Bồi dưỡng Học sinh giỏi máy tính Casio

Giải toán theo phơng pháp tính
Sơ đồ Hoóc-ne:
Tính giá trị đa thức P(x) ứng với một giá trị biến số x
Giả sử ta cần tính giá trị đa thức bậc ba
3 2
0 1 2 3
P(x) a x a x a x a= + + +
tại x =
k. Đây là bài toán ta đã biết cách giải nhờ việc nhập trực tiếp biểu thức vào
máy. tuy nhiên cách làm này trở nên cồng kềnh khi bậc đa thức hoặc k có giá
trị lớn. Trong trờng hợp đó phơng pháp tính đóng vai trò hữu hiệu hơn.
Đối với bài toán cụ thể này, ta viết đa thức đã cho dới dạng:
0 1 2 3
P(k) (( a k a )k a )k a= + + +
0 0
b a=
1 o 1
b b k a= +
2 1 2
b b k a= +
3 2 3
b b k a= +
3
P(k) b =
Cách tính này thực chất là qui tắc
i i 1 i
b b k a , i 1

= +
đợc lặp đi lặp lại
nhiều lần.

Cách tính này đợc trình bày dới dạng sơ đồ Hoóc-ne (tên nhà toán học
Anh Horner 1786 -1837), và đợc minh hoạ qua ví dụ sau:
Bài 13. Tính giá trị của
3 2
P(x) 5x 3x 6= +
với x = 4 .
Lời giải
Theo sơ đồ Hoóc-ne ta tính trực tiếp các giá trị của P(x) đợc bảng sau
i 0 1 2 3
i
a
5
3
0 6
i
b
5
5.4 3 = 17
17.4 + 0 = 68 68.4 + 6 = 278
Vậy P(4) =
3
b
= 278.
Nếu ta dùng máy để tính giá trị P(4) theo sơ đồ Hoóc-ne thì ấn dãy phím sau:
4
SHIFT
STO
A
5
ì

ALPHA
A
+
() 3
=
ì
ALPHA
A
+
0
=

ì
ALPHA
A
+
6
=
KQ: 278.
Tìm thơng và d trong phép chia đa thức cho (x - )
Khi chia đa thức
3 2
0 1 2 3
P(x) a x a x a x a= + + +
cho nhị thức (x ) thơng sẽ
48
là một đa thức bậc hai
2
0 1 2
Q(x) b x b x b= + +

và d là hằng số r, cụ thể:
P(x) Q(x) r= +
3 2 2
0 1 2 3 0 1 2
a x a x a x a (x )( b x b x b ) + + + = + +
3 2
0 1 0 2 1 2
b x (b b )x (b b )x (r b )= + + + +

0 0
b a=
1 0 1
b b a= +
2 1 2
b b a= +
2 3
r b a= +
Nh vậy ta lại dùng đợc sơ đồ Hoóc-ne để tìm thơng và d trong phép chia
đa thức P(x) cho (x ).
Bài 14. Tìm thơng và d trong phép chia đa thức
7 5 4
x 2x 3x x 1 cho x 5 + +
.
Lời giải.
Ta có = 5
0 1 2 3 4 5 6 7
a 1, a 0, a 2, a 3, a 0, a 0, a 1, a 1.= = = = = = = =
0 0
b a 1= =
Dùng máy tính tìm các hệ số b và d theo qui trình của sơ đồ Hoóc-ne

ấn () 5
SHIFT
STO
A
1
ì
ALPHA
A
+
0
=
Ghi 5

ì
ALPHA
A
+
()2
=
Ghi 23

ì
ALPHA
A
+
()3
=
Ghi 118

ì

ALPHA
A
+
0
=
Ghi 590

ì

ALPHA
A
+
0
=
Ghi 2950

ì
ALPHA
A
+
1
=
Ghi 14751

ì
ALPHA
A
+()1
=
Ghi 73756

Vậy x
7
2x
5
3x
4
+ x 1
= + + + +
6 5 4 3 2
(x 5)( x 5x 23x 118x 590x 2950x 14751) 73756
.
Phơng pháp lặp
Nhiều bài toán thờng dẫn đến việc giải một phơng trình f(x) = 0. Có
những phơng trình bằng phơng pháp đồ thị ta có thể thấy ngay rằng nó có
một nghiệm duy nhất, chẳng hạn nh cosx x = 0, nhng ta chỉ có thể tính giá
49
trị gần đúng của nghiệm đó. Trong tài liệu này giới thiệu một phơng pháp
tính, đó là phơng pháp lặp, cụ thể nh sau:
- Biến đổi tơng đơng phơng trình f(x) = 0 (1) về phơng trình dạng x =
g(x) (2)
- áp dụng phơng pháp lặp vào phơng trình (2):
+ Lấy một giá trị x
1
nào đó, coi nó là nghiệm gần đúng đầu tiên và thay
vào (2); nói chung x
1
khác g(x
1
).
+ Đặt x

2
= g(x
1
) đợc nghiệm gần đúng thứ hai x
2
.
+ Đặt x
3
= g(x
2
) đợc nghiệm gần đúng thứ ba x
3
.

+ Tiếp tục lặp nh vậy đến bớc thứ n+1 ta đợc x
n+1
= g(x
n
).
Dãy x
1
, x
2
, x
3
, , x
n
, x
n+1
, là dãy những giá trị gần đúng của nghiệm

phơng trình x = g(x), tức cũng là nghiệm của phơng trình f(x) = 0.
Bài 15. Tìm một nghiệm dơng gần đúng của phơng trình
16
x x 8 0+ =
(1).
Lời giải.
Ta có
16
1
(1) g(x) 8 x, x 2 = =
.
ấn các phím 2
=
16
SHIFT
^
(
8
Ans
)

=
ấn lặp phím
=
cho đến khi nhận đợc các x
n
có giá trị không đổi.
KQ: x 1,128 022 103.
Bài thực hành
8. Giải các phơng trình:

a) 3x
2
- 7x - 1 6 = 0 b) x
2
- 2x + 6 = 0
c) x
4
- 18x
2
+ 32 = 0 d) x
4
- 15x
2
- 7 = 0
9. Giải các phơng trình:
a) 2 - x =
2
2x + x-2
b)
2+ x-5
=
15- x
10. Giải các phơng trình:
a) x
3
- 15x
2
+ 7 = 0 b) x
3
- 3x + 2 = 0

c) x
3
+ x - 5 = 0 d) x
3
+ 3x
2
- x + 1 = 0
11. Giải các hệ phơng trình sau:
50
a)
6 2
3
x y
3 4
1
x y
+ =
=







b)
x y z 11
2x y z 5
3x 2y z 24
+ + =

+ =
+ + =






12. Dùng sơ đồ Hoóc-ne để tìm giá trị của các đa thức sau:

4 3 2
5 2
6 5 3
P(x) 5x 2x x 7x 5 với x 2
P(x) x 3x 5x 8 với x 5
P(x) 2x 4x 7x 2x 1 với x 3
= + + =
= + =
= + + =

