Các đề thi HSG lớp 12 cấp thành phố TPHCM

Sở Giáo dục-Đào tạo KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12-THPT
TP.Hồ Chí Minh CẤP THÀNH PHỐ
Năm học 2010 - 2011 (khóa ngày 3/3/2011)
 MÔN TOÁN

ĐỀ CHÍNH THỨC
Bài 1.
 !"#$%&'#$()#$*&'#$%+
Bài 2.,
-.

/&0&/ ++≤+
1233&3/&&#45&0
-'#45&/ 33&'**&6
  
* * 
  &
0
-.!7**&6
8 
**& &
+
0
&-'$393:∈;<$

*9

*:

(0"!=2>&?@($*9*:%$9:0
Bài 30

">&&&#4A9B/ #'&'
+
*
8
*#4&C 0
Bài 40D !"
8 
 
8 +E
  )
x xy
x xy y y x

+ = −


− + = −


Bài 50
F= !"#A&GD

 $ $  $ $ − − + − =
Bài 60+
-'"&GH0@I-J&G@I-J"1A&K3H@1AG&12@I-J3H@
(0L&=1CM/'K1AG&&A&?@-1HJ0
Bài 70
"!=2>1!=<>&?A.&@($

%$9*9


12$39&&#4
5&<N$

%$9*9

(80
HẾT
1
ĐÁP ÁN :
Bài 1 : (2 điểm)
 !"#$%&'#$()#$*&'#$%+
#$%&'#$()#$*&'#$%+
⇔
+#$&'#$%%#

$%)#$%&'#$*+(
⇔
&'#$#$%*#

$%)#$*8(
⇔
&'#$#$%*#$%#$%8(
⇔
#$%&'#$*#$%8(
⇔
#$(




⇔

,
O
$
,
$ Zkkvk ∈+=+=
π
π
π
π
Bài 2 : (6 điểm) Mỗi câu 2 điểm
 -.
   
/*&  * 0 & */≤
1233&3/&&#45&0
PQA/*&RI>S.&0
PQA/*&
≥

I>S.&  12
    
/*&  * & */ ≤
           
 / * & *&/  & * / * & * /⇔ ≤
    
&/  & * / & / ⇔ ≤ ⇔ − ≥

-'#45&/ 33&'**&6
  

* * 
  &
0
-.!7**&6
8 
**& &
+
0
Giải
&G **&6
   E
  &   &
+ + ≥
+ +
⇒**&680
**&

 (
 
 
  &   &
8 8
+ + + + +

   
8
8   &
 
≥ + + +
 ÷

 
68*
   
8 
8  & &
 
+ +
 
 
(8*
  &
&
+ +

⇒**&6
8 
  & &
+
+ +
&0
&-'$393:∈;<$

*9

*:

(0"!=2>&?@($*9*:%$9:0
2

@($%9:*9*:T

   
$ 9 : 0  9: + + − +
(
 
 9:0  9: 9 :+ − +
(I
FU(9:T
    
9 : $ 9 :

 
+ + +
≤ =
⇒
8
T

0
J'G
I(

    + − +
(
( )
8 
    − + ≤
⇒@≤0
V$(39(:("@(0
WX9Y$@(0
Bài 3 : (2 điểm)

