Đánh giá số thành phần liên thông của tập nghiệm bài toán bất đẳng thức biến phân affine hai mục tiêu

ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC





BẾ ĐÌNH TIẾN




ĐÁNH GIÁ SỐ THÀNH PHẦN LIÊN THƠNG
CỦA TẬP NGHIỆM BÀI TỐN BẤT ĐẲNG THỨC
BIẾN PHÂN AFFINE HAI MỤC TIÊU





LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Thái Ngun – 2013
Số hóa bởi trung tâm học liệu />
ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC





BẾ ĐÌNH TIẾN



ĐÁNH GIÁ SỐ THÀNH PHẦN LIÊN THƠNG
CỦA TẬP NGHIỆM BÀI TỐN BẤT ĐẲNG THỨC
BIẾN PHÂN AFFINE HAI MỤC TIÊU



Chun ngành: Giải tích
Mã số: 60.46.01.02


LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC



Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Tạ Duy Phượng

Thái Ngun – 2013
Số hóa bởi trung tâm học liệu />R
2
Số hóa bởi trung tâm học liệu />R
2
Số hóa bởi trung tâm học liệu />V I
V V I
Số hóa bởi trung tâm học liệu />R
2
•
•
[4]
R
n
[4]
R
2
Số hóa bởi trung tâm học liệu />• R
n
+
= {(x
1
, , x
n
) ∈ R
n
: x

i
≥ 0, i = 1, , n}
• x, y x y
• ||x|| x
• N
K
(x) K x
• B(x, ε) x ε
• B(x, ε) x ε
• riΣ Σ
• A ∈ R
p×n
p × n A
T
A
• x ∈ R
n
x
T
x
• Φ : Σ ⇒ R
n
Σ R
n
• N
∗
Số hóa bởi trung tâm học liệu />R








a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ + a
1n
x
n
= b
1
,

a
m1
x
1
+ a
m2
x
2
+ + a
mn

x
n
= b
m
,
a
ij
, b
i
∈ R
b
1
= b
2
= = b
m
= 0







a
11
x
1
+ a
12

x
2
+ + a
1n
x
n
= 0,

a
m1
x
1
+ a
m2
x
2
+ + a
mn
x
n
= 0.
(2) (1)
(1) α = (α
1
, , α
n
) ∈ R
n
x
1

= α
1
, , x
n
= α
n
(2)
0 = (0, , 0)
Số hóa bởi trung tâm học liệu />A =





a
11
a
12
a
1n
a
21
a
22
a
2n

a
m1
a

m1
a
mn





(1) (2)
B =





a
11
a
12
a
1n
b
1
a
21
a
22
a
2n
b

2

a
m1
a
m1
a
mn
b
m





(1)
X = (x
1
, , x
n
)
T
b = (b
1
, , b
m
)
T
AX = b (1


) AX = 0 (2

)
(2)
R
n
r =
n − rankA.
u
0
(1) u ∈ R
n
(1)
u = u
0
+ v v
(2) u
0
(1)
v
1
, , v
r
(2) u
0
(1)
(1)
u = u
0
+ t

1
v
1
+ + t
r
v
r
,
Số hóa bởi trung tâm học liệu />t
1
, , t
r
∈ R.
u
0
(1) u = u
0
+ t
1
v
1
+ + t
r
v
r
(1)
(1)
rankA = rankB
(1)
rankA = rankB = n

A =





a
11
a
12
a
1n
a
21
a
22
a
2n

a
n1
a
n1
a
nn






M
ij
A i
j a
ij
M
ij
A D
ij
= det(M
ij
) a
ij
c
ij
= (−1)
i+j
D
ij
a
ij
C = (c
ij
) =





c

11
c
12
c
1n
c
21
c
22
c
2n

c
n1
c
n2
c
nn





.
det(A) = 0 A A
−1
Số hóa bởi trung tâm học liệu />A
−1
=
1

det(A)
C
t
=
1
det(A)





c
11
c
21
c
n1
c
12
c
22
c
n2

c
1n
c
2n
c
nn






.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />K ⊂ R
n
F : K −→ R
n
x ∈ K
F (x), y − x ≥ 0, ∀y ∈ K,
V I
Sol(V I)
x ∈ K
Số hóa bởi trung tâm học liệu />x ∈ K
F (x), y − x /∈ −R
+
\ {0} , ∀y ∈ K.
x ∈ Sol(V I) 0 ∈ F (x) + N
K
(x)
N
K
(x) K x
N
K
(x) =