13. Dùng sơ đồ Hoóc-ne để tìm thơng và d trong phép chia đa thức

6 5 2
2x x 3x 1 cho x 7+ +
.
tính số trung bình, phơng sai và độ lệch chuẩn
Để giải bài toán thống kê ta vào chơng trình MODE 2
sau đó nhập các mẫu số liệu x
1
, x

2
, , x
n
ta ấn phím nh sau:
x
1
DT x
2
DT x
n
DT
nếu mỗi mẫu số liệu x
i


có tần số
i
n (i = 1, 2, , m)
thì ta ấn phím nh sau:
x
1
SHIFT ; n
1
DT x
2
SHIFT ; n
2
DT x
m
SHIFT ; n

m
DT
Sau khi nhập số liệu xong ta tính số trung bình x, độ lệch chuẩn s, và ph-
ơng sai s
2
nh sau:
Tính số trung bình
x
ta ấn SHIFT S VAR 1 =
Tính độ lệch chuẩn s ta ấn SHIFT S VAR 2 =
Tính phơng sai s
2
bằng bình phơng của độ lệch chuẩn ta ấn
SHIFT S VAR 1 = s
2
=
Ví dụ 1:
Kết quả học tập cuối năm của An và Bình nh sau
Môn Điểm TbN của An Điểm TbN của Bình
Toán 8 8,5
Vật lí 7,5 9,5
Hoá học 7,8 9,5
Sinh học 8,3 8,5
Văn học 7 5
Lịch sử 8 5,5
51
Địa lí 8,2 6
Anh văn 9 9
Thể dục 8 9
Kĩ thuật 8,3 8.5

GDCD 9 10
Tính số trung bình, phơng sai, độ lệch chuẩn điểm các môn học của An và
Bình; Xác định xem bạn nào học lệch.
Lời giải
Sau khi xoá các số liệu cũ còn lu trong máy.
Ta vào chơng trình MODE 2 để tính số trung bình, phơng sai, độ lệch
chuẩn điểm các môn học của An.
Ta nhập các số liệu về điểm trung bình môn năm của các môn học nh sau:
8 DT 7,5 DT
7,8 DT 8,3 DT 7 DT 8 DT 8,2 DT 9 DT 8 DT 8,3 DT 9 DT
Tính số trung bình
x
ta ấn SHIFT S VAR 1 =
x
= 8,1
Tính độ lệch chuẩn s ta ấn SHIFT S VAR 2 = s 0,555959449
Tính phơng sai s
2
bằng bình phơng của độ lệch chuẩn ta ấn
SHIFT S VAR 2 = x
2
= s
2
0,309090909
Để tính số trung bình, phơng sai, độ lệch chuẩn điểm các môn học của
Bình. Ta phải xoá các số liệu cũ còn lu trong máy (ấn các phím SHIFT CLR 1
= ) về điểm trung bình môn năm của các môn học của An, sau đó vào chơng
trình MODE 2 và nhập các số liệu về điểm trung bình môn năm của các
môn học của Bình nh sau: 8,5 DT 9,5 DT 9,5 DT 8,5 DT 5 DT 5,5 DT 6
DT 9 DT 9 DT 8,5 DT 10 DT

Tính số trung bình
x
ta ấn SHIFT S VAR 1 =
x
= 8,090909091
Tính độ lệch chuẩn s ta ấn SHIFT S VAR 2 = s 1,662667378
Tính phơng sai s
2
bằng bình phơng của độ lệch chuẩn ta ấn
SHIFT S VAR 2 = x
2
= s
2
2,76446281
So sánh phơng sai điểm các môn học của An và Bình ta thấy: Bình học
lệch so với An.
toán thống kê
Bài 16. Điểm trung bình môn Toán của 12 học sinh trong một tổ nh sau:
3,4; 3,6; 4,5; 4,8; 5,1; 5,2; 5,7; 6,0; 6,3; 6,4; 7,2; 7,8.
a) Tính điểm trung bình môn Toán của tổ đó.
b) Tính độ lệch chuẩn và phơng sai đối với tổ đó.
Lời giải.
a) ấn MODE
2
, 1 3,4
DT
3,6
DT
4,5
DT

4,8
DT
52
5,1
DT
5,2
DT
5,7
DT
6,0
DT
6,3
DT
6,4
DT
7,2
DT
7,8
DT

SHIFT

S.VAR

1
= KQ:
x
= 5,5.
b) ấn (tiếp)
SHIFT

S.VAR
2
= KQ: s 1,280624847.
ấn (tiếp)
2
x
= KQ: s
2
= 1,64.
Bài 17. Một xạ thủ bắn 60 phát súng với số điểm nh sau:
Loại điểm 5 6 7 8 9 10
Số phát 3 6 6 9 21 15
a) Tính điểm trung bình của xạ thủ đó.
b) Tính độ lệch chuẩn và phơng sai tơng ứng.
Lời giải.
a) ấn MODE
2
, 1 5
SHIFT
; 3
DT
6
SHIFT
; 6
DT
7
SHIFT
; 6
DT

8
SHIFT
; 9
DT
9
SHIFT
; 21
DT
10
SHIFT
; 15
DT

SHIFT

S.VAR
1
= KQ:
x
= 8,4.
b) ấn (tiếp)
SHIFT
S.VAR

2
= KQ: s 1,462873884.
ấn (tiếp)
2
x
= KQ: s

2
= 2,14.
Chú ý 14. Đối với bài toán trên, còn có thể tính kích thớc mẫu (tổng tần số),
tổng các số liệu, tổng bình phơng các liệu bằng cách ấn phím tơng ứng sau:
ấn (tiếp)
SHIFT

S.SUM
3
=
KQ: n = 60.
ấn (tiếp)
SHIFT
S.SUM
2
=
KQ:

i i
n x
= 504.
ấn (tiếp)
SHIFT

S.SUM

1
=
KQ:
2

i i
n x

= 4362.
Sau khi đa đủ các số liệu cùng với tần số tơng ứng vào máy, có thể lấy kết
quả của các giá trị thống kê nói trên theo bất cứ thứ tự nào. Chỉ riêng giá trị
của phơng sai phải lấy sau giá trị của độ lệch chuẩn tơng ứng.
Thoát khỏi chơng trình thống kê bằng cách ấn
SHIFT

CLR
2 =.
Giá trị lợng giác
Máy tính cầm tay có thể giúp ta tìm giá trị lợng giác của góc lợng giác và
đổi số đo độ của cung tròn ra rađian và ngợc lại.
Ví dụ 1: Tính sin
9
(- )
4

