Đề cương bài giảng thống kêc

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM
KHOA ĐÀO TẠO GIÁO VIÊN MẨM NON
Nguyễn Thị Tuyết Mai
ĐÊ CƯƠNG BÀI GIẢNG
THỐNG KÊ
DÙNG CHO SINH VIÊN CHUYÊN NGÀNH GIÁO DỤC MẦM n o n
TRÌNH ĐÔ ĐAI HỌC
Thái Nguyên - 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN
MỤC LỤC
Mở đầu 3
Chương 1. Biến cô ngẫu nhiên
1.1. Phép thử và biến cố 4
1.2. Xác suất 7
1.3. Phép thử lặp - công thức Becnuli 12
1.4. Xác suất có điều kiện - Quy tắc nhân tổng quát 14
1.5. Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayet 16
1.6. Biến ngẫu nhiên 18
Bài tập xác suất 23
Chương 2. Các khái niệm cơ bản của thống ké
2.1. Thống kê học 26
2.2. Tổng thể thống kê 26
2.3. Tiêu thức thống kê 27
2.4. Chỉ tiêu thống kê 27
2.5. Các loại thang đo 28
2.6. Một vài phương pháp lấy mẫu đơn giản 29
2.7. Điều tra chọn mẫu 30
Chương 3ễ Quá trình nghiên cứu thống kẽ 32
Chương 4. Trình bày số liệu thống kê
4.1. Sắp xếp số liệu và phân tổ 34

4.2. Bảng thống kê 38
4.3. Biểu đồ tổ chức của một đãy thống kê 40
4.4. Đồ thị thống kê 45
Chương 5. Các tham số giá trị trung tâm
5.1. Các tham số giá trị trung tâm 52
5.2. Tham số đo xu hướng hội tụ 69
5.3. Tham số biểu thị hình dáng của phân phối thống kê 75
Bài tập thống kê 68
Tài liệu tham khảo 70
1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN
LỜI NÓI ĐẦU
Nhiệm vụ của người giáo viên mầm non là chăm sóc, nuôi dưỡng và giáo
dục trỏ. Vì vậy, người giáo viên mầm non không những cần phải nắm vững
những kiến thức khoa học cơ bản, khoa học giáo dục, phương pháp chăm sóc,
nuôi dưỡng và giáo dục trẻ mà còn phải có kỹ năng và ứng dụng những kiên thức
đã học vào việc giáo dục trẻ. Hơn nữa, thực tế giáo dục mầm non đòi hỏi người
giáo viên mầm non còn phải biết nghiên cứu, tìm tòi, sáng tạo để nâng cao vốn
kiến thức, kinh nghiệm cho bản thân và hiệu quả của công tác chăm sóc, giáo
dục trẻ. Muốn thực hiện được việc nghiên cứu này người giáo viên mầm non cần
có kiến thức, kỹ năng nghiên cuus, phân tích và tổng hợp. Học phần thống kê
nhằm cung cấp cho sinh viên những kiến thức và kỹ năng này.
Giáo dục mầm non nói chung và sự nghiệp đào tạo giáo viên mầm non nói
riêng đang trên con đường xây dựng và phát triển. Vì vậy tài liệu học tập còn rất
thiếu thốn. Để giúp cho sinh viên có được một tài liệu học tập, được sự phê duyệt
cùa Ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm Đại học Thái Nguyên tôi đã biên
soạn đề cương bài giảng Thống kê cho sinh viên chuyên ngành Mầm non, hệ đại
học. Đẻ cương bài giảng Thống kê gồm 2 nội dung chính:
Nội dung thứ nhất là một số kiến thức cơ bản về xác suất. Nội dung này
được trình bày trong chương 1 với mục đích cung cấp cho sinh viên nhữn'T kiến

thức cơ bản về xác suất phục vụ cho công việc giải các bài toán thống kê.
Nội dung thứ nhất là những vấn đề cơ bản vầ thống kê. Nội durẦg này
được trình bày trong bốn chương còn lại nhằm cung cấp cho sinh viên những
khái niệm cơ bản về thống kê, các công thức cơ bản và cách thức tiến hành
nghiên cứu, xử lý, phân tích và trình bày tài liệu thống kê.
Tác giả mong nhận được những góp ý của các bạn đồng nghiệp và độc giả
vé nội dung cũng như việc trình bày để đề cương bài giảng này được hoàn thiện
hơn.
3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN
“ cầ n nhớ rằng môn khoa học bắt đầu từ việc xem xét các trò choi may
rủi lại hứa hẹn trở thành đối tượng quan trọng nhất của tri thức luài
người. Phẩn lớn những vấn đê quan trọng nhất của đời sống thực ra chỉ
là những bài toán của xác xuất”, p. s. Laplace (1812)
Chương 1: BIẾN c ố NGAU n h i ê n
l . l ệ Phép thử và biến cố.
1.1.1. Phép thử
a) Định nghĩa: Trong thực tế có rất nhiều hành động mà kết quả của nó không
thể dự báo trước được, ta gọi chúng là các phép thử (phép thử ngẫu nhiên), kí
1 hiệu: (e.
b) Ví dụ: *) Gieo đồng tiền xu (Việt nam) có hai khả năng xảy ra:
Xuất hiện mặt quốc huy,
- Xuất hiện mặt số.
*) Gieo con xúc sắc có sáu khả nãng xảy ra:
Xuất hiện mặt 1 chấm,
Xuất hiện mặt 2 chấm,
- Xuất hiện mặt 6 chấm.
1.1.2. Biến cố
a) Định nghĩa: Các kết quả của một phép thử là ngầu nhiên, không thể xác định
trước. Mỗi kết quả của một phép thử được gọi là một biến cố (sơ cấp), kí hiệu (ú.

