Khai thác tính chất hình học trong bài thi Tuyển sinh năm 2014

Khai thác tính chất Hình học trong bài thi Tuyển sinh năm 2014
Hạ Vũ Anh – THPT Chuyên Vĩnh Phúc
Trong các kỳ thi tuyển sinh, mỗi bài toán đều được các tác giả khai thác từ những tính chất,
những kết quả cơ bản, các bài toán Hình học cũng không phải là ngoại lệ. Việc nắm vững các tính
chất, những kết quả cơ bản được trình bày trong sách giáo khoa là rất quan trọng, tuy nhiên có
không ít học sinh lại tỏ ra chủ quan và có quan niệm rất sai lầm: đề thi toán không có lý thuyết, dẫn
đến cách học sai lầm chỉ học, quan tâm đến bản thân mỗi bài toán, thậm chí chỉ quan tâm tới bản
thân lời giải của mỗi bài toán. Đối với mỗi bài toán chúng ta gặp hàng ngày, với mỗi hướng giải
quyết, nếu chúng ta để ý khai thác các tính chất hình học được sử dụng, chúng ta có thể khái quát
hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa bài toán đó; thông qua đó, chúng ta cũng nắm vững hơn, vận dụng
thành thục hơn những tính chất cơ bản đó. Để minh họa cho điều đó, chúng ta hãy bắt đầu từ một
bài toán thi tuyển sinh THPT năm 2014 của Vĩnh Phúc:
Bài toán 1. Cho tam giác
ABM
nhọn, nội tiếp đường tròn
( )
1
O
. Trên tia đối của tia MB lấy điểm
C sao cho AM là phân giác của góc
·
BAC
. Gọi
( )
2
O
là đường tròn ngoại tiếp tam giác AMC.
a) Chứng minh hai tam giác
1 2
AO O
và

ABC
đồng dạng.
b) Gọi O là trung điểm của
1 2
O O
và I là trung điểm của BC. Chứng minh tam giác AOI cân.
c) Đường thẳng vuông góc với AM tại A tương ứng cắt các đường tròn
( ) ( )
1 2
,O O
tại
,D E
(D
và E khác A). Đường thẳng vuông góc với BC tại M cắt DE tại N. Chứng minh
.
× = ×
ND AC NE AB
Lời giải (Hình 1).
Để ý rằng nếu
BA BM
≤
thì không tồn tại điểm
C. Do vậy để tồn tại điểm C thỏa mãn đề bài thì
BA BM
>
.
a. Do đường thẳng
1 2
O O
là trung trực của AM

suy ra
·
·
1 2 1
1
2
AO O AO M
=
và
·
·
·
1
1
2
ABC ABM AO M
= =
(góc nội tiếp và góc ở
tâm cùng chắn một cung) suy ra
·
·
1 2
AO O ABC=
Tương tự, cũng được
·
·
1 2
BCA O O A=
. Suy ra
1 2

AO O ABC∆ ∆∽
(g.g)
b. Từ kết quả phần a, do O là trung điểm
1 2
O O
và
I
là trung điểm BC nên
1
AO O ABI∆ ∆∽
. Suy
ra
1
OA IA
O A BA
=
.
Hơn nữa
·
·
·
·
1 1
OAO IAB OAI O AB= ⇒ =
. Suy ra
1
OAI O AB∆ ∆∽
(c.g.c).
Mà tam giác
1

O AB
cân tại
1
O
, nên tam giác OAI cân tại O.
Hình 1
c. Do
·
0
90DAM =
và tứ giác
BMAD
nội tiếp, nên
·
0
90DBM =
hay
DB BC
⊥
Tương tự, cũng có
.EC BC
⊥
Từ đó suy ra
BD CEP
hay tứ giác
BCED
là hình thang.
Mặt khác, do
MN BC
⊥

nên
,MN BD MN CEP P
.
Theo định lý Ta-lét ta có
ND MB
NE MC
=
Mà
MB AB
MC AC
=
nên
ND AB
NE AC
=
. Suy ra
.ND AC NE AB
× = ×
Trong lời giải trên, để chứng minh hai tam giác
1 2
,AO O AMN
đồng dạng (và do đó hai tam giác
1
,OAI O AB
đồng dạng), chỉ cần sử dụng mối liên hệ giữa góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn một
cung và tính chất đối xứng của đường tròn. Ở phần c, nhờ định lý Ta-lét, ta luôn có
ND MB
NE MC
=
, giả