Ta ấn MODE MODE MODE 2 sin ( (-) 9 SHIFT ữ 4 ) = -
53
0,707106781 (
2
2

)
Ví dụ 2: Tính tg63
0
5241

Ta ấn MODE MODE MODE 1 tan 63
0
52
0
41
0
= 2,039276645
Ví dụ 3: Đổi 33
0
45 ra rađian
Ta ấn MODE MODE MODE 2 33
0
45
0
SHIFT DRG 1 =
0,589048622
Ví dụ 4: Đổi 3/4 rađian ra độ
Ta ấn MODE MODE MODE 1 ( 3 ữ 4 ) SHIFT DRG 2 = 42
0
5819
Bài 18. Đổi các góc sau ra rađian:
a) 7152' b) 4212'.
Lời giải.
a) ấn 71 ab/c 52 ab/c 60
ì

ữ
180
=
MODE

5
, 1, 4 KQ: 1,2543.
b) ấn 42 ab/c 12 ab/c 60
ì

ữ
180
=
MODE
5
, 1, 4 KQ: 0,7365.
Bài 19. Đổi các góc sau ra độ, phút, giây:
3 5 3
; ; .
16 7 4

= = =
Lời giải.
a) ấn 3 ab/c 16
ì
180
=
MODE
4
, 1
SHIFT
,,,
ơ
o
KQ: = 3345'.

b) ấn 5ab/c 7
ì
180
=
MODE
4
, 1
SHIFT
,,,
ơ
o
KQ: 12834'17''.
c) ấn 3 ab/c 4
ì
180
ữ
=
MODE
4
, 1
SHIFT
,,,
ơ
o
KQ: 4258'18''
Bài 20.
a) Tính sin, côsin và tang của
5
.
12

b) Tính tan
( )
3

+
biết sin
3
5
=
và
.
2

< <
c) Cho sin
4
.
5
=
Tìm các giá trị lợng giác của 2.
Lời giải.
a) ấn MODE
4
, 2 5ab/c12ì SHIFT
=
SHIFT
STO
A

54
sin
ALPHA
A
KQ: sin
5
12

0,9659 (chỉ lấy 4 chữ số thập phân).
ấn
cos
ALPHA
A
KQ: cos
5
12

0,2588.
ấn
tan

ALPHA
A
KQ: tan
5
12

3,7321.
b) ấn
tan

(


SHIFT
-1
sin
(
3ab/c5
)
+

ữ
3
)
=
KQ: 0,4272.
c) ấn
(
SHIFT
-1
sin
(
4ab/c 5
)
)
ì2
SHIFT
STO
A

sin
ALPHA
A

=
KQ: sin 2 = 0,96.
ấn
cos
ALPHA
A

=
KQ: cos 2 = 0,28.
ấn
tan
ALPHA
A
=
KQ: tan 2 3,4286.
ấn (tiếp)
-1
x

=
KQ: cot 2 0,2917.
Trong hai phần đầu của bài toán trên, đơn vị đo góc là rađian. Do đó lúc
đầu phải ấn MODE
4
, 2. Vì giá trị ngợc sin

-1
nằm giữa
2


và
2

mà góc ở
phần b) lại nằm giữa
2

và , nên = sin
-1
3
5
. Đối với phần c) có thể tuỳ
chọn đơn vị đo góc là độ hay rađian. Việc xác định dấu của các hàm số lợng
giác của 2 không thể dựa đơn thuần vào máy mà phải dựa vào các công thức
biến đổi lợng giác.
Bài 21. Tính sin 4012'; cos 5254'37''; tan 7842'25''; cot 3810'.
Lời giải.
Vào mode MODE
4
, 1
a) sin 4012' ấn
sin
40
,,,o
12

,,,o
KQ: 0,6455.
b) cos 5254'37'' ấn
cos
52
,,,o
54
,,,o
37
,,,o
KQ: 0,6031.
c) tan 7842'25'' ấn
tan
78
,,,o
42
,,,o
25
,,,o
KQ: 5,0077.
d) cot 3810' ấn
tan
38
,,,o
10
,,,o

=
-1
x

KQ: 1,2723.
Chú ý 12. Khi cần tính toán với đơn vị đo góc là độ (hoặc rađian), phải ấn
MODE
4
,1 (hoặc MODE
4
, 2). Nếu chỉ muốn để 4 chữ số thập phân ở kết quả
thì ấn thêm MODE
5
, 1, 4.
Bài 22. Tính cos
8

; sin
8

; tan
8

.
Lời giải.
55
Tính đúng:
2
2
1 cos 1
2 2
2 2
4 2
cos , cos 0 cos

8 2 2 4 8 8 2
sin
2 2
2 2
8
sin tg 3 2 2 2 1
8 2 8
2 2
cos
8

+ +
+
+
= = = > =



= = = = =

+
Tính gần đúng: đơn vị đo là rađian nên chọn kiểu MODE
4
, 2
ấn

ữ
8
SHIFT
STO

A
cos

ALPHA

A
KQ: 0,9239
sin

ALPHA

A
KQ: 0,3827
tan

ALPHA

A
KQ: 0,4142
Bài thực hành
14. Tính các giá trị lợng giác của cung biết:
a) sin = 1/3; cos = và
2

< < 0.
b) tan = 2 và
2

< < .
c) cot = 3 và < < 3

2

.
15. Biết tan
a
2
=
2
3
. Tính
2 3cosa
4 5sina
+

.
16. Biết sina = 4/5 (00 < a < 900), sinb = 8/17 (90
0
< b < 180
0
). Tính cos(a + b),
sin(a b).
17. Tính
2 0 2 0 2 0 2 0
a) cos 12 cos 78 cos 1 cos 89+ + +
2 0 2 0 2 0 2 0
b) sin 3 sin 15 sin 75 sin 87+ + +
18. Biết cosx =
1
2
, tính

2 2
P 3sin x 4cos x= +
.
19. Cho góc nhọn mà sin =
1
4
. Tính cos và tan.
20. Cho tanx = 2
2
. Tính sinx và cosx.
Hệ thức lợng trong tam giác
56
Bài 23. Cho tam giác ABC có các cạnh AB = 21cm, AC = 28cm, BC = 35cm.
a) Chứng minh rằng ABC vuông. Tính diện tích ABC.
b) Tính các góc B và C.
c) Đờng phân giác của góc A cắt cạnh BC tại D. Tính DB, DC.
Lời giải.
a) AB
2
+ AC
2
= 21
2
+ 28
2
, BC
2
= 35
2
.

