Đánh giá số thành phần liên thông của tập nghiệm bài toán bất đẳng thức biến phân affine hai mục tiêu

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (830.66 KB, 61 trang )

ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

BẾ ĐÌNH TIẾN

ĐÁNH GIÁ SỐ THÀNH PHẦN LIÊN THƠNG
CỦA TẬP NGHIỆM BÀI TỐN BẤT ĐẲNG THỨC
BIẾN PHÂN AFFINE HAI MỤC TIÊU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Thái Ngun – 2013
Số hóa bởi trung tâm học liệu />
ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

BẾ ĐÌNH TIẾN

ĐÁNH GIÁ SỐ THÀNH PHẦN LIÊN THƠNG
CỦA TẬP NGHIỆM BÀI TỐN BẤT ĐẲNG THỨC
BIẾN PHÂN AFFINE HAI MỤC TIÊU

Chun ngành: Giải tích
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Tạ Duy Phượng

Thái Ngun – 2013
Số hóa bởi trung tâm học liệu />R
2
Số hóa bởi trung tâm học liệu />R
2
Số hóa bởi trung tâm học liệu />V I
V V I
Số hóa bởi trung tâm học liệu />R
2
•
•
[4]
R
n
[4]
R
2
Số hóa bởi trung tâm học liệu />• R
n
+
= {(x
1
, , x
n
) ∈ R
n
: x

i
≥ 0, i = 1, , n}
• x, y x y
• ||x|| x
• N
K
(x) K x
• B(x, ε) x ε
• B(x, ε) x ε
• riΣ Σ
• A ∈ R
p×n
p × n A
T
A
• x ∈ R
n
x
T
x
• Φ : Σ ⇒ R
n
Σ R
n
• N
∗
Số hóa bởi trung tâm học liệu />R








a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ + a
1n
x
n
= b
1
,

a
m1
x
1
+ a
m2
x
2
+ + a
mn

x
n
= b
m
,
a
ij
, b
i
∈ R
b
1
= b
2
= = b
m
= 0







a
11
x
1
+ a
12

x
2
+ + a
1n
x
n
= 0,

a
m1
x
1
+ a
m2
x
2
+ + a
mn
x
n
= 0.
(2) (1)
(1) α = (α
1
, , α
n
) ∈ R
n
x
1

= α
1
, , x
n
= α
n
(2)
0 = (0, , 0)
Số hóa bởi trung tâm học liệu />A =





a
11
a
12
a
1n
a
21
a
22
a
2n

a
m1
a

m1
a
mn





(1) (2)
B =





a
11
a
12
a
1n
b
1
a
21
a
22
a
2n
b

2

a
m1
a
m1
a
mn
b
m





(1)
X = (x
1
, , x
n
)
T
b = (b
1
, , b
m
)
T
AX = b (1


) AX = 0 (2

)
(2)
R
n
r =
n − rankA.
u
0
(1) u ∈ R
n
(1)
u = u
0
+ v v
(2) u
0
(1)
v
1
, , v
r
(2) u
0
(1)
(1)
u = u
0
+ t

1
v
1
+ + t
r
v
r
,
Số hóa bởi trung tâm học liệu />t
1
, , t
r
∈ R.
u
0
(1) u = u
0
+ t
1
v
1
+ + t
r
v
r
(1)
(1)
rankA = rankB
(1)
rankA = rankB = n

A =





a
11
a
12
a
1n
a
21
a
22
a
2n

a
n1
a
n1
a
nn






M
ij
A i
j a
ij
M
ij
A D
ij
= det(M
ij
) a
ij
c
ij
= (−1)
i+j
D
ij
a
ij
C = (c
ij
) =





c

11
c
12
c
1n
c
21
c
22
c
2n

c
n1
c
n2
c
nn





.
det(A) = 0 A A
−1
Số hóa bởi trung tâm học liệu />A
−1
=
1

det(A)
C
t
=
1
det(A)





c
11
c
21
c
n1
c
12
c
22
c
n2

c
1n
c
2n
c
nn






.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />K ⊂ R
n
F : K −→ R
n
x ∈ K
F (x), y − x ≥ 0, ∀y ∈ K,
V I
Sol(V I)
x ∈ K
Số hóa bởi trung tâm học liệu />x ∈ K
F (x), y − x /∈ −R
+
\ {0} , ∀y ∈ K.
x ∈ Sol(V I) 0 ∈ F (x) + N
K
(x)
N
K
(x) K x
N
K
(x) =