{x
∗
∈ R
n
: x
∗
, y − x ≤ 0, ∀y ∈ K} khi x ∈ K;
Ø khi x /∈ K.
x ∈ Sol(V I) ⇔ F (x), y − x ≥ 0, ∀y ∈ K
⇔ −F(x), y − x ≤ 0, ∀y ∈ K
⇔ −F(x) ∈ N
K
(x) ⇔ 0 ∈ F (x) + N
K
(x)
x ∈ K x
ε > 0
F (x), y − x ≥ 0, ∀y ∈ K ∩ B(x, ε),
x
x ∈ Sol(V I)
x
ε > 0 (1.4)
K y ∈ K t ∈ (0, 1)
z
t

:= (1−t)x+ty = x+t(y−x) K z
t
B(x, ε) ||z
t
− x|| = t||y − x|| < ε t <
ε
||y − x||
z
t
∈ B(x, ε) z
t
∈ K ∩B(x, ε). x
V I 0 ≤ F (x), z
t
− x = t(F (x), y − x) t > 0
F (x), y − x ≥ 0 y ∈ K x ∈ Sol(V I)
Số hóa bởi trung tâm học liệu />K F : K −→ R
n
V I
K
K F : K −→ R
n
x
0
∈ K

F (y) − F (x
0
), y − x
0


||y − x
0
||
−→ +∞, ∀y ∈ K, ||y|| −→ +∞,
V I
(1.5) γ > 0
ρ > 0

F (y) − F (x
0
), y − x
0

||y − x
0
||
≥ γ
y ∈ K ||y|| > ρ.
x
0
∈ K (1.5)
K
x
0
∈ K α > 0

F (y) − F (x
0
), y − x

0

≥ α||y − x
0
||
2
, ∀y ∈ K,
(1.5) (1.6)

F (y) − F (x
0
), y − x
0

||y − x
0
||
≥ α||y − x
0
|| −→ +∞, ∀y ∈ K, ||y|| −→
+∞,
α > 0
F (y) − F (x), y − x ≥ α||y − x||
2
, ∀x ∈ K, ∀y ∈ K,
(1.6) (1.5)
Số hóa bởi trung tâm học liệu />α > 0 (1.7)
F K V I
F K
F (y) − F (x), y − x ≥ 0, ∀x ∈ K, ∀y ∈ K.

F K
F (y) − F (x), y − x > 0, ∀x ∈ K, ∀y ∈ K, x = y.
F F
K ⊂ R
n
F : K −→ R
n
x ∈ Sol(V I) x ∈ K
F (y), y − x ≥ 0, ∀y ∈ K.
(1.10)
F K V I
F K
V I
F K
V I x y F (x), y − x ≥ 0
⇒ −F (x), y − x ≤ 0 F (y), x − y ≥ 0 ⇒ F (y), y − x ≤ 0
Số hóa bởi trung tâm học liệu />F (y) − F (x), y − x ≤ 0
F
F (y) − F (x), y − x > 0 V I
F K y ∈ K
Ω(y) x ∈ K F (y), y − x ≥ 0
F K Ω(y)
1.8
Sol(V I) =

y∈K
Ω(y).
Sol(V I)
K
K

K = {x ∈ R
n
: Ax ≤ b} p ∈ N
∗
, A ∈ R
p×n
, b ∈ R
p







a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ + a
1n
x
1n
≤ b
1

a
p1
x
1
+ a
p2
x
2
+ + a
1n
x
pn
≤ b
p
A =





a
11
a
12
a
1n
a
21
a
22

a
2n

a
p1
a
p2
a
pn










A
1
.
.
A
p






b =





b
1
.
.
b
p





K = Ø K p
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Σ =

ξ = (ξ
1
, ξ
2
)
T
∈ R
2
+
: ξ

1
+ ξ
2
= 1

R
2
+
R
2
R
2
+
=

ξ = (ξ
1
, ξ
2
) ∈ R
2
: ξ
i
≥ 0, i = 1, 2

.
riΣ
riΣ = {ξ ∈ Σ : ξ
i
> 0 ∀i = 1, 2}

F
i
: K −→ R
n
i = 1, 2
F = (F
1
, F
2
) x ∈ K v ∈ R
n
F (x)(v) = (F
1
(x), v , F
2
(x), v).
x ∈ K
(F
1
(x), y − x , F
2
(x), y − x) /∈ −R
2
+
\ {0} , ∀y ∈ K,
V V I
Sol (V V I) V V I x ∈ K
(1.11)
x ∈ K
(F