ấn 21
2
x

+
28
2
x
=
KQ: 1225.
ấn 35
2
x
=
KQ: 1225.
Vậy AB
2
+ AC
2
= BC
2
nên ABC vuông.
Diện tích ABC =
AB . AC 21 . 28
2 2
=
(cm
2
).
ấn 21 ì 28

ữ
2
=
KQ: 294 cm
2
.
b) sin B
AC 28 4
.
BC 35 5
= = =

à
C
= 90
à
B
.
ấn
SHIFT

-1
sin
4 ab/c5
SHIFT
,,,
ơ
o
KQ:
à

B
537'48''.
ấn (tiếp)
ì
() 1
+
90
,,,o
=
KQ:
à
C
3652'12''.
c)
DB AB 21 3 DB 3 DB 3 3
DB . 35
DC AC 28 4 DB DC 3 4 BC 7 7
= = = = = =
+ +
ấn 3 ab/c7
ì
35
=
KQ: DB = 15 cm.
ấn (tiếp)
ữ
3 ab/c4
=
KQ: DC = 20 cm.
Bài 24. Các cạnh của tam giác ABC là AB = c = 23cm, AC = b = 24cm, BC = a

= 7cm. Tính góc A và diện tích của tam giác.
Lời giải.
a) cos A
2 2 2 2 2 2
b c a 24 23 7
.
2 b c 2 . 24 . 23
+ +
= =
ấn
SHIFT

-1
cos

(
(
24
2
x
+
23
2
x

7
2
x
)
ữ

2
ữ
24
ữ
23
)
=
SHIFT

,,,
ơ
o
KQ:
à
A
1657'27''.
S
1 1
b c sin A . 24 . 23 sin A 12 . 23 sin A.
2 2
= = =

ấn (tiếp)
SHIFT
STO
A

sin
ALPHA
A

=
ì12
x
23 MODE
5
, 1, 0
57
KQ: S 80cm
2
.
b) S =
p ( p - a ) ( p - b ) ( p - c )
với
a b c 7 24 23
p .
2 2
+ + + +
= =
ấn: 7
SHIFT
STO
A
24
SHIFT
STO
B
23
SHIFT
STO

C

(
ALPHA
A
+
ALPHA
B
+
ALPHA
C
)
ữ
2
SHIFT
STO
D

(
ALPHA
D
ì
(
ALPHA
D

ALPHA
A
)
(

ALPHA
D



ALPHA
B
)
(
ALPHA

D


ALPHA
C
)

)
MODE
5
, 1, 0
KQ: S 80 cm
2
.
Bài thực hành
19. Đối với hệ toạ độ Oxy cho các điểm A = (1; 1), B = (2; 4), C = (10; 2).
Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A. Tính tích vô hớng
BA.BC
uuur uuur

, cosB
và cosC.
20. a) Tam giác ABC, có b = 7; c = 5; cosA = 3/5. Tính h
a
và bán kính đờng
tròn ngoại tiếp R.
b) Tam giác ABC có a = 7; b = 8; c = 6. Tính h
a
và m
a
.
21. Giải tam giác ABC biết:
a) c = 14; A = 600; B = 400.
b) a = 6,3; b = 6,3; C = 540.
c) a = 4; b = 5; c = 7.
22. Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta đều có:
S
ABC
=
2 2
2
1
AB .AC (AB.AC)
2


áp dụng: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho các điểm A(1; 2), B( 2;
3) và C(0; 4). Tính diện tích tam giác ABC.
Phơng pháp toạ độ trong mặt phẳng
Bài 27. Tìm phơng trình của đờng tròn đi qua ba điểm A(5; 0), B(1; 2),

C(3; 2).
Lời giải.
Đờng tròn có phơng trình x
2
+ y
2
+ ax + by + c = 0. Đờng tròn đó đi qua ba
điểm A, B, C nên ta có:
5
2
+ 0
2
+ a.5 + b.0 + c = 0
1
2
+ 2
2
+ a.1 + b.2 + c = 0
58
(3)
2
+ (2)
2
+ a.(3) + b.(2) + c = 0
Từ đó ta có hệ phơng trình:
5a 0b c 25
a 2b c 5
3a 2b c 13
+ + =

+ + =


+ =

ấn MODE
3
, 1, 3, 5 = 0 = 1 = () 25 = 1 = 2 = 1 = () 5 = () 3 = ()2 = 1 =
() 13 = SHIFT d/c KQ: a =
8
3
.
ấn (tiếp) = SHIFT d/c KQ: b =
14
3
.
ấn (tiếp) = SHIFT d/c KQ: c =
35
3
.
Vậy đờng tròn đi qua ba điểm A, B, C đã cho có phơng trình
x
2
+ y
2
+
8
3
x +

14
3
y
35
3
= 0.
Bài 28. Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng 3x + 4y = 5 và elip
2 2
x y
1
9 4
+ =
.
Lời giải.
Rút y từ phơng trình đờng thẳng ta có y =
5-3x
4
.
Thay biểu thức của y vào phơng trình elip ta đợc phơng trình xác định
hoành độ giao điểm: 145x
2
- 270x - 351 = 0.
ấn MODE
3
,1, 2 145 = () 270 = () 351 = KQ: x
1


2,744185018.
ấn (tiếp) = KQ: x

2


- 0,882116052.
ấn ( 5 - 3 ì ALPHA X )
ữ
4
ấn (tiếp) CALC 2,744185018 = KQ: y
1


- 0,808138763.
ấn (tiếp) CALC () 0,882116052 = KQ: y
2


1,911587039.
Vậy hai giao điểm có toạ độ gần đúng là A(2,744185018; - 0,808138763)
và B(- 0,882116052; 1,911587039).
Phơng trình lợng giác
59
Bµi 29. Gi¶i ph¬ng tr×nh cos (2x + 15
0
) =
2
.
2
−
Lêi gi¶i.
Chän kiÓu MODE

4
, 1
Ên
SHIFT
-1
cos

(
(−) 2
÷
2
)

=

SHIFT

,,,o


SHIFT

STO
A

(
ALPHA
A
-15
)

÷
2
=
KQ: 60
0
+ k.180
0

(
(−)
ALPHA
A
-15
)
÷
2
=
KQ: − 75
0
+ k.180
0
Bµi 30. Gi¶i ph¬ng tr×nh 3sinx +
3
cosx = 1.
Lêi gi¶i.
Chän kiÓu MODE
4
, 2
Ta cã:
3 1 3

3sin x 3 cosx 1 sin x cos x , Thay tg
3 3 3 6
π
+ = ⇔ + = =
1
cos .sin x sin .cos x cos
6 6 3 6
π π π
⇔ + =
3
sin(x )
6 6
π
⇔ + =
Ên
SHIFT
-1
sin
(
3
÷
6
)
=
SHIFT
STO
A