">&&&#4A9B/ #'&'
+
*
8
*#4&C 0

"<
+ 8 
 PZ
     PZ
∈


+ + = ∈

[
&G

(
+
*
8
*\
+
⇒\

⇒(

*∈PZ⇒
+

*
8
*(

*

⇒

%(

%≥
PQA

%\"%∈PZ⇒

%≥

⇒

\

⇒R]AA^12%∈PZ
WX9&G

%(⇒(1

%(⇒(VG(O
WX9&G/A9>M#4A9B/ <
+
*

8
*#4&C 3G(
Bài 4D !"
8 
 
8 +E
  )
x xy
x xy y y x

+ = −


− + = −


Giải
8 
 
8 +E 
  ) 
x xy
x xy y y x

+ = −


− + = −



*80_&
$
8
*8$9

*8$

%+$9*89

(%+E*+9%O$
⇔ $
8
*8$

*8$**89

$*%+9$**+$*(
⇔ $*
8
*$*89

%+9*+(
⇔ $*`$*

*89%+

a(
⇔



+
x
x
y
= −


= −




=


3
Z9$(%1'_&%%89

(%+E⇔9

(,⇔9(±+0
WX9D&GD%b+3%b%+0
Bài 5. F= !"#A&GD

 $ $  $ $ − − + − =

FU
  $ $= − −
⇒



 
$ $

−
− =
%≤≤
c !"!d


   +
 0     3
  
− −
+ = ⇔ = ∈ −
−

Le#49(f(

 +
 
−
−
12
  3∈ −
WX9
  8≥ +
Bài 6.-'"&GH0@I-J&G@I-J"1A&K3H@1AG&12@I-J3H@(0
J51CM/'K1AG&&A&?@-1HJ0


gY!A&?@J0['&?IY
1@-3h'&?iY1HJij&?
"1AH@Ji0
&G
[Y @Y 
[I I- 
= =
3
hY JY 
hi Hi 
= =
⇒
[Y hY
[I hi
=
⇒[hkkIi1[h(

Ii
8
@-⊥IJi⇒@-⊥Ii⇒@-⊥[h
HJ⊥I@i⇒HJ⊥Ii⇒HJ⊥[h
WX9[h'K1AG&&A&?@-1HJ0
Ii  8=
⇒
 8
[h
8
=
Bài này cũng có thể giải bằng phương pháp tọa độ
4

t
y’ 0
–
+
y
 8+
+∞
–1
 8−
1
+∞
Bài 7. "!=2>1!=<>&?A.&@($

%$9*9

12$39&&#45&
<N$

%$9*9

(80

Le#4


  
f 
  
− +
=

− +
Z
&G


 
f  8 8
  
−
= − ≤
− +
1


O   O
f 
8 8   8
+
= + ≥
− +
⇒
O
f  8
8
≤ ≤

&G"!=2>3!=<>&?f7C&
W29(&G@(,
W29≠39(
$

9
1'Z&G
 
 
O $ $9 9
8
8 $ $9 9
− +
≤ ≤
− +
⇒O≤@≤E
WX9!=2>&?@E$(9
!=<>&?@O$(%9
Sở Giáo dục-Đào tạo KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12-THPT
TP.Hồ Chí Minh CẤP THÀNH PHỐ
5
Năm học 2009 - 2010 (khóa ngày 3/3/2010)
MÔN TOÁN
Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian phát đề)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Bài 1 : (4 điểm)
"!=<>1!=2>&?#4

+

+
=
x
x
y

0
-'
zyx 33
<
bbb =++>>> zyxzyx
0"!=<>&?A.&
xyz
yx
A
+
=
0
Bài 2 : (4 điểm) -.

033)+8O

Ryxyxyx ∈∀≥−−−++

3







xy
yx
+
≥

+
+
+
12
≥xy
0
Bài 3 : (3 điểm)
&& !"1D !"

,+

+−=−+− xxxx







=+
=+

+
8
8
yx
yx
Bài 4 :(4 điểm)
-'./D@I-J0#l[AM&&K@I&G'&&Q&&US@-J1
I-J7A0

 -.!7
I-J
@-J
I[-J
@[-J
H
H
W
W
[I
[@
==
 -'[@([I1@I1AG&12-J0-.!7@I1AG&12US[-J0
Bài 5 :(2 điểm)
-'./D@I-J3!'&I-J&gMY1mAYn&&S#'#'
12&&&K@I3@-3@J&o&&U@-J3@IJ3@I-p_K@q3Iq3-q0L&=1=!C&?
Y!'&I-J#'&'C&./DY@qIq-qK!=2>0
Bài 6 :(3 điểm)
F= !"#8$%#$(%#$&GODAM&'K`
π
π
b
8
a0
HẾT
ĐÁP ÁN MÔN TOÁN
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12-THPT CẤP THÀNH PHỐ
Năm học 2009 - 2010 (khóa ngày 3/3/2010)
6
Bài 1 : (4 điểm)