1
(x), y − x , F
2
(x), y − x) /∈ −intR
2
+
, ∀y ∈ K,
V V I
w
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Sol
w
(V V I) V V I
w
x ∈ K
(1.12)
V V I V V I
w
Sol (V V I) Sol
w
(V V I)
ξ = (ξ
1
, ξ
2
) ∈ Σ x ∈ K

2

i=1
ξ

i
F
i
(x), y − x

≥ 0, ∀y ∈ K,
V I
ξ
Sol(V I)
ξ
V I
ξ
x ∈ K
(1.13) .

ξ∈riΣ
Sol(V I)
ξ
⊆ Sol(V V I) ⊆ Sol
w
(V V I) =

ξ∈Σ
Sol(V I)
ξ
K

ξ∈riΣ
Sol(V I)
ξ

= Sol(V V I)
1.13
F = (F
1
, , F
p
)
Số hóa bởi trung tâm học liệu />x ∈ K
Mx + q, y − x ≥ 0, ∀y ∈ K,
M m × n
AV I
Sol(AV I) AV I x ∈ K
(1.16)
V V I V V I
w
F
i
(x) = M
i
x + q
i
, x ∈ R
n
, M
i
∈ R
n×n
, q
i
∈ R

n
(i = 1, 2)
M
1
=







m
1
11
m
1
1s
m
1
1n

m
1
r1
m
1
rs
m
1

rn

m
1
n1
m
1
ns
m
1
nn







,
M
2
=







m

2
11
m
2
1s
m
2
1n

m
2
r1
m
2
rs
m
2
rn

m
2
n1
m
2
ns
m
2
nn








,
x =





x
1
.
.
x
n





, q
1
=






q
1
1
.
.
q
1
n





q
2
=





q
2
1
.
.
q
2
n






x ∈ K
(M
1
x + q
1
, y − x , M
2
x + q
2
, y − x) /∈ −R
2
+
\ {0} , ∀y ∈ K,
Số hóa bởi trung tâm học liệu />AV V I
Sol(AV V I) AV V I x ∈ K
(1.17)
x ∈ K
(M
1
x + q
1
, y − x , M
2
x + q
2

, y − x) /∈ −intR
2
+
, ∀y ∈ K,
AV V I
w
Sol
w
(AV V I) AV V I
w
x ∈ K (1.18)
ξ = (ξ
1
, ξ
2
)
T
∈ Σ M(ξ) = ξ
1
M
1
+ ξ
2
M
2
q(ξ) =
ξ
1
q
1

+ ξ
2
q
2
M(ξ) =





ξ
1
m
1
11
+ ξ
2
m
2
11
ξ
1
m
1
12
+ ξ
2
m
2
12

ξ
1
m
1
1n
+ ξ
2
m
2
1n
ξ
1
m
1
21
+ ξ
2
m
2
21
ξ
1
m
1
22
+ ξ
2
m
2
22

ξ
1
m
1
2n
+ ξ
2
m
2
2n

ξ
1
m
1
n1
+ ξ
2
m
2
n1
ξ
1
m
1
n2
+ ξ
2
m
2

n2
ξ
1
m
1
nn
+ ξ
2
m
2
nn





q(ξ) =







ξ
1
q
1
1
+ ξ

2
q
2
1
.
.
.
ξ
1
q
1
n
+ ξ
2
q
2
2







ξ ∈ Σ x ∈ K

2

i=1
ξ

i
M
i
x +
2

i=1
ξ
i
q
i
, y − x

≥ 0, ∀y ∈ K.
AV I
ξ
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Sol(AV I)
ξ
AV I
ξ
x ∈ K
(1.19)
(1.19)