thiết AM là phân giác của góc
·
BAC
chỉ được sử dụng để chứng minh
ND AB
NE AC
=
. Bởi vậy, Bài
toán 1 có thể được phát biểu lại như sau, mời các bạn độc giả hãy cùng giải quyết:
Bài toán 1’. Cho hai đường tròn
1 2
( ),( )O O
cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và M. Một đường
thẳng
∆
đi qua M, tương ứng cắt các đường tròn
1 2
( ),( )O O
tại giao điểm thứ hai B và C.
1. Chứng minh rằng hai tam giác
1 2
AO O
và
ABC
đồng dạng.
2. Chứng minh rằng trung điểm của BC luôn nằm trên một đường tròn cố định khi
∆
thay đổi
nhưng luôn đi qua M.
3. Đường thẳng vuông góc với AM tại A tương ứng cắt các đường tròn

( ) ( )
1 2
,O O
tại
,D E
(D
và E khác A). Đường thẳng vuông góc với BC tại M cắt DE tại N. Chứng minh rằng
ND MB
NE MC
=
. Từ đó suy ra độ dài MN theo độ dài của BD và CE; hãy xác định vị trí của
đường thẳng
∆
sao cho độ dài của MN là ngắn nhất.
4. Chứng minh rằng, khi
∆
quay quanh M, trung trực của BC luôn đi qua một điểm cố định.
Từ phần 1,2 của bài toán trên, chúng ta thấy rằng nếu B, M, C thẳng hàng thì hai tam giác
1 2
AO O
và
ABC
đồng dạng và trung điểm của BC luôn nằm trên đường tròn tâm O bán kính OA (ở
đây O là trung điểm
1 2
O O
). Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra: “Nếu hai đường tròn
1 2
( ),( )O O
cắt

nhau tại hai điểm phân biệt A, M, và trên
1
( )O
có điểm B, trên
2
( )O
có điểm C sao cho hai tam giác
1 2
AO O
và
ABC
đồng dạng thì ba điểm B, M, C có thẳng hàng không? ”. Câu trả lời là có; từ đó ta
có ngay được điều kiện cần và đủ để B, M, C thẳng hàng. Trong bài toán 1 trên đây xem xét một vị
trí đặc biệt của điểm M trên đường thẳng BC: chân phân giác trong của góc
·
BAC
; các bạn độc giả
hãy thử tự khai thác tính chất này bằng cách xét các vị trí đặc biệt khác của điểm M, xét các trường
hợp đặc biệt của tam giác ABC nhé.
Tiếp theo chúng ta cùng xem xét đến bài toán Hình học trong đề thi Tuyển sinh Đại học khối
A, A1 năm 2014:
Bài toán 2. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có điểm M là trung
điểm đoạn AB và điểm N nằm trên đoạn AC sao cho
3 .NA NC
=
Viết phương trình của đường thẳng
CD biết rằng
(1;2)M
và
(2; 1).N −

Bài toán này có rất nhiều cách giải, lời giải (chính thức, theo đáp án của Bộ Giáo dục – Đào
tạo) của bài toán này, các bạn có thể tham khảo tại địa chỉ
/>Chúng ta cùng phân tích các dữ kiện của đề bài để tìm hiểu xem có bao nhiêu cách tiếp cận và
giải quyết bài toán này. Trước hết, chúng ta xem xét giả thiết của bài toán cung cấp cho ta được
những thông tin gì (Hình 2):
- Gọi E là giao điểm của MN với CD thế thì
4EM EN=
uuuur uuur
từ đó tìm được tọa độ của điểm E. Vậy,
để xác định được phương trình của đường thẳng CD,
ta cần tìm được một điểm khác E hoặc vectơ pháp
tuyến của đường thẳng CD;
- Từ cách xác định của M, N suy ra
3 3
10, ,
2 4
2 2
a a
MN AM AN AC= = = =
và
·
0
45MAN =
(a là độ dài cạnh của hình vuông). Từ đó,
ta có thể tính được độ dài cạnh của hình vuông;
- Gọi I là tâm của hình vuông, thế thì
,
2
2 2

