x
′
|
=
√
2||(x, 0) −(x
′
, 0)||.
Do đó:
ρ(F (x, 0); F (x
′
, 0)) ≤
√
2||(x, 0) −(x
′

, 0)||, ∀(x, 0) , (x
′
, 0) ∈ C

Định lí 1.7. (Định lí Kakutani)
Cho C ⊆ H là một tập lồi , compac trong khơn g gian Hilbert H và một
ánh xạ đa trị đóng F : C −→ 2
C
sao cho với mọi x ∈ C, F (x) là tập lồi,
co mpa c, khơng rỗng. Khi ấy F có một điểm bất động, nghĩa là một điểm
x
∗
∈ C sao cho x
∗
∈ F (x
∗
).
Định lí 1.8. (Định lí ánh xạ Nadler )
Trong khơng gia n H i l bert H cho một điểm a ∈ H v à một ánh xạ đa trị
F : H −→ 2
H
sao cho với mỗi x ∈ H tập F (x) đó ng và khơng rỗng. Nếu có
một số θ, 0 < θ < 1, để cho ∀x, x
′
∈ H, ρ(F (x), F (x
′
)) ≤ θ||x − x
′
|| thì với
mỗi α ∈ (θ, 1) tồn tại một điểm x

∗
∈ F (x
∗
) mà ρ(x
∗
, a) ≤
d(a, F (a))
α −θ
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu />13
1.2 Ánh xạ đa t r ị đ ơn điệu
1.2.1 Định nghĩa ánh xạ đa trị đơn điệu
Định nghĩa 1.13. Với C ⊆ H, á nh xạ đa trị F : C −→ 2
C
, được gọi là
i) đơn điệu trên C, nếu
w − w
′
, x −x
′
 ≥ 0, ∀x, x
′
∈ C, w ∈ F(x), w
′
∈ F (x
′
)
Khi F đơn trị, bất đẳng thức trên trở thành
F (x) − F(x
′

), x − x
′
 ≥ 0 ∀x, x
′
∈ C.
ii) đơn điệu ngặt trên C, nếu
w − w
′
, x − x
′
 > 0, ∀x, x
′
∈ C, w ∈ F(x), w
′
∈ F (x
′
).
iii) giả đơn điệu trên C nếu với mọi x, x
′
∈ C, w ∈ F(x), w
′
∈ F (x
′
) ta có
w, x −x
′
 ≥ 0 kéo theo w
′
, x − x
′

 ≥ 0.
Ví dụ 1.13
1) Ánh xạ đa trị F được định nghĩa
F (x , 0) := {(x, y) | 0 ≤ y ≤ x}
là đơn điệu trên C = {(x , 0) | x ≥ 0}.
Thật vậy,
Với mọi (x, 0), (x
′
, 0) ∈ C và với mọi (x, y) ∈ F (x, 0), (x
′
, y
′
) ∈ F (x
′
, 0) ta
có
(x, y) − (x
′
, y
′
), (x, 0) − (x
′
, 0) = (x −x
′
, y − y
′
), (x −x
′
, 0)
= |x − x

′
|
2
≥ 0.
Hơn nữa , ánh xạ F là đơn điệu ngặt vì bất đẳ ng thức trên là ngặt khi
(x, 0) = (x
′
, 0).
2) Một trong những ví dụ quan trọng nhất về ánh xạ đa trị đơn điệu là
∂f(x) (dưới vi phân của hàm lồi)
Với bất kỳ hàm lồi, chính thường f : H −→ R ∪{+∞}, ánh xạ ∂f : H −→
2
H
là đơn điệu trên domf. Thật vậy,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu />14
Giả sử f là hàm lồi, với mọi x, x
′
∈ dom(∂f), v ∈ ∂f(x), v
′
∈ ∂f(x
′
), từ
bất đẳng thức dưới gradient ta có:
f(x) ≥ f(x
′
) + v
′
, x −x
′


f(x
′
) ≥ f(x) + v, x
′
− x
với các giá trị f(x) và f (x
′
) hữu hạn. Cộ ng các bất đẳng thức trên với
nhau ta được
0 ≥ v
′
, x − x
′
 + v, x
′
− x
hay
v −v
′
, x −x
′
 ≥ 0, ∀x, x
′
∈ dom∂f, v ∈ ∂f(x), v
′
∈ ∂f (x
′
).
Vậy ∂f là đơn điệu.
∗ Tính chất (Phép bảo tồn tí nh đơn điệu).