{x
∗
∈ R
n
: x
∗
, y − x ≤ 0, ∀y ∈ K} khi x ∈ K;
Ø khi x /∈ K.
x ∈ Sol(V I) ⇔ F (x), y − x ≥ 0, ∀y ∈ K
⇔ −F(x), y − x ≤ 0, ∀y ∈ K
⇔ −F(x) ∈ N
K
(x) ⇔ 0 ∈ F (x) + N
K
(x)
x ∈ K x
ε > 0
F (x), y − x ≥ 0, ∀y ∈ K ∩ B(x, ε),
x
x ∈ Sol(V I)
x
ε > 0 (1.4)
K y ∈ K t ∈ (0, 1)
z
t

:= (1−t)x+ty = x+t(y−x) K z
t
B(x, ε) ||z
t
− x|| = t||y − x|| < ε t <
ε
||y − x||
z
t
∈ B(x, ε) z
t
∈ K ∩B(x, ε). x
V I 0 ≤ F (x), z
t
− x = t(F (x), y − x) t > 0
F (x), y − x ≥ 0 y ∈ K x ∈ Sol(V I)
Số hóa bởi trung tâm học liệu />K F : K −→ R
n
V I
K
K F : K −→ R
n
x
0
∈ K

F (y) − F (x
0
), y − x
0


||y − x
0
||
−→ +∞, ∀y ∈ K, ||y|| −→ +∞,
V I
(1.5) γ > 0
ρ > 0

F (y) − F (x
0
), y − x
0

||y − x
0
||
≥ γ
y ∈ K ||y|| > ρ.
x
0
∈ K (1.5)
K
x
0
∈ K α > 0

F (y) − F (x
0
), y − x

0

≥ α||y − x
0
||
2
, ∀y ∈ K,
(1.5) (1.6)

F (y) − F (x
0
), y − x
0

||y − x
0
||
≥ α||y − x
0
|| −→ +∞, ∀y ∈ K, ||y|| −→
+∞,
α > 0
F (y) − F (x), y − x ≥ α||y − x||
2
, ∀x ∈ K, ∀y ∈ K,
(1.6) (1.5)
Số hóa bởi trung tâm học liệu />α > 0 (1.7)
F K V I
F K
F (y) − F (x), y − x ≥ 0, ∀x ∈ K, ∀y ∈ K.

F K
F (y) − F (x), y − x > 0, ∀x ∈ K, ∀y ∈ K, x = y.
F F
K ⊂ R
n
F : K −→ R
n
x ∈ Sol(V I) x ∈ K
F (y), y − x ≥ 0, ∀y ∈ K.
(1.10)
F K V I
F K
V I
F K
V I x y F (x), y − x ≥ 0
⇒ −F (x), y − x ≤ 0 F (y), x − y ≥ 0 ⇒ F (y), y − x ≤ 0
Số hóa bởi trung tâm học liệu />F (y) − F (x), y − x ≤ 0
F
F (y) − F (x), y − x > 0 V I
F K y ∈ K
Ω(y) x ∈ K F (y), y − x ≥ 0
F K Ω(y)
1.8
Sol(V I) =

