Tuyển tập đề thi HSG Quốc gia ĐHSP Hà Nội

Trờng đại học s phạm Hà Nội
Khối THPT chuyên
Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập Tự do - Hạnh phúc
Đề thi học sinh giỏi toán lớp 10
Năm học 2006-2007
Thời gian làm bài 150 phút
Câu 1. Cho các số thực dơng
a, b,c
thoả mãn
+ + =
4 4 4
a b c 3
. Chứng minh các bất đẳng
thức sau
+ + + +
+ + + +
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
a) a b c a b b c c a
a b c
b) a b c
b c a
Câu 2. Cho n là số nguyên dơng,
>
n 1
và n là ớc của
+
n n
3 2

. Chứng minh rằng n chia hết
cho 5
Câu 3. Cho các đa thức hệ số thực
= + + +
3 2
P(x) x ax bx c
và
= + +
2
Q(x) x x 2007
. Biết
rằng P(x) có ba nghiệm thực phân biệt và đa thức
P(Q(x))
vô nghiệm. Chứng minh rằng
>
1
P(2007)
64
Câu 4. Cho lục giác ABCDEF nội tiếp trong đờng tròn
( )
O,R
và
= =
AB CD EF
. Về phía
ngoài của lục giác ta dựng các tam giác
MAB, NBC, PCD,QDE,REF,SFA
đồng dạng và
cân tại
M, N, P,Q,R,S

a) Chứng minh rằng hai lục giác
ABCDEF
và
MNPQRS
có cùng trọng tâm
b) Gọi
1 2
O ,O
theo thứ tự là trọng tâm của các tam giác
MPR,NQS
. Chứng minh
rằng ba điểm
1 2
O,O ,O
thẳng hàng
Trờng đại học s phạm Hà Nội
Khối THPT chuyên
Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập Tự do - Hạnh phúc
Đề thi học sinh giỏi toán lớp 10
Năm học 2006-2007
Thời gian làm bài 150 phút
Câu 1. Cho các số dơng
x,y,z
thoả mãn
+ +
3
x y z
2
. Chứng minh rằng:

+ + + + + +
+ +
6 2 6 2 6 2
4 4 4
x 2x y 1 y 2y z 1 z 2z x 1 243
4
x y z
Câu 2. Cho tam giác ABC vuông tại A và B < C. Tiếp tuyến tại A của đờng tròn ngoại tiếp
tam giác ABC cắt đờng thẳng BC tại điểm D. Gọi E là điểm đối xứng với A qua đờng
thẳng BC. X là chân đờng cao hạ từ A xuống đờng thẳng BE và Y là trung điểm của đoạn
thẳng AX. Đờng thẳng BY cắt đờng tròn nói trên tại điểm thứ hai Z. Chứng minh rằng đ-
ờng thẳng BD là tiếp tuyến của đờng tròn ngoai tiếp tam giác ADZ
Câu 3. Cho hàm số f
+ +
 Â:
thoả mãn các điều kiện sau:
1)
Với mọi
+

Âm,n
mà

m n
thì f(m) f(n)
2)
+
+

Â

n 4f(x)
f(f(x)) , n
5
Chứng minh rằng
+
=
Âf(n) n, n
.
Chú thích:
+
Â
là tập hợp các số nguyên dơng
Câu 4. Cho m viên bi đựng trong n cái hộp
( )

m,n 4
, có thể có hộp nào đó không có bi
và số bi trong các hộp không nhất thiết phải bằng nhau. Bạn Phơng thực hiện một trò chơi
nh sau: Mỗi lần Phơng lấy ra hai viên ở hai hộp nào đó và bỏ vào hộp thứ ba. Chứng minh
rằng sau một số bớc, bạn Phơng có thể bỏ hết các viên bi vào một hộp. Hãy giải bài toán
với các trờng hợp sau của m, n
= =
1) m n 4

2) m,n 4
tuỳ ý
Trờng đại học s phạm Hà Nội
Khối THPT chuyên
Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập Tự do - Hạnh phúc

Đề thi Chọn đội dự tuyển toán
Năm học 2006-2007
Thời gian làm bài 150 phút
Câu 1. Cho
a,b,c
là độ dài ba cạnh một tam giác. Chứng minh rằng:
3 3 3 2 2 2
3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2
a b c a b c
1 2
a (b c) b (a c) c (a b) a (b c) b (a c) c (a b)

+ + + > + +
ữ
ữ
+ + + + + + + + + + + +

Câu 2. Cho tập hợp
{ }
X 2,3,4, 2006
=
. Một tập con M của X đợc gọi là có tính chất T
nếu M có đúng 1003 phần tử và với hai phần tử u, v bất kì thuộc M
(u v)

ta đều có
u v
+
không thuộc M.
a) Hãy chỉ ra một tập con của M có tính chất T

b) Chứng minh rằng tồn tại đúng một tập con M của X có tính chất T sao cho phần tử
nhỏ nhất của M không vợt quá 1001
Câu 3. Cho tam giác ABC và các điểm
1 1 1
A , B ,C
tơng ứng thuộc các cạnh
BC,CA,AB
.
Gọi
2 2 2
A ,B ,C
theo thứ tự là các điểm đối xứng của A, B, C qua trung điểm của
1 1 1 1 1 1
B C ,C A ,A B
. Chứng minh rằng
a)
1 1 1
AA ,BB ,CC
đồng quy khi và chỉ khi
2 2 2
AA ,BB ,CC
đồng quy
b)
( ) ( )
1 1 1 2 2 2
S A B C S A B C
=

(Kí hiệu
( )

S MNP
là diện tích của tam giác MNP)
Câu 4. Tìm tất cả các hàm số f
+ +
 Â:
sao cho:
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
2
f x 2y.f x f y f y f y , x, y
+ + = +
Â
Trờng đại học s phạm Hà Nội
Khối THPT chuyên
Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập Tự do - Hạnh phúc
Đề thi Chọn đội dự tuyển toán
Năm học 2007-2008
Thời gian làm bài 150 phút
(ngày 2)
Bài 1. Chứng minh rằng, tồn tại vô số cặp số nguyên dơng (x, y) nghiệm đúng phơng trình
sau:
( )
2
2
x
y 1 4x 1
y

=
ữ

Bài 2. Cho các số
a,b,c
dơng. Chứng minh rằng:
2 2 2
a b c 1
2(a b c)
9ab (a b c) 9bc (a b c) 9ac (a b c)
+ +
+ +
+ + + + + + + + +
Bài 3. Cho dãy
{ }
n
n 1
f

xác định nh sau (dãy Fibonaci)
1 2 n n 1 n 2
f f 1;f f f n 3

= = = +
Giả sử, với một số n nào đó, a, b là hai số nguyên thoả mãn điều kiện:
+ +

n n 1 n n 1
n 1 n n 1 n
f f f f
a
min ; max ;
f f b f f
Chứng minh rằng
+

n 1
b f
Bài 4. Tìm tất cả các đa thức P(x) khác 0, hệ số là các số thực không âm, có bậc nhỏ hơn
hoặc bằng 2007 và thoả mãn điều kiện sau:
( ) ( )
( )
( )

+
ữ

2
1
P x P P 1 x 0,
x
Bài 5. Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) ngoại tiếp đờng tròn (I).
A', B ',C'
theo
thứ tự là hình chiếu vuông góc của I trên các tiếp tuyến với (O) tại A, B, C. R, r theo thứ

tự là bán kính của (O), (I). Chứng minh rằng


ữ

3
A'/(I) B'/(I) C'/(I)
A/(I) B/(I) C/(I)
P .P .P
2r
R P .P .P
Trờng đại học s phạm Hà Nội
Khối THPT chuyên
Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập Tự do - Hạnh phúc
Đề kiểm tra đội dự tuyển lần I
Năm học 2007-2008
Thời gian làm bài 180 phút
Câu 1. Giải hệ phơng trình sau:
( )
( )
( )

+ + + =


+ + + =

+ + + =

3
3
3
x 27 x x 1 135 9y
y 27 y y 1 135 9z
z 27 z z 1 135 9x
Câu 2. Chứng minh rằng, tồn tại vô số cặp số nguyên dơng
( )
m,n
sao cho

= +

2
5mn n 1
Câu 3. Cho m là số nguyên dơng. Tìm tất cả các số nguyên dơng k để:
+

+ +
Â
m n
2n
k
C , n m
m n 1
Câu 4. Đặt
( )

= + + >
ữ ữ

x
1 1
f x 1 1 ,(x 0)
x 4x
. Chứng minh rằng:
( ) ( )
< +
Ơ
*
f n f n 1 , n
Câu 5. Cho hàm
( )
+
Ăf : 0;
thoả mãn các điều kiện:
i)
Tồn tại số thực a sao cho
( )
=
f a 1
ii)
( ) ( ) ( )