"!=<>12>&?#4

+

+
=
x
x
y
0
-'
zyx 33
<
bbb =++>>> zyxzyx
"!=<>&?A.&
xyz
yx
A
+
=
0
Giải
a)

+

+
=
x
x

y
&G
≥y
B
y
KPP
x
(0
P'!&G




+

+
≤
+
⇔≥+
x
x
xx
/>A7$9!1&j

+
±=⇔= xx
0
W]9
y
KrP




x
(
±
0
b) &G
bbb =++>>> zyxzyx
0
Hl/sIF-#
zyxzyxzyx  +≥++=++=
++

zyxyxzyx +≥+⇔+≥⇔
YU&3&t&G
xyzzyxxyyx ++

≥+⇒≥+
HA9!
,, ≥
+
⇒≥+
xyz
yx
xyzyx
J>A7$9!
+




b ==⇒==+= yxzyxyx
W]9
xyz
yx
A
+
=
K<>,
+

b


=== yxz
Bài 2 : (4 điểm) -.

033)+8O

Ryxyxyx ∈∀≥−−−++

03







≥∀

+
≥
+
+
+
xy
xy
yx
Giải
a) &G
)E,+),E++OO)+8O

−−+−++++=−−−++ yxyxyxyxyxyx
)E,+8+8+

+−+−−= yyxyx
$uM.&X&u'
x
1&G
03+OO),,O)E,+8+8++v

Ryyyyyyy ∈∀≤−−=+−−=+−−−=∆
WX9&G&0
b) &G
≥xy
7
LeDA#4





















xyy
yxy
xyx
xxy
xy
y
xy
x
xy
yx ++
−
+
++

−
=
+
−
+
+
+
−
+
=
+
−
+
+
+


0



0









yx
yxyxyx
xy
xy
y
y
x
x
xy
xy
xyy
yxy
xyx
xyx
++
−−+
+
−
=
+
−
+
+
−
=
++
−
+
++
−

=





0




≥
+++
−−
=
++
−−
+
−
=
yxxy
xyxy
yx
xyxy
xy
xy
0WX9&G&0
Bài 3 : (3 điểm)
&& !"1D !"


,+

+−=−+− xxxx







=+
=+

+
8
8
yx
yx
Giải

,+

+−=−+− xxxx
 $e1Q :
8E,,

≥+−=++−=+− xxxxx
$e1Q!:



+


+ =
−+
+
−+
≤−+−
xx
xx
WX9&'1Q7A&G:
8
+b
8
+
,

=⇔



=−=−
=
⇔





=−+−

=+−
x
xx
x
xx
xx
D/A9>






=+
=+

+
8
8
yx
yx
&G
,++008,+,+
88
8
8
8
8
8
=++⇔=+++⇔=+ xyyxyxxyyxyx

Y
=+ yx
B
)8
8
=⇒= xyxy
0
WX9&G



=
=



=
=
⇔



=
=+

)
)

)


y
x
v
y
x
xy
yx
wD&GD!B0
Bài 4 :(4 điểm)
-'./D@I-J0#l[AM&&K@I&G'&&Q&&US@-J1I-J
7A0
-.!7
I-J
@-J
I[-J
@[-J
H
H
W
W
[I
[@
==
-'[@([I1@I1AG&12-J0-.!7@I1AG&12[-J
Giải
8
 &G
I[
@[
IV

@w
W
W
I[-J
@[-J
==
12@w'K1AG&1xy@Q[-J
1IV'K1AG&1xyIQ[-J0
P'!&z&G
I-J
@-J
[0I-J
[0@-J
[P0H
[Y0H
W
W
=
12[Y'K1AG&1xy[Q@-J1[P
'K1AG&1xy[QI-J0
W"[AM&U]&&?=/D@-J3I-JB[Y([P&'&0
 W2[@([I1@I1AG&12-J31x&'@h&?&@-J0
&G-J1AG&@I3-J1AG&@hB-J1AG&12@Ih#A9!-J1AG&
12Ih0
J'1"[@([IB/DC&@-J7/DC&I-J3/'&]A0
PB#A9!@h(Ih0
&@Ih&]Kh&'h[1AG&12@I0
WX9@I1A12[h3@I1A12-JB@I1A12[-J&
Bài 5 :(2 điểm)
-'./D@I-J3!'&I-J&gMY1mAYn&&S#'#'12

&&&K@I3@-3@J&o&&U@-J3@IJ3@I-p_K@q3Iq3-q0L&=1=!C&?Y
!'&I-J#'&'C&./DY@qIq-qK2>0
Giải
!2&Q&.