2

i=1
ξ
i
(M

i
x + q
i
), y − x

≥ 0, ∀y ∈ K.
⇔ ξ
1
(M
1
x + q
1
), y − x + ξ
2
(M
2
x + q
2
), y − x ≥ 0, ∀y ∈ K
⇔ ξ
1
M
1
x + ξ
2
M
2
x, y − x + ξ
1
q

1
+ ξ
2
q
2
, y − x ≥ 0, ∀y ∈ K
⇔ M(ξ)x, y − x + q(ξ), y − x ≥ 0, ∀y ∈ K
⇔ M(ξ)x + q(ξ), y − x ≥ 0, ∀y ∈ K
M(ξ) = ξ
1
M
1
+ ξ
2
M
2
, q(ξ) = ξ
1
q
1
+ ξ
2
q
2
1.13

ξ∈riΣ
Sol(AV I)
ξ
= Sol(AV V I) ⊆ Sol(AV V I)

w
=

ξ∈Σ
Sol(AV I)
ξ
.
AV I x ∈ K
K = {x ∈ R
n
: Ax ≤ b} A ∈ R
p×n
b ∈ R
p
x ∈ K AV I
λ = (λ
1
, , λ
p
) ∈ R
p












Mx − A
T
λ + q = 0,
Ax ≤ b,
λ ≥ 0,
λ
T
(Ax − b) = 0.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />AV V I
R
n
R
n
+
x ∈ R
n
, y ∈ R
n
x ≥ y
x
i
≥ y
i
∀i = 1, , n
ϕ
i
: R
n

−→ R, (i = 1, 2)
ϕ
i
(x) =
a
T
i
x + α
i
b
T
i
x + β
i
a
i
∈ R
n
, b
i
∈ R
n
, α
i
∈ R β
i
∈ R a
T
i
b

T
i
a
i
b
i
b
T
i
x + β
i
> 0 x ∈ K i ∈ {1, 2}
ϕ(x) = (ϕ
1
(x), ϕ
2
(x))
Minϕ(x) = Min(ϕ
1
(x), ϕ
2
(x)) x ∈ K. (P )
x ∈ K
(P ) y ∈ K
ϕ(y) ≤ ϕ(x) ϕ(y) = ϕ(x)
y ∈ K ϕ(y) < ϕ(x) x ∈ K
(P )
(P ) Sol(P ) Sol
w
(P )

Số hóa bởi trung tâm học liệu />(P )
AV V I
K F
i
(x) = M
i
x + q
i
(i = 1, 2)
(P )
a
i
∈ R
n
, x ∈ R
n
i = 1, , m a
0
, x ≤ 0
a
i
, x ≤ 0 λ
1
, , λ
m
m

i=1
λ
i

a
i
= a
0
Số hóa bởi trung tâm học liệu />X T X
T X
Ø ∈ T , X ∈ T
τ
i
, i = 1, , k, τ
i
∈ T => τ =
n

i=1
τ
i
∈ T
τ
α
∈ T ,

α∈Γ
τ
α
∈ T Γ
X T X
(X, T ).
X X
X = U ∪ V

U, V X U ∩ V = Ø
X A
X A X
Số hóa bởi trung tâm học liệu />A
X
X
x, y ∈ X
γ : [0, 1] −→ X γ(0) = x γ(1) = y X
X ψ : X ×[0, 1] −→ X
a ∈ X x ∈ X ψ(x, 0) = x, ψ(x, 1) = a
V V I V V I
w
F
i
(x) = M
i
x + q
i
, x ∈ R
n
, M
i
∈ R
n×n
, q
i
∈ R
n
(i = 1, 2)
K

K = {x ∈ R
n
: Ax ≤ b} p ∈ N
∗
, A ∈ R
p×n
, b ∈ R
p
α ⊂ {1, , p}
Z
()
α
= (z
()
ki
)
k∈α,i∈α
, ( = 1, 2)
z
()
ki
= A
k
(A
()
rs
)
T
A
T

i
A
i
= (a
i1
a
in
) A
k
= (a
k1
a
kn
) A
T
i
=





a
i1
.
.
a
in






Số hóa bởi trung tâm học liệu />