+ = > >
ữ
ữ

a a
f x f x f f 2f xy , x 0,y 0
x y
Chứng minh rằng f là hàm hằng
Câu 6. Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O). Điểm P thay đổi trên đờng thẳng BC, đ-
ờng thẳng AP cắt đờng tròn (O) tại điểm thứ hai N, đờng tròn đờng kính AP cắt đờng tròn
(O) tại điểm thứ hai E, đờng thẳng AE cắt đờng thẳng BC tại M. Chứng minh rằng
a) Đờng thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định
b) Đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN luôn đi qua một điểm cố định
Câu 7. Cho tập
{ }
= =Ă
1 2 10 i
A a ; a ; , a ,a , i 1,10
. Xét các số tự nhiên
<
m 1024
.
Chứng minh rằng tồn tại tập hợp

S A
sao cho nếu

a S
thì

a S
và tổng các phần tử

của S chia hết cho m
Trờng đại học s phạm Hà Nội
Khối THPT chuyên
Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập Tự do - Hạnh phúc
Đề thi học sih giỏi toán lớp 10
Năm học 2007-2008
Thời gian làm bài 180 phút
Câu 1. Cho hai số thực a, b thoả mãn điều kiện
+ + =
ab a b 3
. Chứng minh bất đẳng thức
sau:
+ + + +
+ + +
2 2
3a 3b ab 3
a b
b 1 a 1 a b 2
Bài 2. Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lẻ, a là số tự nhiên và n là số tự nhiên thoả
mãn điều kiện
+ =
p p n
2 3 a
thì
=
n 1
Bài 3. Giả sử đa thức
( )
= + + + + +

2008 2007 2006
1 2 2007 2008
P x x a x a x a x a
có 2008
nghiệm thực. Chứng minh rằng

2
1 2
2007a 4016a
Bài 4. Chứng minh rằng trong 53 số nguyên dơng khác nhau có tổng không vợt quá 2008
luôn tìm đợc hai số có tổng bằng 32
Bài 5. Cho tam giác ABC nhọn, không cân tại A, nội tiếp đờng tròn (O). Tiếp tuyến với
(O) tại A cắt BC tại S. SO theo thứ tự cắt AB, AC tại E, F. M, N theo thứ tự là trung điểm
của AB, AC. Chứng minh rằng AO, EN, FM đồng quy
Trờng đại học s phạm Hà Nội
Khối THPT chuyên
Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập Tự do - Hạnh phúc
Đề thi chọn đội tuyển toán
Năm học 2007-2008
Thời gian làm bài 180 phút
(ngày 1)
Bài 1. Giải hệ phơng trình:

= + +


= + +

x y 45 y 5
y x 45 x 5
Bài 2. Tìm tất cả các số tự nhiên k sao cho tồn tại các số tự nhiên a, b, , d thoả mãn các
điều kiện sau


< <
ữ

2
k 1
i) a b x d
2
ii)
=
d a k
và
=
ad bc
Bài 3. Cho dãy số
( )
n
S
xác định nh sau:
+
=
+
=

Ơ

i
n
*
n
n 1
i 1
n 1 2
S , n
i
2
a)
Chứng minh rằng tồn tai n sao cho
+
=
n n 1
S S
b)
Chứng minh rằng dãy
( )
n
S
có giới hạn, tính giới hạn của dãy
Bài 4. Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P theo thứ tự thuộc các cạnh BC, CA, AB và
khác A, B, C. Chứng minh rằng
( ) ( )

m MNP 2m ABC
(
( )
m XYZ

là độ dài đờng cao nhỏ
nhất của tam giác XYZ
Bài 5. Trên mặt phẳng cho 21 điểm phân biệt
1 2 3 21
A , A ,A , A
mỗi điểm đợc tô bởi một
trong ba màu đỏ, xanh, vàng sao cho mỗi màu không có ít hơn 6 điểm đợc tô.
a)
Tìm số lớn nhất các cặp điểm (không kể thứ tự) cùng màu
b)
Chứng minh rằng tồn tại ba điểm đôi một khác màu
m n p
A ,A ,A
với
= +
m n p
Trờng đại học s phạm Hà Nội
Khối THPT chuyên
Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập Tự do - Hạnh phúc
Đề thi học sinh giỏi toán lớp 10
Năm học 2007-2008
Thời gian làm bài 90 phút
Bài 1. Cho các số a, b, c thuộc tập hợp nghiệm của bất phơng trình
+
2
x 3x 3 1
và cho
các số m, n thuộc tập nghiệm của bất phơng trình
+

2
x 8x 19 4
. Giả sử
+ + + + =
a b c m n 12
. Tìm giá trị lớn nhất của tích
abcnm
Bài 2. Tìm hàm số

Ô Ăf :
thoả mãn các điều kiện sau:
( ) ( ) ( )
( )
+ =
=
Ô1)f x y f x f y 2008xy 2007, x,y
2)f 1 2007