@J
Y-v
0
@-
YIv
0
@I
Y@v
W
W
@0I-J
-vIvY0@v
=
X1X93$eG&/D4j&?G&/D@0I-J1>9!B4p_&&
'K@@

(Y@q3II

(YIq3

(Y-q05&De=Qu'1u& Y@""./D
Y@qIq-qQ./D@@

I


-

BC&"./D>97A1&G
@J
Y-v
0
@-
YIv
0
@I
Y@v
@J
@-
0
@-
@I
0
@I
@@
W
W

@0I-J
@0@

==
CB
&
1&.Q


@J
Y-v
@-
YIv
@I
Y@v
=++
X1X93&G
@I-J
Y@IJ
@I-J
Y@-J
@I-J
Y@I-
Y@IJY@-JY@I-@I-J
W
W
W
W
W
W
WWWW ++=⇔++=
Le
Jw
YV
W
W
W
W
J0@I-

Y@I-
@I-J
Y@I-
==
12YV'&&yYQ@I-3Jw'&&yJQ@I-0
K&G&1AYV-1Jw@{/K&'
@J
Y-v
Jw
YV
=

HA9!
@J
Y-v
W
W
J0@I-
Y0@I-
=
 5&G
@-
YIv
W
W
b
@I
Y@v
W
W

I0@-J
Y@IJ
I0@-J
Y@-J
==
9
WX90
y&&QmA13&G
@I-J
-vIvY@v
8
W
W
@I0@-0@J
vY@v0YIv0Y-
)

@I0@-0@J
vY@v0YIv0Y-
8
@J
Y-v
@-
YIv
@I
Y@v
 =≥⇔≥++=
WX9
@I-J-vIvY@v
W

)

W ≤
C&Y@qIq-qK2>
@I-J
W
)

$9!/>A73&>9Y!g]&
I-J0
1"
@J
8

Y-v@-3
8

YIv3@I
8

Y@v ===
Bài 6 :(3 điểm)
F= !"#8$%#$(|#$Z&GODAM&'K`
π
π
b
8
a0
Giải
Z

⇔
#$8%+#

$%&'#$%*(
⇔
#$('U&+&'#

$%&'#$(
 &'D$(
π
1$(
π

⇔
+

%(12(&'#$
∈
`|ba
8 Le#4f(+

%!B`|ba0fq(%(
⇔
(}0


8
O
&'#
8

&'# ==
ππ
PX$e
(|&'#$(&GD$(
π
|RTk&'#$(&GDAM&'K`
π
k8b
π
a~•
π
3
π
€
kRR&'#$(&GDAM&'K`
π
k8b
π
a~•
π
3
π
€
(&'#$(&GD$(
π
V(,f(&GD(|
⇔
&GD$(
π
VRR,f(&GD

∈
|bk+
⇔
&GD
V(f(&GD(1D
∈
|bk+
⇔
&G8D!'G&G
D(
π
0
VRRf(&GD
∈
kb1D
∈
|bk+
⇔
&G8D
10
t
-1 1/4 1/2 1
f’(t) 0 +
f(t)
6 2
-1/4
0
V|k+RTf(&GD
∈
|bka

⇔
&G+D
V(|k+f(&GD(k+
⇔
&GD
WX9&G8D&
π
1
π

⇔
R
SỞ GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO KÌ THI HỌC SINH GIỎI THPT- LỚP 12 CẤP THÀNH PHỐ
TP HỒ CHÍ MINH Năm học 2008 – 2009. Khóa ngày 25/3/2009
MÔN TOÁN

ĐỀ CHÍNH THỨC
11
Bài 1+
"!=<>&?#4
+$$9
+
>+−=
!B'K`b
m
a
"!=<>&?#4

 mxxy ++=
!B'K`%ba7+0

Bài 2+
F= !"
$'$+$'
8


8
=−−++
&GD/A9>0
Bài 38
D !"





−=+
=+−
8

9$+8$
9$9$
Bài 48
-'./D@I-J&G@I(I-(-@(3@J(3IJ(
8
3-J(

0Cu'
'&&yJQUS@I-0
Bài 58

-'"&GH0@I-&G9@I-&A&K3H@1AG&12US
@I-0gw3Vp_"&QA1AG&&?@B&&SHI3H-0
L&=]1CCU&pA'KQ"&G@0I-Vwu'0
Bài 68
!'&GD!s&gM•$9:&'US
c$%9%:*(
‚$*9*:*8(
;$*9%8:*(
L&=3US!B&GM&A/A9>0
L&=3US!B&ƒmAMS0
w„
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI THPT KHÓA NGÀY 25/3/2009
Bài 1 : (4 điểm)
"!=<>&?#4
+
+
>+−= mmxxy
!B'K`b
m
a
Giải
mxxy ++
8k
−=
12
mxxy ±==⇔= 3
k
PQA
mmm ≤⇒≤< 


PPf(
+
%
8
*+
PQA
mmm >⇒> 

PPf(
+
%
8
*+
PPf
m
(+%

"!=<>&?#4

 mxxy ++=
!B'K`%ba7+0
Giải
FU($

*$$∈`|ba⇒
,
+

≤≤− t
9(*


3
a,b
+

`−∈t
9q(*
9q(⇔(%
PQA
+

+

≥⇔−≤− mm
3



+


+

 −=−= mfy
(+⇔(
+
E
PQA
+


,,
+

<<−⇔<−<− mm
3


=−= mfy
PQA
,, −≤⇔≥− mm
3


,, mfy
+==
(+⇔(%
WX9(
+
E
9(%
Bài 2 : (4 điểm)
F= !"
'+'
8


8
=−−++ axaxx
&GD/A9>0
Giải

13
x
-∞
m−
m
m0
+∞
y’ 0 00 ++ ––
y 0
f(m)
x
-∞
m−
m
m0
+∞
y’ 0 00 ++ ––
y 0
f(
m
)



>−−
−−=+
⇔=−−=+

+
'+'


8

8
ax
axaxx
axaxx







−<
+
−+−
+
−+−
=
⇔








x

x
xx
x
xx
a







>
+
−
+
−+−
=
⇔


O





x
xx
x

xx
a







+∞∪−∈
+
−+−
=
⇔
b
O

b







x
x
xx
a





+
−+−
=
x
xx
xg


k

+

+
+−−
=
x
xx
xg
3
3
k
−==⇔= xxxg

F&GD/A9>"





−≤≤−
=
O



a
a
⇔




−≤≤−
=





a
a
Bài 3.(3 điểm)
D !"
  
 8
$ 9 $ 9 
$ 8 +$ 9


− + =


+ = −


Giải

⇔
$

%+$*8(|9
8
6⇒9≤|⇒9

6

⇔
$

*9

%$(
⇔
$

*9

%*$%


(⇒$(39(|
lK&GD&?D !"$(39(%
Bài 4 :(3 điểm)
-'./D@I-J&G@I(I-(-@(3@J(3IJ(
8
3-J(

0C'&&yJQUS
@I-0
Giải
&G∆I-J1AK-3∆@IJ1AKI0
gw"&QA&?JB@I-
14
x
-∞
1
0
+∞
y’ 0
y’
–2 – 1/2 2/5
0– + + + + –
0
-∞
-1/5
-1
-∞
&G@I⊥IJ⇒@I⊥Iw⇒-Iw(8

I-⊥-J⇒I-⊥-w

⇒-w(
8
a

⇒Jw(
8
O

aCHDC =−
Bài 5 :(3 điểm)
-'"&GH0@I-&G9@I-&A&K3
H@1AG&12US@I-0gw3Vp_
"&QA&?@B&&SHI3H-0L&=
]1CCU&pA'KQ"&G
@0I-Vw
Giải
g•'&'IJ1-i&?∆@I-0
⇒IJ⊥H@-1-i⊥H@I
J'@I-&ABJ3ip_!A
&?@-3@I⇒J3ip_]&&!z'KQ&&&@V-1@wI0
⇒•]U&pA'KQ"&G@0I-Vw
IC•@(
8
8a
Bài 6 :(3 điểm)
!'•$9:&'US
( P )$%9%:*(
( Q ) $*9*:*8(
( R )$*9%8:*(
L&=US!B&G&A/A9>0

L&=US!B&ƒmAMS0
Giải
c !"'A9Q&?c1‚





=
−−=
+−=
tz
ty
tx
O
,


Q$393:1' !"&?;_&%(%*
15
Ic3‚3;&G&A/A9>⇔



∈
≠−
Rn
m 
⇔






∈
≠
Rn
m


Ic3‚3;&ƒmAS⇔



=+−
=−


nm
m
⇔







=
=


8


n
m
w„
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
TP HỒ CHÍ MINH LỚP 12 THPT - NĂM HỌC 2007 – 2008
ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN TOÁN - Khóa ngày 28 tháng 2 năm 2008

Câu 1.+-'#4

 

x x
y
x
− +
=
−
V'#11x{=
 C
&?#40
"@3I!B&A&?-#'&'M/@I<>0
8g['&?D&X&?-0QA9QKMY>…&?-&o
D&XKc1‚0-.!7&[c‚&G/DC&†0
Câu 2.+
!'USgM•$93&'S
/


*,$*+%9%)(
/

,%8$%8*E9%+%O(0
-.!7/

1/

A&oA12g!=&?#40"gM'
[&?/

1/

0V9†"[/M!BM&4='‡
!'USgM•$93&'!z-

$

*9

%$%+9*(3
-

$

*9

%+$%9*+(
WQ !"&&QA9Q&A&?!z!B0

Câu 30+
&& !"3D !"3> !"#A

8
 )
'   'x x+ =

8
8
 8  
  8
x y
x y

+ =


− =


&
  
  8 + Ox x x x x x+ − + + − ≤ + −
Câu 40
-'33&#4/ <
  
a c b
+ =
0-.!7
+

 
a b c b
a b c b
+ +
+ ≥
− −
16
Câu 5.+
 !"
( ) ( )
#   8 8 #  8 8 &'# , 8x x x+ − + − = −
-'&@I-&GM/&&&K33&1/DC&H<H(&**&*%0
-.!7@(

O
−
-]A,0
-'&@I-0"!=<>&?A.&‚(#

@%#

I*#

-0
wQ
SỞ GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO KÌ THI HỌC SINH GIỎI THPT- LỚP 12 CẤP THÀNH PHỐ
TP HỒ CHÍ MINH Năm học 2006 – 2007
MÔN TOÁN

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 1+
D !"
$ 9 $
9 : 9
: $ :

+ = +


+ = +


+ = +


3
3
3
3 4
2 6 6
3 9 8
0
Câu 2+
 "#45&
zyx 33
<D



=++

=++
+8


zyx
zyx
#'&'
x
K!=2>0
 -'
 ≤≤<< zyx
1
+8 ≤++ zyx
0
"!=2>&?A.&

8 zyxS ++=
0
Câu 3
-'
cba 33
&&#45&]<
8
=++
cba
0
-.

8








≥
+
+
+
+
+ a
c
c
b
b
a
0
Câu 4+
-'
cba 33
M/&K&?M&&Gl&A13;C
!z'KQ3!C!zMQ0
-.

0

Rrrpcba −−=++

0+


Rrrpcba ++≥++
Câu 5+
17
-'&@I-&GG&g3MQ!'!z•0gc3‚3;p
_!A&&&A<I-3-@3@I0FS@c&oI-KrbI‚&o@-
KYb-;&o@IKP0
-.
LA MB NC
9
LP MQ NR
+ + ≥
0
Câu 6
-'./D@I-J'@I-(@J-(I@J(I-J
C†(@JI*IJ-*-J@0
 ˆˆˆˆHẾTˆˆˆˆ
18