ALPHA
A

-
π

÷
6
=
KQ: x
1
≈ −0,2308 + k.2π
(
(−)
ALPHA
A
+
π
)
−
π
÷
6
=
KQ: x
2
≈ 2,3252 + k.2π.
BµI thùc hµnh
29. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
60
2 2
a) 3tg2x 3 0
b) 2sin x 2cosx 2

c) sin x cosx 4sin x cos x 1 0
d) 4sin x 3 3 sin2x 2cos x 4
=
=
+ + =
+ =
chỉnh hợp, tổ hợp
Bài 29. Cho 5 chữ số: 1, 2, 3, 4, 5. Có bao nhiêu số với 3 chữ số đợc tạo
nên từ 5 chữ số đã cho, biết rằng
a) Các chữ số đều khác nhau?
b) Các chữ số không nhất thiết khác nhau?
Lời giải.
a) Số các số với 3 chữ số khác nhau đợc tạo nên từ 5 chữ số đã cho là
3
5
A .
ấn 5
SHIFT

nPr
3
=
KQ: 60.
b) Có
1
5
C
cách chọn mỗi chữ số hàng đơn vị, hàng chục và hàng trăm mà
các cách chọn đó độc lập với nhau. Do đó có (
1

5
C
)
3
số với 3 chữ số không nhất
thiết khác nhau đợc tạo nên từ 5 chữ số đã cho.
ấn 5
SHIFT

nCr
1
=
^
3
=
KQ: 125.
Bài 30. Có 18 đội bóng đá tham gia tranh giải vô địch. Hỏi có bao nhiêu
cách trao huy chơng vàng, bạc, đồng, nếu mỗi đội chỉ có thể nhận nhiều nhất
một huy chơng?
Lời giải.
Số cách trao huy chơng là
3
18
C
.
ấn 18
SHIFT
nCr
3
=

KQ: 816.
Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân
Bài 31. Tính 6 số hạng đầu của dãy số u
n
nếu u
1
= 1, u
n + 1
=
2
n
u
+ 3u
n
- 2
với mọi n nguyên dơng.
Lời giải.
Đã biết u
1
= 1.
ấn 1 = Ans x
2
+ 3 ì Ans 2 = KQ: u
2
= 2.
ấn (tiếp) = KQ: u
3
= 8.
ấn (tiếp) = KQ: u
4

= 86.
ấn (tiếp) = KQ: u
5
= 7652.
ấn (tiếp) = KQ: u
6
= 58576058 .
61
Bµi 32. TÝnh tæng cña 100 sè h¹ng ®Çu cña cÊp sè céng nÕu u
1
+ u
6
= 15,
u
10
+ u
100
= 4.
Lêi gi¶i.
Thay u
6
, u
10
, u
100
theo u
1
vµ d, ta ®îc hÖ ph¬ng tr×nh
1
1

2u +d = 15
2u +108d = 4.



Ên MODE
3
, 1, 2, 2 = 1 = 15 = SHIFT d/c KQ: u
1
=
800
103
.
Ên (tiÕp) = SHIFT d/c KQ: d = -
11
103
.
Ên 50 × ( 2 × 800 ab/c 103 - 99 × 11 ab/c 103 ) = KQ: S
100
= 248
6
103
.
Bµi 33. TÝnh tæng cña 20 sè h¹ng ®Çu cña cÊp sè nh©n nÕu u
1
+ u
3
= 15,
u
4

- u
2
= 18.
Lêi gi¶i.
Thay u
2
, u
3
, u
6
theo u
1
vµ d, ta ®îc hÖ ph¬ng tr×nh
2
1
3
1
u (1+ q ) = 15
u (q -q) = 18.





Tõ ®ã ta cã ph¬ng tr×nh 5q
3
- 6q
2
- 5q - 6 = 0.
Ên MODE

3
, 1,
>
, 3 5 = (-) 6 = (-) 5 = (-) 6 = KQ: q = 2.
Ên 15
÷
( 1 + 2 x
2
) = KQ: u
1
= 3.
Ên 3 × (2 ^ 19 - 1 ) = KQ: S
50
= 1572861.
®¹o hµm
Bµi 34. TÝnh ®¹o hµm cña hµm sè y = x
2
+ 3sin2x t¹i x
0
= 1,54.
Lêi gi¶i.
Ên SHIFT d/dx ALPHA X x
2
+ 3 × sin ( 2 × ALPHA X ) , 1,54 ) =
KQ: 3,184567833.
tÝch ph©n
Bµi 35. TÝnh
2
5
1

ln x
dx.
x
∫
62
Lời giải.
Cách 1:
2
2
5 4 4
1
1
ln x ln x 1 15 ln 2
dx ( ) .
256 64
x 4x 16x
= =

ấn 15 ab/c 256
-
2
ln
ữ
64
=
MODE
5
, 1, 4 KQ: 0,0478.
Cách 2 (theo chơng trình gài sẵn trong máy): vào mode MODE
4

, 2, 4
ấn
dx


ln

ALPHA

X

ữ

ALPHA
X
^
5
,
1
,
2
)
=

KQ: 0,0478
Nói chung ấn MODE
4
, 2, 4
dx

biểu thức hàm số
,
a
,
b
)

=

Luỹ thừa, mũ, lôgarit
Bài 36. Tính
5 3
13
8 .16
.
4
Lời giải.
ấn 8
^
5
ì
16
^
3
ữ
4
^
13
=
KQ: 2.

Bài 37. Tính:
1
2 0,75 2 0 1 0
3
1
(0,027) ( ) 256 (tg 60 ) 5, 5 .
6


+ +

Lời giải.
ấn 0,027
^
(
() 1 ab/c 3
)

(
()1
b/c
a
6
)

^
(
()2
)
+

256
^
0,75 MODE
4
, 1
(
(
tan
60
)
2
x

)
-1
x
+
5,5
^
0
=

KQ: 32.
Bài 38. Tính
3
3 3
5
.
5 6 4 +

Lời giải.
ấn 5
ữ
(
5
^
(
1ab/c 3
)
6
^
(
1ab/c 3
)
+
4
^
(
1ab/c 3
)
)
=
KQ: 3,377793185.
Có thể dùng các căn thức nh sau:
ấn 5
ữ
(
SHIFT
3
5 SHIFT

3
6
+
SHIFT
3
4
)
=
KQ: 3,377793185.
Bài 39. Tính
1 9
3
3
1
log 7 2log 49 log .
7
+
Lời giải.
63
1 9
3
3
1
ln
1 ln 7 ln 49
7
log 7 2 log 49 log 2 .
1
7 ln 9
ln 3

ln
3
+ = +
ấn
ln
7
ữ
ln

(
1ab/c 3
)

+
2 ì
ln
49
ữ
ln
9
ln
(
1ab/c 7
)
ữ
ln
3
=
KQ: 5,313731248.
Chú ý 13: Vì máy chỉ tính với lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên nên

ta phải dùng công thức đổi cơ số của lôgarit để chuyển từ các lôgarit cần tính
sang lôgarit thập phân hoặc lôgarit tự nhiên.
phơng pháp toạ độ trong không gian
Bài 40. Tính diện tích của tam giác ABC có các đỉnh A (1; 2; 0), B (0; 1; 0),
C (3; 3; 1).
Lời giải.