Bài 3. Cho số nguyên tố p và số nguyên dơng n thoả mãn điều kiện
+
np 1
là số chính ph-
ơng. Chứng minh rằng
n 1
+
là tổng của p số chính phơng (các số chính phơng này có thể
bằng nhau)
Bài 4. Cho tam giác ABC không đều với trọng tâm G và đờng tròn nội tiếp (I). M, N, P
theo thứ tự là tiếp điểm của các đờng tròn bàng tiếp đối diện với các đỉnh A, B, C với các

cạnh BC, CA, AB
1) Chứng minh rằng AM, BN, CP và GI dồng quy tại một điểm
2) Chứng minh rằng điểm đồng quy nói trên thuộc đờng tròn (I) khi và chỉ khi
3a b c
3b a c
3c a b
= +


= +


= +

với a, b, c theo thứ tự là độ dài các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC
Trờng đại học s phạm Hà Nội
Khối THPT chuyên
Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập Tự do - Hạnh phúc
Đề chọn đội tuyển toán khối THPT chuyên
Năm học 2007-2008
Thời gian làm bài 180 phút
(ngày 2)
Bài 1. Chứng minh rằng không tồn tại hàm
f :

Ă Ă
sao cho
( )
( )

2
f f x x 2008, x
=
Ă
Bài 2. Cho
p 5
>
là một số nguyên tố. Giả sử rằng trong tập hợp
{ }
A 1,2, ,p 1
=
có thể
chọn ra năm số đội một phân biệt
x,y,z,t,w
thoả mãn điều kiện
( )
5 5 5 5 5
x y z t w mod p

a)
Chứng minh rằng
( )
2 2 2 2 2
6 x y z t w
+ + + +
chia hết cho
x y z t w
+ + + +
b)
Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên n thoả mãn

( )
n n n n n
6 x y z t w
+ + + +

chia hết cho
x y z t w
+ + + +
Bài 3. Cho ba số nguyên dơng a, b, c thoả mãn điều kiện
a b c 1
+ + =
. Chứng minh rằng
( ) ( ) ( )
a b c 3
3 a bc 4 b ac 5 c ab 5
+ +
+ + +
Bài 4. Cho tứ giác ABCD có
1 2
AC BD, AC DB P. O ,O= =
theo thứ tự là tâm đờng tròn
ngoại tiếp của tam giác PAB và PCD. Chứng minh rằng
1 2
O O
song song hoặc trùng với
đờng phân giác chung của các góc đối đỉnh
ã
ã
APB,CDP
Bài 5. Trong mặt phẳng toạ độ cho tập hợp

( )
S a,b ,1 a,b 5;a, b c=
{ }
. Giả sử T là
tập hợp gồm những điểm nguyên trong mặt phẳng toạ độ này sao cho với mỗi điểm ngyên
P thuộc S đều tồn tại điểm Q thuộc T, PQ đồng thời đoạn thẳng PQ không chứa điểm
nguyên nào ngoài các điểm P, Q. Hãy tìm số phần tử nhỏ nhất của T (điểm nguyên là
điểm có toạ độ nguyên
Trờng đại học s phạm Hà Nội Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Khối THPT chuyên
Độc lập Tự do - Hạnh phúc
Đề thi học sinh giỏi toán lớp 10
Năm học 2007-2008
Thời gian làm bài 180 phút
Bài 1. Tìm nghiệm tự nhiên của phơng trình
x y
2 3 1
=
Bài 2. Giả sử đa thức
( )
2008
P(x) x mx m m 0
= +
có đủ 2008 nghiệm thực. Chứng
minh rằng trong các nghiệm của P(x) có ít nhất một nghiệm
0
x
thoả mãn điều kiện
0
x 2

Bài 3. Chứng minh rằng tồn tại một dãy vô hạn các sô chính phơng thoả mãn ba điều kiện
sau;
a) Trung bình cộng của hai số lien tiếp của dãy là một số chính phơng
b) Hai số liên tiếp của dãy là hai số nguyên tố cùng nhau
c) Dãy tăng ngặt
Bài 4. Cho 2007 số thực phân biệt
1 2 2007
a ,a , ,a
. Xét tập hợp:
{ }
i
i K
X a : K 1,2, ,2007



=




Chứng minh rằng số phần tử của X không nhỏ hơn 2015028
Bài 5. Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O). Đờng tròn (J) tiếp xúc trong với (O) tại T
và tiếp xúc với các tia AB, AC. K, L là tâm đờng tròn ngoại tiếp các tam giác ABT, ACT.
Chứng minh rằng đờng tròn ngoại tiếp tam giác KLT cũng tíêp xúc trong với (O) tại T.