y∈K
Ω(y).
Sol(V I)
K
K

K = {x ∈ R
n
: Ax ≤ b} p ∈ N
∗
, A ∈ R
p×n
, b ∈ R
p







a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ + a
1n
x
1n
≤ b
1

a
p1
x
1
+ a
p2
x
2
+ + a
1n
x
pn
≤ b
p
A =





a
11
a
12
a
1n
a
21
a
22

a
2n

a
p1
a
p2
a
pn










A
1
.
.
A
p






b =





b
1
.
.
b
p





K = Ø K p
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Σ =

ξ = (ξ
1
, ξ
2
)
T
∈ R
2
+
: ξ

1
+ ξ
2
= 1

R
2
+
R
2
R
2
+
=

ξ = (ξ
1
, ξ
2
) ∈ R
2
: ξ
i
≥ 0, i = 1, 2

.
riΣ
riΣ = {ξ ∈ Σ : ξ
i
> 0 ∀i = 1, 2}

F
i
: K −→ R
n
i = 1, 2
F = (F
1
, F
2
) x ∈ K v ∈ R
n
F (x)(v) = (F
1
(x), v , F
2
(x), v).
x ∈ K
(F
1
(x), y − x , F
2
(x), y − x) /∈ −R
2
+
\ {0} , ∀y ∈ K,
V V I
Sol (V V I) V V I x ∈ K
(1.11)
x ∈ K
(F

1
(x), y − x , F
2
(x), y − x) /∈ −intR
2
+
, ∀y ∈ K,
V V I
w
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Sol
w
(V V I) V V I
w
x ∈ K
(1.12)
V V I V V I
w
Sol (V V I) Sol
w
(V V I)
ξ = (ξ
1
, ξ
2
) ∈ Σ x ∈ K

2

i=1
ξ

i
F
i
(x), y − x

≥ 0, ∀y ∈ K,
V I
ξ
Sol(V I)
ξ
V I
ξ
x ∈ K
(1.13) .

ξ∈riΣ
Sol(V I)
ξ
⊆ Sol(V V I) ⊆ Sol
w
(V V I) =

ξ∈Σ
Sol(V I)
ξ
K

ξ∈riΣ
Sol(V I)
ξ

= Sol(V V I)
1.13
F = (F
1
, , F
p
)
Số hóa bởi trung tâm học liệu />x ∈ K
Mx + q, y − x ≥ 0, ∀y ∈ K,
M m × n
AV I
Sol(AV I) AV I x ∈ K
(1.16)
V V I V V I
w
F
i
(x) = M
i
x + q
i
, x ∈ R
n
, M
i
∈ R
n×n
, q
i
∈ R

n
(i = 1, 2)
M
1
=







m
1
11
m
1
1s
m
1
1n

m
1
r1
m
1
rs
m
1

rn

m
1
n1
m
1
ns
m
1
nn







,
M
2
=







m

2
11
m
2
1s
m
2
1n

m
2
r1
m
2
rs
m
2
rn

m
2
n1
m
2
ns
m
2
nn








,
x =





x
1
.
.
x
n





, q
1
=






q
1
1
.
.
q
1
n





q
2
=





q
2
1
.
.
q
2
n






x ∈ K
(M
1
x + q
1
, y − x , M
2
x + q
2
, y − x) /∈ −R
2
+
\ {0} , ∀y ∈ K,
Số hóa bởi trung tâm học liệu />AV V I
Sol(AV V I) AV V I x ∈ K
(1.17)
x ∈ K
(M
1
x + q
1
, y − x , M
2
x + q
2

, y − x) /∈ −intR
2
+
, ∀y ∈ K,
AV V I
w
Sol
w
(AV V I) AV V I
w
x ∈ K (1.18)
ξ = (ξ
1
, ξ
2
)
T
∈ Σ M(ξ) = ξ
1
M
1
+ ξ
2
M
2
q(ξ) =
ξ
1
q
1

+ ξ
2
q
2
M(ξ) =





ξ
1
m
1
11
+ ξ
2
m
2
11
ξ
1
m
1
12
+ ξ
2
m
2
12

ξ
1
m
1
1n
+ ξ
2
m
2
1n
ξ
1
m
1
21
+ ξ
2
m
2
21
ξ
1
m
1
22
+ ξ
2
m
2
22

ξ
1
m
1
2n
+ ξ
2
m
2
2n

ξ
1
m
1
n1
+ ξ
2
m
2
n1
ξ
1
m
1
n2
+ ξ
2
m
2

n2
ξ
1
m
1
nn
+ ξ
2
m
2
nn





q(ξ) =







ξ
1
q
1
1
+ ξ

2
q
2
1
.
.
.
ξ
1
q
1
n
+ ξ
2
q
2
2







ξ ∈ Σ x ∈ K

2

i=1
ξ

i
M
i
x +
2

i=1
ξ
i
q
i
, y − x

≥ 0, ∀y ∈ K.
AV I
ξ
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Sol(AV I)
ξ
AV I
ξ
x ∈ K
(1.19)
(1.19)