Ta có thể liệt kê ra tất cả các kết quả của một phép thử (như ví dụ). Tập
hợp tất cả các kết quả có thể có của một phép thử được gọi là không gian mẫu, ký
hiệu Q .
b) Ví dụ: Không gian mẫu của phép thử gieo con xúc sắc là:
Q = {xuất hiện mặt một chấm, xuất hiện mặt hai chấm

xuất hiện mặt
sáu chấm ).
4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN
1ỂI.3. Các loại biên có
a) Bién còi không thể: Một biến cô không bao giờ xảy ra khi thực hiện một phép
thử được gọi là biến cố không thể (biến cố trống, biến cố rỗng), kí hiệu: 0 .
*) Vi dụ: Khi thực hiện phép thử gieo con xúc sắc, biến cố “Xuất hiện mật bẩy
chấm" là biến cố không thể.
b) Biên cô chắc chán: Một biến cố luôn luôn xảy ra khi thực hiện một phép thử
được gọi là biến cố chắc chắn. Biến cố chắc chắn tương đương với toàn bộ không
gian mẫu.
*) Ví dụ: +) Khi thực hiện phép thử gieo con xúc sắc, biến cố “Xuất hiện một
trong các mặt một chấm, hai chấm,sáu chấm” là một biến cố chắc chắn.
+ ) Khi thực hiện phép thử gieo đồng xu, biến cố “Xuất hiện mặt quốc huy
hoặc mặt số” là một biến cố chắc chắn.
c) Biến cô có thẻ: Một biến cố có thể xảy ra khi thực hiện một phép thử được
gọi là hiến cố có thể.
*) \ 7 dụ: Khi thực hiện phép thử gieo con xúc sắc, biến cố “Xuất hiện mặt bốn
chấm” là một biến cố có thể.
1.1.4. Quan hệ giữa các biến cố.
a) Kéo theo: Biến cố A được gọi là kéo theo biến cố B nếu khi A xảy ra thì B
cũng xáy ra, kí hiệu: A <z B
*) Ví dụ: Khi thực hiện phép thử gieo đồng xu, nếu A là biến cố : “ Không xuất

hiện mặt quốc huy”, B là biến cố : “ Xuất hiện mặt số” thì Acz B
b) Biến cỏ đối: Một biến cố được gọi là biến cố đối cùa biến cố A nếu nó xảy ra
khi ă\ không xảy ra, kí hiệu A .
*)Vi dụ: + ) Khi thực hiện phép thử gieo đồng xu, biến cô' “Xuất hiện mặt quốc
huy” là biến cố đối của biến cố “Xuất hiện mặt số”
+ ) Khi thực hiện phép thử gieo con xúc sắc, biến cố “Xuất hiện mật bốn
chấm” có biến cố đối là biến cố “Xuất hiện một trong các mặt một
chấm, hai chấm, ba chấm, năm chấm, sáu chấm”
* ) Nhận xét: A = Q\A, A = A.
5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN
c) Hai biến cỏ xung khắc: Hai biến cô A và B được gọi là hai biên cố xung khãc
nếu A và B không đồng thời xảy ra khi thực hiện một phép thử.
*) Ví dụ: +) Khi thực hiện phép thử gieo đồng xu, biến cố “xuất hiện mặt quoc
huy” và biến cô “xuất hiện mặt số” là hai biến cố xung khắc.
+) Khi thực hiện phép thử gieo con xúc sắc, biến cố “Xuất hiện mặt bốn
chấm” và biến cố “Xuất hiện mặt một chấm” là hai biến cố xung khắc.
*) Nhận xét: Hai biến cố đối là hai biến cố xung khắc nhưng 2 biến cố xung khắc
chưa chắc là hai biến cô đối.
d) Hai biến cố độc lập: Hai biến cố A, B được gọi là độc lập với nhau nêu việc
xảy ra hay không xảy ra biến cố này không làm ảnh hưởng đến việc xảy ra haỵ
không xảy ra biến cố kia.
e) Hợp của các biến cố: Cho hai biến cố A, B. Một biến cố xảy ra nếu ít nhất
một trong hai biến cố A, B xảy ra được gọi là hợp của hai biến cố A, B. Kí hiệu
A kjB .
g) Giao của các biến cố: Cho hai biến cố A, B. Một biến cố xảy ra nếu cả hai
biến cố A, B đều xảy ra được gọi là giao của hai biến cố A, B. Kí hiệu AB.
Chú ý: Khái niệm hợp, giao của các biến cố có thể mở rộng một cách tự nhiên
cho trường hợp nhiều biến cố.
l Ếl ẻ5. Ví dụ: Ba xạ thủ X, Y, z inỗi xạ thủ nhằm bắn một viên đạn vào mục tiêu.

Giả sù A, B, c tương ứng là các biến cố: Xạ thủ X bắn trúng, xạ thủ Y bắn trúng,
xạ thủ z bắn trúng.
a) Hãy mô tả các biến cố: ABC, ABC, A kj B<j C.
b) Hãy biểu diễn các biến cố sau theo các biến cố A, B, c
+) D: Có ít nhất hai xạ thủ bắn trúng.
+) E: Có nhiểu nhất một xạ thủ bắn trúng.
+) F: Chỉ có một xạ thủ bắn trúng.
+) G: Chỉ có xạ thủ z bắn trúng.
Giải:
a) ABC là biến cố: Cả 3 xạ thủ X, Y, z đều bắn trúng.
AB C là biến cố: Cả 3 xạ thủ đều bắn trượt.
6
I
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN
.4 u B u c là biến cố: Có ít nhất một xạ thủ bắn trúng.
b)D = ABCuABCvABCvABC-,
E = ¿ 5C vjÂBCkj ~ÃBC u /Í5 C
F = ABCuABCvABC; G = ABC
»
1.2. Xác suất
1.2ếl. Xác suất của một biến cố
Xác suất cúa một biến cố là một số nằm giữa 0 và 1, số này đo lường khả
nãng xuất hiện của biến cố đó khi phép thử được thực hiện. Xác suất của biến cố
A được ký hiệu là P(A).
Có 2 phương pháp cơ bản gán xác suất cho các biến cố đó là: định nghĩa xác
suất cổ điển, định nghĩa xác suất dựa trên tần xuất,
a) Định nghĩa xác suất cổ điển
Giả sử phép thử có một số hữu hạn các kết quả có thể. Hơn nữa giả thiết
rằng các kết quả này có đồng khả năng xuất hiện. Khi đó xác suất của biến cố A
được định nghĩa ỉà tý số giữa số các kết quả thuận lợi và số các kết quả có thể