AB
uuur
= (1, 1, 0),
AC
uuur
= (4, 5, 1),
AB
uuur
.
AC
uuur
= 1. 4 + (1). (5) + 0. 1 = 9,
(cách khác tính tích vô hớng theo chơng trình gài sẵn trong máy: vào MODE
3
,
3 ấn SHIFT VCT 1 nhập vectơ
AB
uuur
,
AC
uuur
và ấn SHIFT VCT tính tích vô h-
ớng, lu ý để hiện đợc lên màn hình chữ VctA, ta ấn SHIFT VCT 3 (xem các

trang 19 - 21 của tài liệu này).
2 2 2 2 2 2 2 2
AB 1 ( 1) 0 2, AC 4 ( 5) 1 4 5 1,= + + = = + + = + +
uuur uuur
cos (
AB
uuur
,
AC
uuur
) =
2 2
AB .AC 9
,
AB .AC
2 . 4 5 1
=
+ +
uuur uuur
uuur uuur
S =
1
AB .AC . sin ( AB ,AC ).
2
uuur uuur uuur uuur

ấn
(
2
ì

(
4
^
2
+
5
^
2
+
1
)
)
-1
x
ì
9
SHIFT

STO
A
SHIFT
-1
cos
ALPHA
A
=
sin
Ans
ì
1ab/c2

ì
9
ALPHA
A

ữ
9
)
-1
x

=
MODE
5
, 1, 4 KQ: 0,8660.
Phần thứ ba
Một số chủ đề Thực hành giải toán của các môn học
TOáN học - vật lí - hoá học - sinh học
TOáN học
Biểu thức và dãy phím biểu diễn: Ta biết khi ấn trên bàn phím của
một máy tính casio fx - 500MS dãy các phím:

(
47

4
ì
5
)
ữ

(
3
ì
15

8
)
=
64
thì ta thu đợc (kết quả thể hiện trên màn hình) số 0,729729, tơng ứng với một
giá trị thập phân gần đúng của biểu thức
47 4 5
3 15 8
ì
ì
.
Ngợc lại, để tính giá trị gần đúng của biểu thức
3 5
7
+
ta có thể ấn dãy
các phím:
(
3
+
5
)
ữ
7
=

Trong các bài dới đây, cần nêu rõ thứ tự các phím thực dùng; và viết biểu
thức tơng ứng với một dãy phím đã ấn:
Bài 1. Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A = 8 ì 7 - 5 ì 4, B = 17 - 2 ì 3 + 7 + 3, C = 67 ì (-23) + 5;
Viết dãy các phím tơng ứng với phép tính C.
b) D = -7 ì 5 ữ16, E =
3
4 5ì
, F =
3
4 5+
;
Viết dãy các phím tơng ứng với phép tính E, F.
c)
2 3 4 2 3 4 2 3 4 5
5 5 6 7 2 4
+ ì ì + ì + ì
ì ì
;
Viết dãy các phím tơng ứng với các phép tính trong biểu thức thứ 3.
d) Mỗi dãy phím sau đây tơng ứng với biểu thức nào trong các biểu thức trên:
3
+
4
ữ
5
=
; 3
ữ
4

+
5
=
; 3
ì
4
ữ
5
=
3
ữ
4
ì
5
=
; 3
+
4
+
5
=
; 3
ữ
4

5
=
Bài 2. Hãy viết biểu thức toán học tơng ứng với các dãy phím sau đây
(trong đó kí hiệu: M là số nhớ, MR là gọi số nhớ):
a) ấn phím nhập một số x, rồi ấn liên tiếp dãy phím

M
2
x
ì
3

4
ì
MR
+
5
=
M
2
x
+
(
MR
+
1
)
2
x
=
b) ấn phím nhập một số x, rồi ấn liên tiếp dãy phím
M
2
x
ì
2

+
5

MR
+
=
M
3
+
7
ì
MR
2
x
+
5
=
M
ì
2
+
3
=
x
(
MR

2
)
+

3
=
+
5
=
65
M
(
MR
M
+
3
)
2
x
+
(
MR
2
x
+
5
)
=
Bàì 3. Mỗi dãy phím sau đây tơng ứng với biểu thức nào:
a) 3
ì
(
4
+

5
ữ
4
ì
(
16
+
8
)
)
b)
(
9

(
5
ữ

(
4
ữ
16
)

ì
7

3
)

)

ì
(
17

2
ì
5
)
Kí pháp khoa học và tính toán
với các số lớn trong đời sống thực tế
Bài 4. (Khoảng một tỉ)
a) Một máy bay cao tốc trị giá khoảng 63386 tỷ đồng Việt Nam. Nếu số
tiền đó thanh toán bằng những tờ 50 000 đồng, mỗi tờ có bề dày 0,08mm, thì
chồng tiền thanh toán đó cao bao nhiêu?
b) Dân số thế giới hiện nay khoảng 6 tỉ ngời, nếu xếp đợc tất cả mọi ngời
chồng lên nhau (ngời sau đứng trên đầu ngời trớc) thì liệu ngời cuối cùng có
với tới đợc Mặt trăng hay không? Biết rằng khoảng cách từ Trái đất đến Mặt
trăng khoảng 300 000km.
c) Khối lập phơng Rubic: Ngời ta có thể thu đợc 43 252 003 274 489 856
000 các dạng khác nhau khi xoay các mặt của khối Rubic. Giả sử, cứ mỗi giây
ta có đợc một dạng, cần bao thời gian thì vét cạn tất cả các dạng? So sánh với
tuổi của vũ trụ 15 tỉ năm.
d) Các hành tinh thuộc hệ mặt trời có đờng kính nh sau: Hoả tinh 4
878km, Kim tinh
4
1,21 10 km,
ì
Trái đất 12756km, Thổ tinh

4
12 10 kmì
, Hải
vơng tinh 48 000km, Diêm vơng tinh 3500km. Hãy sắp xếp theo thứ tự lớn
dần của diện tích, thể tích của các hành tinh này (mỗi hành tinh coi nh là một
khối cầu).
Bài 5. Hãy điền vào chỗ trống của kết quả hiển thị trên máy ghi theo kí
pháp khoa học của các phép tính sau:

.
. . .
. . .
. . .
2 2 . . .
2 2
345000 47,159 3,45047519 10
345000 47,159 1,6394055 10
622,5 43,21 6,6571 10
622,5 43,21 2,6898225 10
3,51 10 2,7 10 2,70035 10
3,51 10 2,7 10 9,477 10


+ = ì
ì = ì
+ = ì
ì = ì
ì + ì = ì
ì ì ì = ì
K

Bài 6. Sử dụng kí pháp khoa học và các phím
n
10 ,
ì
Exp, hãy tính giá trị
các biểu thức sau và thử tìm lại bằng máy giá trị của biểu thức viết theo cách
viết số thập phân:
66