Cho T : H −→ 2
H
là một á nh xạ đa trị
i ) Nếu T đơn điệu thì T
−1
cũng là đơn điệu.
ii) Nếu T là đơn điệu (đơn điệu ngặt) thì λT(λ > 0) cũng đơn điệu (đơn
điệu ngặt).
iii) Nếu T
′
: H −→ 2
H
cũng là ánh xạ đa trị đơn điệu thì T + T
′
là đơn
điệu.
Nếu thêm điều kiện T hoặc T
′
là đơn điệu ngặt thì T +T
′
là đơn điệu ngặt.
Chứng minh.
i) Giả sử T đơn điệu, với mọi w, w
′
∈ H, x ∈ T
−1
(w), x
′
∈ T
−1

(w
′
), theo
định nghĩa ánh xạ đa trị ngược thì w ∈ T (x) và w
′
∈ T (x
′
), ta có
x −x
′
, w − w
′
 = w − w
′
, x −x
′
 ≥ 0, ∀x ∈ T
−1
(w), x
′
∈ T
−1
(w
′
).
Vậy T
−1
là ánh xạ đơn điệu.
ii) Với λ > 0, ∀x, x
′

∈ H, λw ∈ λT (x) , λw
′
∈ λT (x
′
). Ta có
λw − λw
′
, x − x
′
 = λw −w
′
, x −x
′
 ≥ 0
Vậy λT là ánh x ạ đơn điệu khi T đơn điệu. Hiển nhiên bất đẳng thức trên
là ngặt khi T đơn điệu ngặt.
iii) Với mọi x, x
′
∈ H và
v ∈ (T + T
′
)(x) = {u + w | u ∈ T (x), w ∈ T
′
(x)},
v
′
∈ (T + T
′
)(x
′

) = {u
′
+ w
′
| u
′
∈ T (x
′
), w
′
∈ T
′
(x
′
)}.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu />15
Ta có
v −v
′
, x −x
′
 = u + w −u
′
− w
′
, x − x
′

= u − u
′

, x − x
′
 + w −w
′
, x −x
′
 ≥ 0.
Do T, T
′
đơn điệu. Vậy T + T
′
là ánh xạ đơn điệu.
Nếu T hoặc T
′
đơn điệu ngặt thì bất đẳng thức trên là ngặt khi x = x
′
, do
đó T + T
′
đơn điệu ngặ t.
1.2.2 Định nghĩa ánh xạ đơn điệu mạnh
Định nghĩa 1.14. Ánh xạ đa trị F : C −→ 2
C
được gọi là đơn điệu mạnh
với hệ số γ > 0 trê n C ⊆ H nếu ∃γ > 0 sao cho với ∀x, x
′
∈ C, F −γI đ ơn
điệu tức là
(v −γx) −(v
′

− γx
′
), x − x
′
 ≥ 0, ∀v ∈ F (x), v
′
∈ F (x
′
).
Bất đẳng thức trên có thể đư ợc viết dưới dạng sau:
v −v
′
, x − x
′
 ≥ γ||x −x
′
||
2
, ∀v ∈ F(x), v
′
∈ F (x
′
).
Chú ý nếu F là đơn điệu mạnh thì F đơn điệu ngặt.
Ví dụ 1.14
Cho C = {(x, 0) | x ≥ 0} và ánh xạ F : R
2
−→ 2
R
2

được cho bởi
F (x , 0) := {(2x, y) | 0 ≥ y ≥ x}
Khi đó, F là đơn điệu mạnh trên C với hệ số γ = 1. Thật vậy, ta có
F (x , 0) := (F − I)(x, 0) = {(x, y) | 0 ≥ y ≥ x}
Mà theo Ví dụ 1.13 thì F (x, 0) đơn điệu tr ên C.
Vậy F (x, 0) đơn điệu mạnh trên C với hệ số γ = 1.
1.2.3 Định nghĩa ánh xạ đồng bức
Định nghĩa 1.15. Cho ánh xạ đa trị F : C −→ 2
C
, F được gọi là đồng
bức (đơn điệu mạnh ngược) với hệ số δ > 0 trên C ⊆ H nếu
v −v
′
, x −x
′
 ≥ δρ
2
(F ( x), F (x
′
)), ∀x, x
′
∈ C, v ∈ F(x), v
′
∈ F (x
′
).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu />16
Ví dụ 1.15
Xét ánh xạ F : R
2