cùa biến cố A.
Kí hiệu: |/4|;|n| tương ứng là số các kết quả thuận lợi của biến cố A và số các kết
quá có thể khi thực hiện phép thử Khi đó, theo định nghĩa ta có P(A) = I I .
p ị
*) Nhận xét: +) Trong trường hợp này việc tính xác suất của một biến cố A được
đưa về việc đếm số các kết quả thuận lợi và số các kết quả có thể của biến cô' A.
Đê việc đếm này được thực hiện một cách nhanh chóng và chính xác ta cần một
số kiến thức về giải tích tổ hợp :
Pn = 1.2.3 «, 4 = 7J ï L . cỉ=- nì
{n-k)\ k\{n-k)\
+ ) Định nghĩa xác suất cổ điển này dựa trên 2 giả thiết quan trọng:
i) Sô các kết quả có thể là hữu hạn.
ii) Các kết quả có thế là đồng khả năng xuất hiện.
7
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN
Các giá thiết này thường được thỏa mãn khi chúng ta tính toán xác suất
trong các trò chơi may rủi (gieo xúc sắc, gieo đồng xu, xố số, ), hoặc khi
việc lựa chọn là vô tư, khách quan, không thiên vị.
*) Ví dụ 1: Gieo đồng thời 3 con xúc sắc được chế tạo cân đối đồng chất. Tính
xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên 3 con xúc sắc là 9.
Giải:
Gọi A là biến cố “ tổng số chấm xuất hiện trên 3 con xúc sắc là 9”
Mỗi kết quả của một phép thử (một lần gieo đồng thời 3 con xúc sắc) là một bộ
ba (a,b,c), trong đó 1 < a\b\c < 6 . Vậy không gian mẫu của phép thử là:
Q = ị(a;b;c);ỉ < a\b\c < 6} => Số các kết quả có thể là |Q| = 6.6.6 = 216.
Các bộ 3 có ĩổng là 9 là: (1; 2; 6); (1; 3; 5); (1; 4; 4); (2; 2; 5);(2; 3; 4); (3;3; 3) và các
hoán vị của chúng. Do vậy số các kết quả thuận lợi là tổng số các hoán vị của 6
bộ ba nêu trên \A\ = 6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1 = 25. Vì các con xúc sắc được chế tạo
cân đối đổng chất nên có thể cho rằng các kết quả là đồng khả năng Ịiếtụ
/>(,4) = 1 4 = -0,11 5 7

|Q| 216
b) Định nghĩa xác suất bằng tẩn suất
Nếu số các kết quả có thể là vô hạn hoặc không đổng khả nãng xuất hiện,
cách tính xác suất cổ điển như trên không còn dùng được. Vì vậy người ta uã đưa
ra cách tính xác suất như sau:
Giả sử phép thử có thể được thực hiện lặp đi lặp lại rất nhiều lần trong
những điều kiện giống hệt nhau. Nếu trong n lần thực hiện phép thử (€ biến cố
k(A)
A xuất hiên k(A) lần thì tỷ số f„ {Ẩ ) = - đươc goi là tần suất xuất hiên của
n °
biến cố A trong n lần thực hiện phép thử (t'
wí L
Người ta nhận thấy rằng khi số phép thử n tăng đến vô hạn thì tần suất
f n{A) luôn dần tới một giới hạn xác định. Giới hạn đó được gọi là xác suất của
biến cố A.
8
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN
Kí hiệu: P{A) = lim f n(A).
Trẽn thực tế P{Ẩ) đươc tính xấp xỉ bởi f n(A) với n đủ lớn.
*) Ví dụ: Đê tính xác suất một người đàn ông 25 tuổi bị chết trong vòng 1 nãm
sau đó là bao nhiêu người ta theo dõi 100.000 thanh niên 25 tuổi trong vòng 1
năm. Kết quả cho là có 138 người bị chết trong năm đó. Vậy xác suất cần tìm
xấp xi bằng — — = 0,00138.
c) Nguyên lý xác suất nhỏ
*) Một biến cô không thể có xác suất bắng 0. Tuy nhiên trên thực tế biên
cò có xác suất bằng 0 vẫn có thể xảy ra trong một số lớn phép thử. Qua thực
nghiệm và quan sát thực tế người ta thấy rằng các biến cố có xác suất bé sẽ
không xảy ra khi ta chỉ thực hiện một phép thử hay một vài phép thử. Từ đó,
người ta thừa nhận nguyên lý sau đây gọi là nguyên lý xác suất nhỏ:
"Nếu một biến cố có xác suất nhỏ thì trên thực tế có thể cho rằng trong