4 4 2
3 5 4 2
4 2
5 3
A 2 10 5 10 3 10
B 5 10 10 2 10 4 10
C 1,23 10 5,67 10
D 3,21 10 3,2 10




= ì + ì
= ì + ì + ì
= ì ì ì
= ì ữ ì
Viết dãy các phím tơng ứng với phép tính biểu thức A và B (theo hai cách
ghi kết quả nêu trên).
Giá trị đúng. Giá trị gần đúng. Tính toán không dùng
máy tính. Bên ngoài phạm vi màn hình máy tính
Bài 7. Hãy điền dấu = , dấu hoặc kết quả phép tính vào chỗ trong

các hệ thức sau:
a) 543 ì 26,897 1,4653941 ì 10
4
b) 432,1 ì 567,89 2,45385269 ì 10
5
c) 12,34 ì 98,7654 1,218765036
d) 12,344 ì 9,87654321 1,219160494 ì 10
2

e) 0,0093786 ì 0,00053294 =
3 3
g) 5247624 1872239 (5247 10 624) (1872 10 239)
ì = ì + ì ì + =
K
h) ( 2 3 5)( 2 3 5)( 2 3 5)( 2 3 5) ?
?
+ + + + =

K
K
2 3 4 5
i) M 1 3 A 1 579 932 (1 3) 10(1 3) 100(1 3) 1000(1 3) 10 000(1 3)
?
?
= + = + + + + +
=

K
K
Bài 8. (Giỏi hơn máy tính)

Chữ số hàng đơn vị của
1999
2
là chữ số nào?
Có bao nhiêu chữ số khi viết số
300
300 ?
Chữ số thập phân thứ 2001 sau dấu phẩy là chữ số nào khi ta: chia 1 cho 7?
chia 10 cho 97 ? chia 10 cho 51?
Giá trị đúng của
12 11
7 , 3
là bao nhiêu?
Số mũ âm
Bài 9. Hãy tính giá trị các biểu thức sau:
67
5 4 3 5 4 3 3 2 3
5
A = 5,1 + 2,5 3,1 , B = (5,1 + 2,5 ) 3,1 ,C = (4 + 7 ) , D = (17 + )
7
ì ì

= = = + = + = +
1 1
7
6 5 3 4 3
5 3
6
4
E , F (87 21) , G 13 52 , H 13 52 , I 10 5

3
,
3 2 2 2 3
3 5
J 13 52, K ( 7) (14 3 ) , L (5 7 )

= + = + =
.
Bài 10. So sánh giá trị của hai biểu thức:
+
3 3 2 2 3
(x y) và x 3x y 3xy y
trong
các trờng hợp
3 3
x 7, y 3; x 5 , y 2; x 2 , y 7 .

= = = = = =
Viết dãy các phím tơng
ứng cần n trong mỗi trờng hợp.
Bài 11. So sánh các số sau
3
2 3 6 (2 ) 8
(4 ) ,4 ,4 ,4
. Liệu có phải sử dụng các
phím dấu ngoặc để tính giá trị các luỹ thừa với số mũ nhiều tầng không?
Bài 12. Tính giá trị các số sau:
2 2 1 1
0,4 0,4 2 2
5 5 5 5

4 , ( 4) , 4 , ( 4) , (( 4) ) , (( 4) )
.
Các hàm số:
2 x x
1
x , , x, sin, cos, tan, log, ln ,10 , e ,
x
Bài 13. Tính giá trị của các biểu thức sau:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
14
A 1 2 3 4 , B 2 3 4 5 6 7 , C (3 13 4)
1 1 1 1
D , E , F
1 1
3 7
(1 10 ) 1
3 4

= + + + = ì + ì ì = + ì
= + ì = =
+

Bài 14. Tính các xấp xỉ của theo các phân số sau (thờng gọi là phân số
liên tục):

1 1 1
3 , 3 , 3
1 1
7

7 7
1
15
15
31
+ + +
+ +
+
Bài 15. Tính giá trị các biểu thức sau:
2 5, 2 5, 2 3 5 11, 7 3(2 19), 121 16 25 9
+ + + + ì ì
2 2 2 2 2
2
2
11 4 5 3 , 5 7 12 , 5 2 7 7 7, 1 2 3 , 3 2 1
1 1 1
( 2 3) , 2
3 5
ì ì + + + + + +
+ + +

Bài 16. Hãy so sánh các giá trị của từng cặp biểu thức sau:
68

2
1
( 2 3) , 5 2 6; 3 2,
3 2
+ +
+

10 1,+
17;
10,

0
Sin29
10 ,
tg70
0,

10
19
41
53
, 53
41
; 60!, 30
60
; 2
sin3
, 3
sin2
26

, 200

;
2
3 2,+

5 6;+
100sin40
0
, 8
3
2
100
, 100
20
; sin(cos1), cos(sin1);
1
tg ,
2 1000



ữ

2
16
Bài 17. Giá trị của các biểu thức sau nh thế nào khi n lớn lên vô cùng:
a)
5
(n dấu căn) b)
1 1 1 1
1
1! 2! 3! n!
+ + + + +

c)

2
100n
n 1+
d)
2 2 2+ + +
(n dấu căn)
e)
2 2 2
1 1 1
1
2 3 n
+ + + +
g)
1 1 1
1
2 3 n
+ + + +
h)
n
1 1 1
1
2 4
2
+ + + +
i)
3 3 3
1 1 1
1
2 3 n
+ + + +

k)
n 1
1 1 1
1 ( 1)
2 3 n
+
- + + + -
Bài toán với ký hiệu chữ
Nói chung, ta không thể dùng máy tính để chứng minh các định lý toán
học, ví dụ với
2 2
sin x cos x 1+ =
, để chứng minh tính đúng, ta phải kiểm tra
đẳng thức đó với tất cả các giá trị của x, mà các giá trị đó thì nhiều vô hạn.
Tuy nhiên với máy tính có thể chứng minh tính không đúng của một đẳng
thức, bằng việc chỉ ra trị số nào đó của chữ mà đẳng thức sai. Việc tìm ra các
trị số đó nhờ dự đoán và thử. Chẳng hạn đẳng thức
2 2
(x 1) x x 1+ = + +
không xảy ra, vì khi thử với trị số x = 1 ta nhận đợc điều vô lý là 2 = 3.
Bài 18. Liệu có thể bác bỏ đợc các đẳng thức sau?
2 2
1
a) sin x cos x 2sin x cosx
2
+ + =