a a
IM IN= =
, từ đó tìm được tọa độ của điểm
I. Đến đây, ít nhất chúng ta thấy có ít nhất hai hướng giải quyết bài toán:
+ Hướng 1 (Biết điểm đi qua và vectơ pháp tuyến): Đường thẳng CD đi qua E, nhận vectơ
IM
uuur

làm vectơ pháp tuyến.
+ Hướng 2 (Biết hai điểm phân biệt hoặc vectơ chỉ phương): Tìm điểm F đối xứng với M qua I,
khi đó F là trung điểm CD và đường thẳng cần tìm đi qua hai điểm E, F.
Cũng dựa trên định hướng tìm một điểm khác E nằm trên đường thẳng CD, và từ nhận xét tam
giác MND vuông cân tại N, ta có thể tìm được điểm D, rồi viết phương trình đường thẳng đi
qua hai điểm E, D.
- Ngoài hai hướng trên đây, nhờ công thức tính khoảng cách giữa điểm và đường thẳng ta cũng
có thể xác định đường thẳng CD theo hướng: đường thẳng CD đi qua E và
( ; ) .d M CD a=
- Cũng từ cách xác định M, N suy ra
,
6 3
a a
CE EF= =
từ đó tính được
·
tan 3MEF =
và do đó
·
1
cos ,
10

MEF =
từ đó ta cũng có thể đặt vấn đề đường thẳng CD đi qua E và tạo với đường
thẳng đi qua hai điểm M, N góc nhọn
α
mà
1
cos .
10
α
=
Hình 2
Bằng cách làm tương tự như trên, các bạn độc giả hãy tự mình phân tích, khai thác các tính chất
hình học và tìm các hướng giải quyết các bài tập sau
Bài tập 1. Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn
( )
.O
Hai tiếp tuyến của
( )
O
tại
,B C
cắt nhau ở P. Gọi M là trung điểm của
.BC
Gọi
,D E
theo thứ tự là hình chiếu của
P
trên các
đường thẳng
, .AB AC

Chứng minh rằng:
a) Các tứ giác
PMBD
và
PMCE
nội tiếp.
b) M là trực tâm của tam giác ADE.
c)
·
·
PAB MAC=
.
(Tuyển sinh THPT Chuyên Vĩnh Phúc 2014 – 2015, Toán Hệ số 1)
Bài tập 2. Cho tam giác
ABC
nhọn, không cân (
AB BC
>
) và nội tiếp trong đường tròn
( )
.O

Các tiếp tuyến của
( )
O
tại A và C cắt nhau ở
.P
Gọi D là hình chiếu của A trên BP; E là giao điểm
các đường thẳng BP và AC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE cắt đường tròn
( )

O
ở F (F khác
C).
a) Chứng minh rằng các điểm
, , ,A D F P
cùng nằm trên một đường tròn.
b) Gọi M là trung điểm AC. Chứng minh rằng
.FC FM⊥

c) Đường thẳng PF cắt lại đường tròn
( )
O
ở N. Chứng minh rằng
2 .CA CF NC MF× = ×
(Tuyển sinh THPT Chuyên Vĩnh Phúc 2014 – 2015, Toán Hệ số 2)
Bài tập 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD. Điểm
( 3;0)M −
là
trung điểm đoạn AB, điểm
(0; 1)H −
là hình chiếu của B trên đường thẳng AD và điểm
4
( ;3)
3
G
là
trọng tâm tam giác BCD. Tìm tọa độ các đỉnh của hình bình hành.
(Thi tuyển sinh Đại học 2014, Khối B)
Bài tập 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có chân đường phân giác
trong của góc A là

(1; 1).D −
Đường thẳng AB có phương trình
3 2 9 0,x y+ − =
tiếp tuyến tại A của
đường tròn ngoại tiếp có phương trình
2 7 0.x y+ − =
Viết phương trình đường thẳng BC.
(Thi tuyển sinh Đại học 2014, Khối D)
Trên đây là một số nhận xét về những tính chất hình học cơ bản trong đề thi tuyển sinh năm
2014. Do khuôn khổ bài viết, chúng tôi không thể đề cập đến nhiều bài toán khác nữa. Hy vọng
rằng qua một vài ví dụ, nhận xét trên đây, các em học sinh có sự chuẩn bị tâm lý tốt hơn cho năm
học mới với nhiều kỳ thi ở phía trước; có hứng thú hơn đối với phân môn Hình học vốn vừa trừu
tượng, vừa cụ thể.