một phép thừ biến cố đó sẽ không xảy ra ”
\ 'í dụ: Với mỗi chiếc máy bay biến cố “xảy ra tai nạn” đều có thể xảy ra vói một
xác suất rất nhó. Tuy vậy trên thực tế người ta vẫn không từ chối đi máy bay vì
người ta tin tưởng rầng chuyến bay mà họ đi sẽ không xảy ra tai nạn.
*) Việc quy định một mức xác suất như thế nào được gọi là nhỏ sê tùy
thuộc vào từng bài toán cụ thể.
17 dụ: Nếu xác suất để một máy bay rơi là 0,01 thì xác suất đó chưa thể được coi
là nhỏ. Nhưng nếu xác suất để một chuyên tầu khởi hành chậm là 0,01 thì lại có
thể coi mức xác suất này là nhỏ.
*) Mức xác suất nhỏ được gọi là mức ý nghĩa. Nếu a là mức ý nghĩa thì
ß = 1 - a được gọi là độ tin cậy. Dựa trên nguyên lý xác suất nhỏ ta tuyên bố
rằng: Biến cố A có xác suất nhỏ (tức P(A) < a ) sẽ không xảy ra trên thực tế. Độ
tin cậy cúa biến cố này là ß . Tính đúng đắn của tuyên bố này chỉ xảy ra trong
Tương tự như trên ta có thể đưa ra nguyên lý xác suất lớn. Nếu biến cố A
100000
100./? °/( trường hợp
9
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN
có xác suất gần bằng 1 thì trên thực tê có thể cho rằng biên cô A sẽ xảy ra trong
một phép thử. Cũng như ở trên, việc quy định một mức xác suất như thế nào được
gọi ià lớn sẽ tùy thuộc vào từng bài toán cụ thể.
Chú ý: Ngoài hai định nghĩa trên còn có nhiều cách định nghĩa xác suất khác
như định nghĩa xác suất theo tiên đề [6], định nghĩa xác suất hình học [5], định
nghĩa xác suất theo lý thuyết độ đo [1],
1.2.2. Các quy tắc tính xác suất
a) Quy tắc cộng xác suất
Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì: P(A u B) = P(A) + P{B).
Tổng quát: NếuA],A2, ,An là các biến cố đôi một xung khắc thì:
P(ẨÌUA2U U A „ ) = P(AÌ) + P(A2) + P(A„)
b) Quy tác cộng xác suất tổng quát

Nếu A và B là hai biến cố bất kỳ (không nhất thiết xung khắc) thì:
P(A u B) = P{A) + P(B) - P(AB).
Ta có thể mở rộng công thức này cho hợp của 3 biến cố:
P(A<j B u C) = P(A) + P(B u C) - P(A(B u C))
= P(A) + P(B) + P(C) - P(B C) - P(AB u AC)
= P(A) + P{B) + P(C) - P(BC) - [P{AB) + P(AC) - P(ABC)]
= PịA) + P(B) + P{C) - P(AB) - P{BC) - P{AC) + P(ABC)
c) Quy tắc chuyển sang biến cô' đối
Trong nhiều bài toán việc tìm xác suất của biến cố A khó hơn nhiều so với
việc tính xác suất của biến cố đối A của A. Khi đó ta sẽ tính P(A) rồi tìm P(A)
nhờ quạn hệ sau: P{A) - 1 - P(A).
*) Ví dụ: Trong một vùng dân cư, tỷ lệ người mắc bệnh tim là 99c, mắc bệnh
huyết áp là 12%, mắc cả hai bệnh tim và huyết áp là 7%. Chọn ngẫu nhiên môt
người trong vùng đó. Tính xác suất để người đó không mắc cá bệnh tim và bệnh
huyết áp.
10
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN
G i ái:
/ĩ
Gọi A là biến cố “ Người được chọn mắc bệnh tim”, B là biến cô' “ Người
được chọn mắc bệnh huyết áp’ .
Ị y Theo giả thiết ta có: P(A) = 0,09; P{B) = 0,12; P(AB) = 0,07.
Gọi H là biến cố “ Người được chọn không mắc cả bệnh tim và bệnh huyết
áp” Khi đó H = ẨU B. Theo quy tắc cộng xác suất tổng quát ta có:
p(H) = P( A u B) = P{A) + P(B) - P(AB) = 0,09 + 0,12 - 0,07 - 0,14.
V Theo quy tắc chuyển sang biến cố đối P{H) - 1 - P{H) = 1 -0 ,1 4 = 0,86.
d) Quy tác nhân xác suất
^NỊếiuẠ, B là hai biến cố độc lập thì P(AB) = P(A).P(B).
*) Ví dụ: Ba xạ thủ X, Y, z độc lập với nhau cùng nhằm bắn vào mục tiêu. Xác
suất bắn trúng của các xạ thủ X, Y, z tương ứng là: 0,4; 0,5; 0,7.

i) Tính xác suất của biến cố “ Chỉ có duy nhất một xạ thủ bắn trúng”
ii) Tính xác suất của biến cố “ Có ít nhất một xạ thủ bắn trúng”
Giãi
Gọi A là biến cố “Xạ thủ X bắn trúng” =>P(A) = 0,4,; B là biến cố “Xạ thủ
Y bắn trúng’ => P(B) = 0,5; c là biến cố “Xạ thủ z bắn trúng” => P(B) = 0,7.
i ) Gọi H là biến cô' “ Chỉ có duy nhất một xạ thủ bắn trúng” Ta có:
H = ÃB C u ABC u Ä ßC
=> P(H) = p[ ABC u ABC u ABC)
= P(ÃBC) + p Ợ Ẽ C ) + pỌ íB C )
= P{A).P{B).P(C) + P(Ã).P(B).P (C )+ P(Ã).P{B).P(C)
= 0,4.0,5.0,3 + 0, 6.0,5.0,7 + 0, 6.0,5.0,3 = 0,37.
ii ) Gọi D là biến cố “ Có ít nhất một xạ thủ bắn trúng”
Tacó: D = A u B kjC
,=>P(D) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB)-P(BC)- P(AC) + P(ABC)
= P(A)+ P(B)+ P(C)- P(A)P(B)- P(B)P(C)
- P(A)P(C) + P(A ).P (B).P(C )
11
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN
= 0,4 + 0,5 + 0,7 - 0,4.0,5 -0 ,5 .0,7 - 0,4.0,7 + o, 4.0,5.0,7 = 0,91.
Cách khác: ta có thể tìm P(D) bằng cách chuyển sang biến cỏ đối:
D = AB C => p (D) = P(Ã).P(B).P{C) = 0,6.0,5.0,3 = 0,09
=>P(D) = l-P(Õ) = 1 -0 ,0 9 = 0,91.
1.3. Phép thử lặp - Công thức Becnuli
1.3.1. Phép thử lặp
Xét một phép thử và một biến cố A liên quan tới phép thứ đó. Xác suất
Ị
xuất hiện biến cố A là p. Ta thực hiện phép thử n lần độc lập. Bài toán đặt ra
^ là tính xác suất để trong n lần thực hiện phép thử biến cố A xuất hiện đúng k
; lần, o <k<n.
Gọi Hk là biến cố “Biến cố A xuất hiện đúng k lần trong n lần thực hiện phép

