BÀI TẬP LỚN MÔN CẢM BIẾN ĐO LƯỜNG VÀ XỬ LÝ TÍN HIỆU Trình bày về tín hiệu và hệ thống trong miền tần số

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
Viện cơ khí
Bộ môn GCVL&DCCN
BÀI TẬP LỚN
MÔN CẢM BIẾN ĐO LƯỜNG VÀ XỬ LÝ TÍN HIỆU
*************************
Đề bài:Trình bày về tín hiệu và hệ thống trong miền tần số
Giáo viên hướng dẫn : TS Hoàng Vĩnh Sinh
Sinh viên thực hiện : Chu Văn Bình
Lớp : Cơ Khí 12-k53
MSSV : 20080190
NỘI DUNG
I.Tóm tắt lý thuyết.
II.Trình bày về các câu lệnh trong matlab có liên quan
III.Bài tập ví dụ
TRIỂN KHAI NỘI DUNG
I.Tóm tắt lý thuyết.
Tín hiệu?
Một đại lượng vật lý nào đó mang thông tin.
Các nguồn tín hiệu đều xuất phát từ một nguồn nào đó theo một cách thức nào
đó.
Hệ thống?
Một đại lượng vật lý mà tác động lên các tín hiệu để xử lý nó.
Hệ thống bao gồm phần cứng và phần mềm.
Tại sao phải biểu diễn tín hiệu và hệ thống trong miền tần số?
+Fourier chứng minh được một tín hiệu bất kì có thể tổng hợp từ các tín hiệu
hình sin hoặc phân tích thành các tín hiệu hình sin.Mà tín hiệu hình sin đặc trưng
bởi tần số,biên độ và pha.
+Trong miền tần số thuận tiện cho ta xét năng lượng của tín hiệu.Vì năng lượng
của tín hiệu tỉ lệ với tần số.
+ Trong thực tế kỹ thuật nhiều khi phân tích tín hiệu trong miền thời gian không

đưa lại kết quả nào cả, nhưng nếu phân tích tín hiệu trong miền tần số sẽ cho ta
những thông tin đáng quý.
+Biểu diễn tính hiệu trong miền tần số để dễ dàng phân tích và xử lí.
+Một số tín hiệu nếu ở miền thời gian thì lọc nhiễu khó khăn việc này sẽ đơn giản
hơn khi ở trong miền tần số.
Phân loại tín hiệu trong miền tần số dựa vào phổ mật độ công suất/năng lượng:
+Tín hiệu tần số cao:phổ tập trung ở tần số cao.
+Tín hiệu tần số thấp:phổ tập trung ở tần số cao.
+Tín hiệu tần số trung bình :phổ tập trung trong giải tầm tần số.
• Tần số của tín hiệu liên tục theo thời gian tuần hoàn:
x(t):liên tục thời gian và tuần hoàn với chu kì cơ bản T
p
=1/F
0
(F
0
:tần số).
Phương trình tổng hợp:
0
2
( )
j kF t
k
k
x t c e
+∞
Π
=−∞
=
∑

Phương trình phân tích:
0
2
1
( )
p
j kF t
k
p
T
c x t e
T
− Π
=
∫

| |
k
j
k k
c c e
θ
=
Nếu tín hiệu x(t) là tín hiệu thực (x(t)=x*(t)) thì c*
k
=c
-k
Công suất trung bình:
2 2
1

| ( ) | | |
p
x k
k
p
T
P x t dt c
T
+∞
=−∞
= =
∑
∫
• Tần số liên tục trong miền tần số:
x(t) :liên tục thời gian và không tuần hoàn
Phương trình tổng hợp:
2
( ) ( )
j Ft
x t X F e dF
+∞
Π
−∞
=
∫
Phương trình phân tích:
2
( ) ( )
j Ft
X F x t e dt