+ =
ữ

b) tan x 2cot x
2
69
+

+ =
ữ

5
c) tan x 4 tan x
2
Bài toán dựng đồ thị
Với cách lập bảng giá trị của hàm số f(x) trên đoạn [a,b] với bớc biến đổi h,
ta có thể dựng đồ thị tơng ứng của hàm số. Đồ thị của hàm số ngày càng đúng
hơn khi bớc biến đổi h nhỏ đi.
Ví dụ: Cho hàm số
[ ] [ ]
3 2
f(x) 2x 7x 12, a,b 5, 5 , h 0,5= + = =
Với bớc biến đổi h ta lập đợc các bảng giá trị hàm số tơng ứng với các giá
trị của biến số x: -5; -4,5; -4; -3,5; -3; -2,5; -2; -1,5; -1; -0,5; 0; 0,5; 1; ; 4,5; 5.
Do đó ta xác lập đợc toạ độ 21 điểm của đồ thị tơng ứng. Khi bớc biến đổi nhỏ
đi, chẳng hạn h = 0,25 thì số điểm xác lập đợc lên tới 41 điểm, do đó dạng đồ
thị càng xác định đợc chính xác hơn.
Bài 19. Dựng đồ thị của các hàm số sau
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
2

3 2
a) f(x) 4 x sin3x, a, b 0, 2 , h 0,2
b) f(x) x 4 x 2, a, b 0, 4 , h 0,2
c) f(x) x 3x 2x, a, b 0, 4 , h 0,5
= = =
= + = =
= = =
Chọn kiểu MODE
Bài 20. Hãy lựa chọn mode phù hợp để tính giá trị các biểu thức sau:
0 0 2 2
1 2 0 1 2 0
3
3sin50 2cos30 , sin cos , sin cos
4 4 3 3
2
cos , 1 sin 40 , cos ( 1 sin 40
2


+ + +

Bài 21. Tính giá trị của các biểu thức sau:
2 ( ln36 ln2)
2 2 2 2
7 3
2 2
ln7 ln 2 ln14, (log7) log7 1, e
e e e e
e e 5, ,
2 e e

+ + +
+
+
+
Về thứ tự u tiên giữa các hàm số và các phép tính
Bài 22. ứng với mỗi dãy phím của 26 dãy nêu dới đây, hãy thực hiện tuần
tự 3 thao tác sau để tự kiểm tra khả năng nắm vững máy tính CASIO fx-500MS:
Dự đoán biểu thức tơng ứng với dãy phím đã cho.
Thực hiện các phép tính nêu trong biểu thức dự đoán để thu đợc kết quả
hiển thị trên màn hình.
Thực hiện bấm dãy phím đã cho để thu đợc kết quả so sánh với kết quả
hiển thị ở mục 2, phân tích lý giải việc dự đoán sai (nếu có).
70
5
ì
5
2
x
=
, 2
+

Ans

=
, 3

ì
Ans
=
, 2
=

Ans
ì
3
=
2
ì
Ans

3, 2
2
x
2
x
=
, 2
-1
x
2
x
=
, 3
x!
2
x

=

2
+
Ans
2
x
=
, 2
2
x
ì
=
, 3
^
2

=
3
2
x
=

2
^
Ans
2
x
=
, 2

^
3
2
x
=
,
(-)
2
Ans

-1
x
=

(-)
3
2
x
=
,
(-)

(
3
2
x
)

=
,

(-)
3
2
x
ì
2
=

2
2
x
-1
x
=
, 3
2
x
x!
=
, 2
ì

Ans
2
x
=
, 2
ì
3
2

x
=
2
^
3
2
x
=
, 4
^
Ans
=
, 2
^
3
-1
x
=
, 2
-1
x
^
3
=
Về sử dụng bộ nhớ
Bài 23. Hãy tính giá trị của biểu thức
2
2 2 x 1
x 5
+ +

+
trong các trờng hợp sau:
3,27 1 5
x 3,41, x , x .
2,8 2
+
= = =
Những bài toán giải tích:
Bài 24. Cho các số
1 2 3 4 5
8 10
a ; a 1,2 ; a 5 1 ; a ; a 1 .
7 3
= = = = =
a) Xắp xếp dãy theo thứ tự tăng dần.
b) Tính trung bình cộng
t b
a
của các số đã cho với sai số 0,01.
c) Với mỗi số đã cho ta tính trị số lệch của nó với số trung bình cộng
t b
a
là
i i t b
a a =
.
d) Tính
5
i
i 1=

e) Tính trung bình nhân
5
5
i
i 1
a
=

và so sánh với các số
tb
a
và
5
i
i 1
.
=


Bài 25. Số hạng thứ n của dãy cho bởi công thức
n
2
1
a .
n 4
=
+
a) Tính tám số hạng đầu tiên của dãy.

b) Tính số hạng thứ 40, số hạng thứ 200.
c) Với sai số 0,001, tính số hạng thứ 967.
71
d) Với sai số 0,00001 hãy chỉ ra só hạng của dãy nhận giá trị 0.
Bài 26. Số hạng thứ n của dãy cho bởi công thức
n
3n 4
a
n 1
+
=
+
.
a) Tìm tám số hạng đầu tiên của dãy.
b) Tính số hạng thứ 100, số hạng thứ 1000.
c) Với tám số hạng đầu tiên của dãy, tính
n
x 3 .
Bài 27. Dãy
{ }
n
u
đợc xác định bởi các hệ thức
n
n
1 n 1
3
u
u
u 1 ; u ( n 2 )

2
+
+
= =
.
a) Tính tám số hạng đầu tiên của dãy.
b) Tính các hiệu số
n 1 n
u u , n 1, 2, 3, , 8.
+
= K
c) Tính
n
u 1,7, n 1, 2, 3, ,8. = K
d) Giới hạn của dãy có đúng bằng 1,7 khi giá trị n lớn vô cùng?
Bài 28. Cho các dãy có số hạng thứ n đợc xác định bởi công thức
n
n
2
t q 248, q 2 ; 1,2 ; 0,4 ; 0,7 ;
3
= ì =
Với mỗi giá trị của q hãy tính sáu số hạng đầu tiên, số hạng thứ hai mơi,
số hạng thứ một trăm của dãy tơng ứng.
Với q nào thì có
n
q 0
?
Với mỗi q đã chỉ ra ở câu b) hãy đánh dấu chỉ số n mà từ nó trở đi có
n

q 0
với sai số 0,001.
Bài 29. Cho hai dãy số có
n
n n
3
1
a , b (0,5)
n
= =
.
a) Hãy cho tuỳ ý 10 giá trị của n, rồi tính:
n n
n n n n n n n n
n n
a b
a , b , a b , b a , a b , ,
b a
+
b) Trong các hệ thức sau cái nào đúng ?
n
n n n n
n
a
a 0, b 0, (a b ) 0, 0
b

.
Bài 30. Dãy số Phibonasi
{ }

n
F
đợc xây dựng theo hệ thức:

1 2 n n 1 n 2
F F 1, F F F , n 3

= = = +
.
Tính 10 số hạng đầu tiên của dãy.
Hãy kiểm tra các số hang thứ 2, thứ 3, thứ 10 theo công thức:
n n
n
1 5 1 5
( ) ( )
2 2
F
5
+

=
.
72