−→ 2
R
2
, với C = {(x, 0) | x ≥ 0} ⊆ H xác định bởi
F (x , 0) := {(x, y) | 0 ≥ y ≥ x}
Khi đó, F đồ ng bức trên C với hệ số δ = 1/2.
Thật vậy, theo Ví dụ 1.13 ta đã biết ánh xạ này Lipschitz trên C với hệ số
L =
√
2.
Lấy tùy ý (x, 0), (x
′
, 0) ∈ C, (x, y) ∈ F(x), (x
′
, y
′
) ∈ F(x
′
). Ta có
(x, y) − (x
′
, y
′
), (x, 0) − (x
′
, 0) = |x −x
′
|
2
= ||(x, 0) − (x

′
, 0)||
2
.
Suy ra
ρ
2
(F ( x, 0), F (x
′
, 0)) ≤ 2||(x, 0) − (x
′
, 0)||
2
= 2(x, y) −(x
′
, y
′
), (x, 0) − (x
′
, 0),
∀(x, 0), (x
′
, 0) ∈ C; (x, y) ∈ F(x); (x
′
, y
′
) ∈ F(x
′
).
Vậy F (x, 0) đồng bức trên C với hệ số δ = 1/2.

Mệnh đề 1.1. Nếu F : H −→ 2
H
là ánh xạ đồng bức thì F là ánh xạ
Lipschitz.
Chứng minh.
Giả sử ánh xạ F đồng bức với hệ số δ > 0 trên C ⊆ H, khi đó với
∀x, x
′
∈ C, v ∈ F(x), v
′
∈ F (x
′
) ta có
δρ
2
(F ( x), F (x
′
)) ≤ v − v
′
, x − x
′

≤ ||v − v
′
||||x −x
′
||.
Suy ra
δρ
2

(F ( x), F (x
′
)) ≤ ||x −x
′
|| inf
v
′
∈F (x
′
)
||v −v
′
||, v ∈ F(x) cố định tùy ý .
Do vậy nên
δρ
2
(F ( x), F (x
′
)) ≤ ||x −x
′
|| sup
v∈F (x)
inf
v
′
∈F (x
′
)
||v −v
′

||
= ||x − x
′
||d(F (x), F (x
′
)).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu />17
Tương tự thì ta có:
δρ
2
(F ( x), F (x
′
)) ≤ ||x −x
′
|| sup
v
′
∈F (x
′
)
inf
v∈F (x)
||v −v
′
||
= ||x − x
′
||d(F (x
′
), F (x)).

Vậy
δρ
2
(F ( x), F (x
′
)) ≤ ||x − x
′
||ρ(F (x ), F (x
′
))||x −x
′
||.
Hay
ρ(F (x), F (x
′
)) ≤
1
δ
||x −x
′
||.

Ngược lại, ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.2. Nếu F : C ⊆ H −→ 2
H
là ánh xạ Lipschitz và đơn đ iệu
mạnh thì F là ánh xạ đồng bức.
Chứng minh.
Giả sử F là ánh xạ Lipschitz với hệ số L > 0 và đơn điệu mạnh với
hệ số δ > 0 trên C. Áp dụng trực tiếp định nghĩa, với x, x

′
∈ C và
v ∈ F(x), v
′
∈ F (x
′
), ta có
v −v
′
, x − x
′
 ≥ δ||x − x
′
||
2
≥
δ
L
2
ρ
2
(F ( x), F (x
′
)).

1.3 Bài tốn bất đẳng thức biến p hân đa trị
Trong phần này, ta xét hai phần: Phần một ta phát biểu bài tốn bất
đẳng thức biến phân đa trị, các trường hợp riêng và các bài tốn ứng dụng
trong thực tế của bài tốn bất đảng thức biến phân đa trị.
Phần hai ta nêu về sự tồn tại nghiệm và các tính chất nghiệm của bài tốn

bất đẳng thức biến phân đa trị.
1.3.1 Phát biểu bài tốn và ví dụ.
Định nghĩa 1.16. (Phát biểu bài t ốn bất đẳng thức biến phân đ a trị)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu />18
Cho C là một t ập lồi, đ óng, khác rỗng trong H, c ho F : H −→ 2
H
là
một ánh xạ đa trị, ta ln giả sử C ⊆ domF, trong đó domF := {x ∈ H :
F (x ) = ∅} và F (x) là lồi , đóng với mọi x ∈ domF . Khi đó bài tốn bất
đẳng thức biến phân đa t rị được phát biểu như sau:
Tìm x
∗
∈ C, w
∗
∈ F (x
∗
) : w
∗
, x − x
∗
 ≥ 0, ∀x ∈ C. (MV IP)
F được gọi là án h xạ giá của bài tốn bất đẳng thức biến phân (MVIP).
Khi F là ánh xạ đơ n trị t hì bài tốn bất đẳng thức biến phân có dạn g:
Tìm x
∗
∈ C : F (x
∗
), x − x
∗
 ≥ 0, ∀x ∈ C. (V IP )