2

i=1
ξ
i
(M

i
x + q
i
), y − x

≥ 0, ∀y ∈ K.
⇔ ξ
1
(M
1
x + q
1
), y − x + ξ
2
(M
2
x + q
2
), y − x ≥ 0, ∀y ∈ K
⇔ ξ
1
M
1
x + ξ
2
M
2
x, y − x + ξ
1
q

1
+ ξ
2
q
2
, y − x ≥ 0, ∀y ∈ K
⇔ M(ξ)x, y − x + q(ξ), y − x ≥ 0, ∀y ∈ K
⇔ M(ξ)x + q(ξ), y − x ≥ 0, ∀y ∈ K
M(ξ) = ξ
1
M
1
+ ξ
2
M
2
, q(ξ) = ξ
1
q
1
+ ξ
2
q
2
1.13

ξ∈riΣ
Sol(AV I)
ξ
= Sol(AV V I) ⊆ Sol(AV V I)

w
=

ξ∈Σ
Sol(AV I)
ξ
.
AV I x ∈ K
K = {x ∈ R
n
: Ax ≤ b} A ∈ R
p×n
b ∈ R
p
x ∈ K AV I
λ = (λ
1
, , λ
p
) ∈ R
p












Mx − A
T
λ + q = 0,
Ax ≤ b,
λ ≥ 0,
λ
T
(Ax − b) = 0.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />AV V I
R
n
R
n
+
x ∈ R
n
, y ∈ R
n
x ≥ y
x
i
≥ y
i
∀i = 1, , n
ϕ
i
: R
n

−→ R, (i = 1, 2)
ϕ
i
(x) =
a
T
i
x + α
i
b
T
i
x + β
i
a
i
∈ R
n
, b
i
∈ R
n
, α
i
∈ R β
i
∈ R a
T
i
b

T
i
a
i
b
i
b
T
i
x + β
i
> 0 x ∈ K i ∈ {1, 2}
ϕ(x) = (ϕ
1
(x), ϕ
2
(x))
Minϕ(x) = Min(ϕ
1
(x), ϕ
2
(x)) x ∈ K. (P )
x ∈ K
(P ) y ∈ K
ϕ(y) ≤ ϕ(x) ϕ(y) = ϕ(x)
y ∈ K ϕ(y) < ϕ(x) x ∈ K
(P )
(P ) Sol(P ) Sol
w
(P )

Số hóa bởi trung tâm học liệu />(P )
AV V I
K F
i
(x) = M
i
x + q
i
(i = 1, 2)
(P )
a
i
∈ R
n
, x ∈ R
n
i = 1, , m a
0
, x ≤ 0
a
i
, x ≤ 0 λ
1
, , λ
m
m

i=1
λ
i

a
i
= a
0
Số hóa bởi trung tâm học liệu />X T X
T X
Ø ∈ T , X ∈ T
τ
i
, i = 1, , k, τ
i
∈ T => τ =
n

i=1
τ
i
∈ T
τ
α
∈ T ,

α∈Γ
τ
α
∈ T Γ
X T X
(X, T ).
X X
X = U ∪ V

U, V X U ∩ V = Ø
X A
X A X
Số hóa bởi trung tâm học liệu />A
X
X
x, y ∈ X
γ : [0, 1] −→ X γ(0) = x γ(1) = y X
X ψ : X ×[0, 1] −→ X
a ∈ X x ∈ X ψ(x, 0) = x, ψ(x, 1) = a
V V I V V I
w
F
i
(x) = M
i
x + q
i
, x ∈ R
n
, M
i
∈ R
n×n
, q
i
∈ R
n
(i = 1, 2)
K