thử r€ "
Ta xét một số trường hợp đặc biệt:
+) k = n;H„ = Æ ^A => P(H„) = P(A) P(A) = (P(A))n = pn
n «
+)k = 0>;//„= => P{H„) = p (Ã) p (Ã) = (P(Ã ))n = (1 - p )n
n T
+) k = ì;Hị = A.A AVJ A.A.A AU u A A.A
P(Hị ) = F (A ).p Ci )""1 + + ^(^4) = «./7.(1 - p )""1
Một cách tổng quát, biến cố H k là hợp của các biến cố có dạng
A .A Ă Ã A (*)
trong đó biến cố A xuất hiện k lần, biến cố A xuất hiện (n - k) lần. Do tính độc
lập của phép thử lặp, mỗi biến cố như vậy có xác suất là:
P(A ).P(A) P(Ã) P(A) P(A) = pk.( 1 - p )”~k
Dễ thấy H k là hợp của c ị biến cố có dạng (*) => P{Hk ) = c„pk .(1 - p)"~k
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN
Vậy ta có công thức Becnuli sau đây:
1.3.2. Định lý: Ký hiệu Pfr(n;p) là xác suất để trong một dãy n phép thử độc
lập biên cố A xuất hiện k lần. Ta có: Pk(n\p) = c * pk.(1 - p)" k trong đó
P = P(A).
1.3.3ễ Ví dụ: Xác suất thành công của một thí nghiệm sinh hóa là 40%. Một
nhóm gồm 9 sinh viên tiến hành cùng một thí nghiệm trên độc lập với nhau. Tìm
xác suất để:
a) Có đúng 6 thí nghiệm thành công,
h) Có ít nhất một thí nghiệm thành công,
c) Có ít nhất 8 thí nghiệm thành công.
Giải: Gọi phép thử V là tiến hành thí nghiêm, A là biến cố “ Thí nghiệm thành
công” Theo đề bài ta có: P{A) = 0,4; số lần thực hiện phép thử là n = 9
a) Gọi B là biến cố “Có đúng 6 trong 9 thí nghiệm thành công” Theo công
thức Becnuli: P(B) = P6(9; 0,4) = Cọ6(0 ,4)6.(1 - 0 ,4)9“6
= — 1-

(0,4)6.(0,6)3 = 84 .(0,4)6.(0,6)3 «0,0743.
6 !(9 -6)!
b) Gọi c là biến cố “Có ít nhất một trong 9 thí nghiệm thành công” => c là biến
cố “Không có thí nghiệm nào thành công”
Theo công thức Becnuli:
=> P(C) = 1 - P(C) = 1- 0,0101 * 0,9899.
c) Gọi D là biến cố “Có ít nhất 8 trong 9 thí nghiệm thành công” =í> D là
hợp cứa 2 biên cố : Có 8 thí nghiệm thành công, có 9 thí nghiệm thành công.
Theo công thức Becnuli:
P(D) = P8(9;0,4) + P9(9;0,4)
= Cọ (0,4)8.(1 - 0,4)9-8 +Cọ (0,4)9.(1 - 0 ,4 )9-9
= 9.(0,4)8.(0,6) + (0 ,4)9 *0,0038.
13
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN
1.4. Xác suất có điểu kiện - Quy tác nhân tổng quát
1.4Ể1. Xác suất có diều kiện
a) Định nghĩa: Giả sử A, B là hai biến cố. Xác xuất của B được tính trong điều
kiện A đã xảy ra được gọi là xác suất của B với điều kiện A. Kí hiệu: ■
b) Ví dụ: Trong một vùng dân cư có a người gồm n đàn ông và m phụ nữ
(a = m + n ). Trong n đàn ông có p người bị cận thị và trong m phụ nữ có q người
bị cận thị. Chọn ngẫu nhiên một người trong vùng đó. Tính xác suất để người
được chọn bị cận thị nếu biết rằng đó là một phụ nữ.
Giải: Gọi B là biến cố: “Người được chọn bị cận thị” A là biến cố: “Người được
chọn là một phụ nữ”. ” (tỷ lệ nữ bị cận thị).
c) Mối quan hệ giữa xác suất có điều kiện và xác suất không điều kiện
V
*) Nhận xét: Theo ví dụ trên ta có: p [B /a ì = — = -/■
\/AỊ m m /
/ a

Mặt khác l/a =P(AB), n/a = P(A ) ~ p (B /A) = Ĩ Í Ể Ỉ l
*) Tổng quát: Cho A, B là hai biến cô' bất kỳ, P(A) * 0. Khi đó xác suất có điểu
kiện được tính theo công thức ^ ( % ) = ( 1)
*) Chú ý: +) Nếu P(Ẩ) = 0 thì xác suất vẫn tổn tại nhưng ta không thể
tính dược theo công thức trên.
+) Xác suất có điều kiện có thể tính được một cách trực tiếp từ bối
cảnh của bài toán mà không cần qua công thức trên.
*) Ví dụ: Gieo đồng thời 2 con xúc sắc được chế tạo cân đối đồng chất. Tính xác
suất để tổng số chấm xuất hiện trên 2 con xúc sắc không nhỏ hơn 10, biết rằng ít
nhất một trong 2 con có 5 chấm.
14
, (
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN
Giải: Gọi A là biến cố “ ít nhất một trong 2 con xúc sắc xuất hiện 5 chấm”, B là
hiến cố "Tổng sô' chấm xuất hiện trên 2 con xúc sắc không nhỏ hơn 10” Theo
cônglhức =
A là biến cố cả hai con xúc sắc đều không xuất hiện 5 chấm. Xác suất để
môt con xúc sắc không xuất hiên 5 chấm là —
6
Không gian mẫu gồm 6x 6 = 36 kết quả đồng khả năng trong đó có 3 kết
quả thuận lợi cho biến cố A là: (5;6); (6;5); (5;5).
36 \/A) P(A) 11/, 11
P(A) % n
1.4ệ2. Quy tác nhân tổng quát
Cho A, B là hai biến cố bất kỳ, theo công thức ( 1 ) ta có:
P(AB) = P(A).P(B/ ') .
Tổng quát: Với n biến cổ bất kỳ Ẩị, A2, , An ta có:
n A , ^ ) = p ( A ím y Ai) P Ớ / AiA ỉ) . p ( y Aí AJ .
*) Ví dụ: Một anh thủ kho có một chùm 9 chiếc chìa khóa trong đó chỉ có 2
chiếc mò được cứa kho. Một người tiến hành thử mở cửa kho bằng chùm chìa