Bài tốn bất đẳng thức biến phân đa trị (MVIP) có quan hệ mật thiết
với nhiều bài tốn khác của giải tích phi tuyến như: Bài tốn bù phi tuyến,
bài tốn điểm bất động, bài tốn quy hoạch lồi, . Ngồi ra, còn có nhiều
ứng dụng trong thực tế như: Bài tốn xác định phương án sản xuất, bài
tốn cân bằng mạng giao thơng,
Dưới đây ta xét một vài trường hợp riêng điển hình của bài tốn bất đẳng
thức biến phân đa trị:
Bài tốn điểm bất động Kakutani
Cho C là tập tùy ý lồi, đóng tro ng khơng gian Hilbert H và T : C −→ 2
C
là ánh xạ đa trị. Bà i tốn điểm bất động của ánh xạ đa trị F được phát
biểu như sau:
Tìm x
∗
∈ C : x
∗
∈ T (x
∗
). (1.1)
Chú ý, nếu F là ánh xạ đơn trị thì bài tốn điểm bất động Kakutani trở
thành bài tốn điểm bất động Brouwer sau:
Tìm x
∗
∈ C : x
∗
= T (x
∗
).
Ta sẽ thấy mối quan hệ của bài tốn (MVIP) và bài tốn điểm bất động
(1.1) thơng qua mệnh đề sau:

Mệnh đề 1.3. Giả sử ánh xạ F được xác định bởi
F (x ) := x −T (x), ∀x ∈ C.
Khi đó, bà i tốn bất đẳng thức biến phân đa trị (MVIP) t ương đương với
bà i tốn điểm bất động (1.1).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu />19
Chứng minh.
Giả sử x
∗
là nghiệm của bà i tốn (MVIP) và F (x) := x − T (x), tức là
w
∗
, x −x
∗
 ≥ 0, ∀x ∈ C, w
∗
∈ F (x
∗
).
Do w
∗
∈ F (x
∗
) = x
∗
− T(x
∗
) nên tồn tại ǫ
∗
∈ T (x
∗

) : w
∗
= x
∗
− ǫ
∗
. Ta có
x
∗
− ǫ
∗
, x −x
∗
 ≥ 0, ∀x ∈ C.
Cho x = ǫ
∗
ta được
||x
∗
− ǫ
∗
|| ≤ 0
Suy ra x
∗
= ǫ
∗
hay x
∗
∈ T(x
∗

). Vậy x
∗
là nghiệm của bài tốn (1.1).
Chiều ngược lại hiển nhiên đúng.

Bài tốn bù phi tuyến
Nếu C là một nón lồi, đóng trong H thì bài t ốn (MVIP) trở thành bài
tốn bù:
Tìm x
∗
∈ C, w
∗
∈ F (x
∗
), w
∗
∈ C
′
: w
∗
, x
∗
 = 0. (CP )
trong đó
C
′
:= {y ∈ H : x, y ≥ 0, ∀x ∈ C}
là nón đối ngẫu của C. Khi đó bài tốn bù (CP) tương đương với bài tốn
bất đẳng thức biến phân đa trị (MVIP).
Thật vậy, giả sử x

∗
là nghiệm của bài tốn bất đẳng thức biến phân
(MVIP) và w
∗
∈ F (x
∗
) thì
w
∗
, x − x
∗
 ≥ 0, ∀x ∈ C (1.2)
Do C là nón lồi, x
∗
∈ C nên x
∗
+ x ∈ C. Trong bất đẳng thức (1.2) ta
thay x bởi x
∗
+ x, ta được
w
∗
, x
∗
+ x − x
∗
 = w
∗
, x ≥ 0, ∀x ∈ C
Suy ra w

∗
thuộc nón đối ngẫu C
′
. Nếu thay x = 0 vào (1.2), ta được
w
∗
, x
∗
 ≤ 0.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu />