Chuyên đề Tích phân ôn thi THPT Quốc gia môn Toán của thầy Đặng Việt Hùng

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95
Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn



I. NHẮC LẠI KHÁI NIỆM VỀ VI PHÂN CỦA HÀM SỐ
Vi phân của hàm số y = f(x) được kí hiệu là dy và cho bởi công thức
= = =
( ) ' '( )
dy df x y dx f x dx

Ví d
ụ
:
 d(x
2
– 2x + 2) = (x
2
– 2x + 2)′dx = (2x – 2)dx
 d(sinx + 2cosx) = (sinx + 2cosx)′dx = (cosx – 2sinx)dx



Chú ý:
Từ công thức vi phân trên ta dễ dàng thu được một số kết quả sau

( ) ( )
1
2 2 2
2
d x dx dx d x

= ⇒ =

( ) ( )
1
3 3 3
3
d x dx dx d x
= ⇒ =

( ) ( ) ( )
2
2 2 2
1 1 1
2 2 2 2
x
xdx d d x d x a d a x
 
= = = ± = − −
 
 
 



( ) ( ) ( )
3
2 3 3 3
1 1 1
3 3 3 3
x

x dx d d x d x a d a x
 
= = = ± = − −
 
 
 



(
)
( ) ( )
ax
1 1
ln ax ln
ax
d b
dx dx
d b d x
ax b a b a x
+
= = + → =
+ +



( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
1 1 1

sin ax sin ax ax cos ax sin 2 os2
2
b dx b d b d b xdx d c x
a a
+ = + + = − + → = −


( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
1 1 1
cos cos sin cos2 sin2
2
ax b dx ax b d ax b d ax b xdx d x
a a
+ = + + = + → =


( )
(
)
(
)
ax 2 2
1 1 1
ax
2
b ax b ax b x x
e dx e d b d e e dx d e
a a

+ + +
= + = → =


( )
(
)
( )
( ) ( )
2 2 2
ax
1 1 1
tan tan2
2
cos cos cos 2
d b
dx dx
d ax b d x
a a
ax b ax b x
+
= =  +  → =
 
+ +



( )
(
)

( )
( ) ( )
2 2 2
ax
1 1 1
cot cot2
2
sin sin sin 2
d b
dx dx
d ax b d x
a a
ax b ax b x
+
= = −  +  → = −
 
+ +

II. KHÁI NIỆM VỀ NGUYÊN HÀM
Cho hàm s
ố
f(x) liên t
ụ
c trên m
ộ
t kho
ả
ng (a; b). Hàm F(x)
đượ
c g

ọ
i là nguyên hàm c
ủ
a hàm s
ố
f(x) n
ế
u F’(x) = f(x) và
đượ
c vi
ế
t là
( )
f x dx
∫
. T
ừ

đ
ó ta có :
( ) ( )
f x dx F x
=
∫

Nh
ậ
n xét:
V
ớ

i C là m
ộ
t h
ằ
ng s
ố
nào
đ
ó thì ta luôn có (F(x) + C)’ = F’(x) nên t
ổ
ng quát hóa ta vi
ế
t ( ) ( )
f x dx F x C
= +
∫
, khi
đ
ó
F(x) + C
đượ
c g
ọ
i là m
ộ
t h
ọ
nguyên hàm c
ủ
a hàm s

ố
f(x). V
ớ
i m
ộ
t giá tr
ị
c
ụ
th
ể
c
ủ
a C thì ta
đượ
c m
ộ
t nguyên hàm
c
ủ
a hàm s
ố

đ
ã cho.
Ví d
ụ
:

Hàm s

ố
f(x) = 2x có nguyên hàm là F(x) = x
2
+ C, vì (x
2
+ C)’ = 2x

Hàm s
ố
f(x) = sinx có nguyên hàm là F(x) = –cosx + C, vì (–cosx + C)’ = sinx
III. CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA NGUYÊN HÀM
Cho các hàm s
ố
f(x) và g(x) liên t
ụ
c và t
ồ
n t
ạ
i các nguyên hàm t
ươ
ng
ứ
ng F(x) và G(x), khi
đ
ó ta có các tính ch
ấ
t sau:
a) Tính ch
ấ

t 1:
( )
( ) ( )
f x dx f x
′
=
∫

Tài liệu bài giảng:

01. MỞ ĐẦU VỀ NGUYÊN HÀM
Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95
Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Chứng minh:
Do F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) nên hiển nhiên ta có
( )
( )
( ) ( ) ( )
f x dx F x f x
′
′
= = ⇒
∫
đpcm.
b) Tính chất 2:
[
]
(
)

( ) ( ) ( ) ( )
f x g x dx f x dx g x dx
+ = +
∫ ∫ ∫

Ch
ứ
ng minh:
Theo tính ch
ấ
t 1 ta có,
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f x dx g x dx f x dx g x dx f x g x
′ ′ ′
+ = + = +
∫ ∫ ∫ ∫

Theo
đị
nh ngh
ĩ
a nguyên hàm thì v
ế
ph
ả
i chính là nguyên hàm c
ủ
a f(x) + g(x).
T

ừ

đ
ó ta có
[
]
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x dx f x dx g x dx
+ = +
∫ ∫ ∫

c) Tính chất 3:
(
)
. ( ) ( ) , 0
k f x dx k f x dx k
= ∀ ≠
∫ ∫

Ch
ứ
ng minh:
T
ươ
ng t
ự
nh
ư

tính ch
ấ
t 2, ta xét
( )
( ) . ( ) . ( ) ( )
k f x dx k f x k f x dx k f x dx
′
= → =
⇒
∫ ∫ ∫
đ
pcm.

d) Tính chất 4:
( ) ( ) ( )
f x dx f t dt f u du
= =
∫ ∫ ∫

Tính ch
ấ
t trên
đượ
c g
ọ
i là
tính bất biến
c
ủ
a nguyên hàm, t

ứ
c là nguyên hàm c
ủ
a m
ộ
t hàm s
ố
ch
ỉ
ph
ụ
thu
ộ
c vào hàm,
mà không ph
ụ
thu
ộ
c vào bi
ế
n.
IV. CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM


 Công thức 1:
dx x C
= +
∫

Ch

ứ
ng minh:
Th
ậ
t v
ậ
y, do
( )
1
x C dx x C
′
+ = ⇒ = +
∫


Chú ý:
M
ở
r
ộ
ng v
ớ
i hàm s
ố
h
ợ
p
( )
u u x
=

, ta
đượ
c
du u C
= +
∫



 Công thức 2:
n 1
n
x
x dx C
n 1
+
= +
+
∫

Ch
ứ
ng minh:
Th
ậ
t v
ậ
y, do
1 1
1 1

n n
n n
x x
C x x dx C
n n
+ +
′
 
+ = ⇒ = +
 
+ +
 
∫


Chú ý:
+ M
ở
r
ộ
ng v
ớ
i hàm s
ố
h
ợ
p
( )
u u x
=

, ta
đượ
c
1
1
n
n
u
u du C
n
+
= +
+
∫

+ V
ớ
i
1
2 2 2
2
2
dx dx du
n x C u C
x x u
= − ⇒ = = + ←→ = +
∫ ∫ ∫

+ V
ớ

i
2 2
1 1
2
dx du
n C C
x x u u
= − ⇒ = − + ←→ = − +
∫ ∫

Ví dụ:
a)
3
2
3
x
x dx C
= +
∫

b)
( )
5
4 4 2
2 2
5
x
x x dx x dx xdx x C
+ = + = + +
∫ ∫ ∫

c)
1 1
2
2 2 2 2
3
3 3
3
3
3
1
2 2 2
3
x x x x x x x
dx dx xdx x dx C x C
x x
−
−
= − = − = − + = − +
∫ ∫ ∫ ∫

d)
( ) ( ) ( )
( )
5
4 4
2 1
1
2 1 2 1 2 1
2 5

n
u du
x
I x dx x d x I C
+
= + = + + → = +
∫ ∫

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95
Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
e)
( ) ( ) ( )
( )
2011
2010 2010
1 3
1
1 3 1 3 1 3
3 2011
n
u du
x
I x dx x d x I C
−
= − = − − − → = − +
∫ ∫

f)
( )
(

)
( )
( )
2
2 2
2 1
1 1 1 1
.
2 2 2 1 2 2 1
2 1 2 1
du
u
d x
dx
I I C C
x x
x x
+
= = → = − + = − +
+ +
+ +
∫ ∫

g)
( ) ( ) ( )
3 3
2 2
1 1 2 3
4 5 4 5 4 5 . 4 5 4 5
4 4 3 8

I x dx x d x I x C x C
= + = + + ⇒ = + + = + +
∫ ∫



 Công thức 3: ln
dx
x C
x
= +
∫

Chứng minh:
Thật vậy, do
( )
1
ln ln
dx
x C x C
x x
′
+ = ⇒ = +
∫


Chú ý:
+ Mở rộng với hàm số hợp
( )
u u x

=
, ta được ln
du
u C
u
= +
∫

+
( )
1
ln 2
1 1
2x 2
ln ax
1
ax ax
ln 2
2 2
dx
x k C
d ax b
dx
k
b C
dx
b a b a
k x C
k x


= + +

+

+
= = + + →

+ +

= − − +

−

∫
∫ ∫
∫

Ví dụ:
a)
4
3 3
1 1 1
2 ln
4
dx x
x dx x dx dx x x C
x x
x x
 
+ + = + + = + + +

 
 
∫ ∫ ∫ ∫

b)
(
)
3 2
1 1
ln 3 2
3 2 3 3 2 3
du
u
d x
dx
I I x C
x x
+
= = → = + +
+ +
∫ ∫

c)
(
)
2
2 2
2 1
2 3 3 3 3
2 2 3 ln 2 1

2 1 2 1 2 1 2 2 1 2
d x
x x dx
dx x dx xdx x x x C
x x x x
+
+ +
 
= + = + = + = + + +
 
+ + + +
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫



 Công thức 4:
sinx cos
dx x C
= − +
∫

Ch
ứ
ng minh:
Th
ậ
t v
ậ
y, do

( )
cos sin x sinx cos
x C dx x C
′
− + = ⇒ = − +
∫


Chú ý:
+ M
ở
r
ộ
ng v
ớ
i hàm s
ố
h
ợ
p
( )
u u x
=
, ta
đượ
c sinu cos
du u C
= − +
∫

+
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
sin ax sin ax ax cos ax sin2 os2
2
b dx b d b b C xdx c x C
a a
+ = + + = − + + → = − +
∫ ∫ ∫

Ví dụ:
a)
(
)
3
2
2 1
1 1
sinx sinx cos
2 1 2 1 2 2 1
d x
dx
x x dx x xdx dx x dx x
x x x
−
 
+ + = + + = − + =
 
− − −
 

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

5
2
2 1
cos ln 2 1
5 2
x
x x C
= − + − +

b)
( )
(
)
4 3
3 1 3 1 3
sin2 sin 2 3 sin 2 2 os2 ln 4 3
4 3 4 3 2 4 4 3 2 4
d x
dx
x dx xdx xd x c x x C
x x x
−
 
+ = + = + = − + − +
 
− − −
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

c) sin sinx sin3
2
x
x dx
 
+ +
 
 
∫

Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
2 ; 2 2 2 ; 3 3 3
2 2 2 2 3
x x
d dx dx d d x dx dx d x d x dx dx d x
   
= ⇒ = = ⇒ = = ⇒ =
   
   

T
ừ đó :
( ) ( )
1 1
sin sinx sin3 sin sin 2 sin3 2 sin sin 2 2 sin3 3
2 2 2 2 2 3
x x x x

x dx dx xdx xdx d xd x xd x
   
+ + = + + = + +
   
   
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95
Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
1 1
2cos os2 os3
2 2 3
x
c x c x C
= − − − +



 Công thức 5:
cos sin
xdx x C
= +
∫

Ch
ứ
ng minh:
Th
ậ
t v

ậ
y, do
( )
in cos cosx inx
s x C x dx s C
′
+ = ⇒ = +
∫


Chú ý:
+ M
ở
r
ộ
ng v
ớ
i hàm s
ố
h
ợ
p
( )
u u x
=
, ta
đượ
c cosu sin
du u C
= +

∫

+
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
os ax os ax ax sin ax os2 sin 2
2
c b dx c b d b b C c xdx x C
a a
+ = + + = + + → = +
∫ ∫ ∫

Ví dụ:
a)
4 1 5
cos sin cos sin x 4 sinx cos 4 5ln 1
1 1
x
x x dx xdx dx dx x x x C
x x
−
   
− + = − + − = + + − + +
   
+ +
   
∫ ∫ ∫ ∫

b)
( )

2
1
cos2 sin x os2 sinx sin 2 cos
2 2
x
x x dx c xdx dx xdx x x C
+ − = + − = − − +
∫ ∫ ∫ ∫

c)
( )
2
1 os2 1 1 1 1 1 1
sin os2 os2 2 sin2
2 2 2 2 4 2 4
c x
xdx dx c x dx x c xd x x x C
−
 
= = − = − = − +
 
 
∫ ∫ ∫ ∫



 Công thức 6:
2
tan
cos

dx
x C
x
= +
∫

Chứng minh:
Thật vậy, do
( )
2 2
1
tan tanx
cos cos
dx
x C C
x x
′
+ = ⇒ = +
∫


Chú ý:
+ Mở rộng với hàm số hợp
( )
u u x
=
, ta được
2
tanu
os

du
C
c u
= +
∫

+
( )
(
)
( )
( )
2 2 2
1 1 1
tan tan2
cos cos cos 2 2
d ax b
dx dx
ax b C x C
ax b a ax b a x
+
= = + + → = +
+ +
∫ ∫ ∫

Ví dụ:
a)
2 2
1 1
cos sin 2 cos sin2 tan sin cos2

cos cos 2
dx
x x dx xdx xdx x x x C
x x
 
+ − = + − = + + +
 
 
∫ ∫ ∫ ∫

b)
( ) ( )
(
)
( )
(
)
2 2 2
2 1 5 4
1 2 1 2
2
cos 2 1 5 4 cos 2 1 5 4 2 cos 2 1 4 5 4
d x d x
dx dx
I dx
x x x x x x
 
− −
= + = + = −
 

 
− − − − − −
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫


( )
2
os
1 1
tan 2 1 ln 5 4
2 2
du
c u
x x C
→ = − − − +

c)
( )
(
)
( )
( )
2
os
2 2
3 2
1 1
tan 3 2
cos 3 2 2 cos 3 2 2

du
c u
d x
dx
I I x C
x x
−
= = − → = − − +
− −
∫ ∫



 Công thức 7:
2
cot x
sin
dx
C
x
= − +
∫

Ch
ứ
ng minh:
Th
ậ
t v
ậ

y, do
( )
2 2
1
cot cot x
sin
dx
x C C
sin x x
′
− + = ⇒ = − +
∫


Chú ý:
+ M
ở
r
ộ
ng v
ớ
i hàm s
ố
h
ợ
p
( )
u u x
=
, ta

đượ
c
2
cotu
sin
du
C
u
= − +
∫

+
( )
(
)
( )
( )
2 2 2
ax
1 1 1
cot ax cot2
sin ax sin ax sin 2 2
d b
dx dx
b C x C
b a b a x
+
= = − + + → = − +
+ +
∫ ∫ ∫

Ví dụ:
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95
Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
a)
6
5 5
2 2
1 1
cos2 2 cos2 2 sin2 cot
sin sin 2 3
dx x
x x dx xdx x dx x x C
x x
 
− + = − + = + + +
 
 
∫ ∫ ∫ ∫

b)
( )
(
)
( )
( ) ( )
2
sin
2 2
1 3

1 1 1
cot 1 3 cot 1 3
sin 1 3 3 sin 1 3 3 3
du
u
d x
dx
I I x C x C
x x
−
= = − → = − − −  + = − +
 
− −
∫ ∫

c)
2
sin
2 2
2
2 2cot
2
sin sin
2 2
du
u
x
d
dx x
I I C

x x
 
 
 
 
= = → = − +
 
   
 
   
   
∫ ∫



 Công thức 8:
x x
e dx e C
= +
∫

Ch
ứ
ng minh:
Thật vậy, do
( )
x x x x
e C e e dx e C
′
+ = ⇒ = +

∫


Chú ý:
+ Mở rộng với hàm số hợp
( )
u u x
=
, ta được
u u
e du e C
= +
∫

+
( )
2 2
2 2
1
1 1
2
ax
1
2
x k x k
ax b ax b ax b
k x k x
e dx e C
e dx e d b e C
a a

e dx e C
+ +
+ + +
− −

= +


= + = + →


= − +


∫
∫ ∫
∫

Ví dụ:
a)
( )
(
)
2 1 2 1 2 1
2 2 2
3
1 4 4 1 1
2 1 4.2
sin 3 sin 3 2 3 sin 3
x x x

d x
dx
e dx e dx dx e d x x
x x x
x x
− + − + − +
 
− + = − + = − − + − +
 
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫


2 1
1 1
cot3 8
2 3
x
e x x C
− +
= − + + +

b)
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
3 2 3 2 3 2
4 1
4 os 1 3 4 os 1 3 3 2 os 1 3 1 3
3 3

x x x
e c x dx e dx c x dx e d x c x d x
+ + +
+ − = + − = + − − −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )
3 2
4 1
sin 1 3
3 3
x
e x C
+
= − − +



 Công thức 9:
ln
x
x
a
a dx C
a
= +
∫

Chứng minh:
Thật vậy, do

ln
ln ln ln
x x x
x x
a a a a
C a a dx C
a a a
′
 
+ = = ⇒ = +
 
 
∫


Chú ý:
+ M
ở
r
ộ
ng v
ớ
i hàm s
ố
h
ợ
p
( )
u u x
=

, ta
đượ
c
u u
a du a C
= +
∫

+
( )
1 1
kx m kx m kx m
a dx a d kx m a C
k k
+ + +
= + = +
∫ ∫

Ví dụ:
a)
( )
( ) ( )
3 2
3 2 3 2 3 2
1 1 2 3
2 3 2 3 2 3 3 2
3 2 3ln2 2ln3
u
x x
a dux x x x x x

I dx dx dx d x d x I C
= + = + = + → = + +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

b)
( )
( ) ( )
1 2
1 2 4 3 1 2 4 3 1 2 4 3 4 3
1 3 2 3
2 2 3 2 1 2 4 3
2 4 2ln2 4
x
x x x x x x x
e dx dx e dx d x e d x e C
−
− + − + − + +
− = − = − − − + = − + +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫


Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95
Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
•
0
dx C
=
∫

•

dx x C
= +
∫

•

1
, ( 1)
1
x
x dx C
+
= + ≠ −
+
∫
α
α
α
α

•

1
ln
dx x C
x
= +
∫

•

x x
e dx e C
= +
∫

•

(0 1)
ln
x
x
a
a dx C a
a
= + < ≠
∫

•

cos sin
xdx x C
= +
∫

•

sin cos

xdx x C
= − +
∫

•

2
1
tan
cos
dx x C
x
= +
∫

•

2
1
cot
sin
dx x C
x
= − +
∫

•

1
cos( ) sin( ) ( 0)

ax b dx ax b C a
a
+ = + + ≠
∫

•

1
sin( ) cos( ) ( 0)
ax b dx ax b C a
a
+ = − + + ≠
∫

•

1
, ( 0)
ax b ax b
e dx e C a
a
+ +
= + ≠
∫

•

1 1
ln
dx ax b C

ax b a
= + +
+
∫


LUYỆN TẬP TỔNG HỢP
Ví dụ 1. Chứng minh F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) biết rằng
a)
( ) (4 5)
( ) (4 1)
x
x
F x x e
f x x e

= −


= −


b)
4
5 3
( ) tan 3 5
( ) 4tan 4tan 3
F x x x
f x x x


= + −


= + +



c)
2
2
2 2
4
( ) ln
3
2
( )
( 4)( 3)
x
F x
x
x
f x
x x

 
+
=

 


+
 

−

=

+ +

d)
2
2
2
4
2 1
( ) ln
2 1
2 2( 1)
( )
1
x x
F x
x x
x
f x
x

− +
=



+ +

−

=

+


Ví dụ 2.
Tìm các nguyên hàm sau
1)
2
1
– 3

x x dx
x
 
+ =
 
 
∫

2)
4
2
2 3

x
dx
x
+
=
∫

3)
2
1



x
dx
x
−
=
∫

4)
2 2
2
( 1)


x
dx

x
−
=
∫

5)
(
)
3
4



x x x dx+ + =
∫

6)
3
1 2


dx
x x
 
− =
 
 
∫

7)

2
2sin

2
x
dx =
∫

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95
Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
8)
2
tan

xdx =
∫

9)
2
cos

xdx =
∫

10)
2 2
1


sin .cos

dx
x x
=
∫

11)
2 2
cos2


sin .cos
x
dx
x x
=
∫

12)
2sin3 cos2

x xdx =
∫

13)
(
)
– 1

x x
e e dx =

∫

14)
2
2

cos
x
x
e
e dx
x
−
 
+ =
 
 
∫

15)
3 1
2


1
x
x
e dx
x
+

 
+ =
 
−
 
∫

Ví dụ 3.
Tìm nguyên hàm
F
(
x
) c
ủ
a hàm s
ố

f
(
x
) tho
ả

đ
i
ề
u ki
ệ
n cho tr
ướ

c:
a)
3
( ) 4 5; (1) 3
f x x x F
= − + =
b) π
= − =
( ) 3 5cos ; ( ) 2
f x x F

c)
2
3 5
( ) ; ( ) 1
x
f x F e
x
−
= =
d)
2
1 3
( ) ; (1)
2
x
f x F
x
+
= =

e)
−
= − =
3
2
1
( ) ; ( 2) 0
x
f x F
x
f)
1
( ) ; (1) 2
f x x x F
x
= + = −

g)
 
π
= =
 
 
( ) sin2 .cos ; ' 0
3
f x x x F
h)
4 3
2

3 2 5
( ) ; (1) 2
x x
f x F
x
− +
= =

i)
3 3
2
3 3 7
( ) ; (0) 8
( 1)
x x x
f x F
x
+ + −
= =
+
k)
2
π π
( ) sin ;
2 2 4
x
f x F
 
= =
 

 

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1.
Cho hàm s
ố

g
(
x).
Tìm nguyên hàm
F
(
x
) c
ủ
a hàm s
ố

f
(
x
) tho
ả

đ
i
ề
u ki
ệ

n cho tr
ướ
c:
a)
π
 
= + = =
 
 
2
( ) cos ; ( ) sin ; 3
2
g x x x x f x x x F

b)
π
= + = =
2
( ) sin ; ( ) cos ; ( ) 0
g x x x x f x x x F

c)
2
( ) ln ; ( ) ln ; (2) 2
g x x x x f x x F
= + = = −

Bài 2.
Tìm điều kiện của tham số để hàm số
F(x)

là một nguyên hàm của hàm số
f(x)
:
a)
3 2
2
( ) (3 2) 4 3
. .
( ) 3 10 4
F x mx m x x
Tìm m
f x x x


= + + − +

= + −


b)
2
2
( ) ln 5
. .
2 3
( )
3 5
F x x mx
Tìm m
x

f x
x x

= − +

+

=

+ +


Bài 3.

Tìm điều kiện của tham số để hàm số
F(x)
là một nguyên hàm của hàm số
f(x)
:
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95
Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
a)
2 2
2
( ) ( ) 4
. , , .
( ) ( 2) 4
F x ax bx c x x
Tìm a b c
f x x x x



= + + −

= − −

b)
2
( ) ( )
. , , .
( ) ( 3)
x
x
F x ax bx c e
Tìm a b c
f x x e


= + +

= −



Bài 4. Tìm điều kiện của tham số để hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):
a)
2 2
2 2
( ) ( )
. , , .

( ) (2 8 7)
x
x
F x ax bx c e
Tìm a b c
f x x x e
−
−


= + +

= − − +


b)
2
2
( ) ( )
. , , .
( ) ( 3 2)
x
x
F x ax bx c e
Tìm a b c
f x x x e
−
−



= + +

= − +



Bài 5. Tìm điều kiện của tham số để hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):
a)
( ) ( 1)sin sin2 sin3
. , , .
2 3
( ) cos
b c
F x a x x x
Tìm a b c
f x x


= + + +


=


b)
2
2
( ) ( ) 2 3
. , , .
20 30 7

( )
2 3
F x ax bx c x
Tìm a b c
x x
f x
x

= + + −

− +

=

−


Bài 6. Tính các nguyên hàm sau:
1)
(
)
5
1
2
I x x dx
= +
∫
2)
3
5

2
7
1
3
I x dx
x
 
= −
 
 
∫
3)
(
)
5
2 3 3
3
4 2
I x x x dx
= − +
∫

4)
3
4
2
5
1 2
4
x

I x dx
x
x
 
= − +
 
 
 
∫
5)
5
1
x+ dx
x
I
 
=
 
 
∫
6)
4
6
2
2 3
x
I dx
x
+
=

∫

Bài 7. Tính các nguyên hàm sau:
7)
(
)
2
7
1x
I dx
x
−
=
∫
8)
(
)
2
3
8
2 1
I x dx
= −
∫
9)
(
)
2
2
9

2
4
x
I dx
x
+
=
∫

10)
4 3 2
10
2
3 2 1
x x x
I dx
x
+ − +
=
∫
11)
2
11
x x x x
I dx
x
− −
=
∫
12)

12
3
1 1
I dx
x x
 
= −
 
 
∫

Bài 8. Tính các nguyên hàm sau:
13)
3
13
1
I x dx
x
 
= −
 
 
∫
14)
2
14
3
1
I x dx
x

 
= +
 
 
∫
15)
(
)
2
3
15
2 3
x x
I dx
x
−
=
∫

16)
(
)
(
)
4
16
2
I x x x x dx
= − −
∫

17)
17
5
1
(2 3)
I dx
x
=
−
∫
18)
18
4
1
( 3)
x
I dx
x
+
=
−
∫

Bài 9. Tính các nguyên hàm sau:
19)
19
π
sin
2 7
x

I dx
 
= +
 
 
∫
20)
20
sin2 sin
3
x
I x dx
 
= +
 
 
∫
21)
21
sin
2
x
I x dx
 
= +
 
 
∫

22)

22
π 1
sin 3 sin
4 2
x
I x dx
 
+
 
= + −
 
 
 
 
∫
23)
2
23
cos
2
x
I dx
=
∫
24)
2
24
sin
2
x

I dx
=
∫

Bài 10. Tính các nguyên hàm sau:
26)
26
2
cos 4
dx
I
x
=
∫
27)
( )
27
2
cos 2 1
dx
I
x
=
−
∫
28)
(
)
2
28

tan 2
I x x dx
= +
∫

29)
4
29
tan
I x dx
=
∫
30)
2
30
cot
I xdx
=
∫
31)
( )
31
2
sin 2 3
dx
I
x
=
+
∫

Bài 11. Tính các nguyên hàm sau:
32)
32
1 cos6
dx
I
x
=
−
∫
33)
2 2
33
2
1
cot dx
I x x
x
 
= + +
 
 
∫
34)
2
34
1
dx
3 2

I x
x
 
= +
 
+
 
∫

35)
2
35
1
sin
2 5
I x dx
x
 
= −
 
−
 
∫
36)
36
2
dx
3
x
I

x
+
=
−
∫
37)
37
2 1
4 3
x
I dx
x
−
=
+
∫

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95
Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Bài 12. Tính các nguyên hàm sau:
38)
38
6 5
x
I dx
x
=
−
∫
39)

2
39
11
3
x x
I dx
x
+ +
=
+
∫
40)
2
40
2 5
1
x x
I dx
x
− +
=
−
∫

41)
3 2
41
3 2 1
2
x x x

I dx
x
+ + +
=
+
∫

42)
3 2
42
4 4 1
2 1
x x
I dx
x
+ −
=
+
∫
43)
2
43
4 6 1
2 1
x x
I dx
x
+ +
=
+

∫

Bài 13. Tính các nguyên hàm sau:
44)

2x 3
44
I e dx
− +
=
∫

45)

3 1
45
cos(1 )
x
I x e dx
−
 
= − +
 
∫

46)

2
1
46

.
x
I x e dx
− +
=
∫

47)
47
2
2
sin (3 1)
x
I e dx
x
−
 
= +
 
+
 
∫
48)
48
2
2
cos
x
x
e

I e dx
x
−
 
= +
 
 
∫
49)
(
)
1 2 4 3
49
2
x x
I e dx
− +
= −
∫

Bài 14.
Tính các nguyên hàm sau:
50)
50
1
2
x
I dx
=
∫

51)
51
2
7
x
x
I dx
=
∫
52)
2 1
52
3
x
I dx
+
=
∫




Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95
Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn




CÁC BIỂU THỨC VI PHÂN QUAN TRỌNG

1.
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1
2 2 2
xdx d x d x a d a x
= = ± = − − 6.
( ) ( ) ( )
2
cot cot cot
sin
dx
d x d x a d a x
x
= − = − ± = −
2.
( ) ( ) ( )
2 3 3 3
1 1 1
3 3 3
x dx d x d x a d a x
= = ± = − −
7.
( ) ( ) ( )
2
dx
d x d x a d a x
x
= = ± = − −

3.
sin (cos ) (cos ) ( cos )
xdx d x d x a d a x
= − = − ± = −

8.
(
)
(
)
(
)
x x x x
e dx d e d e a d a e
= = ± = − −

4.
cos (sin ) (sin ) ( sin )
xdx d x d x a d a x
= = ± = − −

9.
( ) ( ) ( )
ln ln ln
dx
d x d x a d a x
x
= = ± = − −

5.

( ) ( ) ( )
2
tan tan tan
cos
dx
d x d x a d a x
x
= = ± = − −
10.
( ) ( )
1 1
dx d ax b d b ax
a a
= + = − −

Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)

1
2
1
x
I dx
x
=
+
∫


b)

2 10
2
(1 )
I x x dx
= +
∫

c)
2
3
3
1
x dx
I
x
=
+
∫

Lời giải:
a)
S
ử
d
ụ
ng các công th
ứ
c vi phân
( ) ( )

( )
2
2 2
1 1
2 2 2
ln
x
xdx d d x d x a
du
d u
u

 
= = = ±

 

 


=



Ta có
(
)
(
)
( )

2 2
(ln ) ln
2
1 1
2 2 2
1
1 1 1
ln 1 .
2 2 2
1 1 1
du
d u u C
u
d x d x
x
I dx I x C
x x x
= = +
+
= = = ←→ = + +
+ + +
∫ ∫
∫ ∫ ∫

b)
S
ử
d
ụ
ng các công th

ứ
c vi phân
( ) ( )
2
2 2
1
1 1
2 2 2
1
n
n
x
xdx d d x d x a
u
u du d
n
+

 
= = = ±

 
  

 

=
 

+

 


Ta có
( ) ( ) ( )
(
)
11
2
10 10
2 2 2
2
1
1
1 1 1 .
2 22
x
I x x dx x d x C
+
= + = + + = +
∫ ∫

c)
S
ử
d
ụ
ng các công th
ứ
c vi phân

( )
( )
3
2 3
1
3 3
2
x
x dx d d x a
du
d u
u

 
= = ±

 

 


=



Ta có
(
)
(
)

3 3
2 3
3
3 3 3
1 1
1 2 2 1
.
3 3 3
1 1 2 1
d x d x
x dx x
I C
x x x
+ +
+
= = = = +
+ + +
∫ ∫ ∫

Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
2
4
1
I x x dx
= −
∫
b)
5
2 1

dx
I
x
=
−
∫
c)
6
5 2
I x dx
= −
∫

Tài liệu bài giảng:

02. PP VI PHÂN TÌM NGUYÊN HÀM
Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95
Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Lời giải:
a) Sử dụng các công thức vi phân
( ) ( )
2
2 2
1
1 1
2 2 2
1
n
n

x
xdx d d x d a x
u
u du d
n
+

 
= = = − −

 
  

 

=
 

+
 


Ta có

( ) ( ) ( ) ( )
( )
3
2
1 1
2 2 2 2 2

2 2
4
1
1 1
1 1 1 1 .
2 2 3
x
I x x dx x d x x d x C
−
= − = − = − − − = − +
∫ ∫ ∫

b)
S
ử
d
ụ
ng các công th
ứ
c vi phân
( ) ( )
( )
1 1
ax ax
2
dx d b d b
a a
du
d u
u


= + = − −




=



Ta có
(
)
(
)
( )
2
5 5
2 1 2 1
1
2 1 .
2
2 1 2 1 2 2 1
du
d u
u
d x d x
dx
I I x C
x x x

=
− −
= = = ←→ = − +
− − −
∫ ∫ ∫

c) Sử dụng các công thức vi phân
( ) ( )
1
1 1
ax ax
1
n
n
dx d b d b
a a
u
u du d
n
+

= + = − −



 

=
 


+
 


( ) ( ) ( )
( )
( )
3
3
1
2
2
6
5 2
2 5 2
1 1 1
5 2 5 2 2 5 2 5 2 . .
2 2 2 3 3
x
x
I x dx x d x x d x C C
−
−
⇒ = − = − = − − − = − + = − +
∫ ∫ ∫

Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
3
7

5
4
2
5
x
I dx
x
=
−
∫
b)
8
5
(3 2 )
dx
I
x
=
−
∫
c)
3
9
ln
x
I dx
x
=
∫

Lời giải:
a) Sử dụng các công thức vi phân
( ) ( )
4
3 4 4
1
1 1
4 4 4
1
n
n
x
x dx d d x a d a x
du u
d
n
u
− +

 
= = ± = − −

 
  

 

=
 


− +
 


( ) ( )
( )
( )
4
4
4
4
4
5
5
1
3
4 4
5
7
5 5
4 4
5 5
5 5
4
2 1 1
2 5 5 . .
2 2 4 8
5 5
x
d

x
x
x
I dx x d x C C
x x
−
 
 
−
−
 
⇒ = = = − − = + = +
− −
∫ ∫ ∫

b)
Ta có

( ) ( )
( )
6
5
8
5
3 2
1
3 2 3 2 .
(3 2 ) 2 12
x
dx

I x d x C
x
−
= = − − − = − +
−
∫ ∫

c)
S
ử
d
ụ
ng công th
ứ
c vi phân
( )
ln
dx
d x
x
= ta được
( )
3 4
3
9
ln ln
ln ln .
4
x x
I dx xd x C

x
= = = +
∫ ∫

Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
( )
10
2010
3
4 2
dx
I
x
=
−
∫
b)
11
cos
x
I dx
x
=
∫
c)
12
cos sin
I x xdx
=

∫

Lời giải:
a)
Ta có

( )
( ) ( )
( )
( )
2009
2010
10
2010 2009
4 2
3 3 3 3
4 2 4 2 .
2 2 2009
4 2 4018 4 2
x
dx
I x d x C C
x x
−
−
−
= = − − − = − + = +
−
− −
∫ ∫

b)
S
ử
d
ụ
ng các công th
ứ
c vi phân
(
)
( )
cos sin
2
udu d u
dx
d x
x
 =


=



Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95
Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Ta có
( )
11

cos cos
2 2 os 2sin .
2
x x
I dx dx c x d x x C
x x
= = = = +
∫ ∫ ∫

c)
S
ử
d
ụ
ng các công th
ứ
c vi phân
(
)
( )
cos sin
sin x cos
udu d u
dx d x

=


= −




Ta có
( ) ( )
( )
3
3
1
2
2
12
2 cos
2 cos
cos sin cos cos .
3 3
x
x
I x xdx x d x C
= = − = − = − +
∫ ∫

Ví dụ 5. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
3
13
sin cos
I x xdx
=
∫
b)

14
5
sin
cos
x
I dx
x
=
∫
c)
4
15
sin cos
I x xdx
=
∫

Lời giải:
a) Sử dụng các công thức vi phân
(
)
( )
sin cos
cos sin
udu d u
xdx d x

= −



=



Ta có
( ) ( )
( )
1 4
3 3
4
3
3
4
1
3
4
3
3
3 13
3 sinx
3 sin
sin cos sinx sin
4 4
u du d u
x
I x xdx d x I C C
 
 
=
 

 
= = ←→ = + = +
∫ ∫

b)
Ta có

( )
4
14
5 5 4
cos
sin (cos ) 1
.
cos cos 4 4cos
x
x d x
I dx C C
x x x
−
= = − = − + = +
−
∫ ∫

c)
S
ử
d
ụ
ng các công th

ứ
c vi phân
(
)
1
cos sin
1
n
n
xdx d x
u
u du d
n
+
 =

 

=
 

+
 


Khi
đ
ó ta
đượ
c

( )
5
4
5
5
4 4
15 15
sin
sin cos sin sin .
5
u
u du d
x
I x xdx xd x I C
 
=
 
 
 
= = ←→ = +
∫ ∫

Ví dụ 6. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
16
tanx
I dx
=
∫
b)

17
sin 4 cos4
I x xdx
=
∫
c)
18
sin
1 3cos
xdx
I
x
=
+
∫

Lời giải:
a)
S
ử
d
ụ
ng các công th
ứ
c
sin x (cos )
ln
dx d x
du
u C

u
= −



= +


∫

Ta có
(
)
16
cos
sin
tan ln cos .
cos cos
d x
xdx
I xdx x C
x x
= = = − = − +
∫ ∫ ∫

b)
Ta có
( ) ( )
17
1 1

sin 4 cos4 sin 4 cos4 4 sin4 sin4
4 4
I x xdx x xd x x d x
= = =
∫ ∫ ∫

( )
3
3
2
2 sin 4
1 sin 4
. .
4 3 6
x
x
C C
= + = +

c)
Ta có

(
)
(
)
18
cos 3cos 1
sin 1 1
ln 1 3cos .

1 3cos 1 3cos 3 1 3cos 3
d x d x
xdx
I x C
x x x
+
= = − = − = − + +
+ + +
∫ ∫ ∫

Ví dụ 7. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
( )
19
2
2cos
2 5sin
xdx
I
x
=
−
∫
b)
20
cos
4sin x 3
xdx
I =
−

∫
c)
(
)
21
tan .ln cos
I x x dx
=
∫

Lời giải:
a) Sử dụng công thức vi phân
2
cos (sin x)
1
xdx d
du
d
u
u
=



 
= −
 

 


( )
(
)
( )
(
)
( )
( )
19
2 2 2
2 sin 2 5sin
2cos 2 2
.
5 5 2 5sin
2 5sin 2 5sin 2 5sin
d x d x
xdx
I C
x
x x x
−
⇒
= = = − = +
−
− − −
∫ ∫ ∫

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95
Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn

b) Sử dụng công thức vi phân
( )
cos (sin x)
2
xdx d
du
d u
u
=



=



Ta
đượ
c
(
)
(
)
(
)
20
sin 4sin 4sin 3
cos 1 1 1
4sin x 3 .
4 2 2

4sin x 3 4sinx 3 4sin x 3 2 4sin x 3
d x d x d x
xdx
I C
−
= = = = = − +
− − − −
∫ ∫ ∫ ∫


c)
S
ử
d
ụ
ng các công th
ứ
c nguyên hàm c
ơ
b
ả
n
(
)
2
cos
sin
tan ln cos
cos cos
2

d x
xdx
xdx x C
x x
u
udu C

= = − = − +




= +


∫ ∫ ∫
∫

Ta có
( ) ( ) ( )
(
)
( )
( )
21
cos
sin
tan .ln cos ln cos ln cos ln cos ln cos
cos cos
d x

x
I x x dx x dx x x d x
x x
= = = − = − =
∫ ∫ ∫ ∫

2 2
21
ln (cos ) ln (cos )
.
2 2
x x
C I C
= − + → = − +

Ví dụ 8. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
22
2
tan
cos
x
I dx
x
=
∫
b)
3
23
4

tan
cos
x
I dx
x
=
∫
c)
24
2
tan2 1
cos 2
x
I dx
x
+
=
∫

Lời giải:
a) Sử dụng các công thức
( )
2
2
tan
cos
2
dx
d x
x

u
u du C

=




= +


∫

Ta có
( )
2 2
22 22
2 2
tan tan tan
tan . tan tan .
2 2
cos cos
x dx x x
I dx x xd x C I C
x x
= = = = + → = +
∫ ∫ ∫

b)
S

ử
d
ụ
ng các công th
ứ
c
( )
2
2
2
tan
cos
1
1 tan
cos
dx
d x
x
x
x

=




= +



Ta có
( ) ( )
3
3 3 2 5 3
23
4 2 2
tan 1
tan . . tan . 1 tan (tan ) tan tan (tan )
cos cos cos
x dx
I dx x x x d x x x d x
x x x
= = = + = +
∫ ∫ ∫ ∫

6 4 6 4
23
tan tan tan tan
.
6 4 6 4
x x x x
C I C
= + + → = + +

c)
S
ử
d
ụ
ng các công th

ứ
c
( )
2 2
2
1 ( ) 1
tan( )
cos cos
2
dx d ax
d ax
ax a ax a
u
udu C

= =




= +


∫

Ta có
24
2 2 2 2 2
tan2 1 tan2 1 tan2 (2 ) 1 (2 )
2 2

cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 cos 2
x xdx dx xd x d x
I dx
x x x x x
+
= = + = +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

2 2
24
1 1 tan 2 tan2 tan 2 tan 2
tan2 (tan2 ) (tan2 ) .
2 2 4 2 4 2
x x x x
xd x d x C I C
= + = + + → = + +
∫ ∫

Ví dụ 9. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
25
2
cot
sin
x
I dx
x
=
∫
b)

26
3
tan
cos
x
I dx
x
=
∫
c)
27
cot
π
cos
2
x
I dx
x
=
 
+
 
 
∫

Lời giải:
a) Sử dụng các công thức
( )
2
2

cot
sin
2
dx
d x
x
u
udu C

= −




= +


∫

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95
Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Ta có
( )
2 2
25 25
2 2
cot cot cot
cot . cot cot .
2 2
sin sin

x dx x x
I dx x xd x C I C
x x
= = = − = − + → = − +
∫ ∫ ∫

b) Sử dụng các công thức
(
)
1
sin x cos
1
n
n
dx d x
du u
C
u n
− +
 = −


= +

− +

∫

Ta có
( ) ( )

3
26 26
3 4 4 3 3
cos cos
tan sin 1 1
.
cos cos cos 3 3cos 3cos
d x x
x xdx
I dx C C I C
x x x x x
−
= = = − = − + = + → = +
−
∫ ∫ ∫

c)
S
ử
d
ụ
ng các công th
ứ
c
( )
2
cos sin
π
cos sin
2

1
xdx d x
x x
du
C
u u


=


 
+ = −

 
 


= − +


∫

Ta có
( )
27 27
2 2
cot cos cos (sin ) 1 1
.
π

sin . sin sin sin sin sin
cos
2
x x xdx d x
I dx dx C I C
x x x x x x
x
= = = − = − = + → = +
−
 
+
 
 
∫ ∫ ∫ ∫

Ví dụ 10. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
28
3
x
e
I dx
x
=
∫
b)
tan 2
29
2
cos

x
e dx
I
x
+
=
∫
c)
2
1
30
.
x
I xe dx
−
=
∫

d)
cos
31
sin
x
I e xdx
=
∫
e)
2ln 3
32
x

e
I dx
x
+
=
∫

Lời giải:
a) Sử dụng các công thức
( )
2
u u
dx
d x
x
e du e C

=



= +

∫

Ta có
( )
28 28
3
3.2 6 6 6 .

2
x
x x x x
e dx
I dx e e d x e C I e C
x x
= = = = + → = +
∫ ∫ ∫

b)
S
ử
d
ụ
ng các công th
ứ
c
( ) ( )
2
tan tan
cos
u u
dx
d x d x k
x
e du e C

= = ±




= +

∫

Ta có
( )
tan 2
tan 2 tan 2 tan 2 tan 2
29 29
2 2
tan 2 .
cos cos
x
x x x x
e dx dx
I e e d x e C I e C
x x
+
+ + + +
= = = + = + → = +
∫ ∫ ∫

c)
S
ử
d
ụ
ng các công th
ứ

c
( ) ( )
2 2
1 1
1
2 2
u u
xdx d x d x
e du e C

= = − −



= +

∫

Ta có
( )
2 2 2 2 2
1 1 1 2 1 1
30 30
1 1 1
. 1 .
2 2 2
x x x x x
I x e dx e xdx e d x e C I e C
− − − − −
= = = − − = − + → = − +

∫ ∫ ∫

d) Sử dụng các công thức
(
)
sin cos
u u
xdx d x
e du e C

= −


= +


∫

Ta có
(
)
cos cos cos cos
31 31
sin cos .
x x x x
I e xdx e d x e C I e C
= = − = − + → = − +
∫ ∫

e) Sử dụng các công thức

( ) ( )
ln ln
u u
dx
d x d x k
x
e du e C

= = ±



= +

∫

Ta có
( ) ( )
2ln 3
2ln 3 2ln 3 2ln 3 2ln 3
32
1 1
ln 2ln 3 .
2 2
x
x x x x
e dx
I dx e e d x e d x e C
x x
+

+ + + +
= = = = + = +
∫ ∫ ∫ ∫

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95
Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Vậy
2ln 3
2ln 3
32
1
.
2
x
x
e
I dx e C
x
+
+
= = +
∫


LUYỆN TẬP TỔNG HỢP
1. Vi phân nhóm hàm đa thức, hàm căn
•
3 4
1
(4 5 )

I x x dx
= − =
∫

•
3
2 3
2
2 1 3 )
I x x dx
= + =
∫

•
3
24
3 2
xdx
I
x
= =
−
∫

•
5
4
6
1 5
x

I dx
x
= =
−
∫

•
3
5
4
3
2 3
x
I dx
x
= =
+
∫

•
( )
6
2
2
2 3
xdx
I
x
= =
−

∫

•
2
7
cos(3 4 )
I x x dx
= − =
∫

•
3 4
8
sin(1 5 )
I x x dx
= + =
∫

•
2
4 5
9
x
I xe dx
− +
= =
∫

•
4

10
2
x
e dx
I
x
= =
∫

•
3
11
2
x
e dx
I
x
= =
∫

•
12
3
dx
I
x x
= =
+
∫

2. Vi phân nhóm hàm lượng giác

•
3
1
sin .cos
I x xdx
= =
∫

•
5
2
cos .sin
I x xdx
= =
∫

•
3
sin . 3cos 2
I x x dx
= + =
∫

•
4
4
cos . 5 2sin
I x xdx

= − =
∫

•
5
sin
2 5cos
xdx
I
x
= =
+
∫

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95
Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
•
6
sin
1 3cos
xdx
I
x
= =
−
∫

•
( )
7

2
cos
1 2sin
xdx
I
x
= =
−
∫

•
8
sin 2
7 2cos2
xdx
I
x
= =
−
∫

•
9
sin3
1 2cos3
xdx
I
x
= =
+

∫

•
10
2
tan
3cos
xdx
I
x
= =
∫

•
11
4
tan
cos
xdx
I
x
= =
∫

•
3cos 2
12
sin .
x
I x e dx

−
= =
∫

•
2 5sin 2
13
cos2 .
x
I x e dx
−
= =
∫

•
2cot 1
14
2
sin
x
e
I dx
x
−
= =
∫

•
15
2

sin 4cot 3
dx
I
x x
= =
−
∫

3. Vi phân nhóm hàm mũ, loga

•
1
2 1
x
x
e
I dx
e
= =
−
∫

•
3
2
3
1 5
x
x
e

I dx
e
= =
−
∫

•
( )
2
3
2
2
1 3
x
x
e
I dx
e
−
−
= =
−
∫

•
3
4
ln x
I dx
x

= =
∫

•
5
1 5ln
dx
I
x x
= =
−
∫

•
( )
6
2
2 3ln
dx
I
x x
= =
+
∫

•
7
2
ln
1 4ln

xdx
I
x x
= =
−
∫

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95
Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
1)
1
2
1
x
I dx
x
=
+
∫
2)
2 10
2
(1 )
I x x dx
= +
∫
3)
3
cos

x
I dx
x
=
∫

4)
4
cos sin
I x xdx
=
∫
5)
5
3
sin
cos
x
I dx
x
=
∫
6)
3
6
sin cos
I x xdx
=
∫

7)
7
2
5
x
I dx
x
=
+
∫
4)
8
2 1
dx
I
x
=
−
∫
3)
9
5 2
I xdx
= −
∫

10)
3
10
ln

x
I dx
x
=
∫
11)
2
1
11
.
x
I xe dx
+
=
∫
12)
4
12
sin cos
I x xdx
=
∫

13)
13
5
sin
cos
x
I dx

x
=
∫
14)
14
cot
I xdx
=
∫
15)
15
2
tan
cos
x
I dx
x
=
∫

16)
tan
16
2
cos
x
e
I dx
x
=

∫
17)
17
x
e
I dx
x
=
∫
18)
2
18
1
I x x dx
= +
∫

19)
19
5
(3 2 )
dx
I
x
=
−
∫
20)
2 3
20

5
I x x dx
= +
∫
21)
2
21
3
1
x dx
I
x
=
+
∫

22)
2
22
1
I x x dx
= −
∫
23)
23
cos 1 4sin
I x x dx
= +
∫
24)

2
24
1
I x x dx
= +
∫

25)
cos
25
sin
x
I e xdx
=
∫
26)
2
2
26
.
x
I x e dx
+
=
∫
27)
27
sin
1 3cos
xdx

I
x
=
+
∫

28)
2
1
28
.
x
I x e dx
−
=
∫
29)
(
)
sinx
29
cos cos
I e x xdx
= +
∫
30)
2ln 1
30
x
e

I dx
x
+
=
∫


Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95
Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn



Dạng 1. Đổi biến số cho các hàm vô tỉ
Phương pháp giải:
Nếu hàm f(x) có chứa
( )
n
g x
thì
đặ
t
1
( ) ( ) . '( )
n n
n
t g x t g x n t g x dx
−
= ⇔ = → =
Khi
đ

ó,
( ) ( )
I f x dx h t dt
= =
∫ ∫
, vi
ệ
c tính nguyên hàm
( )
h t dt
∫

đơ
n gi
ả
n h
ơ
n so v
ớ
i vi
ệ
c tính
( ) .
f x dx
∫


M
Ộ
T S

Ố
VÍ D
Ụ
M
Ẫ
U:
Ví dụ 1.
Tìm nguyên hàm c
ủ
a các hàm s
ố
sau:
a)

1
4 1
xdx
I
x
=
+
∫


b)

3 2
2
2
I x x dx

= +
∫


c)

2
3
1
x dx
I
x
=
−
∫

Lời giải:
a)

Đặ
t
2
2 2
2
1
1
2 4
.
1
4 2

4 1 4 1 ( 1)
1
8
4 1
4
t tdt
tdt dx
xdx
t x t x I t dt
t
t
x
x
−
=


= + ⇔ = + → → = = = −

−
+
=


∫ ∫ ∫

3
3
(4 1)
1 1

4 1 .
8 3 8 3
x
t
t C x C
 
+ 
 
= − + = − + +
 
 
 
 

b) Đặ
t
2 2 2 2 2 3 2 2
2 2 2 2 2 . ( 2).
t x t x x t xdx tdt x dx x xdx t tdt
= + ⇔ = + → = − ⇔ = → = = −

Khi
đ
ó

( ) ( )
( ) ( )
5 3
2 2
5 3

2 3 2 4 2
2
2 2 2
2. . 2 2 2.
5 3 5 3
x x
t t
I x x dx t t tdt t t dt C C
+ +
= + = − = − = − + = − +
∫ ∫ ∫

c) Đặ
t
( )
(
)
2
2
2
2 2
2
3
2 2
2
1 .
1 1 1 2
1 1
dx tdt
t tdt

x dx
t x t x x t I
t
x t x
= −

−

= − ⇔ = − ⇔ = − → → = = −

= − −


∫ ∫

( ) ( )
5 3
5 3
2
2 4 2
(1 ) 2 (1 )
2
2 1 2 2 1 2 2 1
5 3 5 3
x x
t t
t dt t t dt t C x C
 
 
− −

 
= − − = − − + = − − + + = − − + − +
 
 
 
 
∫ ∫

Khi
đ
ó

( ) ( )
( ) ( )
5 3
2 2
5 3
2 3 2 4 2
2
2 2 2
2. . 2 2 2. .
5 3 5 3
x x
t t
I x x dx t t tdt t t dt C C
+ +
= + = − = − = − + = − +
∫ ∫ ∫

Ví dụ 2.

Tìm nguyên hàm c
ủ
a các hàm s
ố
sau:
a)

4
ln
1 ln
xdx
I
x x
=
+
∫


b)

2
5
3
ln
2 ln
xdx
I
x x
=
−

∫


c)

6
ln 3 2ln
x x dx
I
x
+
=
∫

Lời giải:
a) Đặt
( )
2
2
2
4
ln 1
1 .2
ln
1 ln 1 ln
1 ln
2
x t
t tdt
x dx

t x t x I
dx
x t
x
tdt
x

= −
−

= + ⇔ = + → → = =

+
=


∫ ∫

( )
3 3
3
2
4
(1 ln ) 2 (1 ln )
2 1 2 2 1 ln 2 1 ln .
3 3 3
x x
t
t dt t C x C I x C
 

+ +
 
 
= − = − + = − + + → = − + +
 
 
 
 
∫

b) Đặ
t
3
2 3 2 2
3
3
5
2
3
ln 2
ln (2 ) .3
2 ln 2 ln .
2 ln
3
x t
x dx t t dt
t x t x I
dx
x t
x

t dt
x

= −
−

= − ⇔ = − → → = =

−
=


∫ ∫

Tài liệu bài giảng:

03. PP ĐỔI BIẾN SỐ TÌM NGUYÊN HÀM – P1

Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95
Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
( )
8 5
8 5
3 3
7 4 2 2
3
(2 ln ) 4 (2 ln )
4
3 4 4 3 2 3 2 (2 ln )

8 5 8 5
x x
t t
t t t dt t C x C
 
− − 
 
= − + = − + + = − + − +
 
 
 
 
∫

c) Đặt
2
2
3
ln
2
3 2ln 3 2ln
2
2
t
x
t x t x
dx
tdt
x


−
=


= + ⇔ = + →


=



T
ừ

đ
ó ta có
( )
2
4 2
6
ln 3 2ln 3 1
ln 3 2ln . . . 3
2 2
x x dx dx t
I x x t tdt t t dt
x x
 
+ −
= = + = = −
 

 
∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )
5 3 5 3
5 5 3
3
6
3 2ln 3 2ln 3 2ln 3 2ln
1
.
2 5 10 2 10 2 10 2
x x x x
t t t
t C C C I C
+ + + +
 
= − + = − + = − + → = − +
 
 

Ví dụ 3.
Tìm nguyên hàm c
ủ
a các hàm s
ố
sau:
a)

7

1
x
dx
I
e
=
−
∫
b)
( )
2
8
3
1
x
x
e dx
I
e
=
+
∫
c)
9
2
4
dx
I
x x
=

+
∫
d)
10
4
1
dx
I
x x
=
+
∫

Lời giải:
a) Đặt
2
2
2
2
1
1
1 1
2
2
1
x
x
x x
x
e t

e t
t e t e
tdt
dx
e dx tdt
t

= −

= −
 
= − ⇔ = − → ←→
 
=
=



−


Khi đó
7
2 2
2 2 2 ( 1) ( 1)
( 1)( 1) ( 1)( 1) 1 1
.( 1) 1
1
x
dx tdt dt dt t t dt dt

I dt
t t t t t t
t t t
e
+ − −
= = = = = = −
− + − + − +
− −
−
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

7
1 1 1 1 1
ln 1 ln 1 ln ln ln .
1
1 1 1 1
x x
x x
t e e
t t C C C I C
t
e e
− − − − −
= − − + + = + = + → = +
+
− + − +

b) Đặt
( ) ( )
(

)
2
2
2
2
8
3
3 3
1 .2
1
.
1 1
2
1 1
x
x x x
x x
x
x x
t tdt
e t
e dx e e dx
t e t e I
t
e dx tdt
e e
−

= −


= + ⇔ = + → → = = =

=


+ +
∫ ∫ ∫

(
)
2
2
3 2 2
1 .2
1 1 1
2 2 2 2 1 .
1
x
x
t tdt
t dt
dt dt t C e C
t
t t t
e
−
 
−
   
= = = − = + + = + + +

 
   
 
   
+
 
∫ ∫ ∫ ∫

c) Đặ
t
2 2
2 2
2 2 2
2 2
4
4
4 4
2 2
4
x t
x t
t x t x
dx xdx tdt
xdx tdt
x
x t

= −

= −

 
= + ⇔ = + → ←→
 
=
= =



−


Khi
đ
ó,
9
2 2
2 2
1 1 1 ( 2) ( 2) 1
.
4 ( 2)( 2) 4 2 2
4 4
4 4
dx dx tdt dt t t dt dt
I dt
x t t t t t
t t
x x x
+ − −
 
= = = = = = −

 
+ − − +
− −
 
+ +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )
2 2
9
2 2
1 1 2 1 4 2 1 4 2
ln 2 ln 2 ln ln ln .
4 4 2 4 4
4 2 4 2
t x x
t t C C C I C
t
x x
− + − + −
= − − + + = + = + → = +
+
+ + + +

d)

Đặ
t
4 2
4 2

4 2 4
3
3
4 2
1
1
1 1
4 2
2( 1)
x t
x t
t x t x
dx x dx tdt
x dx tdt
x
x t

= −

= −


= + ⇔ = + → ←→
 
= =
=



−



Khi
đ
ó,
10
2 2
4 4
1 1 1 1 ( 1) ( 1)
. .
2 4 ( 1)( 1)
2( 1) 1
1 1
dx dx tdt dt t t
I dt
x t t t
t t
x x x
+ − −
= = = = =
+ −
− −
+ +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )
4
4
1 1 1 1 1 1 1
ln 1 ln 1 ln ln .

4 1 1 4 4 1 4
1 1
dt dt t x
t t C C C
t t t
x
− + −
 
= − = − − + + = + = +
 
− + +
 
+ +
∫ ∫

Ví dụ 4.
Tìm nguyên hàm c
ủ
a các hàm s
ố
sau:
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95
Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
a)
11
1 2 5
dx
I
x
=

+ −
∫


b)

12
2
1 2
xdx
I
x
=
− +
∫


c)

3
13
3
2
4
x dx
I
x
=
+
∫

d)
2
14
1 4ln ln
x x
I dx
x
+
=
∫

Lời giải:

a)

Đặ
t
2
2
2 5 2 5 2 5
5
tdt
t x t x tdt dx dx= − ⇔ = − ⇔ = − → = −
Khi đó,
( )
11
2 2 1 1 2 1 2
1 ln 1
5 1 5 1 5 1 5
1 2 5

dx t dt t
I dt dt t t C
t t t
x
+ −
 
= = − = − = − − = − − + +
 
+ + +
+ −
 
∫ ∫ ∫ ∫

(
)
11
2
2 5 ln 2 5 1 .
5
I x x C
→ = − − − − + +

b) Đặt
2 2 2
2 2 2 2
t x t x tdt xdx xdx tdt
= + ⇔ = + ⇔ = → =

Khi
đ

ó,
12
2
1 (1 ) 1 (1 )
1 ln 1
1 1 1 1
1 2
xdx t dt t d t
I dt dt dt t t C
t t t t
x
− − −
 
= = = = − = − − = − − − +
 
− − − −
 
− +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

2 2
12
ln 1 2 2 .
I x x C
→ = − − + − + +

c) Đặt
( )
2 3
2 3

3
2 3 2 3 3 2
2
2
4
4
3
4 4 4
3
2
3 2
2
x t
x t
t x t x x dx t t dt
t dt
t dt xdx
xdx

= −

= −
 
= + ⇔ = + → ←→ → = −
 
=
=






( )
( )
( ) ( )
5 2
2 2
3 2
3 3
3 5
4 2
13
3
2
3 4 3 4
4
3 3 3
4 2 .
2 2 2 5 10 4
4
x x
t t dt
x dx t
I t t dt t C C
t
x
+ +
−
 
→ = = = − = − + = − +

 
+
 
∫ ∫ ∫

d) Đặ
t
2 2 2
ln
1 4ln 1 4ln 2 4.2ln .
4
dx xdx tdt
t x t x tdt x
x x
= + ⇔ = + ←→ = → =

( )
3
2
3
2 2
14
1 4ln
ln 1
1 4ln . .
4 4 12 12
x
xdx tdt t
I x t t dt C C
x

+
→ = + = = = + = +
∫ ∫ ∫


BÀI TẬP LUYỆN TẬP
1)
1
4 3
1
x
I dx
x
−
=
+
∫
2)
2
2 1
xdx
I
x
=
+
∫

3)
3
1

x
I dx
x
+
=
∫
4)
4
1 1 3
dx
I
x
=
+ +
∫

5)
7
1 2 1
xdx
I
x
=
+ −
∫
6)
3 2
6
1
I x x dx

= −
∫

7)
3
7
4
I x x dx
= +
∫
8)
2
8
3 2
I x x dx
= −
∫

9)
3
9
3
2
1
x dx
I
x
=
+
∫

10)
10
3
1
dx
I
x x
=
+
∫

11)
11
3 2
4
dx
I
x x
=
+
∫
12)
12
1 3ln ln
x x
I dx
x
+
=
∫

13)
2
13
1 1
x
x
e dx
I
e
=
+ −
∫

14)
( )
14
2
1
dx
I
x x
=
+
∫

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
1




Dạng 2. PP lượng giác hóa
 Nếu hàm f(x) có chứa
2 2
a x
−
thì đặt
2 2 2 2 2
(asin ) cos
asin
sin cos
dx d t a tdt
x t
a x a a t a t
= =


= →

− = − =



 Nếu hàm

f
(
x
) có chứa
2 2
a x
+
thì đặt
2
2 2 2 2 2
( tan )
cos
tan
tan
cos

= =


= →


+ = + =


adt
dx d a t
t
x a t
a

a x a a t
t


M
Ộ
T S
Ố
VÍ D
Ụ
M
Ẫ
U:
Ví dụ 1.
Tìm nguyên hàm c
ủ
a các hàm s
ố
sau:
a)

( )
1
2
; 2
4
= =
−
∫
dx

I a
x


b)

( )
2
2
1 ; 1
= − =
∫
I x dx a
c)
( )
2
3
2
; 1
1
= =
−
∫
x dx
I a
x
d)
( )
2 2
4

9 ; 3
= − =
∫
I x x dx a
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a) Đặ
t
1
2 2
2
(2sin ) 2cos
2cos
2sin
2cos
4 4 4sin 2cos
4
dx d t t dt
dx tdt
x t I dt t C
t
x t t
x
= =



= → → = = = = +

− = − =
−


∫ ∫ ∫

T
ừ
phép
đặ
t
1
2sin arcsin arcsin
2 2
x x
x t t I C
   
= ⇔ = → = +
   
   

b) Đặ
t
2 2
(sin ) cos
sin
1 1 sin cos

dx d t t dt
x t
x t t
= =


= →

− = − =



Khi
đ
ó
2
2
1 cos2 1 1 1
1 cos .cos cos2 sin2
2 2 2 2 4
t t
I x dx t t dt dt dt tdt t C
+
= − = = = + = + +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Từ
2 2
2
cos 1 sin 1

sin sin2 2sin .cos 2 1
arcsin
t t x
x t t t t x x
t x


= − = −
= ⇒ → = = −

=



2
2
arcsin 1
1
2 2
x
I x x C
→ = + − +

c) Đặt
2 2
(sin ) cos
sin
1 1 sin cos
dx d t t dt
x t

x t t
= =


= →

− = − =



Khi đó,
2 2
2
3
2
sin .cos 1 os2 1 1
sin sin2
cos 2 2 4
1
x dx t tdt c t
I t dt dt t t C
t
x
−
= = = = = − +
−
∫ ∫ ∫ ∫

Từ
2 2

2
cos 1 sin 1
sin sin2 2sin .cos 2 1
arcsin
t t x
x t t t t x x
t x


= − = −
= ⇒ → = = −

=



2
3
arcsin 1
1
2 2
x
I x x C
→ = − − +

d) Đặt
2 2
(3sin ) 3cos
3sin
9 9 9sin 3cos

dx d t t dt
x t
x t t
= =


= →

− = − =



Khi
đó,
2 2 2 2 2 2
4
81 81 1 os4
9 9sin .3cos .3cos 81 sin .cos sin 2
4 4 2
c t
I x x dx t t t dt t t dt t dt dt
−
= − = = = =
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Tài liệu bài giảng:

03. PP ĐỔI BIẾN SỐ TÌM NGUYÊN HÀM – P2

Thầy Đặng Việt Hùng

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
2

81 1 1 81 1
os4 sin4
4 2 2 4 2 8
t
dt c tdt t C
   
= − = − +
 
 
   
∫ ∫

Từ
2
2
2
cos 1 sin 1
2
9
3sin sin2 1
3 9
arcsin
3
x
t t
x x

x t t
x
t

= − = −


= ⇒ → = −

 

=
 

 


M
ặt khác,
2
2 2 2
2
2 2 2
os2 1 2sin 1 2 1 sin 4 2sin 2 . os2 2. 1 . 1
3 9 3 9 9
x x x x x
c t t t t c t
 
 
= − = − = − → = = − −

 
 
 
 

T
ừ

đ
ó ta
đượ
c
2 2
4
arcsin
81 2
3
1 . 1 .
4 2 6 9 9
x
x x x
I C
 
 
 
 
 
 
 
= − − − +

 
 
 
 
 

Ví dụ 2.
Tìm nguyên hàm c
ủ
a các hàm s
ố
sau:
a)

( )
1
2
; 1
1
dx
I a
x
= =
+
∫


b)

2

2
2 5
I x x dx
= + +
∫


c)

( )
2
3
2
; 2
4
x dx
I a
x
= =
+
∫

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a) Đặ

t
2
2
2
1
2
2 2
(tan ) (1 tan )
(1 tan )
tan
cos
1 tan
1 1 tan
dt
dx d t t dt
t dt
x t I dt t C
t
t
x t

= = = +
+

= → → = = = +

+

+ = +


∫ ∫

T
ừ
gi
ả
thi
ế
t
đặ
t
1
tan arctan arctan .
x t t x I x C
= ⇔ = → = +

b)
Ta có

1
2 2 2
2
2 5 ( 1) 4 ( 1) 4
t x
I x x dx x d x I t dt
= +
= + + = + + + → = +
∫ ∫ ∫

Đặ
t
2
2
2
2
2 2
2
(2tan )
2 cos
cos
2tan
2
2
cos cos
.cos
4 4 4tan
cos
cos
du
dt d u
du du u du
u
t u I
u u
u
t u
u
u


= =


= → → = = =


+ = + =


∫ ∫ ∫

2
(sin ) 1 (1 sin ) (1 sin ) 1 (sin ) 1 (sin ) 1 1 sin
(sin ) ln .
1 sin 2 (1 sin )(1 sin ) 2 1 sin 2 1 sin 2 1 sin
d u u u d u d u u
d u C
u u u u u u
+ + − +
= = = + = +
− + − − + −
∫ ∫ ∫ ∫

T
ừ
phép
đặ
t
2 2
2 2

2 2 2
1 4
2tan tan 1 sin 1 os 1
2 os 4 4 4
t t t
t u u u c u
c u t t
= ⇔ = → = + → = − = − =
+ +

T
ừ

đ
ó ta
đượ
c
2 2
2
2 2
1
1 1
1 1 sin 1 1
4 2 5
ln ln ln .
1
2 1 sin 2 2
1 1
4 2 5
t x

u
t x x
I C C C
t x
u
t x x
+
+ +
+
+ + +
= + = + = +
+
−
− −
+ + +

c) Đặ
t
2
2
2 2
2
(2tan ) 2(1 tan )
os
2tan
4 4tan 4
dt
dx d t t dt
c t
x t

x t

= = = +

= →


+ = +


( )
2 2 2 2 2
2 2
3
2
3 4
2
2
4tan .2(1 tan ) sin sin .cos sin . (sin )
4 tan 1 tan 4 4 4
cos cos
2 1 tan
1 sin
t t dt t t t dt t d t
I t t dt dt
t t
t
t
+
→ = = + = = =

+
−
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Đặ
t
( )
2
2
2
3
2 2
2
1 (1 ) (1 )
sin 4 4 4
1 2 (1 )(1 )
1
u u u u
u t I du du du
u u u
u
 
+ − −
 
= → = = =
 
 
− + −
 
 

−
∫ ∫ ∫

2
2 2 2 2
1 1 2 (1 ) (1 ) (1 ) (1 )
1 1 (1 ) (1 ) (1 )(1 ) (1 ) (1 ) (1 )(1 )
du du du d u d u u u du
du
u u u u u u u u u u
− + − + +
 
= − = + − = − + −
 
− + − + − + − + − +
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

1 1 1 1 1 1 1 1
ln 1 ln 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
du du
du u u C
u u u u u u u u u u
 
− − − + = − − − − = − − − + + − +
 
− + + − − + + − − +
 
∫ ∫ ∫

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
3

3
1 1 1 1 1 1 1 1 sin 1
ln ln ln .
1 1 1 1 1 1 sin 1 sin 1 sin 1
u u t
C I C C
u u u u u u t t t
− − −
= − + + → = − + + = − + +
− + + − + + − + +

Từ giả thiết
2 2
2 2 2
2 2 2
1 4
2tan tan 1 tan 1 os sin
2 os 4 4 4
x x x
x t t t c t t
c t x x
= ⇔ = → = + = + ⇔ = → =
+ +

2
3
2
2 2 2
1
1 1
4
sin ln .
4
1 1 1
4 4 4
x
x
x
t I C
x x x
x
x x x
−
+
⇔ = → = − + +
+
− + +
+ + +

Ví dụ 3.
Tìm nguyên hàm c
ủ
a các hàm s
ố

sau:
a)

1
2
1
dx
I
x
=
−
∫


b)

2
2 2
4
dx
I
x x
=
−
∫


c)

3

2
2 2
dx
I
x x
=
− −
∫

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a) Đặ
t
2
2
1
2
2
2
2
2
1 cos
cos
sin sin
1 cos

sin
sin sin .cot
1
1
1 cot
1 1
sin
t dt
t dt
dx d
dx
t t
dx t dt
t
x I
t t t
x
x t
x
t
 −
 
−
= =

 

=
−
 

 
= → ←→ → = =
 
−
 
− =
− = −



∫ ∫

2 2
sin (cos ) (cos ) 1 (1 cos ) (1 cos ) 1 1 cos
(cos ) ln .
sin 1 cos (1 cos )(1 cos ) 2 (1 cos )(1 cos ) 2 1 cos
t dt d t d t t t t
d t C
t t t t t t t
− + + +
= − = = = = +
− − + − + −
∫ ∫ ∫ ∫

T
ừ
phép
đặ
t
2

2
2 2
1
2
2
1
1
1 1 1 1
os 1 sin 1 cos ln .
sin 2
1
1
x
x
x
x c t t t I C
t x x
x
x
−
+
−
= → = − = − ⇔ = → = +
−
−

b)

Đặ
t

2
2
2 2 2
2
2
2
2 2cos
2cos
sin sin
2
sin
8cot
sin
4
4 2cot 4
4 4
sin
sin
t dt
t dt
dx d
dx
t t
t
x
t
t
x t x x
x
t

t

−
 
−

= =
=
 


 
 
= → ←→
 
 
− =
⇒
− =
− = −





Khi
đ
ó,
2
2 2

2
2
2cos 1 1
sin cos .
8cot
4 4
4
sin .
sin
dx t dt
I t dt t C
t
x x
t
t
−
= = = − = +
−
∫ ∫ ∫

T
ừ

2 2
2 2
2
2
2 4 4 4
os 1 sin 1 cos .
sin 4

x x
x c t t t I C
t x x x
− −
= → = − = − ⇔ = → = +

c)

( )
1
3 3
2 2 2 2
2
( 1)
2 2 ( 1) 3 3
3
t x
dx d x dt dt
I I
x x x t
t
= −
−
= = → = =
− − − − −
−
∫ ∫ ∫ ∫

Đặ
t

2
2
2
2
2
3 3cos
3cos
sin sin
3
sin
sin
3
3 3cot
3 3
sin
udu
dt d
udu
dt
u u
t
u
u
t u
t
u

 
−


= =
 −
 
 
=


 
= → ←→
 
 
− =
− = −




3
2 2
2
2
3cos sin (cos ) (cos )
sin 1 cos (1 cos )(1 cos )
sin . 3cot
3
dt udu u du d u d u
I
u u u u
u u
t

−
→ = = = − = =
− − +
−
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

1 (1 cos ) (1 cos ) 1 1 cos
(cos ) ln .
2 (1 cos )(1 cos ) 2 1 cos
u u u
d u C
u u u
− + + +
= = +
− + −
∫

T
ừ
2 2
2
2
3
2
2 2
3 2 2
1 1
3 3 3 1 1
1
os 1 cos ln ln .

sin 2 2
3 2 2
1 1
1
t x x
t
t x
t c u t I C C
u t t
t x x
t x
− − −
+ +
−
−
=
⇒
= − ⇔ = → = + = +
− − −
− −
−

Chú ý: Tổng hợp các kết quả ta thu một số kết quả quan trọng sau:
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
4


2 2
1

arctan .
dx x
C
x a a a
 
= +
 
+
 
∫


2 2
1
ln .
2
dx x a
C
x a a x a
+
= +
− −
∫


2 2
1
ln .
2
dx x a

C
a x a x a
−
= +
− +
∫


2
2
ln .
dx
x x a C
x a
= + ± +
±
∫


BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
1)
2
1
2
4
x dx
I
x
=
+

∫
2)
2
2
2
1 x
I dx
x
−
=
∫
3)
2
3
2
4
x dx
I
x
=
−
∫

4)
4
2
1
3 2
I dx
x x

=
−
∫
5)
2
5
2 1
I x dx
= +
∫
6)
6
2
2 5
dx
I
x
=
−
∫


Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95
Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn



Xét nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ
( )
( )

P x
I dx
Q x
=
∫

Nguyên tắc giải:
Khi bậc của tử số P(x) lớn hơn Q(x) thì ta phải chia đa thức để quy về nguyên hàm có bậc của tử số nhỏ hơn mẫu số.
I. MẪU SỐ LÀ BẬC NHẤT
Khi đó Q(x) = ax + b.
 Nếu bậc của P(x) lớn hơn thì ta chia đa thức.
 Khi P(x) là hằng số (bậc bằng 0) thì ta có
( ) (ax )
ln ax .
( ) ax ax
P x k k d b k
I dx dx b C
Q x b a b a
+
= = = = + +
+ +
∫ ∫ ∫

Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
1
4
2 1
I dx
x

=
−
∫
b)
2
1
1
x
I dx
x
+
=
−
∫
c)
3
2 1
3 4
x
I dx
x
+
=
−
∫
d)
2
4
4
3

x x
I
x
+ +
=
+
∫

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a)
Ta có
1
4 4 (2 1)
2ln 2 1 .
2 1 2 2 1
d x
I dx x C
x x
−
= = = − +
− −
∫ ∫

b)

2
1 1 2 2
1 2 2ln 1 .
1 1 1 1
x x dx
I dx dx dx dx x x C
x x x x
+ − +
 
= = = + = + = + − +
 
− − − −
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

c)

( )
( )
( )
3
1 5
3 4
3 4
2 1 1 5 1 5 1 5
2 2
3 4 3 4 2 2 3 4 2 2 3 4 2 8 3 4
x
d x

x dx
I dx dx dx x x
x x x x x
− − +
 
−
+
= = = − + = − + = − −
 
 
− − − − −
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

3
1 5 1 5
ln 3 4 ln 3 4 .
2 8 2 8
x x C I x x C
= − − − + → = − − − +

d)
( )
(
)
2 2
4
3
4 10
2 2 10 2 10ln 3 .

3 3 3 2
d x
x x x
I x dx x dx x x C
x x x
+
+ +
 
= = − + = − + = − + + +
 
+ + +
 
∫ ∫ ∫ ∫

Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
3
5
7
2 5
x x
I dx
x
− +
=
+
∫
b)
3 2
6

3 3 2
1
x x x
I dx
x
+ + +
=
−
∫
c)
4 2
7
4 3 2
2 1
x x x
I dx
x
+ + +
=
+
∫

Hướng dẫn giải:
a) Chia tử số cho mẫu số ta được
3
2
49
7 1 5 21
8
2 5 2 4 8 2 5

x x
x x
x x
− +
= − + −
+ +

Khi đó
3
2 2
5
49
7 1 5 21 1 5 21 49
8
2 5 2 4 8 2 5 2 4 8 8 2 5
x x dx
I dx x x dx x x dx
x x x
 
 
− +
 
= = − + − = − + −
 
 
+ + +
 
 
 
∫ ∫ ∫ ∫

(
)
3 2 3 2
2 5
1 5 21 49 5 21 49
. . ln 2 5 .
2 3 4 2 8 16 2 5 6 8 8 16
d x
x x x x x
x x C
x
+
= − + − = − + − + +
+
∫

b)
Ta có
3 2
2 3 2
6
3 3 2 9
3 6 7 3 7 9ln 1 .
1 1
x x x
I dx x x dx x x x x C
x x
+ + +
 

= = + + + = + + + − +
 
− −
 
∫ ∫

c)
Chia t
ử
s
ố
cho m
ẫ
u s
ố
ta
đượ
c
4 2
3 2
5
4 3 2 1
2
2 2
2 1 2 2 1
x x x
x x x
x x
+ + +
= − + − +

+ +

Tài liệu bài giảng:

04. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỶ - P1
Thầy Đặng Việt Hùng