+∞
− Π
−∞
=
∫

Năng lượng:
2 2
| ( ) | | ( ) |
x
E x t dt X F dF
+∞ +∞
−∞ −∞
= =
∫ ∫
Nếu x(t) là tín hiệu thực thì:

| ( ) | | ( )|
( ) ( )
X F X F
X F X F
− =


∠ − = −∠

S
xx
(F)=S
xx

(-F)
• Tần số của tín hiệu rời rạc thời gian tuần hoàn.
x(n) :rời rạc thời gian và tuần hoàn với chu kì N (x(n+N)=x(n),∀n)
Phương trình tổng hợp:
1
2
0
( )
k
N
j n
N
k
k
x n c e
−
Π
=
=
∑
Phương trình phân tích:

1
2
0
1
( )
k
N
j n

N
k
n
c x n e
N
−
− Π
=
=
∑

| |
k
j
k k
c c e
θ
=
c
k
tuần hoàn với chu kì N nghĩa là c
k
=c
k+N
Nếu tín hiệu x(t) là tín hiệu thực (x(t)=x
*
(t)) thì c
k
=c
-k

Công suất trung bình:
1 1
2 2
0 0
1
| ( )| | ( ) |
N N
x
n k
P x n c k
N
− −
= =
= =
∑ ∑
Năng lượng trong một chu kì :
1 1
2 2
0 0
| ( ) | | ( ) |
N N
x
n k
E x n N c k
− −
= =
= =
∑ ∑
• Tần số của tín hiệu rời rạc thời gian không tuần hoàn
x(n) :rời rạc thời gian và không tuần hoàn

Phương trình tổng hợp:
2
1
( ) ( )
2
j n
x n X e d
ω
ω ω
−
Π
=
Π
∫
Phương trình phân tích:
( ) ( )
j n
n
X x n e
ω
ω
+∞
−
=−∞
=
∑
Năng lượng :
2 2
1
| ( ) | | ( ) |

2
x
n
E x n X d
ω ω
Π
+∞
=−∞
−Π
= =
Π
∑
∫
Phổ mật độ năng lượng :
2 *
| ( )| ( ) ( )
xx
S X X X
ω ω ω
= =
• Đặc tính của biến đổi Fourier
Đối với tín hiệu rời rạc thời gian và không tuần hoàn,có năng lượng hữu
hạn.Và tín hiệu liên tục thời gian không tuần hoàn có năng lượng hữu hạn.
Tuyến tính :
1 1
2 2
( ) ( )
( ) ( )
F
F

x n X
x n X
ω
ω

¬ →


¬ →


=>a
1
x
1
(n)+a
2
x
2
(n)
F
¬ →
a
1
X
1
(ω)+a
2
X
2

(ω)
Dịch theo thời gian: x(n)
F
¬ →
X(ω) => x(n-k)
F
¬ →
e
-j
ω
k
X(ω)
Đảo theo thời gian: x(n)
F
¬ →
X(ω) => x(-n)
F
¬ →
X(-ω)
Tổng chập:
1 1
2 2
( ) ( )
( ) ( )
F
F
x n X
x n X
ω
ω


¬ →


¬ →


 x(n)=x
1
(n)*x
2
(n)
F
¬ →
X(ω)=X
1
(ω)X
2
(ω)
Tương quan:
1 1
2 2
( ) ( )
( ) ( )
F
F
x n X
x n X
ω
ω


¬ →


¬ →



1 2 1 2
1 2
( ) ( ) ( ) ( )
F
x x x x
r n S X X
ω ω ω
¬ → = −
Dịch theo tần số : x(n)
F
¬ →
X(ω) => e
j
ω
k
x(n)
F
¬ →
X(ω-ω
0
)
Dịch theo điều chế : x(n)

F
¬ →
X(ω) => x(n)cosω
0
n
F
¬ →
1/2[X(ω+ω
0
)+X(ω-ω
0
)]
Định lý Parseval:
1 1
2 2
( ) ( )
( ) ( )
F
F
x n X
x n X
ω
ω

¬ →


¬ →



=>
* *
1 2 1 2
1
( ) ( ) ( ) ( )
2
F
n
x n x n X X d
ω ω ω
Π
∞
=−∞
−Π
¬ →
Π
∑
∫
Đạo hàm miền tần số : x(n)
F
¬ →
X(ω) => nx(n)
F
¬ →
j
Liên hợp phức : x(n)
F
¬ →
X(ω) => x
*

(n)
F
¬ →
X
*
(-ω)
• Hệ LTI trong miền tần số
Hàm đáp ứng tần số :đáp ứng tần số của tín hiệu mũ phức và tín hiệu sin
+Đáp ứng tần số của tín hiệu mũ phức :cho x(n)=Ae
j
ω
n
-∞<n<∞
( )
( ) ( )* ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
j n k j n j k j n
k k k
y n x n h n h k x n k h k Ae Ae h k e AH e
ω ω ω ω
ω
∞ ∞ ∞
− −
=−∞ =−∞ =−∞
= = − = = =
∑ ∑ ∑
x(n)=Ae
j
ω
n
là một eigenfunctin của hệ thống.

H(ω) là eigenvalue tương ứng.
Biểu diễn H(ω)=|H(ω)|
Trong đó :
2 2
| ( ) | ( ) ( )
R I
H H H
ω ω ω
= +


( ) ( )cos
R
k
H h k k
ω ω
∞
=−∞
=
∑
và
( ) ( )sin
I
k
H h k k
ω ω
∞
=−∞
= −
∑

1
( )
( ) tan
( )
I
R
H
H
ω
ω
ω
−
Θ =
Nếu biết |H(ω)| và Θ(ω) trong khoảng 0≤ω≤ Π thì cũng xác định được
trong khoảng -Π≤ω≤0
+ Đáp ứng tần số của tín hiệu sin
x
1
(n)=Ae
j
ω
n
y
1
(n)=A|H(ω)|e
j
Θ
(
ω

)
e
j
ω
n
x
2
(n)=Ae
-j
ω
n
y
2
(n)=A|H(-ω)|e
-j
Θ
(-
ω
)
e
-j
ω
n
=A|H(ω)|e
-j
Θ
(
ω
)
e

-j
ω
n
x(n)=Acosωn=1/2[x
1
(n)+x
2
(n)]y(n)=1/2[y
1
(n)+y
2
(n)]=A|H(ω)|
cos[ωn+Θ(ω)]
x(n)=Asinωn=1/2j[x
1
(n)+x
2
(n)] y(n)=1/2j[y
1
(n)-y
2
(n)]=A|H(ω)|sin(ωn+Θ(ω)]
+Đáp ứng cho tín hiệu tuần hoàn(tín hiệu tuần hoàn chu kì N):
2 2
1 1
0 0
2
( ) ( ) ( ) ( )
k k
N N

j n
N N
k k
k k
k
x n c e H y n c H e
N
ω
Π Π
− −
= =
Π
= → → =
∑ ∑
+Đáp ứng của tín hiệu không tuần hoàn:
x(n)h(n)y(n)=x(n)*h(n)
x(ω)H(ω)Y(ω)=X(ω)H(ω)
+Quan hệ giữa hàm hệ thống và hàm đáp ứng tần số

( ) ( ) | ( )
j
j n
z e
n
H H z h n e
ω
ω
ω
∞
−

=
=−∞
= =
∑

2 1
| ( ) | ( ) *( ) ( ) ( ) ( ) ( )H H H H H H z H z
ω ω ω ω ω
−
= = − =
II.Các câu lện matlab có liên quan.
Chirp:phát hàm cosin.
Diric:Hàm tuần hoàn sin.
Gauspull:Phát xung Gaussian.
Pulstran:Phát một dãy xung.
Rectpuls:Phát hình vuông lấy mẫu không tuần hoàn.
Sawtooth:Hàm răng cưa.
Sinc:Hàm sin hoặc sin(pi*x)/(pi*x).
Square:Hàm sóng bình phương.
Tripuls:Máy phát hình thang lấy mẫu không tuần hoàn.
Subplot:chia đồ thị thành nhiều phần nhỏ,mỗi phần vẽ một đồ thị khác nhau.
Abs.angle:Trả về hàm thể hiện Mođun và Agumen của một số phức.
real,imag:Trả về các hàm thể hiện phần thực phần ảo của một số phức.
freqs:Biến đổi laplace tần số đáp ứng.
freqspace:Đặt tần số cho đáp ứng tần số.
freqz:Biến đổi z tần số đáp ứng.
dftmtx:Ma trận biến đổi Fourier rời rạc.
fft:Biến đổi Fourier nhanh.
ifft:Biến đổi fourier ngược nhanh.
Các cửa sổ tín hiệu:

Bartlett:Cửa sổ Bartlett.
Blackman:Cửa sổ Blackman.
Boxcar:Cửa sổ Boxcar.
Chebwin:Cửa sổ Chebwin.
Hamming:Cửa sổ hamming.
Kaiser:Cửa sổ kaiser.
Triag:Cửa sổ có dạng tam giác.
dpss:Rời rạc miền không gian tần số.
dpssclear:Chuyển miền không gian tần số rời rạc vào miền cơ sở dữ liệu.
dpssload:Nạp miền không gian tần số rời rạc từ miền cơ sở dữ liệu.
Chuyển đổi tần số(Dịch tần số)
lp2bp:Biến đổi bộ lọc thông thấp thành thông theo dải.
lp2bs:Biến đổi bộ lọc thông thấp thành thông đỉnh.
lp2hp:Biến đổi bộ lọc thông thấp thành thông cao.
lp2lp:Biến đổi bộ lọc thông thấp thành thông thấp.
stan:Chấm điểm số liệu tần số rời rạc.
III.Bài tập ví dụ.
Ví dụ 1 :Xác định biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc thời gian và không tuần
hoàn sau: x(n)=2
-n
u(n). Thể hiện trên đồ thị phổ của X(e
j
ω
) tại 501 điểm rời rạc
trong khoảng [0,Π]
Giải:
Ta có:
( )
1
0

1
| 2 | 2 2
1 2
n n
n n
u n
∞ ∞
− −
−
=−∞ =
= = =
−
∑ ∑
=>tồn tại biến đổi Fourier:
FT[2
-n
u(n)]=
1
0 0
2 ( ). 2 (2 . )
n j n n j n j n
n n n
u n e e e
ω ω ω
∞ ∞ ∞
− − − − − −
=−∞ = =
= =
∑ ∑ ∑
Vậy FT[2

-n
u(n)]=
1
1 1
1 2 . 1 0.5
j j
e e
ω ω
− − −
=
− −
Lệnh matlab:
Kết quả hiển thị:
Ví dụ 2.Hãy xác định các hàm phần thực phần ảo,mô đun,argument,độ lớn và pha
của tần số X(e
j
ω
)=FT[x(n)].
Giải:
Ta có:X(e
j
ω
)=FT[x(n)]
=>X(e
j
ω
)=cos(2ω)cos(ω)-jcos(2ω)sin(ω)
Hàm phần thực: X
R
(ω)=cos(2ω)cos(ω)

Hàm phần ảo : X
I
(ω)=-cos(2ω)sin(ω)
Môđun: |X(e
j
ω
)|=
2 2 2 2
cos (2 )cos ( ) cos (2 )cos ( ) | cos(2 ) |
ω ω ω ω ω
+ =

Argumen : φ(ω)=-arctg[
Hàm độ lớn:|H(e
j
ω
)|=
( )
( )
j
j
Y e
X e
ω
ω

Hàm pha:
cos(2 )
( ) 1
2 |cos(2 ) |

ω
θ ω ω
ω
 
Π
= − − −
 
 