khóa đó. Lần lượt thử từng chiếc chìa khóa một, chìa nào không mở được thì bỏ
ra. Tính xác suất để người đó mở được cửa ở lần thử thứ ba.
Giải:
Gọi Aị là biến cố “Người đó mở được cửa ở lần thử thứ i” ( i = l , 8).
Biến cố “Người đó mở được cửa ờ lần thử thứ ba” là: A\.A2.A3.
Theo công thức nhân xác suất tổng quát:
P(A, a2a3)= p(Ax).p{Ay ^ ) .p { Ay ^ ~ ) .
15
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN
+) P ị là xác suất của biến cô “Người đó không mở được cửa ở lần thử thứ 2
P ( 4 ) = |= > /> M )= ỹ ;
+) Pự^y~-— ) là xác suất của biến cố “Người đó mở được cửa ờ lần thứ thứ 3 „
A x/ -
với điều kiện lần thử thứ nhất, thứ hai không mở được cửa => Pị y~

) = —
/ Ạ A 2 7
=> P(Aỵ A1A-ị) = -~-
7 6 2 _Ị_
9 8 7 6
1.5ẳ Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayet
l ẵ5.1. Hệ đầy đủ các biến cố
a) Định nghĩa: Các biến cố của một phép thử được gọi là một hệ
đầy đủ các biến cố nếu chúng đôi một xung khắc (Bt r \B j = 0; v/,y = 1,
và hợp của chúng là một biến cố chắc chắn (B ị B 2 u u Bn = Q ).
*) Ví dụ: Gieo một con xúc sắc. Gọi Bị(i = 1, ,6) là biến cố: " Xuất hiện mật i
chấm” Các Bị đôi một xung khắc và hợp của chúng là một biến cố chắc chắn.
Do đó Bị, B2, B6 tạo thành một hệ đầy đủ các biến cố.
b) Công thức xác suất đầy đủ
*) Định lý: Nếu là một hệ đầy đủ các biến cố thì đối với mỗi biến

*) Ví dụ: Có 2 chuồng thỏ: Chuồng thứ nhất có 3 thỏ trắng và 3 thỏ nâu, chuồng
thứ hai có 6 thỏ trắng và 4 thỏ nâu. Bắt ngẫu nhiên 4 con thỏ ớ chuồng thứ nhất
bỏ vào chuồng thứ hai, sau đó bắt ngẫu nhiên 1 con thó ở chuồng thứ hai ra. Tính
n
cố A ta có: P(A) = ỵP (B ').P (% )
1 ' ĩ
;=1
16
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN
xác xuất để con tho bắt ra là thỏ nâu.
Giải:
Gọi Bị là biến cô trong 4 con thỏ bắt từ chuồng thứ nhất bỏ sang chuông
thứ hai có i thỏ nâu (i = 1, 2, 3)=> Bị -,B2 ',BĨ tạo thành một hệ đầy đủ các biến
' T ' M , C3.C3 1 C Ỉ.C Ị 3 c33.cị_ l
CỐ. Ta có: P(Bị) = = J-,P(B2) = - - ± 4- - ■
Q 5 c6 3 6
,4 5 ’ c ị 5 ’
Gọi A là biến cố “con thỏ bắt từ chuồng thứ hai ra là thỏ nâu”
n A/ , 5 , v < / P(AB2) _ 6 a/ 7
v V P(B,) 14 /« 2 P(8 2) 14 y V />(Bj) 14
Theo công thức xác suất đầy đủ:
P(A) = P(Bl).P(ỵB ) + P(B2).P ( ỷ /B ) + P(B3).P{ộ/B )
1 3 ^ _ I J L = A = 1 ‘ -
5 ’ 14 + 5 ử 14 + 5 ' 14 14 7 '•
ì.5.2ễ Công thức Bayet
a) Định lý: Nếu 5 |, Bn là một hệ đầy đủ các biến cố thì đối với mỗi biến
cổ A {P{A) > 0)ta có:
R, / PW P( A/ B )
p(BiA>= 7 *
Z w , w y . )

i=i 7 ,ề
b) Chú ý: +) Các xác suất P(5ị ),P(B2), ,P(Bn) được gọi là các xác suất tiên
nghiệm (trước thí nghiệm). Sau khi quan sát rằng biến cố A đã xảy ra, các xác
suất cùa Bị được tính trên thông tin này (tức các xác suất có điều kiện
P (^ y ^ )ụ được gọi là các xác suất hậu nghiệm. VI vậy công thức
Bayet còn được gọi là công thức xác suất hậu nghiệm.
17
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN
+) Công thức Bayet có rất nhiều ứng dụng, đặc biệt là trong nghiên cứu \ã
hội học và trong y học.
1.6. Biến ngẫu nhiên
Tính toán bằng số vốn đã quen thuộc và dễ sử dụng trong ứng dụng, nhất
là có sự hõ trợ của máy tính. Khi nghiên cứu các sự kiện ngẫu nhiên, rất bất tiện
khi mô tả và làm tính với các sự kiện. Khái niệm biến sô (đại lượng biến thiên)
đã rất thông dụng trong toán học. Chính vì thế ta tìm cách đưa vào khái niệm
biến số ngẫu nhiên như là một đại lượng phụ thuộc vào kết quả của một phép thử
ngấu nhiên nào đó.
Về mặt hình thức, có thể định nghĩa biến ngẫu nhiên như là một hàm có
giá trị thực xác định trên không gian các biến cố sơ cấp (sao cho nghịch ảnh của
một khoảng số là một biến cố). Căn cứ vào tập giá trị của của bién ngẫu nhiên,
người ta chia các biến ngẫu nhiên thành hai loại: Biến ngẫu nhiên rời rạc, biến
ngẫu nhiên liên tục. Trong chương trình nay ta chỉ nghiên cứu biến ngẫu nhiên
rời rạc và từ nay về sau ta chỉ gọi đơn giản là biến ngẫu nhiên.
a) Định nghĩa: Hàm X xác định trên không gian các biến cố sơ cấp Q vu nhận
các giá trị Xị,X2 , ;Xn , trong tập số thực K được gọi là biến ngẫu nhiên rời
rạc nếu tập [<y I X(ũỉ) = JC/J;/ề = 1,2, là biến cố ngẫu nhiên.
^ Các biến ngẫu nhiên thường được ký hiệu bằng các chữ: X, Y, giá trị
của nó thường được ký hiệu bằng các chữ cái nhỏ xn yị,
b) Ví dụ: +) Gọi X là số con trai trong một lần sinh (một con). Khi đó X là biến
ngẫu nhiên, giá trị nó có thể nhận là 0, 1.

+) Gọi X là số viên đạn trúng đích khi bắn n viên đạn vào mục tiêu thì X là
biến ngẫu nhiên, giá trị nó có thể nhận là 0, 1, 2,
+) Gọi X là số chấm xuất hiện khi gieo một con xúc sắc cân đối, đổno chất
thì X là biến ngẫu nhiên, giá trị nó có thể nhận là 1, 2, ,6.
18
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN
1.6.2. Bàng phàn phối xác suất của biến ngảu nhiên
a) Định nghĩa: Ta gọi dẫy P Ỵ ỵ = *,] = Pị,i -1,2 , là phàn phối xác suất của
bicn ngẫu nhiên X.
Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X là:
X Xị x2 x„
P [X = Xị\ Pị p2 ••• p„
oc
Trong ở6 ỵ Pủ=l.
i=1
b}Ví dụ: (1) Gọi X là số chấm xuất hiện khi gieo một con xúc sắc cân đôi đồng
chất một lần. Lập bảng phân phối xác suất của X.
Không gian mẫu của phép thử gieo con xúc sắc là : Q = {l, 2,3,4,5 ,6}
Vì các biến cô' trên đồng khả năng xuất hiện nên bảng phân phối xác suất của X
X 1 2 3 4 5 6
p[x) T T T~ 7 T 7
6 6 6 6 6 6
i
(2) Gọi X là số mặt số xuất hiện khi gieo đồng thời 2 đồng tiền cân đối đồng
chất. Lập bảng phân phối xác suất của X.
Trước hết X có thể nhận 3 giá trị: 0, 1,2. Bây giờ ta phải tìm các xác suất
p[x = 0],p[x = ì].p[x = 2],
Không gian mẫu của phép thử gieo 2 đồng xu là : Q = {SS,SN, xs, xx}
trong đó s ký hiệu xuất hiện mặt quốc huy, N ký hiệu xuất hiện mặt số. Vì các
hiến cổ trên đổng khả nãng xuất hiện nên:

p[ss] = />[ A'.Y] = - :/>[£V] = />[.vs] = i.
4 2
Vậy bảng phân phối xác suất của X là
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN
X 0 1 2
p[x\
1 1 l
4 2 4
(3) Một lô sản phẩn có 20 sản phẩm trong đó có 5 sản phẩm phế phẩm. Lấy
ngẫu nhiên 5 sản phẩm từ lô hàng. Gọi X là số sản phẩm tốt trong 5 sản phẩm lấy
ra. Lập bảng phân phối xác suất của X.
X có thể nhận 6 giá trị: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Phân phôi xác suất của X là
p[x = k] =
Q s X Q
^20
5-k
= 0, 1, ,5.
Bảng phân phối xác suất của X là
X 0 1 2 3
4 5
p [x ]
1 75 1.050
4.550
6.825 3.003
15.504 15.504 15.504
15.504
15.504
15.504
Phân p
lối trong ví dụ này được gọi là phân phổi siêu bội.

1.6.3. Hàm phán phối của biến ngẫu nhiên
a) Định nghĩa: Nếu ta sắp xếp các giá trị của X theo thứ tự tăng dần, tức là
Xị < x2 < < xn < thì hàm số F(x) xác định như sau được gọi là hàm phân
phối của biến ngẫu nhiên X.
0 nểuXS Xị
/?Ị nèu X] < X < Xj
EV P \+ P2 nều x2 < x < x 3
F(x) = ị
p ] + p 2 + + p n n ê ău x„ < X < x„+ỉ
c) Ví dụ: (4) Cho bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên 'X như sau;
X
0 1
p[x]
1 1
2 2
20
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN
Viết hàm phàn phối cùa X.
F{x) =
0 nêu X < 0
— nếu 0 < .V < 1
- L i-1
— + — = 1 nèu X >
2

2
1.6.4. Kì vọng của biến ngảu nhiên
a) Định nghĩa: Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X là:
X I X, .Y-, x„
P\ Pl

p [.v = x,.]
cc
Trong đó ' y Pị = 1.
i=\
0 0 0 0
Nếu tổng ỵ \ x m\pẻ < + 0 C thì tổng XịPi gọi là kì vọng của biến
»•=1 /=1
00
ngẫu nhiên X và kí hiệu là E X = ^ XịPị .
/=1
b)N i dụ: Kì vọng của biến ngẫu nhiên X trong ví du (4) là EX = O.Ậ + 1 = —
2 2 2
c) Một số tính chất của kì vọng
+) EC = C vì EC = ị ắCpj =C A = C
i = I
+) Nếu các biến ngẫu nhiên X, Y có cấc kì vọng là EX,EY tương ứng thì
X+Y cũng có kì vọng và E(X + Y) = EX + EY Hơn nữa công thức này có
n n
thế mở rộng cho trường hợp n biến ngẫu nhiên: Xị) = V E{Xị).
/=1 /=1
+) Nếu X. Y các biến ngẫu nhiên độc lập và có các kì vọng là EX, EY
21
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN
tương ứng thì XY cũng có kì vọng và E(XY) - (EX)(EÌ ), đặc biệt
E(CX) = C(EX). r >
U'" ,iũl
+) Nếu cp(X) có kì vọng thì Eọ(X) = y^/p(Xị)Pị.
/■=!
d) Ý nghĩa của kì vọng
Nếu ta tiến hành đo một cách độc lập n lần đại lượng ngẫu nhiên X với kêt

quả là Xị,X2, ;Xn với một sô' giả thiết nhất định thì Xị + x~) + + Xn
xấp xỉ bằng EX với n đủ lớn.
1.6.5. Phương sai của biến ngẫu nhiên
a) Định nghĩa: Đại lượng E(X - EX)2 được gọi là phương sai cúa biến ngảu
nhiên X và ký hiệu DX = E(X — EXŸ
b) Một sô tính chất của phương sai
Từ tính chất của kì vọng ta dễ dàng suy ra các tính chất sau của phương sai:
+)DX = ỵ ( Xi-EX )2pẽ.
/=l
+) DX = E(X2)-{EX)2
+) DC = 0.
+) Nếu X, Y độc lập và có phương sai thì D(X + K) = DX + DY
+) D(CX) = C 2D X
C)Ý nghĩa của phương sai
Phương sai dùng để đo mức độ phân tán của các giá trị của X so với vị trí
kì vọng EX của nó. về toán học, phương sai DX là độ lệch bình phương trung
bình giữa các X so với kì vọng EX.
d)Vế dụ: Cho bảng phân phối xác xuất của X là:
X
-1 0 1
p[x]
1 2 1
6 3 6
22
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN
Tính kì vọng và phương sai của X.
Giải: EX = (-1 ).1 + 0 + 1.1 = 0.
6 3 6
£(aV = (-1)2 - + 02 -+ ì2- = -
6 3 6 3

=> DX = E(X2)-{EXÝ = 0 = -
l ẽ6ẽ6. Độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên
a) Định nghĩa: Đại lượng ơ(X) = \JDX được gọi là độ lệch chuẩn của biến
ngẫu nhiên X.
b) Ví dụ: Độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên trong ví dụ trên là ơ(X) =
BÀI TẬP XÁC SUẤT
1. Trước một cổng trường đại học có 3 quán cơm chất lượng ngang nhau. Ba sinh
viên A. B, c không quen biết nhau (độc lập với nhau) cùng chọn một quán để ăn
cơm. Tính xác suất của các biến cố:
a) 3 sinh viên cùng vào một quán.
b) 2 sinh viên vào cùng 1 quán còn người kia vào quán khác.
2. Có 5 mảnh bìa được đánh số từ 1 đến 5. Chọn ngẫu nhiên liên tiếp 3 mảnh và
xep thành một sô’ có 3 chữ số. Tìm xác suất để số đó là sô' chẩn.
3 Gieo đồng thời 2 con xúc sắc cân đối, đồng chất. Tim các xác suất để:
a) Tổng số chấm xuất hiện bằng 5.
b) Hiệu số chấm xuất hiện có trị tuyệt đối bằng 3.
4. Gieo đồng thời 3 con xúc sắc cân đối, đồng chất. Tìm các xác suất để tổng sô'
chấm xuất hiện của 3 con bằng 10.
5.Khoa ĐTGV Mầm non cần tuyển 2 giáo viên. Có 6 người dự thi tuyển trong đó
có 4 nam và 2 nữ. Giả sử khả năng trúng tuyển của cả 6 người là như nhau. Hãy
tính xác suất để:
a) Cá hai người trúng tuyển đều là nam.
b) Có ít nhất một người nam trúng tuyển.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN
6. Trong một hộp bi có 6 viên đỏ và 4 viên trắng cùng cỡ. Lấy ngẫu nhiên ra 2
viên bi. Tính xác suất để:
a. Cả hai viên bi đều là bi đỏ.
b. ít nhất một viên bi mầu đỏ.
c. Viên thứ hai mầu đỏ.
7.Trong một lớp có 50 sinh viên trong đó có 3 bạn trùng tên Huyền. Tìm xác suâl

để không có 2 bạn Huyền nào ngồi cạnh nhau.
8.Có 2 túi đựng các quả cầu. Túi thứ nhất chứa 3 quả trắng, 7 quả đỏ và 15 quá
xanh. Túi thứ hai chứa 10 quả trắng, 6 quả đó và 9 quả xanh. Từ mỗi túi ta chọn
ngẫu nhiên 1 quả cầu. Tim xác suất để 2 quả cầu được chọn có có cùng mầu.
9. Hai đấu thủ a, b thi đấu cờ. Xác suất thắng của a trong một ván là 0,6 (không
có hoà). Trận đấu bao gồm 5 ván, người nào thắng sô' ván lớn hơn là người tháng
cuộc. Tính xác suất để b là người thắng cuộc.
10. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số con trai trong một gia đình có 2 con (mỗi lần
sinh một con).
a) Lập bảng phân phối xác suất của X.
b) Viết hàm phân phối F(x).
c) Tính xác suất p [ 0 < X < 1,5]
Biết rằng xác suất sinh con trai bằng 0,51.
11. Tìm hàm phân phối của các biến ngẫu nhiên trong 3 ví dụ mục 1.6.2.
24
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN